Волновое уравнение в параксиальном приближении

ДИФРАКЦИОННАЯ ОПТИКА В ПАРАКСИАЛЬНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Рассмотрим монохроматическую волну в так называемом скалярном при­ближении, когда электромагнитные поля считаются поляризованными (на­пример, линейно или циркулярно) однородно по пространству [6]. Напря­женность электрического поля волны может быть тогда описана скалярной величиной, имеющей вид:

Е(х, у, г, О = Ё(х, у, г) ехр(усо*), (4.6.1)

Где комплексная амплитуда д должна удовлетворять волновому уравнению в скалярной форме, т. е.

В котором к = со/с.

Решение этого уравнения для амплитуды напряженности электрическо­го поля может быть представлено в интегральном виде с использованием интеграла Френеля-Кирхгофа. При этом заданное распределение ампли­туд Ё (хг, у19 гх) в плоскости г = гх определяет их распределение Ё (х9 у, г)

В некоторой плоскости с координатой г вдоль направления распространения волны в виде:

Ё(х, у, z) = j — J, y1,z1) exP[

0’ftrH cosQdxxdyx. (4.6.3)

Здесь r — расстояние между точкой Рг с координатами (xl9 ух) и точкой Р с координатами (х, у) (см. рис. 4.13), 0 — угол, который отрезок РгР составля­ет с нормалью к плоскости 2 = 2и двойной интеграл берется по координатам xl9yx в плоскости 2 = 2l9 а его пределы задаются границами некоторой облас­ти S, расположенной в этой плоскости. Видно, что уравнение (4.6.3) факти­чески выражает в математическом форме принцип Гюйгенса. Действитель­но, [Ё(х19ух,21)dx1 21У когда распределение поля и(Рг) в плоскости г = гх известно

21у когда распределение поля и(рг) в плоскости г = гх известно » title=»ДИФРАКЦИОННАЯ ОПТИКА В ПАРАКСИАЛЬНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ» align=»left» width=»239″ height=»225″ />Вкладов волн, приходящих ото всех точек, лежащих в плоскости г = г1в Множитель cos0, на необходимость введения которого было указано Фре­нелем, определяет эффективный раз­мер излучающего элемента площади в направлении испускания элементар­ной волны. Стоящий перед интегра­лом множитель (у*/X) — это нормиро­вочный множитель, появляющийся в результате детального теоретиче­ского рассмотрения. Он показывает, что вэйвлеты Гюйгенса сдвинуты по фазе на к/2 по отношению к волне, па­дающей на плоскость г = 2г.

Рассмотрим теперь решения урав­нений для напряженности электрического поля, либо в дифференциальной (см. уравнение (4.6.2)), либо в интегральной (см. уравнение (4.6.3)) формах, в приближении параксиальных волн (англ. paraxial-wave approximation), ко­гда предполагается, что волна распространяется вдоль оси г, а углы 0 малы. В этом случае можно записать:

Ё(х9 у9 2) = и(х9 у9 2)exp[-(jk2)9 (4.6.4)

Где и — медленно меняющаяся функция, т. е. слабо изменяющая свое значе­ние на масштабе длины волны вдоль координаты 2. В параксиальном при­ближении подстановка (4.6.4) в (4.6.2) дает:

Где =(д2/дх2) + (д2 /ду2). Уравнение (4.6.5) — это волновое уравнение в

Для того чтобы получить приближенную форму уравнения (4.6.3) в при­ближении параксиальных волн, положим cos 0=1иг = 2-21в амплитудной

Части сферического вэйвлета. Однако при аппроксимации фазового члена — fer следует действовать более аккуратно; действительно, возьмем расстояние г = 1 м и предположим, что это расстояние измерено с точностью Аг = 1 мкм. Для амплитудного фактора это обеспечит очень хорошую относительную по­грешность Аг/г = 10 6. Неопределенность фазы будет при этом, однако, со­ставлять Аф = kAr= 2пАг/Х9 так что при X =1 мкм это даст Аф = 2п. Это, конеч­но, неприемлемый уровень точности, поскольку, например, фазовый сдвиг Аф = п изменяет знак фазы в подынтегральном выражении. Таким образом, фазовая часть в уравнении (4.6.3) требует более высокой точности прибли­жения. Для этого представим расстояние г между точками Р0 и Р на рис. 4.13 в виде г = [(z — 2Х)2 + (х — хх)2 + (у — уi)2]1/2. В приближении параксильных волн имеем [х — хг, | у

Ух |] | г — 2г |. Следовательно, можно записать:

Волновое уравнение в параксиальном приближении

1.3. Методы геометрической оптики [1,9,10,13,14]

Возможны две точки зрения на место геометрической оптики в системе современных оптических представлений. Согласно первой из них геометрическая оптика рассматривается как самостоятельный раздел оптики, основанный на определенной системе постулатов. К наиболее важным из них относятся законы прямолинейного распространения света, законы его отражения и преломления. В такой постановке геометрическая оптика является основой вычислительной оптики [11], на базе которой осуществляются расчеты разнообразных оптических элементов и систем. Согласно второй точки зрения основные выражения и соотношения аппарата геометрической оптики являются по своей сути приближенными решениями волновых уравнений, во многих случаях облегчающих их анализ. Исходя из целевой установки данной книги мы будем придерживаться второй точки зрения. При этом сосредоточимся на вопросах распространения света в неоднородной среде, показатель преломления которой плавно меняется в пространстве. Световое поле представляется в форме локально плоской волны. В приближении геометрической оптики амплитуда этой волны не зависит от частоты, а частота, которая считается большой величиной, входит только в фазовый множитель.

1.3.1. Геометрооптическое приближение

В однородной ( n =const) среде простейшее решение волнового уравнения — плоская волна

Фаза ее постоянна на плоскостях z =cоnst, т.е. фазовые фронты плоские. Нормали к фронтам параллельны.

Пусть показатель преломления среды есть функция координат

тогда амплитуда А становится функцией координат, а волновые фронты перестают быть плоскими. Нормали к ним не параллельны, но близки к параллельным. Будем считать, что все характерные масштабы изменения и амплитуды поля, и показателя преломления среды велики по сравнению с длиной волны l ( l =2 p / k ). Если l — наименьший из этих масштабов, то предполагается, что выполнено неравенство

Это неравенство — не самое сильное условие применимости лучевой или геометрической оптики, законы которой мы ниже сформулируем. Представим поле световой волны в неоднородной среде в виде почти плоской волны

Здесь А ( k , r ) — амплитуда волны; kS ( r ) — фаза; величина S ( r ) называется эйконалом. Термин «почти плоская волна» оправдан тем, что в области порядка 2 p / kn поле имеет вид.(1.3.1).

Амплитуду А и эйконал S будем искать из требования, чтобы решение, записанное в форме (1.3.3), удовлетворяло волновому уравнению, и при этом используем условие, что k велико. Это можно сделать несколькими способами. Простейший из них состоит в том, чтобы искать А в виде лучевого разложения по обратным степеням k :

Фактически это разложение проводится по возрастающим степеням безразмерного малого параметра m (1.3.2).

Подставляя (1.3.3), (1.3.4) в волновое уравнение

и приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях k , получим в нулевом приближении уравнение эйконала

а в следующих приближениях- систему рекуррентных уравнений для амплитуд

которые называются уравнениями переноса.

Приближение, при котором в (1.3.4) сохраняется только нулевой член, называется геометрооптческим приближением. Поля в этом приближении, т.е. поля геометрической оптики

содержат частоту только множителем в фазе. В отличие от (1.3.3), в (1.3.9) А 0 уже не есть функция частоты.

1.3.2. Лучи и фронты

Решение задачи по определению поля в неоднородной среде следует начинать с нахождения эйконала S . Зная эту функцию, можно построить волновые фронты: они задаются уравнением S =const, а затем и лучи — линии, перпендикулярные волновому фронту.

Следует заметить, что вообще эйконал в большей степени определяет световое поле, чем амплитуда А 0 ( r ). Это объясняется тем, что перед S ( k , r ) стоит большой множитель k . Поэтому все изменения u при малом изменении координат определяются главным образом изменением S , а не А 0 .

Уравнение (1.3.6) решается в наиболее общем виде с помощью метода характеристик. Этот метод сводит уравнение в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Обозначим введем параметр t вдоль направления p , связанный с длиной дуги s на луче условием d t =d s / n . Вектор r определяет точку на луче, а вектор d r /d t — касательный лучу. Уравнение (1.3.6) выглядит в новых обозначениях как | p |= n . Можно показать, что оно эквивалентно следующей системе уравнений:

Уравнения (1.3.10) определяют геометрию лучей

т.е. координаты r и направления p луча в точке с параметром t (этот параметр пропорционален времени прохождения волны вдоль луча). Очевидно, что касательный к лучу вектор (1.3.10,а) параллелен Ñ S , т.е. перпендикулярен к волновой поверхности. Таким образом, луч есть нормаль к поверхности равной фазы.

Вектор p , определяющий направление луча, изменяется вдоль луча, согласно (1.3.11,б) в направлении градиента показателя преломления. Иными словами, преломление или рефракция криволинейного луча в неоднородной среде происходит в область возрастания n.

В частном случае однородной среды , так что p =const, и лучи являются прямыми линиями.

Для эйконала из (1.3.11) получаем

Здесь — значение эйконала при ; интегрирование ведется вдоль геометрооптического луча. Заметим, что в геометрической оптике физическое значение имеет лишь разность эйконалов , а не величина S .

Для однородной среды

Выбрав направление оси z вдоль луча, умножив затем эйконал — его часто называют «оптический путь» — на частоту k , получим привычное выражение для фазы плоской волны kn ( z- z 0 ), так как, очевидно, в данном случае n t =z.

Для построения лучей и фронтов удобно пользоваться системой лучевых координат ( рис. 1.3.1 ).

Такими координатами являются две координаты x , h на поверхности любого, принятого за начальный, волнового фронта , характеризующие данный луч и постоянные вдоль луча, и длина дуги s , отсчитываемая вдоль луча, либо вместо s — введенный выше параметр t (время).

1.3.3. Принцип Ферма

Из уравнения эйконала вытекает важное физическое положение, известное, как принцип Ферма, согласно которому оптический луч всегда выбирает траекторию с минимальной длиной оптического пути. Только в очень редких случаях условие минимума заменяется условием максимума. Таким образом, лучевые траектории являются экстремалями функционала Ферма

Принцип Ферма определяет лучевую структуру поля не только в плавно неоднородной среде. Луч, соединяющий две точки r 0 и r 1 , выделяется из всех кривых, проходящих через эти точки, тем, что эйконал (1.3.13) экстремален. Из принципа экстремальности может быть выведен закон зеркального отражения

и закон преломления

на резкой границе между двумя плавно-неоднородными средами.

Здесь n 1 — показатель преломления среды, из которой на границу падает луч. Он преобразуется в два луча — преломленный и отраженный в среду n 2 . Углы j 1 , j 2 , j 3 — соответственно углы с нормалью падающего, преломленного и отраженного лучей. Все три луча и нормаль к поверхности расположены в плоскости падения. Хотя эти законы получены для случая падения плоской волны на плоскую границу раздела однородных сред, они выполняются и для неплоской границы между плавно неоднородными средами, если поле сохраняет лучевую структуру (1.3.9).

1.3.4. Лучевые трубки

Перейдем от лучевой структуры поля, т.е. системы волновых фронтов S =const и лучей Ñ S , к определению амплитуд. В лучевых координатах x , h , t уравнения переноса (1.3.7), (1.3.8) сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, и можно выписать в общем виде их решения.

Решение уравнений переноса для двух первых членов ряда (1.3.4) имеет вид:

— якобиан перехода от декартовых координат к лучевым; параметр , вообще говоря, произволен. Якобиан (1.3.19) легко вычисляется, если известны уравнения семейства лучей.

Например, цилиндрическая волна есть геометрооптическое поле, если исключить область порядка l вблизи начала координат. Лучи совпадают с радиусами: под лучевыми координатами x , h , t следует понимать j , z, r / n . D ( t )= n r ; и Разумеется, цилиндрическая волна может распространятся только в аксиально-симметричной среде (в частности, в среде с постоянным n ). В сферически симметричной среде распространяется сферическая волна, здесь координата r отсчитывается от центра волны, так что радиус кривизны волнового фронта R = r . В общем случае поверхности с двумя главными радиусами кривизны .

Определим теперь понятие лучевой трубки. На начальном волновом фронте t = возьмем исходную поверхность s ( ) бесконечно малого размера ( рис . 1.3.2).

Лучи, выходящие с контура поверхности, образуют стенки лучевой трубки. Величина пропорциональна отношению площадей элементарной лучевой трубки:

и может быть названа расходимостью лучей. Отсюда для нулевого, т.е. геометрооптического, приближения из (1.3.17), (1.3.20) получаем

Таким образом, в геометрической оптике амплитуда на луче определяется только амплитудой на том же луче в любой точке, откуда этот луч пришел, геометрической расходимостью лучевой трубки и изменением n вдоль луча. Формула (1.3.17), таким образом, означает, что в лучевой трубке сохраняется поток энергии

Все лучевое поле можно себе представить состоящим из тонких трубок, причем в каждой трубке распространяется та энергия, которая была в ее начале. Распространение энергии в трубке происходит независимо от соседних. Геометрическая оптика, которая ограничивает ряд (1.3.4) первым членом, допускает, что на протяжении произвольно длинной границы между лучевыми трубками с разной интенсивностью и, в частности, на границе между освещенной областью и теневой — не будет никакого обмена энергией.

Предположение о том, что взаимодействие между лучевыми трубками пренебрежимо мало, может оказаться неверным при продвижении вдоль трубки на достаточно большое расстояние. Действительно, уже для первого коэффициента лучевого разложения А 1 (1.3.18) кроме слагаемого, учитывающего геометрическую расходимость лучей, есть еще интегральное слагаемое, которое содержит производные амплитуды предыдущего приближения А 0 . Если бы А 1 и А 0 были величинами одного порядка, то влияние А 1 на суммарное поле, как это следует из лучевого разложения (1.3.4), было бы в k раз меньше, чем влияние А 0 . Но эффект взаимодействия между лучевыми трубками из-за интегрального, накапливающегося характера А 1 на достаточно длинном пути может существенно превзойти изменение А 0 , связанное с изменением сечения трубки или показателя преломления n вдоль луча.

Итак, геометрическая оптика не дает правильного решения не только в случае, если член лучевого разложения А 1 / k становится сравнимым с геометрооптическим членом А 0 . Геометрическая оптика не может так же ничего сказать о поле в области тени, куда не проникают лучи. Наконец упомянем третий случай отказа геометрической оптики.

Он относится к ситуации, когда выделенная на заданном волновом фронте лучевая трубка при подходе к некоторой точке схлопывается, т.е. площадь трубки s ( t ) становится равной нулю. При этом нулевой член лучевого разложения (1.3.21) становится бесконечно большим. Это означает, что структура поля локально не близка к плоской волне и основные геометрооптические представления теряют свой смысл.

1.3.5. Точка стационарной фазы. Область влияния

Пусть вдоль луча r 0 , r 0 (см. рис. 1.3.3 ) распространяется световая волна, имеющая геометрооптическую структуру (1.3.9).

Основной вклад в поле дает окрестность точки так называемой стационарной фазы r = . Фаза вблизи стационарной точки квадратично зависит от расстояния до этой точки:

Окрестность точки стационарной фазы представляет собой ту область влияния, которая формирует поле в точке наблюдения. Область влияния, светящееся пятнышко, которое можно наблюдать, если глаз поместить в точку r 1 , можно назвать первой зоной Френеля. Уточним это понятие.

Предположим, что вблизи точки стационарной фазы падающее поле имеет форму сферической волны с радиусом кривизны R . Найдем разность эйконалов вдоль луча из r n в r 1 и вдоль луча, испускаемого в ту же точку r 1 точечным источником, мысленно помещенным на волновую поверхность на краю зоны Френеля в точке . По определению, будем считать aF размером первой зоны Френеля, если эта разность эйконалов, умноженная на k , равна по модулю p :

Особенно просто определить область влияния в однородной среде. В параксиальном приближении

оставляя в (1.3.29) только квадратичные по a F члены, получим явную формулу для радиуса первой зоны Френеля

где z — расстояние вдоль луча от точки стационарной фазы до точки наблюдения. Радиус кривизны волнового фронта считаем положительным ( R >0) для расходящейся волны, отрицательным ( R r 1 ( рис. 1.3.4 ).

Если z ® 0, то светящееся пятнышко стягивается в точку, т.е. практически передача световой энергии идет по законам геометрической оптики, которые не учитывают никаких нелокальных воздействий. Величина a F при данном R >0 максимальна при отнесении z на бесконечность и равна при этом

Если R = ¥ , т.е. фронт в районе точки стационарной фазы плоский, то размер области влияния

Очевидно, что на расстоянии z =| R | размер светящегося пятна растет и заполняет всю поверхность. Таким образом, на поле в фокусе влияет вся светящаяся поверхность. При размер пятна стремится к тому же пределу (1.3.32): , как и для расходящейся волны. Заметим, что лишь для плоской волны такого предела не существует- пятно растет неограниченно с увеличением z (1.3.33).

В более общем случае неоднородной среды и двух радиусов кривизны волнового фронта в выбранной на луче точке r n также существует область вокруг луча, влияющая на формирование поля в точке r 1 . Форма этой области, которая находится двумерным методом стационарной фазы, может быть довольно сложной.

1.3.6. Условие применимости геометрической оптики

Неравенство (1.3.2), при выполнении которого волну можно считать почти плоской, а среду почти однородной, является необходимым, но недостаточным условием применимости геометрической оптики. Достаточные же условия применимости должны тем или иным способом учитывать накапливающиеся погрешности, обусловленные тем, что поле нулевого приближения (1.3.3) не является точным решением волнового уравнения. Корректный учет такого рода погрешностей в общем виде представляет собой весьма трудную задачу, еще ждущую своего решения. Однако обобщая результаты многих работ, выполненных в указанном направлении, можно сформулировать некий эвристический критерий выполнимости геометрической оптики. Этот критерий требует, чтобы вблизи луча на расстоянии, много большем линейного размера первой зоны Френеля, не было резких изменений ни свойств среды, ни свойств поля. Если обозначить поперечный масштаб изменения этих свойств (точнее, наименьший из масштабов) через l ^ , то условие применимости геометрической оптики запишется в виде неравенства

Это условие намного более жесткое, чем условие (1.3.2) превышения масштабов среды и поля над длиной волны. Так, если волна почти плоская, то , а этот размер в больше длины волны, и при становится как угодно большим. Растет до бесконечности область влияния и при приближении к фокусу: . Поэтому в реальной ситуации, когда нельзя обеспечить неизменные свойства среды на бесконечной поверхности, излучение плоского поля при достаточно больших z теряет лучевую структуру. В окрестности фокуса (а не только в фокальной плоскости) поле также принципиально не может быть геометрооптическим.

Область влияния для сходящихся или расходящихся лучей при приближается к конечному пределу (1.3.32), поэтому, в отличие от плоской волны, они могут быть описаны в представлениях геометрической оптики, если только выполнено условие (1.3.35).

При фиксированной точке наблюдения, расположенной на луче, можно провести огибающую первых зон Френеля, выделив так называемый френелевский объем. Если, например, точка наблюдения расположена на расстоянии L от выделенной поверхности волнового фронта с радиусом кривизны R , то радиус вытянутой поверхности, ограничивающей френелевский объем,

где z отсчитывается от точки наблюдения вдоль луча ( рис. 1.3.5 ). Эта формула получена из (1.3.31) очевидной заменой в ней R , т. е. радиуса кривизны на расстоянии z от точки наблюдения, на .

При анализе лучевой картины светового поля принято выделять важный структурный элемент, называемый каустикой. Каустика — это поверхность (или линия), огибающая систему лучей ( рис. 1.3.6 ). Для плоской волны каустики нет. Каустика цилиндрической волны вырождается в фокальную линию (ось системы координат). Каустика сферической волны вырождается в точку – фокус. Каустика может сформироваться как в неоднородной среде, так и в однородной. Пример каустики в однородной среде приведен на рис. 1.3.7 , где лучи – нормали к волновому фронту, который несколько отличен от сферического.

На каустике пересекаются бесконечно близкие лучи, поперечный размер лучевой трубки уменьшается до нуля, и лучевые разложения (1.3.4) поэтому не могут быть использованы, так как все коэффициенты А i на каустике обращаются в бесконечность.

Каустика разделяет часть пространства, заполненную лучами, от каустической тени. В освещенной части через каждую точку проходит два луча – один из них уже коснулся каустики, другой еще нет. При подходе к каустике со стороны освещенной стороны наблюдается рост амплитуды поля, локальный максимум; при переходе через каустику и удалении от нее в область тени поле спадает. В направлении нормали к каустике поле в освещенной части имеет, из-за интерференции двух лучевых полей, характер стоячей волны. Вдоль каустики поле имеет характер бегущей волны.

Представление о структуре поля вблизи каустики можно получить, рассчитав распределение интенсивности в так называемом линейном слое. Пусть слева, со стороны пространства n =1, падает на плоскую границу раздела z =0 плоская волна ( рис. 1.3.8 ). В области z >0 среда имеет линейно убывающую с ростом z диэлектрическую постоянную :

где — характеристика среды, та плоскость, на которой n =0. Предположим сначала, что плоская волна падает перпендикулярно к линейному слою. Тогда волновое уравнение для амплитуды поля

после замены переменных

Решение уравнения (1.3.40) пропорционально функции Эйри v ( t ) , которая определяется интегралом

причем коэффициент пропорциональности определяется из требования непрерывности поля и его производной при t=t 0 , где t 0 – значение t (1.3.39) при z =0:

Предполагается, что амплитуда падающего поля равна единице.

Вид функции Эйри приведен на рис. 1.3.9 . Значение функции вблизи нуля порядка единицы, v ( 0 )=0.63, максимум несколько сдвинут в сторону освещенной области и достигается при t » -1: v (–1.02)=0.95.

Слева от точки z=z 0 (т.е. при t t |>>1) описывает распределение поля, схожее со стоячей волной.

Вблизи каустики и на каустике поле не может быть описано с помощью геометрооптических лучей. На каустике – потому, что сечение лучевой трубки обращается в нуль, коэффициент расходимости (1.3.20) равен нулю, и все амплитудные коэффициенты в лучевом разложении неограниченно растут. В окрестности каустики лучевое разложение неприменимо потому, что лучи становятся неразличимыми, так как разность эйконалов двух пересекающихся лучей, один из которых коснулся каустики, а другой еще нет, меньше l /2.

Несмотря на то, что геометрооптические представления не применимы для прикаустической области, к их достоинствам следует все же отнести возможность нахождения расположения каустической области, а в некоторых случаях — и ее ширины.

1.3.8. Элементы гамильтоновой оптики

Как уже указывалось, поведение лучей в световом потоке может быть определено путем использования вариационного принципа, предполагающего нахождение экстремалей функционала (1.3.14). Решение вариационной задачи оказывается более легким, если перейти к новой переменной интегрирования. Используем определение элемента длины

чтобы выразить (1.3.14) в виде

Здесь Р 1 и Р 2 начальная и конечная точки луча.

Функция L задается соотношением

Уравнение (1.3.45) имеет точно ту же форму, что и принцип наименьшего действия Гамильтона, достаточно подробно рассматриваемого в курсах теоретической механики. Единственное отличие принципа Ферма от принципа Гамильтона заключается в том, что в принципе Ферма вместо переменной координаты t используется пространственная координата z . В классической механике функция L называется лагранжианом. Координата z обычно выбирается совпадающей с предпочтительным направлением оптической системы, известным как оптическая ось. Большинство оптических систем имеет ось симметрии, которая является также осью вращения.

Решение задачи (1.3.45) хорошо известно в вариационном исчислении и нет необходимости приводить его здесь. Оно дается уравнениями Эйлера для вариационной задачи

Подстановка выражения (1.3.46) приводит к соотношениям

Используя известную из классической механики связь между уравнениями Эйлера (1.3.47), (1.3.48) и уравнениями Гамильтона, а также соотношения (1.3.49), (1.3.50) можно формально уравнениям лучей придать вид гамильтоновых уравнений:

Здесь x, y, z — cоответственно поперечные и продольная координаты точки на луче, а «импульсы» p x и p y задаются формулами

Из последних соотношений видно, что в параксиальном приближении значения импульсов определяют значения углов наклона лучей. Сам же гамильтониан выражается через импульсы с помощью соотношения

Представление геометрической оптики в гамильтоновой форме не просто расширяет ее аппарат, Такое представление позволяет перенести на многие геометрооптические задачи элементы анализа, применяемого к поведению динамических систем. В частности, как мы увидим в следующей главе, динамическая теория перехода детерминированных систем к хаосу позволяет вскрыть один весьма необычный механизм стохастизации излучения в регулярно- неоднородных средах.

ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 1

1. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. — М.: Наука, 1970, 856 с.

2. Зоммерфельд А. Оптика. — ИЛ, 1953, 487 с.

3. Гудмен Дж. Введение в фурье-оптику. — М.: Мир, 1970, 364 с.

4. Королев Ф.А. Теоретическая оптика. — М.: Высшая школа, 1968, 556 с.

5. Матвеев А.И. Оптика. — М.: Высшая школа, 1986, 352 с.

6. Калитеевский Н.Л., Волновая оптика. — М.: Высшая школа, 1978, 384 с.

7. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. М.: Наука, 1981, 640 c.

8. Маркузе Д. Оптические волноводы. — М.: Мир, 1974, 576 с.

9. Солимено С., Крозиньяни Б., Ди Порто П. Дифракция и волноводное распространение излучения. — М.: Мир, 1989, 664 с.

10. Ваганов Р.Б., Каценеленбаум Б.З. Основы теории дифракции. — М.: Наука, 1982, 272 с.

11. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн — М.: Наука, 1990, 432 с.

12. Семенов А.А. Теория электромагнитных волн. — М.: Изд-во МГУ, 1968, 316 с.

13. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. — М.: Наука, 1980, 304 с.

14. Руситинов М.М., Грамматин А.П., Иванов П.Д. и др. Вычислительная оптика. Справочник. — Ленинград: Машиностроение, 1984, 424 с.

научная статья по теме ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ СВЕТОВЫЕ ВОЛНЫ: ПАРАКСИАЛЬНЫЕ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ (ОБЗОР) Физика

Цена:

Авторы работы:

Научный журнал:

Год выхода:

Текст научной статьи на тему «ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ СВЕТОВЫЕ ВОЛНЫ: ПАРАКСИАЛЬНЫЕ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ (ОБЗОР)»

ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ, 2007, том 102, № 4, с. 661-681

ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ СВЕТОВЫЕ ВОЛНЫ: ПАРАКСИАЛЬНЫЕ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

© 2007 г. А. П. Киселев

Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова РАН,

191023 Санкт-Петербург, Россия E-mail: kiselev@pdmi.ras.ru Поступила в редакцию 22.05.2006 г.

В окончательной редакции 13.09.2006 г.

Систематизированы простые явные локализованные решения во всем пространстве линейного волнового уравнения, моделирующего в линейном приближении распространение оптического излучения. Много внимания уделено восходящим к работам Бейтмена точным решениям, описывающим волновые пучки (в том числе бессель-гауссовы) и волновые пакеты, обладающие гауссовой локализацией по пространственным переменным и времени. Приведены их асимптотики по свободным параметрам и на большом расстоянии. Прослежено сходство между этими точными решениями и гармоническими по времени полями, полученными в параксиальном приближении на основе метода параболического уравнения Леонтовича-Фока. При рассмотрении высших мод систематически использовано разделение переменных. Затронуты приложения бейтменовских решений волнового уравнения к построению решений уравнений с дисперсией и с нелинейностью, использование их в вейвлетном анализе, а также суммирование гауссовых пучков. Кроме того, рассмотрены локализующиеся на бесконечности «акустические пули» Мозеса-Проссера и их гармонические по времени аналоги, «Х-волны», «волны от комплексных источников» и др. Везде использован, по возможности, самый элементарный математический аппарат.

PACS: 02.60.Lj, 41.20.Jb, 03.50.De, 42.25.Bs

В 20-м веке возник интерес к теоретическому описанию локализованных в пространстве и времени волн в рамках как нелинейных, так и линейных подходов, резко возросший во второй половине века в связи с изобретением лазеров и особенно усилившийся в последнее время благодаря успехам в генерации ультракоротких импульсов (см., например [1]). Линейной теории (нелинейной мы почти не будем касаться) посвящена огромная и трудно обозримая литература, разнообразная по целям и методам. Настоящая работа посвящена систематизации основных результатов и методов построения простых локализованных решений однородного волнового уравнения во всем пространстве и изложению их, правда, с разной степенью подробности. Наиболее детально рассмотрены точные решения волнового уравнения, обобщающие решения Бейтмена, а также их параксиальные аналоги. Волновое уравнение интересно для оптики, поскольку, во-первых, ему удовлетворяют электромагнитные потенциалы для изотропной среды, а также декартовы компоненты электромагнитного поля. Во-вторых, для многих вопросов оптики вообще достаточно рассмотрения скалярной модели. Мы стараемся везде, где

возможно, отмечать наличие соответствующей теории для уравнений Максвелла.

Обзор почти полностью посвящен решениям во всем пространстве линейного волнового уравнения с постоянной скоростью, c = const,

Uxx + Uyy + Uzz — c Utt = 0, (1)

как точным, так и приближенным. Под локализацией понимается преимущественное распространение в одном направлении и быстрое убывание относительно некоторых переменных. Особенно много внимания будет уделено локализованным точным решениям бейтменовского типа и их параксиальным аналогам, которые имеют много общего, в частности, обладают гауссовой локализацией. Математическая часть теории локализованных решений бейтменовского типа для волнового уравнения, по-видимому, завершена, и сейчас пришло время сформулировать ее результаты в одном месте.

Локализованные решения в линейной теории были построены сперва приближенно, при условии параксиальности, в гармоническом по времени (по другой терминологии, монохроматическом) режиме. Они описывали пучки с гауссовым убыванием амплитуды при удалении от оси пучка.

С начала 1980-х годов начали появляться точные решения нестационарных уравнений, в которые время входило существенно негармоническим (полихроматическим) образом (например, 2). Среди этих решений, имеющих заметное сходство с приближенными параксиальными решениями, прежде всего гауссову локализацию по некоторым или по всем переменным, были как аналоги пучкообразных гармонических решений, так и решения, имеющие частицеподобный характер. Эти нестационарные решения восходят, в сущности, к Бейтмену, построившему в начале 20-го века класс решений с произвольной функцией [8, 9]. Исторически первые результаты такого рода, найденные независимо от работы Бейтмена, были вдохновлены параксиальным подходом. Поэтому так много внимания будет уделено сходству между параксиальными решениями и точными решениями бейтменовского типа. Рассматривая параксиальную теорию в части построения высших мод, систематическим образом будет использован метод разделения переменных. Вообще, мы будем стремиться ограничиться самыми элементарными математическими средствами. Математика, связанная с «фазой Бейтмена», допускает простое изложение. При выводе решения Бейтмена в настоящей работе встретится только один интеграл, и тот, в сущности, не необходим — совершенно элементарный вывод для более общего случая приведен в [6].

Мы кратко коснемся и других, не связанных с «фазой Бейтмена», решений уравнения (1) во всем пространстве. Это локализующиеся на бесконечности решения уравнения Гельмгольца и имеющие с ними сходство существенно нестационарные решения, известные как решения Мозе-са-Проссера, которые были названы «акустическими и электромагнитными пулями» («acoustic and electromagnetic bullets») [7]. Эти решения также содержат произвольные функции. Совсем коротко затрагиваются «до- и сверхсветовые Х-вол-ны» и разделение переменных в уравнении Гельмгольца, в том числе так называемые «волны от комплексных источников». Обсуждаются результаты применения основанного на решении Бейтмена подхода к уравнениям с дисперсией и нелинейностью. Речь идет о линейном и о специальном нелинейном уравнении Клейна-Гордона-Фока. Нелинейность и дисперсия будут затронуты здесь только в связи с применением метода, использующего «фазу Бейтмена».

Обсуждается также использование асимптотических и точных локализованных решений в математических целях — это родственные между собой метод суммирования гауссовых пучков и вей-влетный анализ. Последний упоминается из-за возможностей использования сильно локализованных решений волнового уравнения в качестве материнских вейвлетов [mother wavelets].

Автор не пытался процитировать всю литературу, касающуюся затронутых вопросов, или хотя бы большую ее часть, стараясь лишь охарактеризовать основные результаты и методы и в пределах своих знаний осветить их историю.

2. ОСЦИЛЛЯЦИЯ И ЛОКАЛИЗАЦИЯ -КАЧЕСТВЕННОЕ ОБСУЖДЕНИЕ1

Этот раздел не имеет прямой связи с явным построением локализованных решений. Здесь качественно обсуждается механизм локализации на умеренных расстояниях.

Одномерное волновое уравнение

имеет, как известно, даламберово (D’Alembertian) решение (см., например [10, 11])

где f (s) — произвольная функция одного переменного, которая описывает форму волны, бегущей со скоростью c вдоль оси z. Решение (2) может быть сколь угодно сильно локализовано по переменной s, например, финитно (т.е. f(s) может быть тождественным нулем вне фиксированного отрезка s1 t0 по-

1 Автор обсуждал материал этого раздела с М.И. Белише-

вым и А.С. Благовещенским.

лучается в результате интегрирования u(0) и u(1) по сфере с центром (x, y, z) и радиусом c |t — t01,

Здесь = Б(х, у, г, t — t0) — поверхность сферы

(X — х-)2 + (у — у’)2 + (г — г’)2 = с2^ — ^)2

в трехмерном пространстве с координатами (х’, у’, г), а ёБ’ = ёБ\х\ у’, г) — элемент ее поверхности. Решение (4) и его производную и в любой момент t = t1 > t0 можно снова рассматривать как данные Коши. Аналогично строится и решение (1) при t t0 + В/с поле сосредоточено в сферическом слое ширины В. Величина В, которую можно назвать продольной шириной, не меняется со временем.

Локализация распространения в направлениях, близких, скажем, к оси г в смысле финитности по угловым переменным, означала бы, что поле в расширяющемся сферическом слое равно нулю для направлений, которые достаточно отличаются от выбранного. Можно показать, однако, что если поле и равно нулю, даже только для достаточно больших времен, вне некоторого конуса х2 + у2 0, то и = 0 во всем пространстве для всех t2.

Итак, поле «распространяется во все стороны», и распространение может быть направленным лишь приближенно. Направленное распространение требует очень специфических начальных данных, и эта специфика должна все время воспроизводиться.

Возможный механизм локализации — быстрая осцилляция начальных данных в направлении распр

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Пoхожие научные работы по теме «Физика»

МАКОВ Ю.Н. — 2012 г.

КОУЗОВ Д.П. — 2007 г.

КИСЕЛЕВ А.П. — 2004 г.

ВЫСОТИНА Н.В., РОЗАНОВ Н.Н., СЕМЕНОВ В.Е., СМИРНОВ В.А., ФЕДОРОВ С.В. — 2004 г.