Волновое движение в физике — формулы и определение с примерами
Содержание:
Волновое движение:
Процесс распространения колебаний в упругой среде называют механической волной. Для механических волн нужна среда, обладающая способностью запасать кинетическую и потенциальную энергию, она должна обладать инертными и упругими свойствами.
Различают поперечные и продольные волны. Продольные волны могут распространяться в любых средах: твердых, жидких и газообразных; поперечные – только в твердых средах.
Как в поперечных, так и в продольных волнах переноса вещества в направлении распространения волны не происходит. Волны переносят энергию колебаний.
Изучив страницу, вы сможете:
- исследовать образование стоячих звуковых волн в воздухе;
- объяснять механизм образования стоячих волн, определять узлы и пучности, используя графический метод;
- исследовать интерференцию от двух источников на поверхности воды;
- объяснять принцип Гюйгенса и условия наблюдения дифракционной картины механических волн.
Уравнение бегущей волны
Колебательное движение тела в упругой среде является источником механической волны.
Волну, переносящую энергию, называют бегущей волной.
В однородной среде скорость распространения волны остается величиной постоянной. Смещение y (x, t) от положения равновесия частиц среды при распространении волны зависит от координаты x на оси 0х, вдоль которой распространяется волна, и от времени t по закону:
где 
Введем волновое число 
тогда уравнение бегущей волны примет вид 
Смещение точек упругой среды в волне, бегущей в противоположном направлении выбранной оси 0х, можно определить по формуле: 
Вспомните! Основные характеристики волн. Волны, созданные источником, совершающим гармонические колебания, характеризуются амплитудой колебания частиц среды A, частотой 
длиной волны 
и скоростью распространения 
Длиной волны называют расстояние между двумя соседними точками на оси 0х, колеблющимися в одинаковых фазах. Расстояние, равное длине волны , волна пробегает за период Т, следовательно, 
В однородных средах скорость распространения волны величина постоянная.
Физический смысл волнового числа
Запишем формулу (2), выразив циклическую частоту через период 
с учетом определения длины волны 
получим: 
Бегущая волна обладает двойной периодичностью – во времени и в пространстве. Временной период равен периоду колебаний T частиц среды, пространственный период равен длине волны 
Волновое число 
является пространственным аналогом циклической частоты 
Фронт волны и волновая поверхность
Волна за время, равное периоду колебаний, достигает точек пространства, расположенных от источника на расстоянии длины волны. Совокупность этих точек представляет собой фронт волны, который отделяет колеблющиеся точки среды от точек, не вовлеченных в колебательное движение. Фронт волны от точечного источника представляет собой сферу, от плоской пластины – плоскость, от струны – форму цилиндра (рис. 79–81).
Фронт волны – это геометрическое место точек пространства, до которых дошли колебания в данный момент времени t.
Направление распространения волны указывает луч, который перпендикулярен фронту волны.
В волне можно рассмотреть множество поверхностей, все точки которых совершают колебания синфазно, их называют волновыми поверхностями. При множестве волновых поверхностей, фронт волны только один.
Геометрическое место точек пространства, которые совершают колебания в одинаковой фазе в данный момент времени, называют волновой поверхностью.
Стоячие волны
Уравнение стоячей волны При отражении от более плотной среды волна, изменив свое направление на обратное, меняет фазу на 
то есть на противоположную. В результате сложения падающей и отраженной волн образуется стоячая волна. Она имеет вид, представленный на рисунке 83. В стоячей волне существуют неподвижные точки, которые называются узлами. Посередине между узлами находятся точки, которые колеблются с максимальной амплитудой. Эти точки называются пучностями.
Получим уравнение стоячей волны путем сложения уравнений бегущих волн: 
Заменив волновое число его значением 
запишем уравнение стоячей волны в виде: 
Координаты точек пучностей и узлов определяются из условий наибольшего и наименьшего значений амплитуды. При 
образуется пучность с амплитудой равной 2 А (рис. 84). Расстояния от источника стоячей волны до пучностей равны: 
При 
образуются узлы, амплитуда колебаний в этой точке равна 0. Расстояния от источника волны до узлов равны:
Расстояния между двумя соседними пучностями или двумя соседними узлами равны:
В стоячей волне нет потока энергии. Колебательная энергия, заключенная в отрезке струны между двумя соседними узлами, не переносится в другие части струны. В каждом таком отрезке происходит дважды за период превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно как в обычной колебательной системе. Отсутствие переноса энергии является отличительной особенностью стоячей волны.
Пример:
Уравнение бегущей волны, изображенной на рисунке (рис. 85): 
. Уравнение отраженной волны: 
А. Получите уравнение стоячей волны как сумму падающей и отраженной волн.
В. Полученное выражение запишите, заменив волновое число и циклическую частоту через длину волны и период.
С. Определите положение узлов и пучностей.
Дано:
Решение: А. Уравнение стоячей волны определятся сложением уравнений бегущих волн: 
В. 
С. При 
образуется пучность с амплитудой 2А. Расстояние от источника до пучностей 
С. Расстояние от узлов определим из условия 
тогда
Ответ: 
Интерференция волн
Если в некоторой среде несколько источников возбуждают механические волны, то они распространяются независимо друг от друга. Все точки среды принимают участие в колебаниях, вызванных каждой волной в отдельности. Наложение волн, в результате которой появляется устойчивая картина чередующихся максимумов и минимумов колебаний частиц среды, называют интерференцией.
Интерферировать могут только волны, имеющие одинаковую частоту и постоянный сдвиг фаз. Такие волны называют когерентными, их создают источники, колеблющиеся с одинаковой частотой и постоянным значением сдвига фаз.
Интерференция волн – взаимное увеличение или уменьшение результирующей амплитуды двух или нескольких когерентных волн при их наложении друг на друга.
Интерференция бывает стационарной и нестационарной. Стационарную интерференционную картину могут давать только когерентные волны: например, две сферические волны на поверхности воды, распространяющиеся от двух когерентных точечных источников (рис. 87).
Запомните! Волны называют когерентными, если их источники совершают колебания одной частоты с постоянным сдвигом фаз.
Условие максимума и минимума при интерференции двух волн
Амплитуда колебаний при наложении волн определяется в соответствии с принципом суперпозиции (рис. 88). Если в некоторой точке среды накладываются гребни когерентных волн, то происходит усиление колебаний, амплитуда принимает значение, равное сумме амплитуд. Если накладывается гребень одной волны с впадиной другой волны, то при равенстве амплитуд отдельно взятых волн данная точка пространства не совершает колебания. Если амплитуды отличаются, то колебания в этой точке совершаются с амплитудой равной разности амплитуд распространяющихся волн.
Для определения результата интерференции волн, распространяющихся от двух источников А и В, находящихся на расстоянии 
от точки С, достаточно определить разность хода волн и сравнить с длиной волны. Если разность хода равна целому числу длин волн, то в точке С произойдет наложение гребней или впадин, амплитуда колебаний возрастет (рис. 89). Выполняется условие максимума:
где 
− разность хода волн, 
– натуральное число, равное 0, 1, 2, 3 … Разность хода лучей соответствует разности фаз колебаний:
так как волна за период пробегает расстояние равное длине волны 
периоду Т соответствует фаза 
Минимум колебаний в рассматриваемой точке среды наблюдается в том случае, если от двух когерентных источников распространяются волны со сдвигом фаз, равным нечетному числу p, а разность хода лучей кратна нечетному числу полуволн. В этом случае колебания происходят в противофазе (рис. 90).
Возьмите на заметку:
Интерференция волн приводит к перераспределению энергии колебаний между частицами среды. Это не противоречит закону сохранения энергии, так как в среднем, для большой области пространства, энергия результирующей волны равна сумме энергий интерферирующих волн.
Распространение волн. Принцип Гюйгенса – Френеля
На основе принципа Х. Гюйгенса: каждая точка среды, до которой дошло возмущение, является источником вторичных волн, невозможно объяснить, почему источники вторичных волн создают фронт только по направлению распространения волны. Для объяснения явлений распространения волны французский физик О. Френель в 1815 г. дополнил принцип Х. Гюйгенса представлениями о когерентности и интерференции вторичных волн. При наложении вторичных когерентных волн происходит интерференция, в результате которой амплитуда колебаний в различных точках пространства становится разной: по направлению распространения волны усиливается, в обратном направлении – уменьшается. Огибающая фронты вторичных волн является фронтом результирующей волны (рис. 92).
Дифракция механических волн
Вторичные волны, созданные точками среды, которые находятся на краю отверстия или препятствия, искривляются и волна огибает препятствие (рис. 93 а–г).
Дифракция – это явление огибания волнами препятствий.
Все волны способны огибать препятствия, если длина волны соизмерима с размерами препятствия. Дифракция становится заметной, если размеры препятствия меньше длины волны.
Физика в нашей жизни:
Струнные музыкальные инструменты
Интересно знать! Адырна (рис. 96 а) – один из древнейших казахских струнных инструментов. В его форме отобразилась воинственность кочевников-казахов: он напоминает изогнутый лук воина. Деревянный корпус инструмента легкий, так как он пустотелый. Струны изготавливают из кусков специально выделанной кожи или сплетенных из верблюжьей шерсти нитей. Музыкант играет, перебирая струны. Их в инструменте 13. Жетыген (рис. 96 б) – семиструнный музыкальный инструмент. Он имеет прямоугольную форму, изготовлен из дерева, струны – из конского волоса. Легенда о жетыгене раскрывает причину использования именно семи струн. Старик, потерявший семерых сыновей, вылил свое горе, исполняя кюи о них. Вспоминая каждого из сыновей, он натягивал новую струну на музыкальном инструменте.
Условие возникновения стоячей волны в струне
Стоячая волна в струне возникает только в том случае, если длина 
струны равняется целому числу длин полуволн: 
Набору значений 
длин волн соответствует набор возможных частот 
Каждая из частот 
и связанный с ней тип колебания струны называется нормальной модой. Наименьшая частота называется основной частотой, все остальные частоты называются гармониками.
В отличие от груза на пружине или маятника, у которых имеется единственная собственная частота, струна обладает бесконечным числом собственных резонансных частот. На рисунке 96 в изображены несколько типов стоячих волн в струне. Стоячие волны различных типов могут одновременно присутствовать в колебаниях струны.
Визуализация звуковых волн
Существует несколько способов демонстрации стоячей волны, один из них – фигуры Хладни (рис. 97). Немецкий физик Эрнст Хладни получал узор, посыпая пластинку песком и проводя по краю смычком. Движения смычка заставляли пластинку колебаться на некоторой резонансной частоте. Песок скапливался и лежал неподвижно в узлах, а на участках, где отраженная волна усиливала бегущую, песок смещался.
Интересно знать! В Шотландии есть рослинская капелла св. Матвея, на одной из арок которой есть 213 резных каменных кубов, с вырезанным на них геометрическим рисунком. Многие исследователи пытались понять, что зашифровано в рисунках на кубах. Отставной генерал ВВС Томас Митчел со своим сыном, пианистом Стюартом Митчелом предложили оригинальный способ расшифровки послания. Они сопоставили геометрические рисунки с фигурами Хладни и пришли к выводу, что на кубах записаны ноты. Собрав ноты воедино и творчески обработав их, они представили миру произведение «Рослинский Мотет».
Итоги:
Глоссарий
Волновая поверхность – геометрическое место точек, имеющих одинаковую фазу колебаний.
Дифракция – явление огибания волнами препятствий.
Интерференция волн – взаимное увеличение или уменьшение результирующей амплитуды двух или нескольких когерентных волн при их наложении друг на друга.
Когерентные волны – волны, имеющие одинаковую частоту и постоянный сдвиг фаз.
Механическая волна – процесс распространения колебаний в упругой среде.
Фронт волны – геометрическое место точек пространства, до которых дошли колебания в данный момент времени t.
Распространение колебаний в упругих средах. Продольные и поперечные волны
Опыт показывает, что колебания, возбужденные в какой-либо точке упругой среды, с течением времени передаются в ее другие точки. В качестве примера достаточно вспомнить, что измерение пульса осуществляется на запястье, хотя сердце расположено внутри грудной клетки. Такие явления связаны с распространением механических волн.
Механической волной называется процесс распространения колебаний в упругой среде, который сопровождается передачей энергии от одной точки среды к другой.
Механические волны не могут распространяться в вакууме.
Источником механических волн является колеблющееся тело. Если источник колеблется синусоидально, то и волна в упругой среде будет иметь форму синусоиды. Колебания, вызванные в каком-либо месте упругой среды, распространяются в ней с определенной скоростью, зависящей от плотности и упругих свойств среды.
Подчеркнем, что при распространении волны отсутствует перенос вещества, т. е. частицы колеблются вблизи положений равновесия. Среднее смещение частиц за большой промежуток времени равно нулю.
Рассмотрим основные характеристики волны.
Волновой фронт — это воображаемая поверхность, до которой дошло волновое возмущение в данный момент времени.
Линия, проведенная перпендикулярно волновому фронту в направлении распространения волны, называется лучом. Луч указывает направление распространения волны.
Основными характеристиками волны являются (рис. 208):
- амплитуда (A) — модуль максимального смещения точек среды из положений равновесия при колебаниях;
- период (T) — время полного колебания (период колебаний точек среды равен периоду колебаний источника волны);
- частота
— число полных колебаний в данной точке в единицу времени. Частота волн определяется частотой источника; - скорость— скорость перемещения гребня волны (это не скорость частиц!):
- длина волны— наименьшее расстояние между двумя точками, колебания в которых происходят в одинаковой фазе, т. е. это расстояние, на которое волна распространяется за промежуток времени, равный периоду колебаний источника
— число полных колебаний в данной точке в единицу времени. Частота волн определяется частотой источника;
— скорость перемещения гребня волны (это не скорость частиц!):
— наименьшее расстояние между двумя точками, колебания в которых происходят в одинаковой фазе, т. е. это расстояние, на которое волна распространяется за промежуток времени, равный периоду колебаний источника 
Рассмотрим колебания источника волны, происходящие с циклической частотой 
и амплитудой А: 
где x(t) — смещение источника от положения равновесия.
В некоторую точку среды колебания придут не мгновенно, а через промежуток времени, определяемый скоростью волны и расстоянием от источника до точки наблюдения. Если скорость волны в данной среде равна v, то зависимость от времени t координаты (смещения) х колеблющейся точки, находящейся на расстоянии r от источника, описывается функцией 
где k — волновое число 
фаза волны.
Выражение х(t, r) называется уравнением плоской волны, распространяющейся (бегущей) вдоль направления радиус-вектора 
Бегущую волну можно наблюдать, проведя следующий опыт: если один конец резинового шнура, лежащего на гладком горизонтальном столе, закрепить и, слегка натянув шнур рукой, привести его второй конец в колебательное движение в направлении, перпендикулярном шнуру, то по нему побежит волна, описываемая уравнением плоской волны.
Рассмотрим классификацию бегущих волн по направлению колебаний частиц среды, в которой они распространяются.
Волна называется продольной, если колебания частиц среды происходят вдоль направления распространения волн. Продольную волну легко получить с помощью длинной пружины, которая лежит на гладкой горизонтальной поверхности и один конец ее закреплен. Легким ударом по свободному концу В пружины мы вызовем появление волны (рис. 209).
При этом каждый виток пружины будет колебаться вдоль направления распространения волны ВС. Примерами продольных волн являются звуковые волны в воздухе и жидкости.
Волна называется поперечной, если частицы среды колеблются в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. С помощью длинной пружины можно продемонстрировать распространение поперечных волн, если совершать колебания незакрепленного конца перпендикулярно пружине (рис. 210).
Поперечные волны вызывают звучание струн музыкальных инструментов при их возбуждении.
Продольные колебания симметричны относительно линии распространения ВС, и их действие на любой регистрирующий прибор не изменяется, если прибор будет поворачиваться вокруг направления распространения.
Действие поперечных волн на регистрирующий прибор зависит от того, в какой плоскости, проходящей через линию распространения, происходит колебание. Эта особенность поперечных волн носит название поляризации. Если колебания происходят в одной плоскости, то волну называют плоско или линейно поляризованной. Если конец вектора колебаний, например вектора смещения, скорости, напряженности электрического поля, описывает эллипс или окружность, то волну называют эллиптически или циркулярно-поляризованной.
До сих пор мы рассматривали волны, распространяющиеся в какой-либо среде. Волны, которые распространяются на границе раздела двух сред, называются поверхностными волнами. Примером данного типа волн служат волны на поверхности воды.
Звуковые волны. Скорость звука. Ультразвук
Звуком называются колебания среды, воспринимаемые органами слуха.
Раздел физики, в котором изучаются звуковые явления, называется акустикой.
Звуковая волна — упругая продольная волна, представляющая собой зоны сжатия и разрежения упругой среды (например, воздуха), распространяющиеся в пространстве с течением времени. Таким образом, в процессе распространения звуковой волны меняются такие характеристики среды, как давление и плотность.
Звуковые волны классифицируются по частоте следующим образом:
- инфразвук
- слышимый человеком звук
- ультразвук
- гиперзвук
Многие животные могут воспринимать ультразвуковые частоты. Например, собаки могут слышать звуки до 50 000 Гц, а летучие мыши — до 100 000 Гц. Инфразвук, распространяясь в воде на сотни километров, помогает китам и многим другим морским животным ориентироваться в толще воды.
Звуковые волны приносят человеку жизненно важную информацию — с их помощью мы общаемся, наслаждаемся мелодиями, узнаем по голосу знакомых людей. Мир окружающих нас звуков разнообразен и сложен, однако мы достаточно легко ориентируемся в нем и безошибочно можем отличить пение птиц от шума городской улицы.
Одной из важнейших характеристик звуковых волн является спектр. Спектром называется набор различных частот, образующих данный звуковой сигнал. Спектр может быть сплошным или дискретным.
В сплошном спектре присутствуют волны, частоты которых заполняют весь заданный спектральный диапазон.
В
дискретном спектре — конечное число волн с определенными частотами и амплитудами, которые образуют рассматриваемый сигнал.
По типу спектра звуки разделяются на шумы и музыкальные тона.
Шум — совокупность множества разнообразных кратковременных звуков (хруст, шелест, шорох, стук и т.п.) — представляет собой наложение большого числа колебаний с близкими амплитудами, но различными частотами (имеет сплошной спектр).
Музыкальный тон создается периодическими колебаниями звучащего тела (камертон, струна) и представляет собой гармоническое колебание одной частоты. На основе музыкальных тонов создана музыкальная азбука — ноты (до, ре, ми, фа, соль, ля, си), которые позволяют воспроизводить одну и ту же мелодию па различных музыкальных инструментах.
Музыкальный звук (созвучие) — результат наложения нескольких одновременно звучащих музыкальных тонов, из которых можно выделить
основной тон, соответствующий наименьшей частоте. Основной тон называется также первой гармоникой. Все остальные тоны называются обертонами. Обертоны называются гармоническими, если частоты обертонов кратны частоте основного тона. Таким образом, музыкальный звук имеет дискретный спектр.
Любой звук, помимо частоты, характеризуется интенсивностью.
Интенсивность I — это энергия 
переносимая волной в единицу времени 
= 1 с через единичную площадку площадью 
расположенную перпендикулярно к направлению распространения волны: 
Другими словами, интенсивность любой волны — мощность, переносимая волной через единичную площадку, расположенную перпендикулярно к направлению распространения волны.
Единицей интенсивности в СИ является ватт на метр в квадрате 
Чтобы вызвать звуковые ощущения, волна должна обладать некоторой минимальной интенсивностью, называемой порогом слышимости.
С возрастом порог слышимости человека возрастает.
Интенсивность звуковых волн, при которой возникает ощущение боли, называют порогом болевого ощущения или болевым порогом. Интенсивность звука, улавливаемого ухом человека, лежит в широких пределах: от 
(порог слышимости) до 
(порог болевого ощущения). Человек может слышать и более интенсивные звуки, но при этом он будет испытывать боль.
Реактивный самолет может создать звук интенсивностью 
мощные усилители на концерте в закрытом помещении — до 
поезд метро — около 
Уровни интенсивности звука L определяют обычно, используя шкалу, единицей которой является бел (Б) или, что гораздо чаще, децибел (дБ) (одна десятая бела). 1 Б самый слабый звук, который воспринимает наше ухо. Единица названа в честь изобретателя телефона А. Г. Белла. Измерение уровня интенсивности в децибелах проще, поэтому принято в физике и технике.
Уровень интенсивности L любого звука в децибелах вычисляется через интенсивность звука по формуле
где I — интенсивность данного звука, 
— интенсивность 
соответствующая минимально возможной интенсивности звука, улавливаемого ухом человека.
Так, поезд метро создает уровень интенсивности звука 100 дБ, мощные усилители — 120 дБ, а реактивный самолет — 150 дБ. Тем, кто при работе подвергается воздействию шума свыше 100 дБ, следует пользоваться наушниками.
Физическим характеристикам звука соответствуют определенные (субъективные) характеристики, связанные с восприятием его конкретным человеком. Это связано с тем, что восприятие звука — процесс не только
физический, но и физиологический. Действительно, человеческое ухо воспринимает звуковые колебания определенных частот и интенсивностей (это объективные, не зависящие от человека характеристики звука) по-разному, в зависимости от «характеристик приемника» (здесь влияют субъективные индивидуальные черты каждого человека).
Основными физиологическими характеристиками звука являются громкость, высота и тембр.
Громкость (степень слышимости звука) определяется как интенсивностью звука (амплитудой колебаний в звуковой волне), так и различной чувствительностью человеческого уха на разных частотах, т. е. его способностью улавливать звуки различных частот. Наибольшей чувствительностью человеческое ухо обладает в диапазоне частот от 1000 Гц до
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Уравнение бегущей волны. Волновое уравнение
Лекция 6. Механические волновые процессы
План лекции
6.1. Возникновение волны. Продольные и поперечные волны.
6.2. Уравнение бегущей волны. Волновое уравнение.
6.3. Фазовая и групповая скорости.
6.4. Волны в упругих средах.
6.5. Звук и его характеристики.
6.6. Элементы акустики и их значение в строительстве.
6.7. Использование энергии упругих волн в строительстве.
Возникновение волны. Продольные и поперечные волны
Если в среде колеблется частица, то она приводит в колебание соседние частицы. Процесс распространения колебаний называется волной. Направление распространения колебаний называется лучом. В зависимости от направления колебаний частиц относительно луча различают волны продольные и поперечные. Если колебания происходят вдоль луча, то волна продольная, а если колебания перпендикулярны лучу — волна поперечная. Продольные волны распространяются в средах, в которых возникают упругие силы при деформациях растяжения – сжатия (разрежения – уплотнения), то есть в твердых, жидких и газообразных телах. Поперечные волны распространяются в средах, в которых возникают упругие силы при деформациях сдвига, т.е. в твердых телах. Таким образом в жидкостях и газах возникают только продольные волны, а в твердых телах – как продольные, так и поперечные.
Поверхность, до которой дошли колебания частиц к моменту времени t, называется фронтом волны. Совокупность точек (частиц), колеблющихся в одинаковых фазах, образует волновую поверхность. Если фронт волны плоский, волна называется плоской. Если фронт волны представляет собой поверхность шара, волна называется сферической. Так волна, распространяющаяся от точечного источника в однородной среде, будет сферической.
При волновом процессе точка среды совершает колебания относительно положения равновесия и почти не имеет поступательного перемещения вдоль луча. От источника поступательно перемещаются фаза и энергия колебаний. Соответственно скорость перемещения фазы – фазовая скорость, перенос энергии – групповая скорость.
Уравнение бегущей волны. Волновое уравнение
Уравнение бегущей волны выражает зависимость смещения колеблющейся частицы от координаты и времени.
Рассмотрим вывод уравнения плоской синусоидальной волны. Пусть упругая волна распространяется вдоль оси x. Если ξ(x,t)= Asinωt будет уравнением колебания точки (частицы), то такие же колебания частицы, отстоящей от источника на расстоянии x, произойдут позже, то есть с опозданием на время x/υ. Точка (частица) на расстоянии x будет иметь такое смещение в момент времени t , как и начальная точка в момент (t -x/υ). Тогда уравнение колебаний частиц, колеблющихся в плоскости XOY, или уравнение плоской бегущей волны будет:
Если фазовая скорость имеет обратное направление (-υ), то есть волна распространяется в обратном направлении, то
Без учета поглощения энергии в общем случае уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси OX, будет:
где A — амплитуда волны,
φ0— начальная фаза колебаний, определяемая выбором начала отсчета x и t ;
[ω(t ± x/υ) + φ0] — фаза плоской волны.
Введем в уравнения (6.1) и (6.2) волновое число:
(6.3)
где λ — длина волны;
T — период колебаний;
ω — циклическая частота.
Обобщив (6.1), (6.2) и (6.3), перепишем уравнение плоской бегущей волны в виде:
Направление волны зависит от знака (+) или (-) перед kx.. .
Аналогично можно показать, что уравнение сферической синусоидальной волны (её волновые поверхности имеют вид концентрических сфер) записывается так:
ξ(r,t) = 
sin(ωt ± kr + φ0), (6.5)
где 
— амплитуда волны,
a0 — физическая величина, численно равная амплитуде на единичном расстоянии от центра волны.
Из (6.5) видно, что амплитуда колебаний сферической синусоидальной волны не остается постоянной, а убывает с расстоянием r от источника по закону 1/r .
Существуют и другие формы записи синусоидальной плоской и сферической волны 1 .
 |
1 Основываясь на формуле Эйлера, уравнения этих волн в экспоненциальной форме можно записать так:
— плоская волна;
— сферическая волна.
Уравнение волны (6.4) – одно из возможных решений общего дифференциального уравнения с частными производными, описывающее процесс распространения возмущения в среде. Такое уравнение называется волновым. Его можно получить продифференцировав (6.4) по два раза, сначала по t, а затем по x:
Сравнивая эти уравнения получим волновое уравнение для плоской волны, распространяющейся вдоль оси OX:
Волновое уравнение в общем случае:
— оператор Лапласа.
Дата добавления: 2015-10-26 ; просмотров: 4004 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
Физика волновых процессов
ФИЗИКА ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ
1. Волновое уравнение. Гармонические волны. Уравнение Гельмгольца. Фазовый фронт, фазовая скорость, длина волны. Стоячие волны. Неоднородные плоские волны. Цилиндрические и сферические волны.
2. Плоские электромагнитные волны в поглощающей среде. Глубина проникновения. Поток мощности. Скорость волны. Поверхностный импеданс металлов. Скин-слой.
3. Дисперсия волн. Волновой пакет. Фазовая и групповая скорости. Нормальная и аномальная дисперсии. Дисперсионное уравнение.
4. Прохождение плоской волны через границу раздела двух сред. Коэффициенты Френеля. Явление полного внутреннего отражения. Угол Брюстера. Приближенные граничные условия Леонтовича.
5. Плоские электромагнитные волны в анизотропных средах. Продольное и поперечное распространение в намагниченной плазме. Обыкновенная и необыкновенная волны. Эффекты Фарадея и Коттона-Мутона.
6. Излучение волн. Ближняя и дальняя зоны. Диаграмма направленности линейного излучателя. Понятие области мнимых углов. Излучение волн плоским раскрывом.
7. Электромагнитные волны в направляющих системах. ТЕ, ТМ и ТЕМ волны. Критическая частота. Длина волны в направляющей системе. Волновое сопротивление линии передачи.
8. Приближение геометрической оптики. Уравнение эйконала. Световые лучи. Область применимости лучевого приближения. Принцип Ферма. Рефракция.
Волновое уравнение. Гармонические волны. Уравнение Гельмгольца. Фазовый фронт, фазовая скорость, длина волны. Стоячие волны. Неоднородные плоские волны. Цилиндрические и сферические волны.
Зададим некоторое возмущение, распространяющееся в пространстве, в виде U=U(at–bs), где t – текущее время; s – пространственная координата, вдоль которой распространяется возмущение, и продифференцируем 2 раза по t и 2 раза по s:
(1) 
(2)
сравнивая (1) и (2) и учитывая, что 
, где v – скорость распространения возмущения, убеждаемся, что U(s,t) удовлетворяет однородному дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка гиперболического типа (уравнению Даламбера), которое принято называть волновым уравнением:
(1-я каноническая форма).
Перейдя к характеристическим переменным 
, можем записать уравнение в виде 
(2-я каноническая форма). Эти уравнения описывают распространение возмущения в пространстве в виде свободных волн. Интегрируя последнее уравнение, находим решение в виде суперпозиции двух волн: 
, первая из которых является уходящей, а вторая – приходящей. Волны, соответствующие решению однородного волнового уравнения, называются свободными волнами.
Здесь предполагается, что U изменяется только в одном направлении s, задаваемом единичным вектором m, тогда s = (mr) (r – радиус-вектор точки наблюдения). В некоторый момент времени t=to U() = const, если s = const. Т. к. (mr) = const – уравнение плоскости, то 
представляет собой плоскую волну, бегущую в направлении m. Аргумент определяет фазу волны. Плоскость, на которой фаза постоянна (фазовый фронт, поверхность равных фаз) перемещается в пространстве со скоростью v (фазовая скорость).
Если 
, то функция U может быть представлена в виде интеграла Фурье 
(образ). Подставив U(s,t) в волновое уравнение, видим что она будет решением, если ее образ F(s,) удовлетворяет уравнению 
(приведенное волновое уравнение или уравнение Гельмгольца). Это уравнение описывает распространение гармонических свободных волн. Величина 
определяет пространственную периодичность функции F и называется волновым числом. Решение уравнения Гельмгольца 
представляет суперпозицию двух гармонических волн c амплитудами A1, A2 и фазами (wt+j–ks), (wt+y+ks), бегущих навстречу друг другу. Расстояние, которое гармоническая волна пробегает за период колебаний Т, или расстояние между точками с одинаковой фазой колебаний называется длина волны l. Тогда k=
. Пусть начальные фазы j и y равны нулю. При А2= 0 имеем уходящую бегущую гармоническую волну 
, а при А1=0 – приходящую бегущую гармоническую волну 
. Если А1=А2=А, то 
, т. е. решение представляет собой синфазное гармоническое колебание, амплитуда которого имеет периодическую пространственную зависимость с периодичностью l/2. Такую ситуацию называют стоячая волна. Точки, в которых F(s) имеет максимум или минимум называют, соответственно, пучностями и узлами стоячей волны. Расстояние между соседними узлами (или пучностями) называется длиной стоячей волны lст = l/2.
Если волна распространяется в направлении единичного вектора m, можем ввести вектор k = km (волновой вектор), тогда ks = (kr), и поверхность равных фаз ks = const определяется уравнением плоскости (kr) = const, нормальной к направлению распространения волны. Если k – вещественный вектор, то А=const всюду. Такая волна называется однородной плоской волной.
Функция F удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца и в том случае, если
k=k+ik но при условии, что |k|2 = k2 – вещественно, т. е. (kk) = 0, а |k|2–|k|2 = k2. В этом случае решение 
описывает неоднородную плоскую гармоническую волну, у которой поверхность равных фаз и поверхность равных амплитуд – плоскости, ортогональные друг другу, а скорость меньше, чем у однородной волны с той же частотой и в той же среде.
Для произвольной зависимости от координат однородное волновое уравнение имеет следующий вид 
. Чтобы плоская волна распространялась в направлении оси х (в прямоугольной системе координат), должно выполняться 
, т. е. источником плоской волны является бесконечная плоскость y0z.
В цилиндрических координатах 
. Если возмущение исходит от бесконечного цилиндра, то 
, и волновое уравнение имеет вид 
. После несложных преобразований его можно привести к виду: 
. При больших значениях r имеем 
. Решением этого уравнения является 
откуда следует, что поверхность равных фаз – цилиндр, а амплитуда волны убывает пропорционально 
. Такая волна называется цилиндрической.
В сферических координатах 
. При точечном источнике 
волновое уравнение можно представить в виде: 
. Его решение – 
. В этом случае поверхность равных фаз – сфера, и амплитуда уходящей волны убывает как 
. Такая волна называется сферической.
1. , , Сухоруков волн. — М.: Наука, 1979.
2. Вайнштейн волны. — М.: Радио и связь, 1988.
Плоские электромагнитные волны в поглощающей среде. Скорость волны. Глубина проникновения. Поверхностный импеданс металлов. Скин-слой. Поток мощности.
В средах с потерями (s ¹ 0) имеем: [ÑH] = iweE+sE = iw (e — is /w)E = iw
E, где
=
—
=
— is /w = =e (1-itgd), tgd =s /we — тангенс угла электрических потерь. e = e0eотн,; m=m0mотн ;. (eотн=10-9/36p [Ф/м],
mотн= 4p10-7[Гн/м] ). Пусть в такой среде вдоль оси z распространяется плоская гармоническая волна, удовлетворяющая уравнениям: 
, где волновое число 
= w 
оказывается комплексной величиной: =w
= b — ia.. Из соотношения w 2m (1–itgd) = (b – ia)2, находим: 
, 
. Решение для уходящей волны: Ex=E0 e–a ze–ib z, Hy=
e–aze–ib z
Здесь: a – коэффициент затухания, b – коэффициент фазы, Zo – волновое сопротивление среды
, 
, ( 0£d/2
Таким образом, в поглощающей среде амплитуда уходящей волны убывает по экспоненциальному закону,
уменьшаясь в e раз на расстоянии d=1/a, которое называется глубина проникновения (скин-слой), длина волны l=2p/b и фазовая скорость vф=w /b уменьшаются по сравнению с непоглощающей средой, в среде с электрическими потерями Ну отстает по фазе от Еx на величину d /2 (в среде с магнитными потерями, когда комплексной величиной является m , Ну опережает Еx), поверхность равных фаз совпадает с поверхностью равных амплитуд. Для сред с tg d >>1 (металлы) 
, d®p/2, v =
,
, ZS= 
– поверхностный импеданс металла. На границе с хорошо проводящей средой используются приближенные граничные условия: [En] = ZS[n[nH]] — граничные условия Леонтовича.
В среде с потерями поток мощности через единицу поверхности П=[EH*] становится комплексным.
Мгновенное значение Пz равно
Пz=
cos(w t-b z)cos(w t-b z —d/2) = 
[cos2(wt-bz)cos(d/2) + 0.5sin2(w t-b z)sin(d/2)]. Первое слагаемое определяет пульсирующий поток, т. е. мощность, переносимую волной, второе – колеблющийся с удвоенной частотой поток мощности, среднее за период значение которого равно нулю (часть периода поток мощности направлен в обратную сторону). Скорость переноса энергии определяется отношением среднего за период потока мощности к средней плотности энергии vэ = Пср/Wср. В плоской свободной волне запас электрической энергии равен запасу магнитной энергии Wэ = Wм, следовательно Wср= 0,5 Re(Wэ+ Wм) = Re(|
|
e—id +
) = ||
(cos d+1)=||
cos2 (d/2). Пср=0.5Re(
e—id/2)= =
cos d/2 . Таким образом, vэ = 1/
cos (d/2), т. е. при наличии потерь скорость переноса энергии становится меньше.
 |
– фазовая скорость (скорость перемещения фазового фронта). Если b(w), то vф(w), причем может быть vф > c. Означает ли это, что можно передать информацию со скоростью, превышающей скорость света с ?
. Каждой составляющей спектра соответствует плоская гармоническая волна, следовательно в точке z > 0 имеем: 
. Если b=b(w), можем перейти к пространственному спектру, т. е. dw®db, тогда 
. Выделим вблизи максимума огибающей спектра с частотой wо участок спектра 2Dw = w1 — w2. Пусть Dw vф (vф
совпадают по направлению – дисперсия положительная, Если 
). Чтобы гармоническая волна сохраняла форму при любой частоте, необходимо, чтобы в числе решений было решение вида: p = eiw t ± i (kr). Пусть Â переводит р в некоторую функцию q: Â( p) = q. Если qº0, то p – свободная волна в данной среде. Продифференцируем по t, учитывая линейность и однородность Â: 
, т. е. 
, где комплексная амплитуда 
не зависит от t, но может зависеть от w. Подставив p и q в уравнение Â( p) = q, получим уравнение, не зависящее от t, и содержащее w как параметр. Если продифференцировать по координатам, получим: Ñq=ÑÂ(p)=Â(±ikp)= ±ikÂ(p)= ±ikq, т. е. Ñq=±ikq, следовательно, можно представить q в виде: q=f(w,k)eiw t ± i(kr), где f(w,k) кроме w и k может зависеть только от коэффициентов оператора. При произвольных w и k p = eiw t ± i (kr) не свободная волна, т. к. не является решением уравнения Â( p) = 0. Чтобы определить, какие свободные волны могут распространяться (имеют право на существование) в данной среде, необходимо выбрать такие w и k, чтобы 
. Это уравнение называют дисперсионным уравнением. Каждому значению w соответствует решение этого уравнения относительно k, и каждому k – относительно w. Для изотропной среды это уравнение содержит только |k| и его можно привести к виду 
– дисперсионное уравнение для данной среды.
. Ищем волну в виде: j = еiw t – i k x – k z. Получаем дисперсионное уравнение: 
. Отсюда vф= g /w, т. е. vф зависит от w, следовательно, существует нормальная дисперсия (vф
, где G – коэффициент изгибной жесткости. Ищем решение в виде: еiw t – i k x, получаем дисперсионное уравнение 
, откуда 
, т. е. имеется аномальная дисперсия (vф
q – угол падения, q¢– угол отражения,
exp[-ik1(-ycosq+zsinq)],
exp[-k1(ycosq¢+zsinq¢)].
exp[-ik2(ycosy+zsiny)].
откуда 
, 
,
, 
,Компоненты поля в первой и во второй средах имеют вид:
2. Параллельно поляризованная волна
Поле падающей волны:
компоненты поля отраженной волны:
компоненты поля преломленной волны:
Н2х=Нпрexp[-ik2(ycosy+zsiny)], Е2= НпрZ02exp[-ik2(ycosy+zsiny)].
На границе раздела (у=0) для любых z должно выполняться
Нпадexp(-ik1zsinq) + Нотрexp(-ik1zsinq¢) = Нпрexp(-ik2zsiny),
Откуда следуют законы Снелиуса: sinq = sinq¢ и k1sinq = k2siny.
Учитывая Еt1= (НпадZ01+ НотрZ01)cosq и Еt2= НпрZ02cosy, запишем граничные условия для параллельно поляризованной волны в виде:
откуда 
, 
,
где Rêê и Têê – коэффициенты Френеля для параллельно поляризованной волны. (Rêê – коэффициент отражения, Têê – коэффициент прохождения). R2êê + T2êê= 1.
, 
,
Компоненты поля в первой и во второй средах имеют вид:
Для диэлектриков m1= m2= m0, и коэффициенты Френеля можно записать в виде:
,
где 
– показатели преломления первой и второй среды, соответственно.
Анализ этих выражений показывает, что для параллельно поляризованной волны существует угол падения qБ = p/2 – y, при котором R||=0. Этот угол, определяемый из соотношения tgqБ=
, называется угол Брюстера или угол полной поляризации, т. к. при падении под углом qБ на границу раздела волны с произвольной поляризацией отраженная волна становится нормально поляризованной, т. е. имеет линейную поляризацию.
Из закона Снелиуса sin y = 
следует, что в случае n1>n2 (волна надает из более плотной среды) существует критический угол падения qкр, при котором siny =1. Если q >qкр, то siny >1 (это возможно, если y мнимая величина), и cosy = 
также становится мнимой величиной. В этом случае поле во второй среде имеет характер неоднородной плоской волны (боковой волны), скорость которой меньше скорости света, амплитуда в направлении нормали к границе раздела убывает по закону 
, т. е. вдали от границы раздела поле отсутствует, энергия переносится вдоль границы. Это явление называется полным внутренним отражением.
При падении волны из свободного пространства на границу раздела с хорошо проводящей средой, у которой tgd>>1, siny Þ 1, т. е. тангенциальные компоненты поля на поверхности проводника непрерывно переходят в поперечные компоненты поля уходящей вглубь проводника волны. Соотношение между ними можно записать в виде Еt=Zos[Htyo], где Zos – поверхностный импеданс проводящей среды, yo – орт нормали к границе раздела. Это импедансное граничное условие называют приближенным граничным условием Леонтовича.
1. , Зернов поля и волны. — М.: Сов. радио, 1971.
2. , Никольская и распространение радиоволн. М. Наука, 1989
Волны в анизотропных средах
Для изотропных сред, свойства которых не зависят от направления, B = mH и D = eE, где e и m — скалярные величины, следовательно: Bx= mHx, By=mHy, Bz=mHz, Dx= eEx, Dy=eEy, Dy=eEy. Существуют анизотропные среды, которые в разных направлениях имеют различные свойства, т. е. связь между проекциями векторов B и H или D и E описывается соотношениями
Bx= mxxHx+ mxyHy + mxzHz, By= myxHx+ myyHy + myzHz, Bz= mzxHx+ mzyHy + mzzHz, .
Dx= exxEx+ exyEy + exzEz, Dy= eyxEx+ eyyEy + eyzEz, Dz= ezxEx+ ezyEy + ezzEz, .
Формально эту связь принято представлять в виде 
и 
, где 
и 
являются тензорами диэлектрической и магнитной проницаемости, соответственно:
В природе неизвестны вещества, у которых одновременно e и m имеют тензорный характер, поэтому в дальнейшем будем рассматривать вещества, обладающие или диэлектрической или магнитной анизотропией.
Типичными представителями анизотропных сред являются намагниченные плазма и феррит.
Плазма — электрически нейтральный газ, в котором значительная часть атомов или молекул ионизирована
Под действием электрического поля на каждый электрон действует сила Fk= –Eeo (кулоновское взаимодействие). Если движущийся со скоростью v электрон находится в постоянном магнитном поле Н=, на него действует сила Лоренца Fл = –eomo[vH=], вследствие чего электрон получает также вращательное движение. В этом случае уравнение движения электрона имеет вид: 
, где r – смещение электрона относительно исходного положения, mо и eо – масса и заряд электрона. При смещении электрон приобретает электрический момент p = reo. Пусть H== zoH= и E=Eeiwt. Решение ищем в виде r = reiwt. Если N – концентрация электронов, то электрический момент единицы объема (вектор электрической поляризации) Ре=Nreo. Тогда уравнение движения для единицы объема (без учета столкновения электронов): –w2moPe=NeoE–iweomoH=[Pezo]. Обозначив wm= moeoH=/mo – частота гиромагнитного резонанса (частота вращения электрона) и wo = eo2N ¤ mo eo – критическая частота плазмы, имеем 
. Учитывая, что D=Pe+eoE, получаем: 
, где 
, 
, 
. При изменении направления Нz меняется знак b.
Продольное распространение плоской волны в намагниченной плазме
При продольном распространении (вдоль H=) 
. Решение ищем в виде плоских гармонических волн: Ez=Hz=0, Ex, y=E0x, y e–ikz, Hx, y=
e–ikz. Подставляя в уравнения Максвелла [ÑH]=iwE, [ÑE]=–iwmH, имеем систему уравнений:
–ik
= –iw(exE0x–ibE0y) , kE0y= wm
,. из второй пары уравнений k=wm /Z01, k=wm /Z02.
ik
= iw(ibE0x+exE0x), kE0x= wm 
Подставляя в первую пару, получаем
(k2–w2exmo)E0x= –iw2bmoE0y откуда следует Е0y= iE0x и дисперсионное уравнение:
(k2–w2exmo)E0y= iw2bmoE0x, (k2–w2exmo) = ±w2bmo или k1,2 = w
, Z01,2=
.
Таким образом, получили два решения, следовательно в намагниченной плазме одновременно распространяются две волны с волновыми числами k1=w 
и k2=w
, имеющие разные волновые сопротивления Z01 = 
и Z02 =
:
Ex1=E01cos(wt–k1z) волна круговой Ex2=E02cos(wt–k2z) волна правого вращения,
Ey1=E01sin(wt–k1z) поляризации левого Ex2=E02sin(wt–k2z) при ex=b, k2 Þ 0, поэтому ее
Hx1= – 
sin(wt–k1z) вращения H02= 
sin(wt–k2z) называют необыкновенная волна.
Hy1= –cos(wt–k1z) k1=ko 
Hy2= 
cos(wt–k2z) k2=ko
Необыкновенная волна при w Þ wm исчезает вследствие резонансного поглощения (явление гиромагнитного резонанса). Полное поле можно представить в виде: Еx=Ex1+Ex2=2Eocos[0.5(k1–k2)z]cos[wt–0.5(k1–k2)z], Еy=Ey1+Ey2=2Eosin[0.5(k1–k2)z]cos[wt–0.5(k1–k2)z], в каждый момент времени Еx и Еy синфазны, угол наклона вектора Е относительно оси x: q = arctg(Ex/Ey) = 0.5(k1–k2)z, т. е. поле имеет линейную поляризацию, но плоскость поляризации медленно вращается при распространении волны. Это явление называется эффект Фарадея. Угол, на который поворачивается плоскость поляризации при прохождении волной единицы длины q! = 0.5(k1–k2), называется постоянная Фарадея. Среды, в которых наблюдается эффект Фарадея, называются гиротропными (вращающими). Этот эффект невзаимный, т. к. при изменении направления Н= меняет знак b. Поскольку Z01 ¹Z02, поле Н имеет эллиптическую поляризацию.
Поперечное распространение в намагниченной плазме
При поперечном распространении (вдоль оси х) 
. Тогда уравнения Максвелла имеют вид:
0 = iw(exEx–ibEy) 
= iwmoHy Ищем решение в виде Ex, y= E0x, yeikx. Подставляя в уравнения
= iw(ibEx+exEy) 
= iwmoHz Максвелла, получаем две системы уравнений, описывающих
= iwezEz Hx = 0 поведение двух волн:
kH0y = wezE0z дисперсионное уравнение для этой волны: k2 = w2ezmo или 
. Эта
kE0z = wmoH0y волна «не чувствует» постоянного магнитного поля и называется обыкновенной. Волновое сопротивление обыкновенной волны Zоб=
, фазовая скорость – vоб = 
.
kE0y = wmoH0z Эта волна кроме поперечной имеет продольную составляющую вектора Е, причем
kH0z = w(ibE0x+ exE0y) E0x находится в квадратуре с E0y, т. е. вектор Ен вращается в плоскости x0y.
exE0x = ibE0y Исключая E0x и H0z, получаем дисперсионное уравнение для этой волны: 
, откуда kн = 
. Вследствие таких особенностей эта волна называется необыкновенной. Волновое сопротивление для необыкновенной волны Zн=
, фазовая скорость – vн = 
При отсутствии потерь вектор Пойнтинга имеет вещественную продольную составляющую и мнимую поперечную. Учитывая 
видим, что при w Þwm, ex Þ – ∞, vн Þ 0, т. е. эта волна исчезает (поперечный магнитный резонанс). При поперечном распространении (для w ¹ wm) полное поле H = y0Hоб + z0Hн, E = z0Eоб + Eн. Поскольку 
и kн ¹ kоб, при поперечном распространении волны периодически меняется вид поляризации. Это явление называется эффект Коттона — — Мутона.
Аналогичные явления имеют место и при распространении волн в намагниченном феррите – веществе, обладающем магнитными свойствами ферромагнетиков (mотн=5¸10000) и электрическими свойствами диэлектриков (eотн=5¸20). В магнитном поле магнитная ось атома прецессирует вокруг направления поля Н=, вследствие чего магнитная проницаемость феррита становится тензором
, где 
, a = mо
. Для получения выражений, описывающих поведение волн в феррите, достаточно воспользоваться принципом двойственности, т. е. в выражениях для плазмы сделать взаимную замену: H Û E, e Û –m.
Литература. , Зернов поля и волны. — М.: Сов. радио, 1971.
Излучение волн. Ближняя и дальняя зоны. Диаграмма направленности линейного излучателя. Понятие области мнимых углов. Излучение волн плоским раскрывом.
Излучение – процесс преобразования энергии источника в энергию свободных волн. Математически задача сводится к решению неоднородного волнового уравнения. В случае электромагнитных волн удобнее использовать векторные потенциалы: Ñ2Ae+ k2Ae = –j ст e, Ñ2Am+ k2Am = –j ст m, где Ae и Am– электрический и магнитный векторные потенциалы, j ст e и j ст m– объемные плотности электрических и магнитных сторонних токов, заданных в объеме Va. Используя метод функции Грина, запишем решение в виде:
, (1)
где 
– координаты точки наблюдения, 
– координаты точки источника, r– расстояние от точки источника до точки наблюдения. Для вычисления компонент поля используются соотношения:
Если rо и r¢ радиус-векторы точки наблюдения и точки источника, то 
, где a –угол между rо и r¢. При rо > r¢, разложив в ряд Тейлора, имеем: r = rо– r¢cosa + (r¢2sin2a)/2ro+( r¢3cosasin2a)/2 r2о+ … .
В зависимости от расстояния до точки наблюдения используются разные приближения:
а) при r >> r¢, дальняя зона (зона Фраунгофера) в показателе экспоненты используется первое приближение: r @ rо– r¢cosa. Минимальное значение rмин, (граница дальней зоны) начиная с которого можно пользоваться этим приближением, определяется из условия (r¢2sin2a)/2ro
выражение (1) имеет вид
.
При вычислении Е и Н по формулам (2) отбрасываются слагаемые, пропорциональные r–2 и r–3. Тогда Еq= – ik(ZоАqе+Аjм), Еj=–ik(ZоАjе+Аqм), Еr=0; Нj= Еq ¤ Zо, Нq= –Еj ¤ Zо, Нr=0; где Zо– волновое сопротивление среды;
Аq=Аxcosq cosj+Аycosq sinj +Аzsinq , Аj= –Аxsinj +Аycosj, Аr=Аxsinq cosj+Аysinq sinj + Аzcosq.
В общем случае поле в дальней зоне можно представить в виде: Е= Ео
f(q,j)p(q,j)eiY(q,j). Таким образом, в дальней зоне а) поле поперечно; б) в окрестности точки наблюдения Еq=НjZо, Еj=НqZо, т. е. поле имеет характер плоской волны; в) в общем случае поле имеет эллиптическую поляризацию, которая определяется векторной функцией p(q,j) (поляризационной характеристикой); г) зависимость поля от расстояния 
, т. е. поле является суперпозицией сферических волн; д) угловое распределение в дальней зоне не зависит от r и определяется функцией f(q,j), которая называется амплитудная диаграмма направленности (зависимость амплитуды поля от направления в дальней зоне при фиксированном расстоянии). Форма диаграммы направленности (ДН) характеризуется направлением максимума qо,jо, шириной главного лепестка (на уровне половинной мощности) Dq0,5, Dj0,5 и уровнем боковых лепестков УБЛ (отношение амплитуд максимально бокового лепестка и главного); е) поток мощности Пr=(|Еq|2+|Еj|2)/2Zо, Im П=0; ж) форма поверхности равных фаз зависит от фазовой диаграммы направленности Y(q,j), и не всегда является сферой с центром в начале координат. Если поверхность равных фаз сфера, то ее центр называется фазовым центром излучателя.
При r l быстрее изменяется fc(q), поэтому рассмотрим зависимость множителя системы от скорости волны тока, определяемой значением b. Введем величину y=kcosq, имеющую смысл пространственной частоты (–¥ k, называется областью мнимых углов, т. к. при этом cosq>1. Видно, что уменьшение скорости волны тока приводит к смещению максимума ДН от нормали к оси излучателя. Если скорость волны тока меньше скорости света (b>k), большая часть энергии “излучается” в область мнимых углов, т. е. отсутствует в дальней зоне и находится вблизи излучателя.
Для синфазного излучателя Dq0,5=51оl / L, УБЛ=0.21.
Излучение волн плоским раскрывом (апертурой)
Пусть на прямоугольной площадке, расположенной в плоскости x,y задано распределение поверхностных токов Je, m(x¢, y¢). В дальней зоне 
, где u = ksinqcosj, v = ksinqsinj, S = a×b – площадь раскрыва. Тогда Eq= –ik(ZoAeycosqsinj – Amxsinj) = 
,
Ej= –ik(ZoAeycosj– Amx cosqcosj)= 
. Если источником излучения
является поверхность с заданным на ней распределением электромагнитного поля, например раскрыв рупорной антенны, то согласно принципу эквивалентных токов Je=[Hn], Jm= – [En]. В этом случае Jmx= Eаy, Jey= – Hаx= – Eаy/Zф (здесь Zф= Eаy/Hаx – сопротивление фронта волны, возбуждающей раскрыв) и выражения для полей имеют вид:
Таким образом, излученное поле является суперпозицией сферических волн, имеет в общем случае эллиптическую поляризацию и диаграмма направленности излучателя может быть представлена в виде произведения множителя элемента на множитель системы: f(q, j) = fэ (q, j)fc(q, j), где fэ (q) = 
при j = 0, и fэ (q) = 
при j = 90о, т. е. при Zф @ Z0 ДН элемента излучающей поверхности имеет форму кардиоиды. Если Eаy(x¢,y¢) = Eа1y(x¢)×Eа2y(y¢), то множитель системы fc(q, j) = 
= 
, и при равномерном синфазном распределении поля в раскрыве fc(q, j) = 
.
Литература
1. , , Грудинская и распространение радиоволн. — М.:Сов. радио,1979.
Электромагнитные волны в направляющих системах. ТЕ, ТМ и ТЕМ волны. Критическая частота. Длина волны в направляющей системе. Волновое сопротивление линии передачи.
Плоские однородные волны – простейший тип волнового процесса. При наличии границ возникают неоднородные плоские волны, распространяющиеся вдоль этих границ, т. е. возникают плоские направляемые волны. Это делает возможным передачу энергии на большие расстояния с минимальными потерями. Варианты конструктивного исполнения направляющих систем (линий передачи) приведены на рисунке.
Будем считать эти системы продольно однородными (их свойства сохраняются в одном прямолинейном направлении, например, вдоль оси z). Свободные плоские гармонические волны, способные распространяться в направляющей системе, определяются из однородных уравнений Гельмгольца: Ñ2Е + k2E = 0, Ñ2H + k2H = 0. В отличие от плоской волны в неограниченном пространстве, в направляющих системах могут существовать неоднородные плоские волны, имеющие продольную составляющую поля Еz или Нz. Связь между продольными и поперечными составляющими поля определим, используя метод разделения переменных, т. е. полагая Е = Е^(x,y)×exp(±igz), H = H^(x,y)×exp(±igz). Здесь g – продольное волновое число, определяющее скорость распространения волны вдоль z. Для поперечных компонент поля имеем Ñ2Е^+ (k2– g2) E^= 0, Ñ2Н^+ (k2– g2) Н^= 0, где (k2– g2) = c2 – поперечное волновое число, k2 = w2em, e и m – параметры среды, заполняющей линию передачи. Используя координатную запись однородных уравнений Максвелла относительно комплексных амплитуд Е и Н, имеем:
rot H = iweE 
+ igHy = iweEx igEx+ 
= iwmHy решая относительно Еx и Нy, а затем
rot E = –iwmH 
+ igEy = –iwmHx igHx + 
= – iweEy относительно Еy и Нx, получаем систему уравнений, связывающих поперечные и продольные составляющие поля:
полагая E┴ = xoEx+ yoEy и H┴ = xoHx+ yoHy ,
в векторной форме имеем:
, т. о., для нахождения структуры поля достаточно решить Ñ2Еz+ c2 Ez = 0 и Ñ2Hz+ c2 Hz = 0. В зависимости от структуры поля направляемые волны делятся на
поперечные – ТЕМ или Т волны (отсутствуют продольные составляющие поля),
электрические – ТМ или Е волны (имеется продольная составляющая электрического поля),
магнитные – ТЕ или Н волны (имеется продольная составляющая магнитного поля),
гибридные – ЕН волны (имеется продольные составляющие электрического и магнитного поля).
Критическая частота: для волн Е и Н типа из c2 = (k2– g2) следует, что 
является вещественной величиной, если c £ k, в этом случае Е
exp(–igz), т. е. амплитуда волны, распространяющейся вдоль z остается постоянной и меняется только фаза. Если c > k, то g – мнимая величина, следовательно, постоянной остается фаза и по экспоненте убывает амплитуда. При g= 0 имеем: c = k = 2pfкр 
, где fкр= c /2p 
– критическая частота, которой соответствует критическая длина волны lкр=2p/c. Таким образом, длина волны в направляющей системе 
, фазовая скорость vф = 
, и передача энергии по волноводным линиям (трубам) возможна только при f >fкр.
Для ТЕМ волн (Еz =0 и Нz = 0) c2= 0, следовательно, g = k и fкр= 0, т. е. передача энергии возможна на всех частотах, включая нулевую (постоянный ток).
Волновое сопротивление линий передачи определяется исходя из следующих соображений:
используя систему уравнений, связывающих продольные и поперечные составляющие поля, получаем
для Е(ТМ) волн (Нz=0): 
, 
, откуда 
, т. е. 
, где Z0= 
– волновое сопротивление среды, заполняющей линию передачи.
Для Н(ТЕ) волн (Еz=0): 
, 
, откуда 
, т. е.
. Для ТЕМ волн (Нz=Еz=0, g=k) имеем: , откуда 
. Поскольку ТЕМ волны могут существовать только в двухпроводных линиях, если расстояние между проводниками > 2(ÑA)( ÑL) ® koAn >>(ÑA) (т. к. |ÑL| = n), или |
| > Ñ2L ® 2-я производная связана с кривизной ПРФ. Для плоской кривой L=f(x) радиус кривизны
, полагая 
, имеем 
, т. е. радиус кривизны волнового фронта должен быть>>l. С другой стороны, |Ñ2L|=|Ñ(ÑL)|=|Ñn|, т. е. 
, следовательно
изменение n на длине волны должно быть > Ñ2A – это условие связано с кривизной поверхности равных амплитуд rА и может быть записано в виде 2pnrA/l >>l/2pnA2, т. е. радиус кривизны ПРА, отнесенный к l, должен быть >> l. Чтобы пренебречь дифракционными явлениями размер фронта волны D должен быть >> l/n. Эти условия не выполняются в точках, где пересекаются лучи (фокус оптических систем); в средах с резкими неоднородностями; в мутных средах; при прохождении поверхностей с поглощающими экранами и т. д.
В неоднородной среде луч, соединяющий две точки р1 и р2, является кривой линией. Для каждой точки луча имеем: dL= (grad L×dr)=| grad L||dr|=k0n(r)dl, где dr направлен по лучу, dl – элемент длины пути. Изменение фазы вдоль луча равно 
. Принцип Ферма утверждает, что интеграл вдоль луча имеет стационарное значение, т. е. первая вариация dL относительно соседних путей интегрирования равна нулю. Учитывая, что dl/v = dt и n(r)=c/v(r), где dt – время прохождения пути dl со скоростью v, с – скорость света в вакууме, имеем 
=
, где интеграл 
дает время, затрачиваемое светом на прохождение пути от р1 до р2. Это позволяет сформулировать принцип Ферма следующим образом: лучом, соединяющим две точки является тот путь, который делает стационарным время, затрачиваемое на его прохождение. Ферма в 1657г. сформулировал его следующим образом «Природа всегда следует наикратчайшему пути». Однако таких путей может быть много, например, оптические длины всех путей, соединяющих точку предмета с точкой изображения, одинаковы (принцип таутохронизма).
В однородной среде луч – прямая линия. При переходе границы раздела между двумя различными средами луч меняет направление. Соединим лучом точку р1(0,у1) в среде с показателем преломления n1 с точкой р2(а,у2) в среде с показателем преломления n2. Луч пересекает границу раздела в точке (х,0). Полное время распространения света от р1 до р2 равно t = . Используя условие стационарности , получаем: . Учитывая, что , , где q – угол между направлением луча и нормалью к границе раздела, имеем: n1sinq1 = n2sinq2 – закон преломления.
. Используя условие стационарности 
, получаем: 
. Учитывая, что 
, 
, где q – угол между направлением луча и нормалью к границе раздела, имеем: n1sinq1 = n2sinq2 – закон преломления.
В плоскослоистой среде луч искривляется. Это явление называется рефракция. Радиус кривизны луча r для плоскослоистой среды определяется следующим образом: согласно рисунку r=ab/dq. Из закона преломления имеем: nsinq= =(n+dn)sin(q+dq) »nsinq +ncosq dq +sinq dh. Отсюда ncosq dq = = – sinqdh. Из подобия треугольников abc и Оab находим 
. Таким образом, 
.
Для нормального состояния атмосферы 
и радиус кривизны луча в радиодиапазоне rрад»25000км, в оптическом диапазоне – rоп»50000км. При расчете радиотрасс считается, что луч распространяется по прямой, q=90о, но радиус Земли принимается равным 
, где аз – радиус Земли, равный 6370 км. Для нормальной атмосферы 
и аэкв= 8500 км, т. е. расстояние прямой видимости увеличивается приблизительно на 15%.
В зависимости от состояния атмосферы различают следующие типы рефракции:
а) 
– отрицательная (луч отклоняется от Земли), аэкв аз.
г) 
– критическая (луч параллелен поверхности Земли), аэквÞ ¥.
д) 
– сверхкритическая ( луч возвращается к Земле), аэкв
http://helpiks.org/5-90934.html
http://pandia.ru/text/78/219/11634.php