Волновые процессы виды волн волновое уравнение

Волны в физике — виды, формулы и определения с примерами

Содержание:

Волны:

Стоя на берегу озера или пруда, вы могли наблюдать, как кольцами разбегаются волны от места, куда был брошен камень, как волны раскачивают лодку или катер. Ветер нарушает равновесие морской поверхности, кажется, что море надвигается на берег, но это не так. Не перемещаются по полю колосья, когда «волнуется» нива, они только наклоняются и опять выпрямляются. Вслед за кораблем или лодкой всегда возникает типичная картина волн.

Волновые процессы широко распространены в природе. Физические основы волновых движений различны, но все они объясняются одинаковыми законами.

Что же такое волна и каковы причины возникновения волн

Вам известно, что твердые, жидкие и газообразные тела состоят из частей, взаимодействующих между собой. Если частица тела начинает совершать колебания, то в результате взаимодействия ее с другими частицами тела это движение распространяется с определенной скоростью во всех направлениях.

Волна — процесс распространения колебаний в любой среде. Волна — это изменение состояния среды, распространяющееся в пространстве и переносящее энергию.

Наблюдения. Рассмотрим особенности распространения волн. Если рассматривать волны на поверхности воды (рис. 204), то они кажутся валами, движущимися в определенном направлении, причем расстояния между валами, или гребнями, одинаковы.

Если бросить в воду поплавок, его не будет относить волной, а он начнет совершать колебания вверх-вниз, оставаясь почти на одном месте.

При распространении волны изменяется состояние колеблющейся среды, но не перенос вещества. От брошенного камня начинает колебаться определенный участок воды, эти колебания передаются соседним участкам и постепенно распространяются во все стороны. Течение воды не возникает, перемещается только форма ее поверхности.

Опыт 1. Закрепим один конец длинного резинового шнура и легонько заставим шнур колебаться. По шнуру побежит волна (рис. 205). Чем сильнее колеблется шнур, тем больше скорость распространения волны. Волна добежит до точки крепежа, отразится и побежит в обратном направлении.

При распространении волны изменяется только форма шнура, а каждый его участок колеблется относительно своего положения равновесия, причем колебания происходят в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны (рис. 206). Такие волны называют поперечными волнами.

Поперечные волны

Поперечные волны — это волны, в которых частицы совершают колебания в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны.

Опыт 2. Если ударить по одному из концов длинной мягкой пружины большого диаметра, то по пружине «побежит» сжатие. Повторяя удары, можно возбудить в пружине волну, представляющую собой последовательные сжатия и растяжения пружины, «бегущие» друг за другом (рис. 207). Любой виток пружины совершает колебания вдоль направления распространения волны. Такую волну называют продольной волной.

Продольные волны

Продольные волны — это волны, в которых частицы совершают колебания вдоль направления распространения волны.

При распространении волны движение передается от одного участка тела к другому. С передачей движения связана передача энергии. Передача энергии без передачи вещества — основное свойство всех волн.

Любые волны характеризуются длиной и скоростью их распространения.

Длина волны — это расстояние между ближайшими друг к другу точками волны, колеблющимися в одинаковых фазах (рис. 208).

Длину волны обозначают греческой буквой А. (лямбда). Ее единицей является один метр (1 м).

Волны любого происхождения распространяются в пространстве не мгновенно, а с определенной скоростью. Например, можно увидеть, как чайка летит над морем будто все время над одним гребнем волны. В этом случае скорость полета чайки равна скорости распространения волны.

А как можно определить скорость распространения волны?

Вы уже знаете, что любое колебание характеризуется периодом колебаний, то есть временем, после которого колебания повторяются. Тогда можно сказать, что за один период волна распространяется на расстояние . Поэтому скорость ее распространения можно найти по формуле:

где v — скорость распространения волны (м/с); — длина волны (м); Т — период колебаний (с).

Так как период и частота связаны соотношением

Пример №1

Определите скорость распространения волны на воде, если ее длина равна 180 м, а период колебаний — 15 с.

= 180 м

Решение
По формуле определяем скорость распространения волны на воде.

v = 180 м : 15 с = 12 м/с.
Ответ: 12 м/с.

Пример №2

Каково основное свойство механической волны?

Ответ: переносить энергию.

Интерференция волн

Для волн не очень больших амплитуд справедлив принцип суперпозиции: если в точку пространства приходят волны от нескольких источников, то эти волны накладываются друг на друга. В результате такого наложения в некоторых точках пространства может наблюдаться постоянное усиление колебаний, а в некоторых — ослабление. Выясним, почему и когда это происходит. Пусть в некоторую точку M поступают две когерентные волны — волны от двух источников , колеблющихся синхронно, то есть в одинаковых фазах и с одинаковой частотой (рис. 22.6, а).

Если волны приходят в точку М в противоположных фазах (в один и тот же момент времени одна волна «толкает» точку М вверх, а вторая «толкает» ее вниз), то волны будут постоянно гасить друг друга (рис. 22.6, б). Если же волны приходят в точку М в одинаковых фазах, то в точке M будут все время наблюдаться колебания с увеличенной амплитудой (рис. 22.6, в). явление наложения волн, вследствие которого в некоторых точках пространства наблюдается устойчивое во времени усиление или ослабление результирующих колебаний, называют интерференцией.

Дифракция волн

Судно, плывущее по морю, образует на поверхности воды волну. Если на своем пути волна встретит скалу или торчащую из воды ветку, то за скалой образуется тень (то есть непосредственно за скалу волна не проникает), а за веткой тень не образуется (волна ветку огибает).

Явление огибания волнами препятствий называют дифракцией (от лат. difractus — разломанный) (рис. 22.8).

В приведенном примере дифракция волны происходит на ветке, но не происходит на скале. Но это не всегда так. Если скала достаточно удалена от берега, то на некотором расстоянии от скалы тень исчезнет — волна обогнет и скалу. Дело в том, что дифракция наблюдается в двух случаях: 1) когда линейные размеры препятствий, на которые находит волна (или размеры отверстий, сквозь которые проходит волна), сопоставимы с длиной волны; 2) когда расстояние от препятствия до места наблюдения намного больше размера препятствия.

• Распространение в пространстве колебаний вещества или поля называют волной. Механической волной называют распространение колебаний в упругой среде.
• Волна распространяется в пространстве не мгновенно, а с конечной скоростью. При распространении волны происходит перенос энергии без переноса вещества. В некоторых точках пространства вследствие наложения волн друг на друга может наблюдаться устойчивое во времени усиление или ослабление результирующих колебаний — это явление называют интерференцией. Волны могут огибать препятствия — это явление называют дифракцией.
• Волну, в которой частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны, называют поперечной. Волну, в которой частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны, называют продольной.
• Волна периодична во времени и пространстве. Периодичность волны во времени характеризуется периодом колебаний каждой отдельной точки волны. Периодичность волны в пространстве характеризуется длиной волны. Длина волны — это расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний. Длина λ, частота ν и скорость v распространения волны связаны формулой волны: v = λν .

Звуковые волны

Звучание флейты, шум мегаполиса, шорох травы, грохот водопада, человеческая речь, музыкальный звук, шум, акустический резонанс. Все это связано с распространением в пространстве определенных механических волн, которые называют звуковыми волнами. Их изучает акустика — наука о звуке. С элементами акустики вы начали знакомиться в курсе физики 9 класса. Итак, вспоминаем и узнаем новое.

Звуковые (акустические) волны — это механические волны с частотами от 20 Гц до 20 кГц. Звуковые волны обычно доходят до уха через воздух — в виде последовательных сгущений и разрежений (то есть в воздухе звуковые волны являются продольными). В зонах сгущений (разрежений) давление воздуха незначительно больше (меньше) атмосферного (рис. 23.1).

Рис. 23.1. Человеческое ухо воспринимает звуковые волны с избыточным (звуковым) давлением примерно от 20 мкПа (0 децибелов — порог слышимости) до 20 Па (120 децибелов — болевой порог). Для сравнения =100 000 Па

Звук — механическая волна, потому все свойства волнового движения касаются и звука.

• Звук распространяется в среде с конечной скоростью, зависящей от температуры, плотности, состава и других характеристик среды. Так, в жидкостях звук распространяется быстрее, чем в газах, и медленнее, чем в твердых телах. Скорость распространения звука обычно увеличивается с увеличением температуры среды (в воздухе при температуре 0 °С скорость распространения звука составляет около 330 м/с, а при 20 °С — 340 м/с). Кроме того, чем меньше масса молекул среды, тем быстрее распространяется звук.
• Источником звука является колеблющееся тело (рис. 23.2). Такие колебания могут быть вынужденными (диффузор громкоговорителя), свободными (струна гитары), автоколебаниями (струны смычковых инструментов).
• Звук не распространяется в вакууме.
• При распространении звука не происходит переноса вещества, но происходит перенос энергии.
• Звуковые волны могут накладываться друг на друга (явление интерференции); могут огибать препятствия (явление дифракции).

Как связаны субъективные и объективные характеристики звука

Все физические величины, характеризующие механические волны (амплитуда, частота, длина, энергия), являются и характеристиками звука. Эти величины не зависят от особенностей восприятия звука человеком, поэтому их называют объективными, или физическими, характеристиками звука. Субъективные характеристики звука (громкость, высота, тембр) обусловлены особенностями слуха человека, поэтому их называют физиологическими. Понятно, что физические и физиологические характеристики звука связаны (см. таблицу).

• Заказать решение задач по физике

Громкость звука определяется прежде всего амплитудой звуковой волны (звуковым давлением), однако зависит и от частоты звуковой волны. Человеческое ухо плохо воспринимает звуки низких (около 20 Гц) и высоких (около 20 кГц) частот, лучше всего — средних частот (1–3 кГц).

Громкость звука измеряют в децибелах (дБ). Так, при частоте звука 1 кГц и звуковом давлении 20 Па громкость звука составляет 120 дБ — это болевой порог звука — наиболее громкий звук, который может воспринимать человек, не чувствуя боли (звук такой громкости издает двигатель реактивного самолета).

Тембр звука определяется составом звуковой волны: кроме основной частоты (по которой мы и оцениваем высоту звука) любой звук содержит несколько более слабых и более высоких дополнительных частот — обертонов. Именно благодаря тембру мы узнаем человека по голосу, отличаем звуки фортепиано от звуков флейты и т. д. Каждый музыкальный инструмент, каждый человек или животное имеют свой тембр.

Что такое акустический резонанс

На любое тело, расположенное в пределах распространения звуковой волны, действует периодическая сила, частота которой равна частоте волны. Под действием этой силы тело начинает совершать вынужденные колебания. Если частота собственных колебаний тела сов падает с частотой звуковой волны, то амплитуда колебаний тела увеличивается и оно начинает издавать звук — наблюдается акустический резонанс.

Акустический резонанс — это явление резкого возрастания амплитуды звукового сигнала при приближении частоты сигнала-возбудителя к частоте собственных колебаний системы.

Наблюдать акустический резонанс можно с помощью опыта с двумя камертонами, имеющими одинаковую частоту (рис. 23.3).

Акустический резонанс используют для увеличения интенсивности звука, созданного некоторым источником (струной, ножками камертона, голосовыми связками и т. д.). Например, для увеличения громкости камертона его присоединяют к деревянному ящику (резонатору), собственная частота колебаний воздуха в котором равна частоте колебаний камертона. Камертон, присоединенный к резонатору, звучит гораздо громче, чем тот, который держат в руке.

Акустический резонанс используют во многих музыкальных инструментах. Воздух в трубах органа, корпусах арф, бандур, гитар и т. д. резонирует с тонами и обертонами звуков, издаваемых колеблющимися телами, и усиливает их. Полость рта — резонатор для звуковых волн, которые создаются благодаря колебаниям голосовых связок. Рис. 23.3. Если заставить звучать один из камертонов, из-за резонанса начнет звучать и второй

Звуковая волна, достигнув уха, испытывает ряд преобразований. Сначала она действует на барабанную перепонку, заставляя ее вибрировать. Чем громче звук, тем сильнее вибрирует перепонка, передавая звуковые колебания в среднее ухо, где они усиливаются.

Усиленный звук попадает во внутреннее ухо с заполненной жидкостью улиткой. Поверхность улитки покрыта волосковыми клетками, количество которых достигает 15 000. Каждая клетка резонирует с определенным диапазоном частот. Обнаружив «собственную» частоту, клетка начинает колебаться, возбуждая нервные окончания, и в мозг идет нервный импульс — человек слышит звук.

С возрастом количество волосковых клеток уменьшается (от 15 000 у ребенка до 4 тысяч у пожилого человека). Первыми погибают клетки, «отвечающие» за высокую частоту, поэтому взрослый человек не слышит высоких звуков (подросток слышит звуки до 22 кГц, пожилой человек — до 12 кГц).

Вспоминаем инфра- и ультразвук

Инфразвук (от лат. infra — ниже, под) — это механические волны, частота которых меньше 20 Гц. Инфразвуковые волны возникают во время штормов, землетрясений, цунами, извержений вулканов, вследствие ударов о берег морских волн. Некоторые существа способны воспринимать инфразвуковые волны (рис. 23.4). Источником инфразвука могут быть и объекты, созданные человеком: турбины, двигатели внутреннего сгорания и т. д. В городах наибольший уровень инфразвука около автомагистралей.

Инфразвук очень опасен для животных и человека: он может вызывать симптомы морской болезни, головокружение, потерю зрения, стать причиной повышенной агрессивности. При длительном воздействии интенсивное инфразвуковое излучение может привести к остановке сердца. При этом человек даже не понимает, что происходит, ведь он не слышит инфразвука. Механические волны, частота которых превышает 20 кГц, называют ультразвуковыми волнами (от лат. ultra — сверх, за пределами).

Ультразвук есть в шуме ветра и водопада, в звуках, которые издают некоторые живые существа. Установлено, что ультразвук до 100 кГц воспринимают многие насекомые и грызуны; улавливают его и собаки.

Слабый ультразвук — основа ультразвуковой локации — определения расположения и характера движения объекта с помощью ультразвука. Так, летучие мыши и дельфины, излучая ультразвук и воспринимая его эхо, могут даже в полной темноте найти дорогу или поймать добычу. Ультразвуковое исследование позволяет «увидеть» еще не родившегося младенца, исследовать состояние внутренних органов, выявить инородные тела в тканях. Ультразвуковую локацию применяют также на морских судах — для выявления объектов в воде (сонары) и исследования рельефа морского дна (эхолоты); в металлургии — для выявления и установления размеров дефектов в изделиях (дефектоскопы).

Мощный ультразвук применяют в технике (обработка прочных материалов, сварка, очистка поверхностей от загрязнений); медицине (измельчение камней в организме, что позволяет избежать хирургических операций); пищевой промышленности (изготовление сыров, соусов); косметологии (изготовление кремов, зубной пасты).

• Механические волны с частотами 20 Гц — 20 кГц называют звуковыми волнами (звуком). Субъективные характеристики звука: высота звука (определяется частотой звуковой волны); громкость звука (определяется амплитудой и частотой звуковой волны); тембр звука (определяется спектром звуковой волны).
• Явление резкого возрастания амплитуды звукового сигнала в случае приближения частоты сигнала-возбудителя к частоте собственных колебаний системы называют акустическим резонансом. Акустические резонаторы имеют почти все музыкальные инструменты.
• Механические волны, частота которых меньше 20 Гц, называют инфразвуковыми волнами (инфразвук). Механические волны, частота которых превышает 20 кГц, называют ультразвуковыми волнами (ультразвук).

Субъективные (физиологические) характеристики звука
Обратите внимание! Громкий звук может привести к ухудшению слуха и даже к глухоте, особенно это касается прослушивания громкой музыки в наушниках. Слушать музыку в наушниках следует при минимальной громкости!
	Высота звука определяется в основном частотой звуковой волны: чем больше ее частота, тем выше тон звука. Например, ноте «ля» первой октавы соответствует частота 440 Гц; ноте «ля» второй октавы — частота 880 Гц. Свойство человеческого уха различать звуки по их частоте также зависит от интенсивности звуков. При увеличении интенсивности звука его высота кажется более низкой.

• Волновое движение в физике
• Продольные и поперечные волны в физике
• Звуковые волны в физике
• Электрическое поле в физике
• Электромагнитные явления в физике
• Электромагнитные волны и их свойства
• Магнитные явления в физике
• Магнитный поток

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Механические волны

Когда в каком-нибудь месте твердой, жидкой или газообразной среды происходит возбуждение колебаний частиц, результатом взаимодействия атомов и молекул среды становится передача колебаний от одной точки к другой с конечной скоростью.

Волна – это процесс распространения колебаний в среде.

Виды механических волн

Различают следующие виды механических волн:

Поперечная волна: частицы среды смещаются в направлении, перпендикулярном направлению распространения механической волны.

Пример: волны, распространяющиеся по струне или резиновому жгуту в натяжении (рисунок 2 . 6 . 1 );

Продольная волна: частицы среды смещаются в направлении распространения механической волны.

Пример: волны, распространяющиеся в газе или упругом стержне (рисунок 2 . 6 . 2 ).

Интересно, что волны на поверхности жидкости включают в себя и поперечную, и продольную компоненты.

Укажем важное уточнение: когда механические волны распространяются, они переносят энергию, форму, но не переносят массу, т.е. в обоих видах волн переноса вещества в направлении распространения волны не происходит. Распространяясь, частицы среды совершают колебания около положений равновесия. При этом, как мы уже сказали, волны переносят энергию, а именно энергию колебаний от одной точки среды к другой.

Рисунок 2 . 6 . 1 . Распространение поперечной волны по резиновому жгуту в натяжении.

Рисунок 2 . 6 . 2 . Распространение продольной волны по упругому стержню.

Модель твердого тела

Характерная черта механических волн – их распространение в материальных средах в отличие, например, от световых волн, способных распространяться и в пустоте. Для возникновения механического волнового импульса необходима среда, имеющая возможность запасать кинетическую и потенциальную энергии: т.е. среда должна иметь инертные и упругие свойства. В реальных средах эти свойства получают распределение по всему объему. К примеру, каждому небольшому элементу твердого тела присуща масса и упругость. Самая простая одномерная модель такого тела представляет из себя совокупность шариков и пружинок (рисунок 2 . 6 . 3 ).

Рисунок 2 . 6 . 3 . Простейшая одномерная модель твердого тела.

В этой модели инертные и упругие свойства разделены. Шарики имеют массу m , а пружинки – жесткость k . Такая простая модель дает возможность описать распространение продольных и поперечных механических волн в твердом теле. При распространении продольной волны шарики смещаются вдоль цепочки, а пружинки растягиваются или сжимаются, что есть деформация растяжения или сжатия. Если подобная деформация происходит в жидкой или газообразной среде, ее сопровождает уплотнение или разрежение.

Отличительная особенность продольных волн заключается в том, что они способны распространяться в любых средах: твердых, жидких и газообразных.

Если в указанной модели твердого тела один или несколько шариков получают смещение перпендикулярно всей цепочке, можно говорить о возникновении деформации сдвига. Пружины, получившие деформацию в результате смещения, будут стремиться вернуть смещенные частицы в положение равновесия, а на ближайшие несмещенные частицы начнет оказываться влияние упругих сил, стремящихся отклонить эти частицы от положения равновесия. Итогом станет возникновение поперечной волны в направлении вдоль цепочки.

В жидкой или газообразной среде упругая деформация сдвига не возникает. Смещение одного слоя жидкости или газа на некоторое расстояние относительно соседнего слоя не приведет к появлению касательных сил на границе между слоями. Силы, которые оказывают воздействие на границе жидкости и твердого тела, а также силы между соседними слоями жидкости всегда направлены по нормали к границе – это силы давления. Аналогично можно сказать и о газообразной среде.

Таким образом, появление поперечных волн невозможно в жидкой или газообразной средах.

В плане практического применения особый интерес представляют простые гармонические или синусоидальные волны. Они характеризуются амплитудой A колебания частиц, частотой f и длиной волны λ . Синусоидальные волны получают распространение в однородных средах с некоторой постоянной скоростью υ .

Запишем выражение, показывающее зависимость смещения y ( x , t ) частиц среды из положения равновесия в синусоидальной волне от координаты x на оси O X , вдоль которой распространяется волна, и от времени t :

y ( x , t ) = A cos ω t — x υ = A cos ω t — k x .

В приведенном выражении k = ω υ – так называемое волновое число, а ω = 2 π f является круговой частотой.

Бегущая волна

Рисунок 2 . 6 . 4 демонстрирует «моментальные фотографии» поперечной волны в момент времени t и t + Δ t . За промежуток времени Δ t волна перемещается вдоль оси O X на расстояние υ Δ t . Подобные волны носят название бегущих волн.

Рисунок 2 . 6 . 4 . «Моментальные фотографии» бегущей синусоидальной волны в момент времени t и t + Δ t .

Длина волны λ – это расстояние между двумя соседними точками на оси O X , испытывающими колебание в одинаковых фазах.

Расстояние, величина которого есть длина волны λ , волна проходит за период Т . Таким образом, формула длины волны имеет вид: λ = υ T , где υ является скоростью распространения волны.

С течением времени t происходит изменение координаты x любой точки на графике, отображающем волновой процесс (к примеру, точка А на рисунке 2 . 6 . 4 ), при этом значение выражения ω t – k x остается неизменным. Спустя время Δ t точка А переместится по оси O X на некоторое расстояние Δ x = υ Δ t . Таким образом:

ω t — k x = ω ( t + ∆ t ) — k ( x + ∆ x ) = c o n s t или ω ∆ t = k ∆ x .

Из указанного выражения следует:

υ = ∆ x ∆ t = ω k или k = 2 π λ = ω υ .

Становится очевидно, что бегущая синусоидальная волна имеет двойную периодичность – во времени и пространстве. Временной период является равным периоду колебаний T частиц среды, а пространственный период равен длине волны λ .

Волновое число k = 2 π λ – это пространственный аналог круговой частоты ω = — 2 π T .

Сделаем акцент на том, что уравнение y ( x , t ) = A cos ω t + k x является описанием синусоидальной волны, получающей распространение в направлении, противоположном направлению оси O X , со скоростью υ = — ω k .

Когда бегущая волна получает распространение, все частицы среды гармонически колеблются с некоторой частотой ω . Это означает, что как и при простом колебательном процессе, средняя потенциальная энергия, являющаяся запасом некоторого объема среды, есть средняя кинетическая энергия в том же объеме, пропорциональная квадрату амплитуды колебаний.

Из вышесказанного можно сделать вывод, что, когда бегущая волна получает распространение, появляется поток энергии, пропорциональный скорости волны и квадрату ее амплитуды.

Скорость распространения волны

Бегущие волны движутся в среде с определенными скоростями, находящимися в зависимости от типа волны, инертных и упругих свойств среды.

Скорость, с которой поперечные волны распространяются в натянутой струне или резиновом жгуте, имеет зависимость от погонной массы μ (или массы единицы длины) и силы натяжения T :

Скорость, с которой продольные волны распространяются в безграничной среде, рассчитывается при участии таких величин как плотность среды ρ (или масса единицы объема) и модуль всестороннего сжатия B (равен коэффициенту пропорциональности между изменением давления Δ p и относительным изменением объема Δ V V , взятому с обратным знаком):

Таким образом, скорость распространения продольных волн в безграничной среде, определяется по формуле:

При температуре 20 ° С скорость распространения продольных волн в воде υ ≈ 1480 м / с , в различных сортах стали υ ≈ 5 – 6 к м / с .

Если речь идет о продольных волнах, получающих распространение в упругих стержнях, запись формулы для скорости волны содержит не модуль всестороннего сжатия, а модуль Юнга:

Для стали отличие E от B незначительно, а вот для прочих материалов оно может составлять 20 – 30 % и больше.

Рисунок 2 . 6 . 5 . Модель продольных и поперечных волн.

Стоячая волна

Предположим, что механическая волна, получившая распространение в некоторой среде, встретила на пути некое препятствие: в этом случае характер ее поведения резко изменится. К примеру, на границе раздела двух сред с различающимися механическими свойствами волна частично отразится, а частично проникнет во вторую среду. Волна, пробегающая по резиновому жгуту или струне, отразится от зафиксированного конца, и возникнет встречная волна. Если у струны зафиксированы оба конца, появятся сложные колебания, являющиеся итогом наложения (суперпозиции) двух волн, получающих распространение в противоположных направлениях и испытывающих отражения и переотражения на концах. Так «работают» струны всех струнных музыкальных инструментов, зафиксированные с обоих концов. Схожий процесс возникает при звучании духовых инструментов, в частности, органных труб.

Если волны, распространяющиеся по струне во встречных направлениях, обладают синусоидальной формой, то при определенных условиях они образуют стоячую волну.

Допустим, струна длины l зафиксирована таким образом, что один из ее концов расположен в точке x = 0 , а другой – в точке x 1 = L (рисунок 2 . 6 . 6 ). В струне имеется натяжение T .

Рисунок 2 . 6 . 6 . Возникновение стоячей волны в струне, зафиксированной на обоих концах.

По струне одновременно пробегают в противоположных направлениях две волны с одинаковой частотой:

• y 1 ( x , t ) = A cos ( ω t + k x ) – волна, распространяющаяся справа налево;
• y 2 ( x , t ) = A cos ( ω t — k x ) – волна, распространяющаяся слева направо.

Точка x = 0 — один из зафиксированных концов струны: в этой точке падающая волна y 1 в результате отражения создает волну y 2 . Отражаясь от зафиксированного конца, отраженная волна входит в противофазу с падающей. В соответствии с принципом суперпозиции (что есть экспериментальный факт) колебания, созданные встречными волнами во всех точках струны, суммируются. Из сказанного следует, что итоговое колебание в каждой точке определяется как сумма колебаний, вызванных волнами y 1 и y 2 в отдельности. Таким образом:

y = y 1 ( x , t ) + y 2 ( x , t ) = ( — 2 A sin ω t ) sin k x .

Приведенное выражение является описанием стоячей волны. Введем некоторые понятия, применимые к такому явлению как стоячая волна.

Узлы – точки неподвижности в стоячей волне.

Пучности – точки, расположенные между узлами и колеблющиеся с максимальной амплитудой.

Если следовать данным определениям, для возникновения стоячей волны оба зафиксированных конца струны должны являться узлами. Указанная ранее формула отвечает этому условию на левом конце ( x = 0 ) . Чтобы условие было выполнено и на правом конце ( x = L ) , необходимо чтобы k L = n π , где n является любым целым числом. Из сказанного можно сделать вывод, что стоячая волна в струне появляется не всегда, а только тогда, когда длина L струны равна целому числу длин полуволн:

l = n λ n 2 или λ n = 2 l n ( n = 1 , 2 , 3 , . . . ) .

Набору значений λ n длин волн соответствует набор возможных частот f

f n = υ λ n = n υ 2 l = n f 1 .

В этой записи υ = T μ есть скорость, с которой распространяются поперечные волны по струне.

Каждая из частот f n и связанный с ней тип колебания струны называется нормальной модой. Наименьшая частота f 1 носит название основной частоты, все прочие ( f 2 , f 3 , … ) называются гармониками.

Рисунок 2 . 6 . 6 иллюстрирует нормальную моду для n = 2 .

Стоячая волна не обладает потоком энергии. Энергия колебаний, «запертая» в отрезке струны между двумя соседними узлами, не переносится в остальные части струны. В каждом таком отрезке происходит периодическое (дважды за период T ) преобразование кинетической энергии в потенциальную и обратно, подобно обычной колебательной системе. Однако, здесь имеется различие: если груз на пружине или маятник имеют единственную собственную частоту f 0 = ω 0 2 π , то струна характеризуется наличием бесконечного числа собственных (резонансных) частот f n . На рисунке 2 . 6 . 7 показано несколько вариантов стоячих волн в струне, зафиксированной на обоих концах.

Рисунок 2 . 6 . 7 . Первые пять нормальных мод колебаний струны, зафиксированной на обоих концах.

Согласно принципу суперпозиции стоячие волны различных видов (с разными значениями n ) способны одновременно присутствовать в колебаниях струны.

Рисунок 2 . 6 . 8 . Модель нормальных мод струны.

Физика волновых процессов

ФИЗИКА ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ

1. Волновое уравнение. Гармонические волны. Уравнение Гельмгольца. Фазовый фронт, фазовая скорость, длина волны. Стоячие волны. Неоднородные плоские волны. Цилиндрические и сферические волны.

2. Плоские электромагнитные волны в поглощающей среде. Глубина проникновения. Поток мощности. Скорость волны. Поверхностный импеданс металлов. Скин-слой.

3. Дисперсия волн. Волновой пакет. Фазовая и групповая скорости. Нормальная и аномальная дисперсии. Дисперсионное уравнение.

4. Прохождение плоской волны через границу раздела двух сред. Коэффициенты Френеля. Явление полного внутреннего отражения. Угол Брюстера. Приближенные граничные условия Леонтовича.

5. Плоские электромагнитные волны в анизотропных средах. Продольное и поперечное распространение в намагниченной плазме. Обыкновенная и необыкновенная волны. Эффекты Фарадея и Коттона-Мутона.

6. Излучение волн. Ближняя и дальняя зоны. Диаграмма направленности линейного излучателя. Понятие области мнимых углов. Излучение волн плоским раскрывом.

7. Электромагнитные волны в направляющих системах. ТЕ, ТМ и ТЕМ волны. Критическая частота. Длина волны в направляющей системе. Волновое сопротивление линии передачи.

8. Приближение геометрической оптики. Уравнение эйконала. Световые лучи. Область применимости лучевого приближения. Принцип Ферма. Рефракция.

Волновое уравнение. Гармонические волны. Уравнение Гельмгольца. Фазовый фронт, фазовая скорость, длина волны. Стоячие волны. Неоднородные плоские волны. Цилиндрические и сферические волны.

Зададим некоторое возмущение, распространяющееся в пространстве, в виде U=U(at–bs), где t – текущее время; s – пространственная координата, вдоль которой распространяется возмущение, и продифференцируем 2 раза по t и 2 раза по s:

(1) (2)

сравнивая (1) и (2) и учитывая, что , где v – скорость распространения возмущения, убеждаемся, что U(s,t) удовлетворяет однородному дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка гиперболического типа (уравнению Даламбера), которое принято называть волновым уравнением:

(1-я каноническая форма).

Перейдя к характеристическим переменным , можем записать уравнение в виде (2-я каноническая форма). Эти уравнения описывают распространение возмущения в пространстве в виде свободных волн. Интегрируя последнее уравнение, находим решение в виде суперпозиции двух волн: , первая из которых является уходящей, а вторая – приходящей. Волны, соответствующие решению однородного волнового уравнения, называются свободными волнами.

Здесь предполагается, что U изменяется только в одном направлении s, задаваемом единичным вектором m, тогда s = (mr) (r – радиус-вектор точки наблюдения). В некоторый момент времени t=to U() = const, если s = const. Т. к. (mr) = const – уравнение плоскости, то представляет собой плоскую волну, бегущую в направлении m. Аргумент определяет фазу волны. Плоскость, на которой фаза постоянна (фазовый фронт, поверхность равных фаз) перемещается в пространстве со скоростью v (фазовая скорость).

Если , то функция U может быть представлена в виде интеграла Фурье (образ). Подставив U(s,t) в волновое уравнение, видим что она будет решением, если ее образ F(s,) удовлетворяет уравнению

(приведенное волновое уравнение или уравнение Гельмгольца). Это уравнение описывает распространение гармонических свободных волн. Величина определяет пространственную периодичность функции F и называется волновым числом. Решение уравнения Гельмгольца представляет суперпозицию двух гармонических волн c амплитудами A1, A2 и фазами (wt+j–ks), (wt+y+ks), бегущих навстречу друг другу. Расстояние, которое гармоническая волна пробегает за период колебаний Т, или расстояние между точками с одинаковой фазой колебаний называется длина волны l. Тогда k=. Пусть начальные фазы j и y равны нулю. При А2= 0 имеем уходящую бегущую гармоническую волну , а при А1=0 – приходящую бегущую гармоническую волну . Если А1=А2=А, то , т. е. решение представляет собой синфазное гармоническое колебание, амплитуда которого имеет периодическую пространственную зависимость с периодичностью l/2. Такую ситуацию называют стоячая волна. Точки, в которых F(s) имеет максимум или минимум называют, соответственно, пучностями и узлами стоячей волны. Расстояние между соседними узлами (или пучностями) называется длиной стоячей волны lст = l/2.

Если волна распространяется в направлении единичного вектора m, можем ввести вектор k = km (волновой вектор), тогда ks = (kr), и поверхность равных фаз ks = const определяется уравнением плоскости (kr) = const, нормальной к направлению распространения волны. Если k – вещественный вектор, то А=const всюду. Такая волна называется однородной плоской волной.

Функция F удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца и в том случае, если

k=k+ik но при условии, что |k|2 = k2 – вещественно, т. е. (kk) = 0, а |k|2–|k|2 = k2. В этом случае решение описывает неоднородную плоскую гармоническую волну, у которой поверхность равных фаз и поверхность равных амплитуд – плоскости, ортогональные друг другу, а скорость меньше, чем у однородной волны с той же частотой и в той же среде.

Для произвольной зависимости от координат однородное волновое уравнение имеет следующий вид . Чтобы плоская волна распространялась в направлении оси х (в прямоугольной системе координат), должно выполняться , т. е. источником плоской волны является бесконечная плоскость y0z.

В цилиндрических координатах . Если возмущение исходит от бесконечного цилиндра, то , и волновое уравнение имеет вид . После несложных преобразований его можно привести к виду: . При больших значениях r имеем . Решением этого уравнения является откуда следует, что поверхность равных фаз – цилиндр, а амплитуда волны убывает пропорционально . Такая волна называется цилиндрической.

В сферических координатах . При точечном источнике волновое уравнение можно представить в виде: . Его решение – . В этом случае поверхность равных фаз – сфера, и амплитуда уходящей волны убывает как . Такая волна называется сферической.

1. , , Сухоруков волн. — М.: Наука, 1979.

2. Вайнштейн волны. — М.: Радио и связь, 1988.

Плоские электромагнитные волны в поглощающей среде. Скорость волны. Глубина проникновения. Поверхностный импеданс металлов. Скин-слой. Поток мощности.

В средах с потерями (s ¹ 0) имеем: [ÑH] = iweE+sE = iw (e — is /w)E = iwE, где=—=— is /w = =e (1-itgd), tgd =s /we — тангенс угла электрических потерь. e = e0eотн,; m=m0mотн ;. (eотн=10-9/36p [Ф/м],

mотн= 4p10-7[Гн/м] ). Пусть в такой среде вдоль оси z распространяется плоская гармоническая волна, удовлетворяющая уравнениям: , где волновое число = w оказывается комплексной величиной: =w= b — ia.. Из соотношения w 2m (1–itgd) = (b – ia)2, находим: , . Решение для уходящей волны: Ex=E0 e–a ze–ib z, Hy=e–aze–ib z

Здесь: a – коэффициент затухания, b – коэффициент фазы, Zo – волновое сопротивление среды, , ( 0£d/2

Таким образом, в поглощающей среде амплитуда уходящей волны убывает по экспоненциальному закону,

уменьшаясь в e раз на расстоянии d=1/a, которое называется глубина проникновения (скин-слой), длина волны l=2p/b и фазовая скорость vф=w /b уменьшаются по сравнению с непоглощающей средой, в среде с электрическими потерями Ну отстает по фазе от Еx на величину d /2 (в среде с магнитными потерями, когда комплексной величиной является m , Ну опережает Еx), поверхность равных фаз совпадает с поверхностью равных амплитуд. Для сред с tg d >>1 (металлы) , d®p/2, v =,, ZS= – поверхностный импеданс металла. На границе с хорошо проводящей средой используются приближенные граничные условия: [En] = ZS[n[nH]] — граничные условия Леонтовича.

В среде с потерями поток мощности через единицу поверхности П=[EH*] становится комплексным.

Мгновенное значение Пz равно

Пz=cos(w t-b z)cos(w t-b z —d/2) = [cos2(wt-bz)cos(d/2) + 0.5sin2(w t-b z)sin(d/2)]. Первое слагаемое определяет пульсирующий поток, т. е. мощность, переносимую волной, второе – колеблющийся с удвоенной частотой поток мощности, среднее за период значение которого равно нулю (часть периода поток мощности направлен в обратную сторону). Скорость переноса энергии определяется отношением среднего за период потока мощности к средней плотности энергии vэ = Пср/Wср. В плоской свободной волне запас электрической энергии равен запасу магнитной энергии Wэ = Wм, следовательно Wср= 0,5 Re(Wэ+ Wм) = Re(||e—id +) = ||(cos d+1)=||cos2 (d/2). Пср=0.5Re(e—id/2)= =cos d/2 . Таким образом, vэ = 1/cos (d/2), т. е. при наличии потерь скорость переноса энергии становится меньше.

На рисунке показана временная зависимость вещественной (сплошная линия) и мнимой (пунктирная линия) частей вектора Пойнтинга 1. , , Сухоруков волн. — М.: Наука, 1979. 2. Вайнштейн волны. — М.: Радио и связь, 1988 3. Матвеев .- М.: Высш. школа, 1985. Дисперсия волн. Волновой пакет. Фазовая и групповая скорости. Нормальная и аномальная дисперсии. Дисперсионное уравнение. Плоская гармоническая волна, распространяющаяся вдоль z, имеет вид: E = Eoe– aze– i (bz – wt), где в общем случае a = a(w), b = b(w). Для плоской волны должно быть: wdt –bdz = 0, откуда – фазовая скорость (скорость перемещения фазового фронта). Если b(w), то vф(w), причем может быть vф > c. Означает ли это, что можно передать информацию со скоростью, превышающей скорость света с ? Рассмотрим распространение колебания более сложной формы (сигнал). Пусть в точке z = 0 имеется сигнал f(t) с амплитудным спектром . Каждой составляющей спектра соответствует плоская гармоническая волна, следовательно в точке z > 0 имеем: . Если b=b(w), можем перейти к пространственному спектру, т. е. dw®db, тогда . Выделим вблизи максимума огибающей спектра с частотой wо участок спектра 2Dw = w1 — w2. Пусть Dw vф (vф ω) – аномальная. Если совпадают по направлению – дисперсия положительная, Если имеют противоположные направления – дисперсия отрицательная. Отрицательной аномальной дисперсии быть не может. Если vгр имеет физический смысл, то это скорость переноса энергии. Дисперсионное уравнение. В произвольных линейных средах без искажений может распространяться только плоские гармонические волны, удовлетворяющие уравнению Â(p) = 0, где Â – линейный однородный оператор (для сред, подчиняющихся волновому уравнению Â =). Чтобы гармоническая волна сохраняла форму при любой частоте, необходимо, чтобы в числе решений было решение вида: p = eiw t ± i (kr). Пусть Â переводит р в некоторую функцию q: Â( p) = q. Если qº0, то p – свободная волна в данной среде. Продифференцируем по t, учитывая линейность и однородность Â: , т. е. , где комплексная амплитуда не зависит от t, но может зависеть от w. Подставив p и q в уравнение Â( p) = q, получим уравнение, не зависящее от t, и содержащее w как параметр. Если продифференцировать по координатам, получим: Ñq=ÑÂ(p)=Â(±ikp)= ±ikÂ(p)= ±ikq, т. е. Ñq=±ikq, следовательно, можно представить q в виде: q=f(w,k)eiw t ± i(kr), где f(w,k) кроме w и k может зависеть только от коэффициентов оператора. При произвольных w и k p = eiw t ± i (kr) не свободная волна, т. к. не является решением уравнения Â( p) = 0. Чтобы определить, какие свободные волны могут распространяться (имеют право на существование) в данной среде, необходимо выбрать такие w и k, чтобы . Это уравнение называют дисперсионным уравнением. Каждому значению w соответствует решение этого уравнения относительно k, и каждому k – относительно w. Для изотропной среды это уравнение содержит только |k| и его можно привести к виду – дисперсионное уравнение для данной среды. а) Дисперсионное уравнение, соответствующее волновому уравнению, есть k2 – w2 ¤ c2, где с – const. В этом случае vф = с, ® дисперсии нет. б) Для волн на поверхности воды потенциал скорости удовлетворяет уравнениям Ñ2j = 0, . Ищем волну в виде: j = еiw t – i k x – k z. Получаем дисперсионное уравнение: . Отсюда vф= g /w, т. е. vф зависит от w, следовательно, существует нормальная дисперсия (vф в) Уравнение поперечного смещения стержня при малых колебаниях имеет вид: , где G – коэффициент изгибной жесткости. Ищем решение в виде: еiw t – i k x, получаем дисперсионное уравнение , откуда , т. е. имеется аномальная дисперсия (vф 1. , , Сухоруков волн. — М.: Наука, 1979. 2. Исакович акустика. — М.: Наука, 1978. 4. Прохождение плоской волны через границу раздела двух сред. Коэффициенты Френеля. Явление полного внутреннего отражения. Угол Брюстера. Приближенные граничные условия Леонтовича. Пусть плоская волна из среды с параметрами e1 m1 падает на плоскую границу раздела со средой, имеющей параметры e2 m2. При этом часть мощности отражается, часть проходит во вторую среду, вследствие чего возникают отраженная и преломленная волны. Плоскость, содержащая нормаль к границе раздела и волновой вектор (или вектор Пойнтинга) падающей волны называется плоскость падения. Чтобы определить соотношения между комплексными амплитудами падающей, отраженной и преломленной волн, достаточно рассмотреть два частных случая для линейно поляризованных волн: нормально поляризованная волна (вектор Е нормален к плоскости падения) и параллельно поляризованная волна (вектор Е лежит в плоскости падения). 1. Нормально поляризованная волна q – угол падения, q¢– угол отражения, y – угол преломления. Поле падающей волны: Н1=( yosinq + zocosq)H1, H1= exp[-ik1(-ycosq+zsinq)], компоненты поля отраженной волны: Е¢1х=Еотрexp[-ik1(ycosq¢+zsinq¢)], H¢1= –exp[-k1(ycosq¢+zsinq¢)]. компоненты поля преломленной волны: Е2х=Епрexp[-ik2(ycosy+zsiny)], H2=exp[-ik2(ycosy+zsiny)]. На границе раздела (у = 0) должны выполняться граничные условия: Еt1 = Еt2, Нt1 = Нt2. Для нормально поляризованной волны имеем: Еt1 = Епадexp(-ik1zsinq) + Еотрexp(-ik1zsinq¢), Еt2= Епрexp(-ik2zsiny). Чтобы условие Епадexp(-ik1zsinq) + Еотрexp(-ik1zsinq¢) = Епрexp(-ik2zsiny) выполнялось при любых z, должно выполняться k1sinq = k1sinq¢= k2siny, откуда следует: sinq = sinq¢ и k1sinq = k2siny – законы Снелиуса. Учитывая Нt1= (– )cosq и Ht2= cosy, запишем граничные условия в виде: откуда , , где R^ и T^ – коэффициенты Френеля для нормально поляризованной волны. (R^ – коэффициент отражения, T^ – коэффициент прохождения). Согласно закону сохранения энергии R2^ + T2^= 1. , ,

Компоненты поля в первой и во второй средах имеют вид:

2. Параллельно поляризованная волна

Поле падающей волны:

компоненты поля отраженной волны:

компоненты поля преломленной волны:

Н2х=Нпрexp[-ik2(ycosy+zsiny)], Е2= НпрZ02exp[-ik2(ycosy+zsiny)].

На границе раздела (у=0) для любых z должно выполняться

Нпадexp(-ik1zsinq) + Нотрexp(-ik1zsinq¢) = Нпрexp(-ik2zsiny),

Откуда следуют законы Снелиуса: sinq = sinq¢ и k1sinq = k2siny.

Учитывая Еt1= (НпадZ01+ НотрZ01)cosq и Еt2= НпрZ02cosy, запишем граничные условия для параллельно поляризованной волны в виде:

откуда , ,

где Rêê и Têê – коэффициенты Френеля для параллельно поляризованной волны. (Rêê – коэффициент отражения, Têê – коэффициент прохождения). R2êê + T2êê= 1.

, ,

Компоненты поля в первой и во второй средах имеют вид:

Для диэлектриков m1= m2= m0, и коэффициенты Френеля можно записать в виде:

,

где – показатели преломления первой и второй среды, соответственно.

Анализ этих выражений показывает, что для параллельно поляризованной волны существует угол падения qБ = p/2 – y, при котором R||=0. Этот угол, определяемый из соотношения tgqБ=, называется угол Брюстера или угол полной поляризации, т. к. при падении под углом qБ на границу раздела волны с произвольной поляризацией отраженная волна становится нормально поляризованной, т. е. имеет линейную поляризацию.

Из закона Снелиуса sin y = следует, что в случае n1>n2 (волна надает из более плотной среды) существует критический угол падения qкр, при котором siny =1. Если q >qкр, то siny >1 (это возможно, если y мнимая величина), и cosy = также становится мнимой величиной. В этом случае поле во второй среде имеет характер неоднородной плоской волны (боковой волны), скорость которой меньше скорости света, амплитуда в направлении нормали к границе раздела убывает по закону , т. е. вдали от границы раздела поле отсутствует, энергия переносится вдоль границы. Это явление называется полным внутренним отражением.

При падении волны из свободного пространства на границу раздела с хорошо проводящей средой, у которой tgd>>1, siny Þ 1, т. е. тангенциальные компоненты поля на поверхности проводника непрерывно переходят в поперечные компоненты поля уходящей вглубь проводника волны. Соотношение между ними можно записать в виде Еt=Zos[Htyo], где Zos – поверхностный импеданс проводящей среды, yo – орт нормали к границе раздела. Это импедансное граничное условие называют приближенным граничным условием Леонтовича.

1. , Зернов поля и волны. — М.: Сов. радио, 1971.

2. , Никольская и распространение радиоволн. М. Наука, 1989

Волны в анизотропных средах

Для изотропных сред, свойства которых не зависят от направления, B = mH и D = eE, где e и m — скалярные величины, следовательно: Bx= mHx, By=mHy, Bz=mHz, Dx= eEx, Dy=eEy, Dy=eEy. Существуют анизотропные среды, которые в разных направлениях имеют различные свойства, т. е. связь между проекциями векторов B и H или D и E описывается соотношениями

Bx= mxxHx+ mxyHy + mxzHz, By= myxHx+ myyHy + myzHz, Bz= mzxHx+ mzyHy + mzzHz, .

Dx= exxEx+ exyEy + exzEz, Dy= eyxEx+ eyyEy + eyzEz, Dz= ezxEx+ ezyEy + ezzEz, .

Формально эту связь принято представлять в виде и , где и являются тензорами диэлектрической и магнитной проницаемости, соответственно:

В природе неизвестны вещества, у которых одновременно e и m имеют тензорный характер, поэтому в дальнейшем будем рассматривать вещества, обладающие или диэлектрической или магнитной анизотропией.

Типичными представителями анизотропных сред являются намагниченные плазма и феррит.

Плазма — электрически нейтральный газ, в котором значительная часть атомов или молекул ионизирована

Под действием электрического поля на каждый электрон действует сила Fk= –Eeo (кулоновское взаимодействие). Если движущийся со скоростью v электрон находится в постоянном магнитном поле Н=, на него действует сила Лоренца Fл = –eomo[vH=], вследствие чего электрон получает также вращательное движение. В этом случае уравнение движения электрона имеет вид: , где r – смещение электрона относительно исходного положения, mо и eо – масса и заряд электрона. При смещении электрон приобретает электрический момент p = reo. Пусть H== zoH= и E=Eeiwt. Решение ищем в виде r = reiwt. Если N – концентрация электронов, то электрический момент единицы объема (вектор электрической поляризации) Ре=Nreo. Тогда уравнение движения для единицы объема (без учета столкновения электронов): –w2moPe=NeoE–iweomoH=[Pezo]. Обозначив wm= moeoH=/mo – частота гиромагнитного резонанса (частота вращения электрона) и wo = eo2N ¤ mo eo – критическая частота плазмы, имеем . Учитывая, что D=Pe+eoE, получаем: , где , , . При изменении направления Нz меняется знак b.

Продольное распространение плоской волны в намагниченной плазме

При продольном распространении (вдоль H=) . Решение ищем в виде плоских гармонических волн: Ez=Hz=0, Ex, y=E0x, y e–ikz, Hx, y=e–ikz. Подставляя в уравнения Максвелла [ÑH]=iwE, [ÑE]=–iwmH, имеем систему уравнений:

–ik= –iw(exE0x–ibE0y) , kE0y= wm,. из второй пары уравнений k=wm /Z01, k=wm /Z02.

ik= iw(ibE0x+exE0x), kE0x= wm Подставляя в первую пару, получаем

(k2–w2exmo)E0x= –iw2bmoE0y откуда следует Е0y= iE0x и дисперсионное уравнение:

(k2–w2exmo)E0y= iw2bmoE0x, (k2–w2exmo) = ±w2bmo или k1,2 = w, Z01,2=.

Таким образом, получили два решения, следовательно в намагниченной плазме одновременно распространяются две волны с волновыми числами k1=w и k2=w, имеющие разные волновые сопротивления Z01 = и Z02 =:

Ex1=E01cos(wt–k1z) волна круговой Ex2=E02cos(wt–k2z) волна правого вращения,

Ey1=E01sin(wt–k1z) поляризации левого Ex2=E02sin(wt–k2z) при ex=b, k2 Þ 0, поэтому ее

Hx1= – sin(wt–k1z) вращения H02= sin(wt–k2z) называют необыкновенная волна.

Hy1= –cos(wt–k1z) k1=ko Hy2= cos(wt–k2z) k2=ko

Необыкновенная волна при w Þ wm исчезает вследствие резонансного поглощения (явление гиромагнитного резонанса). Полное поле можно представить в виде: Еx=Ex1+Ex2=2Eocos[0.5(k1–k2)z]cos[wt–0.5(k1–k2)z], Еy=Ey1+Ey2=2Eosin[0.5(k1–k2)z]cos[wt–0.5(k1–k2)z], в каждый момент времени Еx и Еy синфазны, угол наклона вектора Е относительно оси x: q = arctg(Ex/Ey) = 0.5(k1–k2)z, т. е. поле имеет линейную поляризацию, но плоскость поляризации медленно вращается при распространении волны. Это явление называется эффект Фарадея. Угол, на который поворачивается плоскость поляризации при прохождении волной единицы длины q! = 0.5(k1–k2), называется постоянная Фарадея. Среды, в которых наблюдается эффект Фарадея, называются гиротропными (вращающими). Этот эффект невзаимный, т. к. при изменении направления Н= меняет знак b. Поскольку Z01 ¹Z02, поле Н имеет эллиптическую поляризацию.

Поперечное распространение в намагниченной плазме

При поперечном распространении (вдоль оси х) . Тогда уравнения Максвелла имеют вид:

0 = iw(exEx–ibEy) = iwmoHy Ищем решение в виде Ex, y= E0x, yeikx. Подставляя в уравнения

= iw(ibEx+exEy) = iwmoHz Максвелла, получаем две системы уравнений, описывающих

= iwezEz Hx = 0 поведение двух волн:

kH0y = wezE0z дисперсионное уравнение для этой волны: k2 = w2ezmo или . Эта

kE0z = wmoH0y волна «не чувствует» постоянного магнитного поля и называется обыкновенной. Волновое сопротивление обыкновенной волны Zоб=, фазовая скорость – vоб = .

kE0y = wmoH0z Эта волна кроме поперечной имеет продольную составляющую вектора Е, причем

kH0z = w(ibE0x+ exE0y) E0x находится в квадратуре с E0y, т. е. вектор Ен вращается в плоскости x0y.

exE0x = ibE0y Исключая E0x и H0z, получаем дисперсионное уравнение для этой волны: , откуда kн = . Вследствие таких особенностей эта волна называется необыкновенной. Волновое сопротивление для необыкновенной волны Zн=, фазовая скорость – vн = При отсутствии потерь вектор Пойнтинга имеет вещественную продольную составляющую и мнимую поперечную. Учитывая видим, что при w Þwm, ex Þ – ∞, vн Þ 0, т. е. эта волна исчезает (поперечный магнитный резонанс). При поперечном распространении (для w ¹ wm) полное поле H = y0Hоб + z0Hн, E = z0Eоб + Eн. Поскольку и kн ¹ kоб, при поперечном распространении волны периодически меняется вид поляризации. Это явление называется эффект Коттона — — Мутона.

Аналогичные явления имеют место и при распространении волн в намагниченном феррите – веществе, обладающем магнитными свойствами ферромагнетиков (mотн=5¸10000) и электрическими свойствами диэлектриков (eотн=5¸20). В магнитном поле магнитная ось атома прецессирует вокруг направления поля Н=, вследствие чего магнитная проницаемость феррита становится тензором

, где , a = mо. Для получения выражений, описывающих поведение волн в феррите, достаточно воспользоваться принципом двойственности, т. е. в выражениях для плазмы сделать взаимную замену: H Û E, e Û –m.

Литература. , Зернов поля и волны. — М.: Сов. радио, 1971.

Излучение волн. Ближняя и дальняя зоны. Диаграмма направленности линейного излучателя. Понятие области мнимых углов. Излучение волн плоским раскрывом.

Излучение – процесс преобразования энергии источника в энергию свободных волн. Математически задача сводится к решению неоднородного волнового уравнения. В случае электромагнитных волн удобнее использовать векторные потенциалы: Ñ2Ae+ k2Ae = –j ст e, Ñ2Am+ k2Am = –j ст m, где Ae и Am– электрический и магнитный векторные потенциалы, j ст e и j ст m– объемные плотности электрических и магнитных сторонних токов, заданных в объеме Va. Используя метод функции Грина, запишем решение в виде:

, (1)

где – координаты точки наблюдения, – координаты точки источника, r– расстояние от точки источника до точки наблюдения. Для вычисления компонент поля используются соотношения:

Если rо и r¢ радиус-векторы точки наблюдения и точки источника, то , где a –угол между rо и r¢. При rо > r¢, разложив в ряд Тейлора, имеем: r = rо– r¢cosa + (r¢2sin2a)/2ro+( r¢3cosasin2a)/2 r2о+ … .

В зависимости от расстояния до точки наблюдения используются разные приближения:

а) при r >> r¢, дальняя зона (зона Фраунгофера) в показателе экспоненты используется первое приближение: r @ rо– r¢cosa. Минимальное значение rмин, (граница дальней зоны) начиная с которого можно пользоваться этим приближением, определяется из условия (r¢2sin2a)/2ro

выражение (1) имеет вид

.

При вычислении Е и Н по формулам (2) отбрасываются слагаемые, пропорциональные r–2 и r–3. Тогда Еq= – ik(ZоАqе+Аjм), Еj=–ik(ZоАjе+Аqм), Еr=0; Нj= Еq ¤ Zо, Нq= –Еj ¤ Zо, Нr=0; где Zо– волновое сопротивление среды;

Аq=Аxcosq cosj+Аycosq sinj +Аzsinq , Аj= –Аxsinj +Аycosj, Аr=Аxsinq cosj+Аysinq sinj + Аzcosq.

В общем случае поле в дальней зоне можно представить в виде: Е= Еоf(q,j)p(q,j)eiY(q,j). Таким образом, в дальней зоне а) поле поперечно; б) в окрестности точки наблюдения Еq=НjZо, Еj=НqZо, т. е. поле имеет характер плоской волны; в) в общем случае поле имеет эллиптическую поляризацию, которая определяется векторной функцией p(q,j) (поляризационной характеристикой); г) зависимость поля от расстояния , т. е. поле является суперпозицией сферических волн; д) угловое распределение в дальней зоне не зависит от r и определяется функцией f(q,j), которая называется амплитудная диаграмма направленности (зависимость амплитуды поля от направления в дальней зоне при фиксированном расстоянии). Форма диаграммы направленности (ДН) характеризуется направлением максимума qо,jо, шириной главного лепестка (на уровне половинной мощности) Dq0,5, Dj0,5 и уровнем боковых лепестков УБЛ (отношение амплитуд максимально бокового лепестка и главного); е) поток мощности Пr=(|Еq|2+|Еj|2)/2Zо, Im П=0; ж) форма поверхности равных фаз зависит от фазовой диаграммы направленности Y(q,j), и не всегда является сферой с центром в начале координат. Если поверхность равных фаз сфера, то ее центр называется фазовым центром излучателя.

При r l быстрее изменяется fc(q), поэтому рассмотрим зависимость множителя системы от скорости волны тока, определяемой значением b. Введем величину y=kcosq, имеющую смысл пространственной частоты (–¥ k, называется областью мнимых углов, т. к. при этом cosq>1. Видно, что уменьшение скорости волны тока приводит к смещению максимума ДН от нормали к оси излучателя. Если скорость волны тока меньше скорости света (b>k), большая часть энергии “излучается” в область мнимых углов, т. е. отсутствует в дальней зоне и находится вблизи излучателя.

Для синфазного излучателя Dq0,5=51оl / L, УБЛ=0.21.

Излучение волн плоским раскрывом (апертурой)

Пусть на прямоугольной площадке, расположенной в плоскости x,y задано распределение поверхностных токов Je, m(x¢, y¢). В дальней зоне , где u = ksinqcosj, v = ksinqsinj, S = a×b – площадь раскрыва. Тогда Eq= –ik(ZoAeycosqsinj – Amxsinj) = ,

Ej= –ik(ZoAeycosj– Amx cosqcosj)= . Если источником излучения

является поверхность с заданным на ней распределением электромагнитного поля, например раскрыв рупорной антенны, то согласно принципу эквивалентных токов Je=[Hn], Jm= – [En]. В этом случае Jmx= Eаy, Jey= – Hаx= – Eаy/Zф (здесь Zф= Eаy/Hаx – сопротивление фронта волны, возбуждающей раскрыв) и выражения для полей имеют вид:

Таким образом, излученное поле является суперпозицией сферических волн, имеет в общем случае эллиптическую поляризацию и диаграмма направленности излучателя может быть представлена в виде произведения множителя элемента на множитель системы: f(q, j) = fэ (q, j)fc(q, j), где fэ (q) = при j = 0, и fэ (q) = при j = 90о, т. е. при Zф @ Z0 ДН элемента излучающей поверхности имеет форму кардиоиды. Если Eаy(x¢,y¢) = Eа1y(x¢)×Eа2y(y¢), то множитель системы fc(q, j) = = , и при равномерном синфазном распределении поля в раскрыве fc(q, j) = .

Литература

1. , , Грудинская и распространение радио­волн. — М.:Сов. радио,1979.

Электромагнитные волны в направляющих системах. ТЕ, ТМ и ТЕМ волны. Критическая частота. Длина волны в направляющей системе. Волновое сопротивление линии передачи.

Плоские однородные волны – простейший тип волнового процесса. При наличии границ возникают неоднородные плоские волны, распространяющиеся вдоль этих границ, т. е. возникают плоские направляемые волны. Это делает возможным передачу энергии на большие расстояния с минимальными потерями. Варианты конструктивного исполнения направляющих систем (линий передачи) приведены на рисунке.

Будем считать эти системы продольно однородными (их свойства сохраняются в одном прямолинейном направлении, например, вдоль оси z). Свободные плоские гармонические волны, способные распространяться в направляющей системе, определяются из однородных уравнений Гельмгольца: Ñ2Е + k2E = 0, Ñ2H + k2H = 0. В отличие от плоской волны в неограниченном пространстве, в направляющих системах могут существовать неоднородные плоские волны, имеющие продольную составляющую поля Еz или Нz. Связь между продольными и поперечными составляющими поля определим, используя метод разделения переменных, т. е. полагая Е = Е^(x,y)×exp(±igz), H = H^(x,y)×exp(±igz). Здесь g – продольное волновое число, определяющее скорость распространения волны вдоль z. Для поперечных компонент поля имеем Ñ2Е^+ (k2– g2) E^= 0, Ñ2Н^+ (k2– g2) Н^= 0, где (k2– g2) = c2 – поперечное волновое число, k2 = w2em, e и m – параметры среды, заполняющей линию передачи. Используя координатную запись однородных уравнений Максвелла относительно комплексных амплитуд Е и Н, имеем:

rot H = iweE + igHy = iweEx igEx+ = iwmHy решая относительно Еx и Нy, а затем

rot E = –iwmH + igEy = –iwmHx igHx + = – iweEy относительно Еy и Нx, получаем систему уравнений, связывающих поперечные и продольные составляющие поля:

полагая E┴ = xoEx+ yoEy и H┴ = xoHx+ yoHy ,

в векторной форме имеем:

, т. о., для нахождения структуры поля достаточно решить Ñ2Еz+ c2 Ez = 0 и Ñ2Hz+ c2 Hz = 0. В зависимости от структуры поля направляемые волны делятся на

поперечные – ТЕМ или Т волны (отсутствуют продольные составляющие поля),

электрические – ТМ или Е волны (имеется продольная составляющая электрического поля),

магнитные – ТЕ или Н волны (имеется продольная составляющая магнитного поля),

гибридные – ЕН волны (имеется продольные составляющие электрического и магнитного поля).

Критическая частота: для волн Е и Н типа из c2 = (k2– g2) следует, что является вещественной величиной, если c £ k, в этом случае Е

exp(–igz), т. е. амплитуда волны, распространяющейся вдоль z остается постоянной и меняется только фаза. Если c > k, то g – мнимая величина, следовательно, постоянной остается фаза и по экспоненте убывает амплитуда. При g= 0 имеем: c = k = 2pfкр , где fкр= c /2p – критическая частота, которой соответствует критическая длина волны lкр=2p/c. Таким образом, длина волны в направляющей системе , фазовая скорость vф = , и передача энергии по волноводным линиям (трубам) возможна только при f >fкр.

Для ТЕМ волн (Еz =0 и Нz = 0) c2= 0, следовательно, g = k и fкр= 0, т. е. передача энергии возможна на всех частотах, включая нулевую (постоянный ток).

Волновое сопротивление линий передачи определяется исходя из следующих соображений:

используя систему уравнений, связывающих продольные и поперечные составляющие поля, получаем

для Е(ТМ) волн (Нz=0): , , откуда , т. е. , где Z0= – волновое сопротивление среды, заполняющей линию передачи.

Для Н(ТЕ) волн (Еz=0): , , откуда , т. е.

. Для ТЕМ волн (Нz=Еz=0, g=k) имеем: , откуда . Поскольку ТЕМ волны могут существовать только в двухпроводных линиях, если расстояние между проводниками > 2(ÑA)( ÑL) ® koAn >>(ÑA) (т. к. |ÑL| = n), или || > Ñ2L ® 2-я производная связана с кривизной ПРФ. Для плоской кривой L=f(x) радиус кривизны

, полагая , имеем , т. е. радиус кривизны волнового фронта должен быть>>l. С другой стороны, |Ñ2L|=|Ñ(ÑL)|=|Ñn|, т. е. , следовательно

изменение n на длине волны должно быть > Ñ2A – это условие связано с кривизной поверхности равных амплитуд rА и может быть записано в виде 2pnrA/l >>l/2pnA2, т. е. радиус кривизны ПРА, отнесенный к l, должен быть >> l. Чтобы пренебречь дифракционными явлениями размер фронта волны D должен быть >> l/n. Эти условия не выполняются в точках, где пересекаются лучи (фокус оптических систем); в средах с резкими неоднородностями; в мутных средах; при прохождении поверхностей с поглощающими экранами и т. д.

В неоднородной среде луч, соединяющий две точки р1 и р2, является кривой линией. Для каждой точки луча имеем: dL= (grad L×dr)=| grad L||dr|=k0n(r)dl, где dr направлен по лучу, dl – элемент длины пути. Изменение фазы вдоль луча равно . Принцип Ферма утверждает, что интеграл вдоль луча имеет стационарное значение, т. е. первая вариация dL относительно соседних путей интегрирования равна нулю. Учитывая, что dl/v = dt и n(r)=c/v(r), где dt – время прохождения пути dl со скоростью v, с – скорость света в вакууме, имеем =, где интеграл дает время, затрачиваемое светом на прохождение пути от р1 до р2. Это позволяет сформулировать принцип Ферма следующим образом: лучом, соединяющим две точки является тот путь, который делает стационарным время, затрачиваемое на его прохождение. Ферма в 1657г. сформулировал его следующим образом «Природа всегда следует наикратчайшему пути». Однако таких путей может быть много, например, оптические длины всех путей, соединяющих точку предмета с точкой изображения, одинаковы (принцип таутохронизма).

В однородной среде луч – прямая линия. При переходе границы раздела между двумя различными средами луч меняет направление. Соединим лучом точку р1(0,у1) в среде с показателем преломления n1 с точкой р2(а,у2) в среде с показателем преломления n2. Луч пересекает границу раздела в точке (х,0). Полное время распространения света от р1 до р2 равно t = . Используя условие стационарности , получаем: . Учитывая, что , , где q – угол между направлением луча и нормалью к границе раздела, имеем: n1sinq1 = n2sinq2 – закон преломления.

В плоскослоистой среде луч искривляется. Это явление называется рефракция. Радиус кривизны луча r для плоскослоистой среды определяется следующим образом: согласно рисунку r=ab/dq. Из закона преломления имеем: nsinq= =(n+dn)sin(q+dq) »nsinq +ncosq dq +sinq dh. Отсюда ncosq dq = = – sinqdh. Из подобия треугольников abc и Оab находим . Таким образом, .

Для нормального состояния атмосферы и радиус кривизны луча в радиодиапазоне rрад»25000км, в оптическом диапазоне – rоп»50000км. При расчете радиотрасс считается, что луч распространяется по прямой, q=90о, но радиус Земли принимается равным , где аз – радиус Земли, равный 6370 км. Для нормальной атмосферы и аэкв= 8500 км, т. е. расстояние прямой видимости увеличивается приблизительно на 15%.

В зависимости от состояния атмосферы различают следующие типы рефракции:

а) – отрицательная (луч отклоняется от Земли), аэкв аз.

г) – критическая (луч параллелен поверхности Земли), аэквÞ ¥.

д) – сверхкритическая ( луч возвращается к Земле), аэкв