Волновые уравнения их физический смысл

Уравнения Максвелла и волновое уравнение

Электромагнитные волны

В процессе распространения механической волны в упругой среде в колебательное движение вовлекаются частицы среды. Причиной этого процесса является наличие взаимодействия между молекулами.

Помимо упругих волн в природе существует волновой процесс иной природы. Речь идет об электромагнитных волнах, представляющих собой процесс распространения колебаний электромагнитного поля. По существу мы живем в мире ЭМВ. Их диапазон невероятно широк – это радиоволны, инфракрасное излучение, ультрафиолетовое, рентгеновское излучения, γ – лучи. Особое место в этом многообразии занимает видимая часть диапазона – свет. Именно с помощью этих волн мы получаем подавляющее количество информации об окружающем мире.

Что такое электромагнитная волна? Какова ее природа, механизм распространения, свойства? Существуют ли общие закономерности, характерные как для упругих, так и для электромагнитных волн?

Уравнения Максвелла и волновое уравнение

Электромагнитные волны интересны тем, что первоначально они были «открыты» Максвеллом на бумаге. Основываясь на предложенной им системе уравнений, Максвелл показал, что электрическое и магнитное поля могут существовать в отсутствие зарядов и токов, распространяясь в виде волны со скоростью 3∙10 8 м/с. Спустя почти 40 лет предсказанный Максвеллом материальный объект – ЭМВ – был обнаружен Герцем экспериментально.

Уравнения Максвелла являются постулатами электродинамики, сформулированными на основе анализа опытных фактов. Уравнения устанавливают связь между зарядами, токами и полями – электрическим и магнитным. Обратимся к двум уравнениям.

1. Циркуляция вектора напряженности электрического поля по произвольному замкнутому контуру l пропорциональна скорости изменения магнитного потока через поверхность, натянутую на контур (это закон электромагнитной индукции Фарадея):

(1)

Физический смысл этого уравнения – меняющееся магнитное поле порождает электрическое поле .

2. Циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произвольному замкнутому контуру l пропорциональна скорости изменения потока вектора электрической индукции через поверхность, натянутую на контур:

(2)

Физический смысл этого уравнения – магнитное поле порождаетcя токами и меняющимся электрическим полем .

Даже без каких-либо математических преобразований этих уравнений понятно: если в какой-то точке меняется электрическое поле, то в соответствии с (2) возникает магнитное поле. Это магнитное поле, изменяясь, порождает в соответствие с (1) электрическое поле. Поля взаимно индуцируют друг друга, они уже не связаны с зарядами и токами!

Более того, процесс взаимного индуцирования полей будет распространяться в пространстве с конечной скоростью, то есть возникает электромагнитная волна. Для того, чтобы доказать факт существования в системе волнового процесса, в котором колеблется величина S, необходимо получить волновое уравнение

Рассмотрим однородный диэлектрик с диэлектрической проницаемостью ε и магнитной проницаемостью μ. Пусть в этой среде существуют магнитное поле . Для простоты будем полагать, что вектор напряженности магнитного поля располагается вдоль оси ОY и зависит только от координаты z и времени t: .

Записываем уравнения (1) и (2) с учетом связи между характеристиками полей в однородной изотропной среде: и :

Найдем поток вектора через прямоугольную площадку KLMN и циркуляцию вектора по прямоугольному контуру KLPQ ( KL = dz, LP= KQ = b, LM = KN = a)

Очевидно, что поток вектора через площадку KLMN и циркуляция по контуру KLPQ отличны от нуля. Тогда циркуляция вектора по контуру KLMN и поток вектора через поверхность KLPQ тоже отличны от нуля. Такое возможно только при условии, что при изменении магнитного поля возникло электрическое поле , направленное вдоль оси ОX.

Вывод 1: При изменении магнитного поля возникает электрическое поле, напряженность которого перпендикулярна индукции магнитного поля .

С учетом сказанного система уравнений перепишется

После преобразований получаем:

Продифференцируем первое уравнение (1.1) по координате z, второе уравнение (2.1) – по времени t:

Электрическое поле, порождаемое меняющимся магнитным полем, подчиняется волновому уравнению! Это означает, что возникшее электрическое поле подчиняется законам распространения волн.

Нетрудно видеть, что если продифференцировать первое уравнение (1.1) по времени t, второе уравнение (2.1) — по координате z , получим уравнение

Магнитное поле тоже подчиняется волновому уравнению, причем волна бежит в том же направлении, что и волна .

Дата добавления: 2018-09-25 ; просмотров: 3453 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Волновые уравнения их физический смысл

4 .1. Физический смысл решения волнового уравнения аналитическими функциями комплексного пространственного переменного. Вихрь как причина образования заряда в пространстве.

Рассмотрим волновые уравнения, описывающие различные физические среды. Например, распространение звука в среде описывается уравнением

где функция ¦ — описывающая поведение среды (воздуха) — скорость звука

Далее, если плоская световая волна распространяется вдоль оси x и поляризована так, что электрическое поле E направлено по оси y, то имеем

где c — скорость света.

Уравнение (4.2) является следствием уравнения Максвелла. Уравнения (4.1.), (4.2.) согласно современному представлению теоретической физики, являются уравнением одномерных волн. Для их вывода используется векторная интерпретация точечного вихря. Уравнения содержат временную координату. Эти два условия говорят о том, что в пространстве можно получить решение непосредственно из его физической сущности.

Так, решением одномерного волнового уравнения

в действительных координатах является функция

,

где представляют жесткое перемещение вдоль оси x (рис. 42, рис. 43).

Рис. 42. Жесткое перемещение плоской волны по направлению действительной оси

Рис. 43. Образование крутящего момента в пространстве при отображении пространства конуса-фильтра делителей нуля

В пространстве векторная операция точечного вихря определяет функцию от комплекса

, где ,

как функцию двух действительных функций от двух действительных переменных

В соответствии с определением производной от этой функции по формуле ( 1.26. ) будем иметь

Откуда, приравняв комплексные части получим пространственный ротор. В пространстве имеем два вектора, имеющих начало в окрестности e -туннеля. Вектора лежат

в двух взаимно перпендикулярных плоскостях так, что образуется крутящий момент (рис. 4 3).

Из формулы (4.3) имеем систему уравнений, дающих волновое уравнение.

.

Такой подход вскрывает механизм распространения электромагнитной волны (рис. 44), образованной из двух волн электрической E и магнитной H) и существующей благодаря наличию светового e -туннеля как одна волна.

Рис.44. Пространственная электромагнитная волна в комплексной интерпретации

Таким образом, решением волнового уравнения является функция и решение принадлежит четырехмерному пространству, а не плоскости, как считалось до настоящего времени.

Комплексные части аналитических функций, определенных в пространстве , являются решением волнового уравнения.

В теоретической физике рассматривается волновое уравнение, определенное в четырехмерном пространстве. Например, вектор Е электрической напряженности описывается пространственным уравнениям.

.

Решение этого уравнения представляется в виде суперпозиции решений одномерного уравнения. В решение входят волны, бегущие в направлении оси x , если поле не зависит от у, x , а также от у, если поле не зависит от х и x и так далее. В общем случае решение содержит суперпозицию волн, идущих в любых направлениях пространства.

Математического аппарата для получения общего уравнения в теоретической физике не существует, поэтому его сводят к решению уравнения (4.4), вводя вместо переменных x, у, x переменную r

.

После замены переменных в уравнении (4.4) и преобразований получим уравнение сферических волн, исходящих из центра точечного источника.

Решением в общем случае является Функция

.

описывающая первым своим членом сходящуюся волну (рис. 45).

В решении (4.5) функция y в начале координат бесконечна. Решение физически означает, что в начале координат располагается источник и поэтому решение не отвечает

Рис. 45. Сходящаяся волна

свободному волновому уравнению, следовательно, и начало координат не отвечает свободному волновому уравнению, Начало координат исключается из рассмотрения. Теоретическая физика в настоящее время не может объяснить этот момент.

В комплексном пространстве ситуация меняется. По аналогии с решением одномерного волнового уравнения составим решение в пространстве, которым будет функция от комплекса

,

В этом решении параметр r уже ограничен градусом e — туннеля, ибо при

функция определяется от делителей нуля. Это первая особенность решения, которая снимает вопрос об образовании волн в пространстве без наличия точечного источника — заряда.

Точечным зарядом в пространстве служит наличие в пространстве e -туннеля, Если e -туннель не закрыт структурой пространства более высокой размерности, то это пространство следует считать заряженным, в противном случае — нейтральным.

Отображение, осуществляемое функцией , позволяет определить в новых координатах, которыми будут комплексные части функции, туннель определенной уже физической природы. В окрестности этого нового туннеля комплексные части, выступающие как векторы, образуют крутящий момент (рис. 46)

Рис. 46. Образование пространственной волны

Аналитические функции, определенные в комплексном пространстве, дают решение волнового уравнения в более общем виде. Условия дифференцирования функции дают жесткие ограничения, которые представляют в принципе физический принцип суперпозиции волн.

Если дана функция

,

то действительные функции U, V, P, Q от действительных переменных удовлетворяют системе из четырёх эллиптических :

; ;;

и системе из двух гиперболических уравнений:

; .

Совместно система дает волновое уравнение

.

Замена переменной на временную переменную ct дает свободное волновое уравнение

.

Решением этого уравнения будет функция , определенная в пространстве комплексных координат

.

В этом комплексе произведена замена переменной с базисным вектором на переменную с вектором , то есть вектор переменной повернут на угол p /2 относительно вектора j (см. рис. 46). Вследствие этого в пространстве образуется крутящий момент между плоскостью

и вектором i y , что и приводит к образованию сферических волн.

;

Функции U, V, P, Q являются решением волнового уравнения .

.

Комплексные функции W, R являются решением волнового уравнения.

Таким образом, пространство с e -туннелем рассматриваем как заряженное пространство, В этом смысле вихрь, идущий по вихревой траектории типа C ₃ , создает заряженное пространство. Заряд в виде вихревого образование включает в себя сходящуюся и расходящуюся волны.

Размещенный материал является электронной версией книги: © В.И.Елисеев, «Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного», изданной Центром научно-технического творчества молодежи Алгоритм. — М. НИАТ. — 1990. Шифр Д7-90/83308. в каталоге Государственной публичной научно-технической библиотеки. Сайт действует с 10 августа 1998.

Уравнения Максвелла

Вы будете перенаправлены на Автор24

Значение уравнений Максвелла

Уравнения Дж. Максвелла создают основу для предложенной им теории электромагнитных явлений, которая объяснила все известные в то время эмпирические факты, некоторые эффекты предсказала. Главным выводом теории Максвелла стало положение о существовании электромагнитных волн, которые распространяются со скоростью света.

Уравнения, предложенные Максвеллом, в электромагнетизме играют роль подобную роли законов Ньютона в классической механике. Они явились обобщением экспериментальных законов и продолжением идей ученых (Кулона, Ампера, Фарадея и др.) изучавших электромагнетизм до Максвелла.

Сам Максвелл предложил двадцать уравнений в дифференциальной форме с двадцатью неизвестными величинами. В современном виде мы имеем систему уравнений Максвелла благодаря немецкому физику Г. Герцу и англичанину О. Хэвисайду. С помощью этих уравнений можно описать все электромагнитные явления.

Система уравнений Максвелла

Систему уравнений Максвелла составляют:

Выражения (1)-(4) называют полевыми уравнениями, они применимы для описания всех макроскопических электромагнитных явлений. Иногда уравнения системы Максвелла группируют в пары, первую пару составляют из второго и третьего уравнения, вторую пару — из первого и четвертого уравнений. При этом говорят, что в первую пару уравнений входят только основные характеристики поля ($\overrightarrow\ и\ \overrightarrow$), а во вторую пару — вспомогательные ($\overrightarrow\ и\ \overrightarrow$).

Каждое из векторных уравнений (1) и (2) эквивалентно трем скалярным уравнениям. Эти уравнения связывают компоненты векторов, которые находятся в левой и правой частях выражений. Так, в скалярном виде уравнение (1) представляется как:

Готовые работы на аналогичную тему

В скалярном виде уравнение (2) запишем как:

Третье уравнение из системы Максвелла в скалярном виде:

Четвертое уравнение в скалярной форме примет следующий вид:

Для того чтобы рассмотреть конкретную ситуацию, систему уравнений (1)-(4) дополняют следующими материальными уравнениями, которые учитывают электромагнитные свойства среды:

Необходимо отметить, что существует целый ряд явлений, в которых материальные уравнения существенно отличны от уравнений (5), например, если речь идет о нелинейных явлениях. В таких случаях получение материальных уравнений составляет отдельную научную задачу.

Физический смысл уравнений Максвелла

Уравнение (1) системы указывает на то, что двумя возможными источниками магнитного поля являются токи проводимости ($\overrightarrow$) и токи смещения ($\frac<\partial \overrightarrow><\partial t>$).

Уравнение (2) является законом электромагнитной индукции и отображает тот факт, что переменное магнитное поле — один из источников возникновения электрического поля.

Следующим источником электрического поля служат электрические заряды, что и отображает уравнение (4), которое является, по сути, законом Кулона.

Уравнение (3) означает, что линии магнитной индукции не имеют источников (они либо замкнуты, либо уходят в бесконечность), что приводит к выводу об отсутствии магнитных зарядов, которые создают магнитное поле.

Материальные уравнения (5) — это соотношения между векторами поля и токами. Диэлектрические свойства среды заключены в диэлектрической проницаемости ($\varepsilon $). Магнитные свойства, которые описывает намагниченность, учтены в магнитной проницаемости ($\mu $). Проводящие свойства среды сосредоточены в удельной проводимости ($\sigma $).

Уравнения поля линейны и учитывают принцип суперпозиции.

Границы применимости уравнений Максвелла

Система уравнений Максвелла ограничена следующими условиями:

Материальные тела должны быть неподвижны в поле.

Постоянные $\varepsilon ,\ \mu ,\sigma $ могут зависеть от координат, но не должны зависеть от времени и векторов поля.

В поле не должно находиться постоянных магнитов и ферромагнитных тел.

Если существует необходимость учета движения среды, то уравнения системы Максвелла оставляют неизменными, а движение учитывается в материальных уравнениях, которые становятся зависимыми от скорости среды и существенно усложняются. Кроме прочего материальные уравнения перестают быть соотношениями между парами величин, как в (5). Например, плотность тока проводимости становится зависимой от индукции магнитного поля, а не только от напряженности электрического поля.

Магнитное поле постоянных магнитов, например, можно описать, используя систему Максвелла, если известна намагниченность. Но, если заданы токи, то в присутствии ферромагнетиков описать поле при помощи данных уравнений не получится.

Задание: Докажите, что из уравнений Максвелла следует закон сохранения заряда.

Решение:

В качестве основания для решения задачи используем из системы Максвелла уравнение:

Проведем операцию дивергирования в обеих частях выражения (1.1):

Для выражения (1.2) в соответствии с теоремой равенстве нулю дивергенции ротора имеем:

Рассмотрим второе слагаемое в правой части. Мы можем поменять порядок дифференцирования, так как время и пространственные координаты независимы, то есть записать:

В соответствии с системой Максвелла мы знаем, что источниками электрических полей служат заряды или:

Что позволяет нам записать уравнение (1.4) в виде:

Что дает нам закон сохранения заряда, который записан в виде:

Данное уравнение называют уравнением непрерывности тока, оно содержит в себе закон сохранения заряда, что совершенно очевидно, если выражение (1.8), записать в интегральной форме:

тогда если области замкнуты и изолированы получаем:

Что требовалось доказать.

Задание: Покажите, что уравнения $rot\overrightarrow=-\frac<\partial \overrightarrow><\partial t>$ и $div\overrightarrow=0$ , входящие в систему Максвелла не противоречат друг другу.

Решение:

За основу решения примем уравнение:

Возьмём дивергенцию от обеих частей уравнения:

В соответствии с теоремой равенстве нулю дивергенции ротора имеем:

Соответственно, получаем, что

Выражение $div\overrightarrow=const$ не противоречит тому, что $div\overrightarrow=0$.

Мы получили, что уравнения $rot\overrightarrow=-\frac<\partial \overrightarrow><\partial t>$ и $div\overrightarrow=0$ совместны, что требовалось показать.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 01 03 2021

,