Возвратные уравнения 10 класс примеры

Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям:
возвратные (симметричные) уравнения

Существует ряд уравнений, которые удается решить при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

К таким уравнениям, в частности, относятся уравнения следующих типов:

	Трёхчленные уравнения
	Уравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии
	Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени
	Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени
	Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени

Замечание . Уравнения, носящие название «Биквадратные уравнения» , относятся к типу «Трехчленные уравнения» .

Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени

Возвратным уравнением 3-ей степени называют уравнение вида

где a , b – заданные числа.

Решение уравнения (1) осуществляется при помощи разложения левой части уравнения (1) на множители:

Для завершения решения уравнения (1) остаётся лишь решить квадратное уравнение

Пример 1 . Решить уравнение

Решение . Разложим левую часть уравнения (2) на множители:

Ответ :.

Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени

Возвратными (симметричными) уравнениями 4-ой степени называют уравнения вида

а также уравнения вида

Для того, чтобы решить возвратное уравнение (3), разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (5):

В результате этого преобразования уравнение (5) принимает вид

Если теперь обозначить

(7)

то уравнение (6) станет квадратным уравнением:

Найдем корни уравнения (8), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (7), решим полученное уравнение относительно x .

Описание метода решения уравнений вида (3) завершено.

Для того, чтобы решить возвратное уравнение (4), разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (9):

В результате этого преобразования уравнение (9) принимает вид

Если теперь обозначить

(11)

то уравнение (10) станет квадратным уравнением:

Найдем корни уравнения (13), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (11), решим полученное уравнение относительно x .

Описание метода решения уравнений вида (4) завершено.

Пример 2 . Решить уравнение

Решение . Уравнение (13) является возвратным и относится к виду (3). Разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (14):

В результате этого преобразования уравнение (14) принимает вид

Если теперь обозначить

(16)

то уравнение (15) станет квадратным уравнением:

(18)

В первом случае из равенства (16) получаем уравнение:

которое решений не имеет.

Во втором случае из равенства (16) получаем:

Ответ :

Пример 3 . Решить уравнение

Решение . Уравнение (19) является возвратным и относится к виду (4). Разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (20):

В результате этого преобразования уравнение (20) принимает вид

Если теперь обозначить

(22)

то уравнение (21) станет квадратным уравнением:

(24)

В первом случае из равенства (22) получаем:

Во втором случае из равенства (22) получаем:

Ответ :

Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени

Обобщенным возвратным уравнением 4-ой степени назовём уравнение вида

где a , b , c, d – заданные числа.

Для того, чтобы решить уравнение (25), разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (26):

В результате этого преобразования уравнение (26) принимает вид

Если теперь обозначить

(28)

то уравнение (27) станет квадратным уравнением:

(29)

Найдем корни уравнения (29), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (28), решим полученное уравнение относительно x .

Описание метода решения уравнений вида (25) завершено.

Пример 4 . Решить уравнение

Решение . Введем для коэффициентов уравнения (30) следующие обозначения

и найдем значение выражения

то уравнение (30) является обобщенным возвратным уравнением 4-ой степени. В соответствии с изложенным выше, разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (31):

В результате этого преобразования уравнение (31) принимает вид

Если теперь обозначить

(33)

то уравнение (32) станет квадратным уравнением:

В первом случае из равенства (33) получаем:

Во втором случае из равенства (33) получаем:

Ответ :

ТЕМА «СИММЕТРИЧЕСКИЕ И ВОЗВРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ»
элективный курс по алгебре (10 класс) по теме

Лекция 1. Симметрические уравнения третьей и четвертой степени.

Лекция 2. Возвратные уравнения.

Лекция 3. Уравнения четвертой степени с дополнительными условиями на коэффициенты.

Семинар 1. Решение симметрических и возвратных уравнений.

Практическая работа 1. Решение симметрических уравнений.

Практическая работа 2. Решение возвратных уравнений.

Самостоятельная работа. Решение симметрических и возвратных уравнений.

Скачать:

Предварительный просмотр:

ТЕМА «СИММЕТРИЧЕСКИЕ И ВОЗВРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

Учитель математики МБОУ СОШ № 34 г. Тихорецка Мирошниченко В.Н.

ТЕМА 3 «СИММЕТРИЧЕСКИЕ И ВОЗВРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

Лекция 1. Симметрические уравнения третьей и четвертой степени.

Лекция 2. Возвратные уравнения.

Лекция 3. Уравнения четвертой степени с дополнительными условиями на коэффициенты.

Семинар 1 . Решение симметрических и возвратных уравнений.

Практическая работа 1. Решение симметрических уравнений.

Практическая работа 2 . Решение возвратных уравнений.

Самостоятельная работа . Решение симметрических и возвратных уравнений.

Методическая разработка первого занятия по данной теме.

Цель изучения данной темы:

— расширить знания о видах уравнений;

— познакомить с методами их решения;

— учить решать трудные задачи.

Лекция 1. Симметрические уравнения третьей и четвертой степени.

ах 3 + вх 2 + вх + а = 0, а ≠ 0, (1)

называются симметрическими уравнениями третьей степени . Поскольку ах 3 + вх 2 + вх + а = а (х 3 + 1) + вх (х+1) = а (х+ 1) (х 2 — х+ 1) + вх (х+ 1) = (х+1) (ах 2 + (в — а) х + а), то уравнение (1) равносильно совокупности уравнений

х + 1 = 0 и ах 2 + (в — а) х + а = 0, решить которую просто.

Пример 1. Решить уравнение

3х 3 + 4х 2 + 4х + 3 = 0.

Уравнение является симметрическим уравнением третьей степени. Разложим на множители левую часть уравнения

3х 3 + 4х 2 + 4х + 3 = 3 (х 3 + 1) + 4х (х + 1) = ( х + 1) (3х 3 – 3х + 3 + 4х) = ( х+ 1) (3х 3 + х + 3).

Уравнение равносильно совокупности уравнений

х + 1 = 0 и 3х 3 + х + 3 = 0,

ах 4 + вх 3 + сх 2 + вх + а = 0 , а≠ 0,

называются симметрическими уравнениями четвертой степени.

Поскольку х = 0 не является корнем уравнения , то , разделив обе части уравнения на х 2 , получим уравнение . равносильное исходному:

ах 2 + а/х 2 + вх + в/х + с = 0.

Перепишем уравнение в виде:

а [(х + 1/х) 2 — 2 ] + в ( х + 1/х) + с = 0.

В этом уравнении сделаем замену х + 1/х = у. тогда получим квадратное уравнение

ау 2 + ву +с – 2а = 0.

Если уравнение имеет два корня у 1 и у 2 , то исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

х 2 — х у 1 + 1 = 0 и х 2 — х у 2 + 1 = 0.

Если же уравнение имеет один корень у 0 , то исходное уравнение равносильно уравнению х 2 — у 0 х = 1 = 0.

Если уравнение не имеет корней, то и исходное уравнение не имеет корней.

Пример 2. Решить уравнение

х 4 – 5х 3 + 8х 2 – 5х- 1 =0.

Решение. Данное уравнение является симметрическим уравнением четвертой степени. Так как х= 0 не является его корнем, то , разделив уравнение на х 2 ,получим равносильное ему уравнение

х 2 – 5х + 8 – 5/х + 1/ х 2 = 0.

Сгруппировав слагаемые, перепишем уравнение в виде

(х 2 + 1/ х 2 ) 2 – 5 (х + 1/х) + 6 =0.

Пусть х + 1/х = у, получим уравнение

имеющее два корня у 1 = 2, у 2 = 3. Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

х + 1/х =2 и х + 1/х =3.

Решение первого уравнения этой совокупности есть х 1 = 1, а решения второго есть х 2 =(3+√5)/2, х 3 =(3-√5)/2.

Следовательно, исходное уравнение имеет три корня.

Ответ: х 1 = 1, х 2 =(3+√5)/2, х 3 =(3-√5)/2.

1. Домашнее задание: рассмотреть решение уравнений;

А) 7х 3 — 5х 2 — 5х + 7 = 0,

Б) 3х 3 + 4х 2 — 4х — 3 = 0,

С) 3х 4 – 4х 3 + 2х 2 – 4х + 3=0,

Д) х 4 +4х 3 — 2х 2 –+4х + 1=0.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Занятие по теме «Решение простейших тригонометрических уравнений. Уравнение tgx=a»

Занятие проводилось в рамках программы ШТК по математике. Презентация выполнена в программе Смарт и демонстрируется на интерактивной доске.Архив содержит все необходимые материалы.

урок по теме «Примеры решения тригонометрических уравнений и систем уравнений»

Класс 10Урок закрепления.

Тема 15. ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ ПО ТЕМАМ 9-14: «Показательные уравнения. Показательно-степенные уравнения. Показательные неравенства. Преобразования и вычисления логарифмических выражений. Логарифмические уравнения. Логарифмические неравенства».

Уважаемые коллеги!Актуальной задачей на сегодняшний день является качественная подготовка учащихся к единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике, а также абитуриентов к вступител.

урок по теме «Способы решения тригонометрических уравнений»(урок одного уравнения) 08.03.16

методическая разработка урока алгебры и начал математического анализа в 10 классе по УМК Мордкович, содержит спсобы решения тригонометрического уравнения вида asinx +bcosx=c.

Дидактический материал по темам: «Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения, неравенства и системы», «Показательная функция. Показательные уравнения, системы и неравества»

Тренировочные задания по темам:«Показательная функция. Показательные уравнения, неравенства и системы»«Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения, неравенства и системы»Данный дидак.

Презентации по теме «Системы двух линейных уравнений», «Метод подстановки для решения систем уравнений», «Метод сложения для решения систем уравнений» .

Презентации проедполагает использование при проведении онлайн урока по теме «Системы двух линейных уравнений», «Метод подстановки для решения систем уравнений», «Метод сложени.

Научная статья на тему: «Симметрические многочлены»

Научная статья на тему: «Симметрические многочлены&quot.

Методические рекомендации по решению симметрических (возвратных) алгебраических уравнений для учащихся 10 класса

Методические рекомендации по решению симметрических (возвратных) уравнений для учащихся 10 класса (повторение 8-9 класс)

Решение симметрических и возвратных уравнений

Симметрические уравнения третьей и четвертой степени имеют следующий общий (канонический) вид:

В канонической записи симметрического уравнения его коэффициенты a, b и c симметричны относительно центрального слагаемого.

Возвратное уравнение четвертой степени имеет следующий общий (канонический) вид: ах 4 + bх 3 + сх 2 + bkх + аk 2 = 0 , а≠ 0, (3)

При k =1, имеем симметрическое уравнение четвертой степени.

Определите вид уравнения, для возвратных уравнений поределите значение коэффициента k.

1) 3 x 3 − 2x 2 + 2x − 3 = 0 ;

2) 3 x 4 − 2 x 3 + 4 x 2 − 4 x + 12 = 0 ;

3) 2x 4 + 3x 3 − 4 x 2 − 3 x + 2 = 0 ;

4) x 4 + 2 x 3 − 12x 2 − 4 x + 4 = 0 ;

5) x 4 − 5 x 3 + 4 x 2 + 5 x + 1 = 0 ;

6) 9 x 4 + 9 x 3 − 4 x 2 − 3 x + 1 = 0 ;

7) 3 x 4 − 2 x 3 + 4 x 2 − 4 x + 12 = 0 ;

8) x 4 − 8 x 3 + 17 x 2 − 8 x + 1 = 0 ;

9) x 4 − 5 x 3 + 10x 2 − 10 x + 4 = 0 ;

11) x 4 − 7 x 3 + 12x 2 − 21 x + 9 = 0 ;

12) 6 x 4 + 5 x 3 − 38x 2 + 5 x + 6 = 0 ;

13) x 4 − 2 x 3 − 18 x 2 − 6 x + 9 = 0 ;

14) x 4 − 3 x 3 − 8 x 2 + 12x + 16 = 0 ;

15) x 5 + 3 x 4 − x 3 + 2 x 2 − 24 x − 32 = 0

обобщенное возвратное уравнение 5 степени, k = -2:

x 5 + 3 x 4 − x 3 − x 2 (− 2 )− 3 x (− 2 ) 3 +(− 2 ) 5 = 0

Примеры решения симметрических и возвратных уравнений

Метод или идея решения Примеры решений симметрических уравнений

симметрическое уравнение 3-й степени

Идея: Симметрические уравнения третьей степени решаем методом разложения на множители.

1. Установить соответствие общему(каноническому виду) симметрического уравнения третьей степени.

2. Разложим многочлен в левой части уравнения на множители: a ( x 3 + 1 )+ bx ( x + 1 )= a ( x + 1 )( x 2 − x + 1 )+ bx ( x + 1 ) ( x + 1 )( ax 2 +( b − a ) x + a )

Значит исходное уравнение равносильно следующему: ( x + 1 )( ax 2 +( b − a ) x + a )= 0 ⇔

Решая совокупность уравнений, находим корни исходного уравнения.

Замечание: Симметрическое уравнение третьей (нечетной) степени всегда имеет корень x = -1.

Первое уравнение совокупности всегда х+1=0, а второе уравнение — возвратное уравнение четной степени.

1) 3 x 3 + 4 x 2 + 4 x + 3 = 0

симметрическое уравнение 3-й степени.

Разложим многочлен f ( x )= 3 x 3 + 4 x 2 + 4 x + 3 на множители:

3 x 3 + 4 x 2 + 4 x + 3 = 3 ( x 3 + 1 )+ 4 x ( x + 1 )=( x + 1 )( 3 x 2 + x + 3 )

3 x 3 + 4 x 2 + 4 x + 3 = 0 ⇔( x + 1 )( 3 x 2 + x + 3 )= 0 ⇔

второе уравнение всовокупности не имеет корней.

Перед рассмотрением метода решения симметрических и возвратных уравнений вспомните метод решения уравнения вида:

(Методические рекомендации по применению метода замены переменной при решении алгебраических уравнений) .

Решаем уравнение методом замены переменной.

Записать решение уравнения в тетрадь.

Ответ: < ; ; − 2; − >

Метод или идея решения

Примеры решений возвратных уравнений

симметрическое уравнение 4-й степени

(частный случай возвратного уравнения) ax 4 + bx 3 + сx 2 + bxk + ak 2 = 0,

Идея: уравнения 4-ой степени (четной степени) делим на х 2 (на степень среднего члена) и группируем слагаемые с одинаковыми коээфициентами, далее решаем уравнение методом заены переменной.

1. Установить соответствие общему

(каноническому виду) симметрического

1) x 4 − 5 x 3 + 8 x 2 − 5x + 1 = 0

симметрическое уравнение 4-й степени. Средний член: 8·х 2 .

Т.к. х = 0 не является корнем уравнения, то разделив уравнение на степень среднего члена х 2 , имеем уравнение равносильное данному:

Сгруппируем слагаемые, перепишем уравнение в виде: x 2 + 1 ₂ − 5 ( x + 1 x )+ 8 = 0 x

t 2 − 5t + 6 = 0 ⇔( t − 2 )( t − 3 )= 0 ⇔ [ t = 2 t = 3 Обратная замена:

уравнения 4-й степени (возвратного уравнения 4-ой степени).

2. Замечаем, что х = 0 не является корнем уравнения. Разделим обе части уравнения на (степень среднего члена) х 2 : ax 4 + bx 3 + сx 2 + bx + a = 0 ⇔ Ответ:

2) 2x 4 + 3x 3 − 3 x 2 − 3 x + 2 = 0

возвратное уравнение 4-й степени, k= -1. Средний член: -3·х 2 .

Т.к. х = 0 не является корнем уравнения, то разделив уравнение на степень среднего члена х 2 , имеем уравнение равносильное данному:

Сгруппируем слагаемые, перепишем уравнение в виде:

в результате замены получим квадратное уравнение относительно переменной t:

⇔

Ответ:

Задания для самостоятельного решения:

1) 3 x 3 − 2x 2 + 2x − 3 = 0 ;

2) 3 x 4 − 2 x 3 + 4 x 2 − 4 x + 12 = 0 ;

3) 2x 4 + 3x 3 − 4 x 2 − 3 x + 2 = 0 ;

4) x 4 + 2 x 3 − 12x 2 − 4 x + 4 = 0 ;

5) x 4 − 5 x 3 + 4 x 2 + 5 x + 1 = 0 ;

6) 9 x 4 + 9 x 3 − 4 x 2 − 3 x + 1 = 0 ;

7) 3 x 4 − 2 x 3 + 4 x 2 − 4 x + 12 = 0 ;

8) x 4 − 8 x 3 + 17 x 2 − 8 x + 1 = 0 ;

9) x 4 − 5 x 3 + 10x 2 − 10 x + 4 = 0 ;

11) x 4 − 7 x 3 + 12x 2 − 21 x + 9 = 0 ;

12) 6 x 4 + 5 x 3 − 38x 2 + 5 x + 6 = 0 ;

13) x 4 − 2 x 3 − 18 x 2 − 6 x + 9 = 0 ; 14) x 4 − 3 x 3 − 8 x 2 + 12x + 16 = 0 ;

15) x 5 + 3 x 4 − x 3 + 2 x 2 − 24 x − 32 = 0 .

1. Мерзляк А.Г. Алгебра: 8 класс: учебник для учащихся общеобразовательныхорганизаций / А.Г. Мерзляк, В.П. Поляков. — 2-е изд., стереотип. — М.: Вентана-Граф, 2019. 384с. [глава 37]

2. Нелин Е.П. Алгебра. 7-11 классы. Определения, свойства, методы решения задач — втаблицах. Сер. Комплексная подготовка к ЕГЭ и ГИА (ОГЭ). — 4-е изд., испр. — М.: ИЛЕКСА, 2019 — 128 с.

3. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. Пособие для 10 кл. сред. шк. — М.: просвещение, 1989. — 252с. [§ 2 Уравнения и системы уравнений]