Возвратные уравнения 10 класс самостоятельная

ТЕМА «СИММЕТРИЧЕСКИЕ И ВОЗВРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ»
элективный курс по алгебре (10 класс) по теме

Лекция 1. Симметрические уравнения третьей и четвертой степени.

Лекция 2. Возвратные уравнения.

Лекция 3. Уравнения четвертой степени с дополнительными условиями на коэффициенты.

Семинар 1. Решение симметрических и возвратных уравнений.

Практическая работа 1. Решение симметрических уравнений.

Практическая работа 2. Решение возвратных уравнений.

Самостоятельная работа. Решение симметрических и возвратных уравнений.

Скачать:

Предварительный просмотр:

ТЕМА «СИММЕТРИЧЕСКИЕ И ВОЗВРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

Учитель математики МБОУ СОШ № 34 г. Тихорецка Мирошниченко В.Н.

ТЕМА 3 «СИММЕТРИЧЕСКИЕ И ВОЗВРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

Лекция 1. Симметрические уравнения третьей и четвертой степени.

Лекция 2. Возвратные уравнения.

Лекция 3. Уравнения четвертой степени с дополнительными условиями на коэффициенты.

Семинар 1 . Решение симметрических и возвратных уравнений.

Практическая работа 1. Решение симметрических уравнений.

Практическая работа 2 . Решение возвратных уравнений.

Самостоятельная работа . Решение симметрических и возвратных уравнений.

Методическая разработка первого занятия по данной теме.

Цель изучения данной темы:

— расширить знания о видах уравнений;

— познакомить с методами их решения;

— учить решать трудные задачи.

Лекция 1. Симметрические уравнения третьей и четвертой степени.

ах 3 + вх 2 + вх + а = 0, а ≠ 0, (1)

называются симметрическими уравнениями третьей степени . Поскольку ах 3 + вх 2 + вх + а = а (х 3 + 1) + вх (х+1) = а (х+ 1) (х 2 — х+ 1) + вх (х+ 1) = (х+1) (ах 2 + (в — а) х + а), то уравнение (1) равносильно совокупности уравнений

х + 1 = 0 и ах 2 + (в — а) х + а = 0, решить которую просто.

Пример 1. Решить уравнение

3х 3 + 4х 2 + 4х + 3 = 0.

Уравнение является симметрическим уравнением третьей степени. Разложим на множители левую часть уравнения

3х 3 + 4х 2 + 4х + 3 = 3 (х 3 + 1) + 4х (х + 1) = ( х + 1) (3х 3 – 3х + 3 + 4х) = ( х+ 1) (3х 3 + х + 3).

Уравнение равносильно совокупности уравнений

х + 1 = 0 и 3х 3 + х + 3 = 0,

ах 4 + вх 3 + сх 2 + вх + а = 0 , а≠ 0,

называются симметрическими уравнениями четвертой степени.

Поскольку х = 0 не является корнем уравнения , то , разделив обе части уравнения на х 2 , получим уравнение . равносильное исходному:

ах 2 + а/х 2 + вх + в/х + с = 0.

Перепишем уравнение в виде:

а [(х + 1/х) 2 — 2 ] + в ( х + 1/х) + с = 0.

В этом уравнении сделаем замену х + 1/х = у. тогда получим квадратное уравнение

ау 2 + ву +с – 2а = 0.

Если уравнение имеет два корня у 1 и у 2 , то исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

х 2 — х у 1 + 1 = 0 и х 2 — х у 2 + 1 = 0.

Если же уравнение имеет один корень у 0 , то исходное уравнение равносильно уравнению х 2 — у 0 х = 1 = 0.

Если уравнение не имеет корней, то и исходное уравнение не имеет корней.

Пример 2. Решить уравнение

х 4 – 5х 3 + 8х 2 – 5х- 1 =0.

Решение. Данное уравнение является симметрическим уравнением четвертой степени. Так как х= 0 не является его корнем, то , разделив уравнение на х 2 ,получим равносильное ему уравнение

х 2 – 5х + 8 – 5/х + 1/ х 2 = 0.

Сгруппировав слагаемые, перепишем уравнение в виде

(х 2 + 1/ х 2 ) 2 – 5 (х + 1/х) + 6 =0.

Пусть х + 1/х = у, получим уравнение

имеющее два корня у 1 = 2, у 2 = 3. Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

х + 1/х =2 и х + 1/х =3.

Решение первого уравнения этой совокупности есть х 1 = 1, а решения второго есть х 2 =(3+√5)/2, х 3 =(3-√5)/2.

Следовательно, исходное уравнение имеет три корня.

Ответ: х 1 = 1, х 2 =(3+√5)/2, х 3 =(3-√5)/2.

1. Домашнее задание: рассмотреть решение уравнений;

А) 7х 3 — 5х 2 — 5х + 7 = 0,

Б) 3х 3 + 4х 2 — 4х — 3 = 0,

С) 3х 4 – 4х 3 + 2х 2 – 4х + 3=0,

Д) х 4 +4х 3 — 2х 2 –+4х + 1=0.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Занятие по теме «Решение простейших тригонометрических уравнений. Уравнение tgx=a»

Занятие проводилось в рамках программы ШТК по математике. Презентация выполнена в программе Смарт и демонстрируется на интерактивной доске.Архив содержит все необходимые материалы.

урок по теме «Примеры решения тригонометрических уравнений и систем уравнений»

Класс 10Урок закрепления.

Тема 15. ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ ПО ТЕМАМ 9-14: «Показательные уравнения. Показательно-степенные уравнения. Показательные неравенства. Преобразования и вычисления логарифмических выражений. Логарифмические уравнения. Логарифмические неравенства».

Уважаемые коллеги!Актуальной задачей на сегодняшний день является качественная подготовка учащихся к единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике, а также абитуриентов к вступител.

урок по теме «Способы решения тригонометрических уравнений»(урок одного уравнения) 08.03.16

методическая разработка урока алгебры и начал математического анализа в 10 классе по УМК Мордкович, содержит спсобы решения тригонометрического уравнения вида asinx +bcosx=c.

Дидактический материал по темам: «Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения, неравенства и системы», «Показательная функция. Показательные уравнения, системы и неравества»

Тренировочные задания по темам:«Показательная функция. Показательные уравнения, неравенства и системы»«Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения, неравенства и системы»Данный дидак.

Презентации по теме «Системы двух линейных уравнений», «Метод подстановки для решения систем уравнений», «Метод сложения для решения систем уравнений» .

Презентации проедполагает использование при проведении онлайн урока по теме «Системы двух линейных уравнений», «Метод подстановки для решения систем уравнений», «Метод сложени.

Научная статья на тему: «Симметрические многочлены»

Научная статья на тему: «Симметрические многочлены&quot.

Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям:
возвратные (симметричные) уравнения

Существует ряд уравнений, которые удается решить при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

К таким уравнениям, в частности, относятся уравнения следующих типов:

	Трёхчленные уравнения
	Уравнения 4-ой степени, левая часть которых равна произведению четырёх последовательных членов арифметической прогрессии
	Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени
	Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени
	Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени

Замечание . Уравнения, носящие название «Биквадратные уравнения» , относятся к типу «Трехчленные уравнения» .

Возвратные (симметричные) уравнения 3-ей степени

Возвратным уравнением 3-ей степени называют уравнение вида

где a , b – заданные числа.

Решение уравнения (1) осуществляется при помощи разложения левой части уравнения (1) на множители:

Для завершения решения уравнения (1) остаётся лишь решить квадратное уравнение

Пример 1 . Решить уравнение

Решение . Разложим левую часть уравнения (2) на множители:

Ответ :.

Возвратные (симметричные) уравнения 4-ой степени

Возвратными (симметричными) уравнениями 4-ой степени называют уравнения вида

а также уравнения вида

Для того, чтобы решить возвратное уравнение (3), разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (5):

В результате этого преобразования уравнение (5) принимает вид

Если теперь обозначить

(7)

то уравнение (6) станет квадратным уравнением:

Найдем корни уравнения (8), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (7), решим полученное уравнение относительно x .

Описание метода решения уравнений вида (3) завершено.

Для того, чтобы решить возвратное уравнение (4), разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (9):

В результате этого преобразования уравнение (9) принимает вид

Если теперь обозначить

(11)

то уравнение (10) станет квадратным уравнением:

Найдем корни уравнения (13), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (11), решим полученное уравнение относительно x .

Описание метода решения уравнений вида (4) завершено.

Пример 2 . Решить уравнение

Решение . Уравнение (13) является возвратным и относится к виду (3). Разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (14):

В результате этого преобразования уравнение (14) принимает вид

Если теперь обозначить

(16)

то уравнение (15) станет квадратным уравнением:

(18)

В первом случае из равенства (16) получаем уравнение:

которое решений не имеет.

Во втором случае из равенства (16) получаем:

Ответ :

Пример 3 . Решить уравнение

Решение . Уравнение (19) является возвратным и относится к виду (4). Разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (20):

В результате этого преобразования уравнение (20) принимает вид

Если теперь обозначить

(22)

то уравнение (21) станет квадратным уравнением:

(24)

В первом случае из равенства (22) получаем:

Во втором случае из равенства (22) получаем:

Ответ :

Обобщенные возвратные уравнения 4-ой степени

Обобщенным возвратным уравнением 4-ой степени назовём уравнение вида

где a , b , c, d – заданные числа.

Для того, чтобы решить уравнение (25), разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (26):

В результате этого преобразования уравнение (26) принимает вид

Если теперь обозначить

(28)

то уравнение (27) станет квадратным уравнением:

(29)

Найдем корни уравнения (29), а после этого, подставив каждый из найденных корней в равенство (28), решим полученное уравнение относительно x .

Описание метода решения уравнений вида (25) завершено.

Пример 4 . Решить уравнение

Решение . Введем для коэффициентов уравнения (30) следующие обозначения

и найдем значение выражения

то уравнение (30) является обобщенным возвратным уравнением 4-ой степени. В соответствии с изложенным выше, разделим его на x 2 . В результате получится уравнение

Преобразуем левую часть уравнения (31):

В результате этого преобразования уравнение (31) принимает вид

Если теперь обозначить

(33)

то уравнение (32) станет квадратным уравнением:

В первом случае из равенства (33) получаем:

Во втором случае из равенства (33) получаем:

Ответ :

Контрольная работа Уравнения 10 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Возвратные, обобщенные возвратные и симметрические уравнения:

Методом группировки x 3 – 7 x 2 – 21 x + 27 = 0

Используя Горнера 4 x 3 + x 2 – 5 = 0

Методом замены переменной x 4 + 2 x 3 – 9 x 2 – 6 x + 9 =0

Методом замены переменной x ( x – 1)( x – 2)( x – 3) = 8

Методом замены переменной (2 x – 1) 2 ( x + 2) 2 – (2 x – 1)( x 2 – 4) – 2( x – 2) 2 = 0

Найдите все значения b , при которых один из корней уравнения x 3 + 3 x 2 – bx – 8 = 0 равен. Для каждого из найденных значений b определите остальные корни уравнения.

Методом группировки 3 x 3 – 5 x 2 + 15 x – 81 = 0

Используя схему Горнера 2 x 3 – 3 x 2 – 4 x + 1 = 0

Методом замены переменной x 4 + 3 x 3 – 8 x 2 – 12 x + 16 = 0

Методом замены переменной x ( x + 2)( x + 3)( x + 5) = -5

Методом замены переменной (2 x + 1) 4 – (2 x 2 + 5 x + 2) 2 – 12( x + 2) 4 = 0

Найдите все значения b , при которых один из корней уравнения равен -2. Для каждого из найденных значений b определите остальные корни уравнения.

Методом группировки 3 x 3 – 5 x 2 + 15 x – 81 = 0

Используя схему Горнера 2 x 3 – 3 x 2 – 4 x + 1 = 0

Методом замены переменной x 4 + 3 x 3 – 8 x 2 – 12 x + 16 = 0

Методом замены переменной x ( x + 2)( x + 3)( x + 5) = -5

Методом замены переменной (2 x + 1) 4 – (2 x 2 + 5 x + 2) 2 – 12( x + 2) 4 = 0

Найдите все значения b , при которых один из корней уравнения равен -2. Для каждого из найденных значений b определите остальные корни уравнения.

Контрольная работа 2 10 класс

1)Методом группировки x 3 – 7 x 2 – 21 x + 27 = 0

2)Используя схему Горнера 4 x 3 + x 2 – 5 = 0

3)Симметрическое x 4 + 2 x 3 – 6 x 2 + 2 x + 1 =0

4)Методом замены переменной x ( x – 1)( x – 2)( x – 3) = 8 5)Однородное 2( x – 1) 2 – 5( x – 1)( x – 2) + 2( x – 2) 2 = 0

6)Решите систему уравнений

Методом группировки 3 x 3 – 5 x 2 + 15 x – 81 = 0

Используя схему Горнера 2 x 3 – 3 x 2 – 4 x + 1 = 0

Симметрическое x 4 — 4 x 3 +6 x 2 – 4 x + 1 = 0

Методом замены переменной x ( x + 2)( x + 3)( x + 5) = -5

Однородное (2 x + 1) 4 – ((2 x + 1)( x + 2)) 2 – 12( x + 2) 4 = 0

Решить систему уравнений

2х 2 – 3ху+ у 2 =0

7 Решить неравенство

Контрольная работа 2 10 класс

1)Методом группировки x 3 – 7 x 2 – 21 x + 27 = 0

2)Используя схему Горнера 4 x 3 + x 2 – 5 = 0

3)Симметрическое x 4 + 2 x 3 – 6 x 2 + 2 x + 1 =0

4)Методом замены переменной x ( x – 1)( x – 2)( x – 3) = 8 5)Однородное 2( x – 1) 2 – 5( x – 1)( x – 2) + 2( x – 2) 2 = 0

6)Решите систему уравнений

Методом группировки 3 x 3 – 5 x 2 + 15 x – 81 = 0

Используя схему Горнера 2 x 3 – 3 x 2 – 4 x + 1 = 0

Симметрическое x 4 — 4 x 3 +6 x 2 – 4 x + 1 = 0

Методом замены переменной x ( x + 2)( x + 3)( x + 5) = -5

Однородное (2 x + 1) 4 – ((2 x + 1)( x + 2)) 2 – 12( x + 2) 4 = 0

Решить систему уравнений

2х 2 – 3ху+ у 2 =0

7 Решить неравенство

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 932 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 305 человек из 68 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 595 631 материал в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 25.10.2016
• 464
• 1

• 25.10.2016
• 509
• 0

• 25.10.2016
• 1099
• 0

• 24.10.2016
• 654
• 3

• 24.10.2016
• 985
• 8

• 24.10.2016
• 545
• 2

• 24.10.2016
• 437
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 25.10.2016 5192
• DOCX 48.5 кбайт
• 39 скачиваний
• Рейтинг: 5 из 5
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Владимирова Алла Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 1 месяц
• Подписчики: 5
• Всего просмотров: 144958
• Всего материалов: 14

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

Время чтения: 1 минута

Минобрнауки и Минпросвещения запустили горячие линии по оказанию психологической помощи

Время чтения: 1 минута

В Белгородской области отменяют занятия в школах и детсадах на границе с Украиной

Время чтения: 0 минут

Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения России подготовит учителей для обучения детей из Донбасса

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.