Время переходного процесса по корням характеристического уравнения

Время переходного процесса по корням характеристического уравнения

Корневые критерии качества переходных процессов

Эта группа критериев основана на оценке качества переходных процессов по значениям полюсов и нулей передаточной функции системы между интересующими нас входами и выходами системы.

Как известна, переходная характеристика системы может быть определена следующим образом –

где – корни характеристического уравнения системы

.

Очевидно, что на характер переходного процесса оказывает влияние и числитель и знаменатель передаточной функции. Но, в большинстве случаев, при анализе систем по реакции на управляющее воздействие, не имеет корней, то есть передаточная функция не имеет нулей. Тогда характер переходного процесса можно оценить только по полюсам передаточной функции, подвергая тем самым анализу корни характеристического уравнения системы –

В случае приближенной оценки качества по корням характеристического уравнения на комплексной плоскости выделяют область расположения корней, границы которой задаются по требованиям к качеству процессов, как это показано на рис. 1.

Границы области, показанной на рис. 1, задаются следующими параметрами:

– критерий длительности переходного процесса,

– колебательность переходного процесса, определяется по ,

– максимальное удаление корня от мнимой оси.

Рассмотрим эти параметры.

Критерий длительности определяется как расстояние от мнимой оси до ближайшего действительного корня или ближайшей пары комплексно сопряженных корней.

Выясним, действительно ли этот параметр характеризует длительность переходного процесса? Возможны два случая расположения корней на границе области.

Пусть ближайшим к мнимой оси, то есть лежащий на границе области, будет действительный корень –

,

тогда соответствующая ему компонента переходного процесса, в соответствии с (1) будет иметь вид –

где — коэффициент разложения (1).

Если ближайшей к мнимой оси будет комплексно-сопряженная пара корней –

,

тогда соответствующая им компонента переходного процесса, в соответствии с (1) будет иметь вид –

где — частота колебаний.

Из (3) и (4) мы видим, что время затухание компоненты определяет сомножитель –

,

где – величина минимального действительного корня или минимальной действительной части корней, – соответствующая , наибольшая постоянная времени. Таким образом, можно считать, что переходный процесс системы завершится не раньше, чем затухнет компонента . Следовательно, определяет длительность переходного процесса, будучи величиной, обратно пропорциональной времени регулирования. Зная , мы можем оценить время регулирования или переходного процесса по следующему соотношению –

,

где – половина ширины области, при попадании в которую переходной процесс считается завершенным. Если , а крайний корень действительный, то имеем –

.

Критерий колебательности определяется по углу следующим образом –

.

где – соответственно действительная и мнимая части комплексно сопряженной пары корней расположенных на границе области (см. рис. 1). При увеличении возрастает колебательность системы.

Дальнюю от мнимой оси границу области , определяют корни, оказывающие предельно малое влияние на переходный процесс.

При прочих равных условиях от системы требую увеличения и снижения .

В качестве примера влияния расположения корней на характер переходных процессов покажем графики, представленные на рис. 2 и 3.

Рис. 2

Рис. 3

Если передаточная функция системы имеет нули, то оценка качества системы только по полюсам может дать существенную погрешность.

Чтобы пояснить характер влияния нулей на качество переходных процессов, представим систему следующим образом, как это показано на рис. 4.

Конкретизируем задачу, пусть

,

а имеет вид, показанный на рис. 5. При этом рассмотрим два варианта графика:

,

• .

Из рассмотрения рис. 5 можно сделать вывод, что члены с положительными коэффициентами приводят к повышению колебательности и быстродействия, а отрицательные коэффициенты затягивают переходный процесс.

В тех случаях, когда требуется получить желаемый вид переходного процесса, используют методы, основанные на связи коэффициентов характеристического уравнения системы или его корней с видом переходного процесса, с заданными динамическими показателями.

Рассмотрим характеристическое уравнение вида –

По формулам Виета определяется как сумма всех корней уравнения, – сумма произведений всех пар корней, – сумма произведений всех троек корней и т. д., а определяется как произведение всех корней уравнения –

.

Теперь, если мы сможем задать расположение корней на комплексной плоскости, исходя из требований качества динамики, то по формулам Виета можно найти значения коэффициентов характеристического уравнения, которые связаны с параметрами системы.

Обратим особое внимание на коэффициент , чем больше , то, при прочих равных условиях, больше действительные части корней, следовательно, быстрее переходный процесс. Если корни действительные и кратные, тогда –

.

где носит название среднегеометрического корня характеристического уравнения.

Тогда уравнение (6) с учетом (7) имеет вид –

На комплексной площади расположения корней характеристического уравнения определяет точку на действительной оси – геометрический центр всех корней системы, а коэффициенты определяют взаимное расположение корней. При этом легко показать, что определяют кривую переходного процесса в относительном времени , а величина определяет масштаб времени для этого процесса.

На практике рассмотренный выше подход используют следующим образом:

Для конкретной системы определяют требуемый вид переходного процесса.

Для обеспечения заданных требований выбирают из имеющихся в справочной литературе предварительно рассчитанные значения коэффициентов характеристического уравнения, тем самым выбирается «желаемое» характеристическое уравнение –

Определяют характеристическое уравнение по структуре и параметрам системы –

где – коэффициенты, функционально связанные с параметрами системы.

Получают систему алгебраических уравнений, приравняв коэффициенты уравнений (8) и (9) при одинаковых степенях оператора Лапласа –

Решают систему (10) относительно изменяемых параметров системы (параметров регуляторов), что позволяет определить параметры, обеспечивающие заданный вид и качество переходного процесса.

Описанный выше алгоритм часто называют методом стандартных коэффициентов или стандартного расположения корней характеристического уравнения системы управления. Рассмотрим в качестве иллюстрации два стандартных расположения корней, которые наиболее распространенны в системах управления электромеханическими приводами различных установок.

Биномиальное распределение корней

Биномиальное распределение корней используют для обеспечения заданного быстродействия при монотонности переходных процессов. Стандартное биномиальное характеристическое уравнение имеет вид –

В этом случае имеем кратных действительных корней с отрицательной действительной частью, равной . Вид переходных процессов для от 1 до 4 показан на рис. 6. Характеристические уравнения для этих случаев имеют вид –

Корректным является сопоставление системы автоматического управления и идеальным фильтром низкой частоты (ФНЧ), когда для полосы пропускания системы (НЧ) требуют максимальной горизонтальности ЛАЧХ, что обеспечивает пропускание без искажений сигналов управления. Для диапазона высоких частот (ВЧ) требуют максимального подавления сигнала, так как это диапазон сигналов помех. Рис. 7 иллюстрирует приближение желаемой характеристики системы к характеристике «идеального» фильтра низкой частоты.

Распределение корней по Баттерворту обеспечивает компромисс между этими требованиями, достигая высокой равномерности в полосе пропускания НЧ при приемлемой крутизне характеристики в полосе подавления ВЧ.

При этом корни характеристического уравнения располагаются на комплексной плоскости, на окружности с радиусом и угловым расстоянием между корнями – , симметрично относительно действительной оси, как это показано на рис. 8.

Вид переходных процессов для от 1 до 4 показан на рис. 9.

Характеристические уравнения и параметры переходного процесса для этих случаев имеют вид –

Сравнение переходных характеристик показывает, что распределение Баттерворта обеспечивает более высокое, чем биномиальное распределение, быстродействие с малым перерегулированием и колебательностью.

Контрольные вопросы и задачи

Как объяснить влияние на переходные процессы корней характеристического уравнения?

Какую компоненту переходного процесса дает отрицательный действительный корень характеристического уравнения?

Какие компоненты переходного процесса дают комплексно сопряженные корни характеристического уравнения?

Что определяют корни характеристического уравнения ближе всего расположенные к мнимой оси комплексной плоскости?

Как связана с быстродействием системы величина среднегеометрического корня характеристического уравнения?

Какое влияние оказывает на переходный процесс нули передаточной функции?

В каких случаях следует использовать на настройки системы биномиальное распределение корней характеристического уравнения?

В каких случаях следует использовать на настройки системы распределение корней характеристического уравнения Баттерворта?

Определите коэффициенты характеристического уравнения с биномиальным распределением корней для системы управления третьего порядка, если требуемое время регулирования .

Желаемое характеристическое уравнение имеет вид –

.

Определите коэффициенты характеристического уравнения с распределением корней по Баттерворту для системы управления четвертого порядка, если требуемое время регулирования .

Желаемое характеристическое уравнение имеет вид –

.

№70 Анализ переходных процессов в цепи R, L, C.

Переходные процессы в цепи R, L, C описываются дифференциальным уравнением 2-го порядка. Установившиеся составляющие токов и напряжений определяются видом источника энергии и определяются известными методами расчета установившихся режимов. Наибольший теоретический интерес представляют свободные составляющие, так как характер свободного процесса оказывается существенно различным в зависимости от того, являются ли корни характеристического уравнения вещественными или комплексными сопряженными.

Проанализируем переходной процесс в цепи R, L, C при включении ее к источнику постоянной ЭДС (рис. 70.1).

Общий вид решения для тока: i(t)=iy(t)+iсв(t)=Iy+A1ep2t+A2ep2t

Установившаяся составляющая: Iy=0

Характеристическое уравнение и его корни:

Независимые начальные условия: i(0)=0; uc(0)=0.

Зависимое начальное условие:

Постоянные интегрирования определяется из соместного решения системы уравнений:

Окончательное решение для тока:

Исследуем вид функции i(t) при различных значениях корней характеристического уравнения.

а) Корни характеристического уравнения вещественные, не равны друг другу.

Это имеет место при условии:

При изменении t от 0 до ∞ отдельные функции ep1t и ep2t убывают по экспоненциальному закону от 1 до 0, причем вторая из них убывает быстрее, при этом их разность ep1t — ep2t ≥ 0. Из этого следует вывод, что искомая функция тока i(t) в крайних точках при t = 0 и при t = ∞ равна нулю, а в промежутке времени 0

Время переходного процесса по корням характеристического уравнения

При всех изменениях в электрической цепи: включении, выключении, коротком замыкании, колебаниях величины какого-либо параметра и т.п. – в ней возникают переходные процессы, которые не могут протекать мгновенно, так как невозможно мгновенное изменение энергии, запасенной в электромагнитном поле цепи. Таким образом, переходный процесс обусловлен несоответствием величины запасенной энергии в магнитном поле катушки и электрическом поле конденсатора ее значению для нового состояния цепи.

При переходных процессах могут возникать большие перенапряжения, сверхтоки, электромагнитные колебания, которые могут нарушить работу устройства вплоть до выхода его из строя. С другой стороны, переходные процессы находят полезное практическое применение, например, в различного рода электронных генераторах. Все это обусловливает необходимость изучения методов анализа нестационарных режимов работы цепи.

Основные методы анализа переходных процессов в линейных цепях:

1. Классический метод, заключающийся в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи.
2. Операторный метод, заключающийся в решении системы алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных с последующим переходом от найденных изображений к оригиналам.
3. Частотный метод, основанный на преобразовании Фурье и находящий широкое применение при решении задач синтеза.
4. Метод расчета с помощью интеграла Дюамеля, используемый при сложной форме кривой возмущающего воздействия.
5. Метод переменных состояния, представляющий собой упорядоченный способ определения электромагнитного состояния цепи на основе решения системы дифференциальных уравнений первого прядка, записанных в нормальной форме (форме Коши).

Классический метод расчета

Классический метод расчета переходных процессов заключается в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих изменения токов и напряжений на участках цепи в переходном процессе.

В общем случае при использовании классического метода расчета составляются уравнения электромагнитного состояния цепи по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов, связанных между собой на отдельных элементах цепи соотношениями, приведенными в табл. 1.

Таблица 1. Связь мгновенных значений напряжений и токов на элементах электрической цепи

;

при наличии магнитной связи с катушкой, обтекаемой током ,

;

Для последовательной цепи, содержащей линейные резистор R, катушку индуктивности L и конденсатор С, при ее подключении к источнику с напряжением u (см. рис. 1) можно записать

.

(1)

Подставив в (1) значение тока через конденсатор

,

получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно

.

В общем случае уравнение, описывающее переходный процесс в цепи с n независимыми накопителями энергии, имеет вид:

,

(2)

где х – искомая функция времени (напряжение, ток, потокосцепление и т.п.); — известное возмущающее воздействие (напряжение и (или) ток источника электрической энергии); — к-й постоянный коэффициент, определяемый параметрами цепи.

Порядок данного уравнения равен числу независимых накопителей энергии в цепи, под которыми понимаются катушки индуктивности и конденсаторы в упрощенной схеме, получаемой из исходной путем объединения индуктивностей и соответственно емкостей элементов, соединения между которыми являются последовательными или параллельными.

В общем случае порядок дифференциального уравнения определяется соотношением

,

(3)

где и — соответственно число катушек индуктивности и конденсаторов после указанного упрощения исходной схемы; — число узлов, в которых сходятся только ветви, содержащие катушки индуктивности (в соответствии с первым законом Кирхгофа ток через любую катушку индуктивности в этом случае определяется токами через остальные катушки); — число контуров схемы, ветви которых содержат только конденсаторы (в соответствии со вторым законом Кирхгофа напряжение на любом из конденсаторов в этом случае определяется напряжениями на других).

Наличие индуктивных связей на порядок дифференциального уравнения не влияет.

Как известно из математики, общее решение уравнения (2) представляет собой сумму частного решения исходного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения, получаемого из исходного путем приравнивания его левой части к нулю. Поскольку с математической стороны не накладывается каких-либо ограничений на выбор частного решения (2), применительно к электротехнике в качестве последнего удобно принять решение , соответствующее искомой переменной х в установившемся послекоммутационном режиме (теоретически для ).

Частное решение уравнения (2) определяется видом функции , стоящей в его правой части, и поэтому называется принужденной составляющей. Для цепей с заданными постоянными или периодическими напряжениями (токами) источников принужденная составляющая определяется путем расчета стационарного режима работы схемы после коммутации любым из рассмотренных ранее методов расчета линейных электрических цепей.

Вторая составляющая общего решения х уравнения (2) – решение (2) с нулевой правой частью – соответствует режиму, когда внешние (принуждающие) силы (источники энергии) на цепь непосредственно не воздействуют. Влияние источников проявляется здесь через энергию, запасенную в полях катушек индуктивности и конденсаторов. Данный режим работы схемы называется свободным, а переменная — свободной составляющей.

В соответствии с вышесказанным, общее решение уравнения (2) имеет вид

(4)

Соотношение (4) показывает, что при классическом методе расчета послекоммутационный процесс рассматривается как наложение друг на друга двух режимов – принужденного, наступающего как бы сразу после коммутации, и свободного, имеющего место только в течение переходного процесса.

Необходимо подчеркнуть, что, поскольку принцип наложения справедлив только для линейных систем, метод решения, основанный на указанном разложении искомой переменной х, справедлив только для линейных цепей.

Начальные условия. Законы коммутации

В соответствии с определением свободной составляющей в ее выражении имеют место постоянные интегрирования , число которых равно порядку дифференциального уравнения. Постоянные интегрирования находятся из начальных условий, которые принято делить на независимые и зависимые. К независимым начальным условиям относятся потокосцепление (ток) для катушки индуктивности и заряд (напряжение) на конденсаторе в момент времени (момент коммутации). Независимые начальные условия определяются на основании законов коммутации (см. табл. 2).

Таблица 2. Законы коммутации

Первый закон коммутации (закон сохранения потокосцепления)

Магнитный поток, сцепленный с катушками индуктивности контура, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: .

Второй закон коммутации (закон сохранения заряда)

Электрический заряд на конденсаторах, присоединенных к любому узлу, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения: .

Доказать законы коммутации можно от противного: если допустить обратное, то получаются бесконечно большие значения и , что приводит к нарушению законов Кирхгофа.

На практике, за исключением особых случаев (некорректные коммутации), допустимо использование указанных законов в другой формулировке, а именно:

первый закон коммутации – в ветви с катушкой индуктивности ток в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .

второй закон коммутации – напряжение на конденсаторе в момент

коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него: .

Необходимо подчеркнуть, что более общей формулировкой законов коммутации является положение о невозможности скачкообразного изменения в момент коммутации для схем с катушкой индуктивности – потокосцеплений, а для схем с конденсаторами – зарядов на них. В качестве иллюстрации сказанному могут служить схемы на рис. 2, переходные процессы в которых относятся к так называемым некорректным коммутациям (название произошло от пренебрежения в подобных схемах малыми параметрами, корректный учет которых может привести к существенному усложнению задачи).

Действительно, при переводе в схеме на рис. 2,а ключа из положения 1 в положение 2 трактование второго закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения напряжения на конденсаторе приводит к невыполнению второго закона Кирхгофа . Аналогично при размыкании ключа в схеме на рис. 2,б трактование первого закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения тока через катушку индуктивности приводит к невыполнению первого закона Кирхгофа . Для данных схем, исходя из сохранения заряда и соответственно потокосцепления, можно записать:

Зависимыми начальными условиями называются значения остальных токов и напряжений, а также производных от искомой функции в момент коммутации, определяемые по независимым начальным условиям при помощи уравнений, составляемых по законам Кирхгофа для . Необходимое число начальных условий равно числу постоянных интегрирования. Поскольку уравнение вида (2) рационально записывать для переменной, начальное значение которой относится к независимым начальным условиям, задача нахождения начальных условий обычно сводится к нахождению значений этой переменной и ее производных до (n-1) порядка включительно при .

Пример. Определить токи и производные и в момент коммутации в схеме на рис. 3, если до коммутации конденсатор был не заряжен.

В соответствии с законами коммутации

и .

На основании второго закона Кирхгофа для момента коммутации имеет место

,

и .

Для известных значений и из уравнения

определяется .

Значение производной от напряжения на конденсаторе в момент коммутации (см. табл. 1)

.

Корни характеристического уравнения. Постоянная времени

Выражение свободной составляющей общего решения х дифференциального уравнения (2) определяется видом корней характеристического уравнения (см. табл. 3).

Таблица 3. Выражения свободных составляющих общего решения

Вид корней характеристического уравнения

Выражение свободной составляющей

Корни вещественные и различные

Корни вещественные и

Пары комплексно-сопряженных корней

Необходимо помнить, что, поскольку в линейной цепи с течением времени свободная составляющая затухает, вещественные части корней характеристического уравнения не могут быть положительными.

При вещественных корнях монотонно затухает, и имеет место апериодический переходный процесс. Наличие пары комплексно сопряженных корней обусловливает появление затухающих синусоидальных колебаний (колебательный переходный процесс).

Поскольку физически колебательный процесс связан с периодическим обменом энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, комплексно-сопряженные корни могут иметь место только для цепей, содержащих оба типа накопителей. Быстроту затухания колебаний принято характеризовать отношением

,

которое называется декрементом колебания, или натуральным логарифмом этого отношения

,

называемым логарифмическим декрементом колебания, где .

Важной характеристикой при исследовании переходных процессов является постоянная времени t , определяемая для цепей первого порядка, как:

,

где р – корень характеристического уравнения.

Постоянную времени можно интерпретировать как временной интервал, в течение которого свободная составляющая уменьшится в е раз по сравнению со своим начальным значением. Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго. Однако на практике считается, что он заканчивается при

1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.