Определитель Вронского (вронскиан).
Пусть функции $y_1(x),\;y_2(x),\;y_3(x),\ldots,y_n(x)$ непрерывны вместе с своими производными (до $n-1$ порядка включительно) на интервале $(a;b)$. Определитель Вронского (вронскиан) указанной системы функций задаётся следующей формулой:
Для того, чтобы функции $y_1(x),\;y_2(x),\;y_3(x),\ldots,y_n(x)$ были линейно независимыми на $(a;b)$, достаточно, чтобы $W(y_1,y_2,\ldots,y_n)\neq 0$ хотя бы в одной точке интервала $(a;b)$. Отметим, что это условие является достаточным, но не необходимым. Т.е. если $W(y_1,y_2,\ldots,y_n)= 0$ для всех значений переменной из интервала $(a;b)$, то про линейную зависимость функций $y_1(x),\;y_2(x),\;y_3(x),\ldots,y_n(x)$ в общем случае ничего определённого сказать нельзя.
В некоторых случаях, однако, условие $W(y_1,y_2,\ldots,y_n)\neq 0$ является не только необходимым, но и достаточным для линейной независимости функций. Например, чтобы решения $y_1(x),\;y_2(x),\;y_3(x),\ldots,y_n(x)$ линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка были линейно независимы на $(a;b)$, необходимо и достаточно, чтобы $W(y_1,y_2,\ldots,y_n)\neq 0$ хотя бы в одной точке интервала $(a;b)$. Об этом будет идти речь в соответствующих разделах теории дифференциальных уравнений.
Если функции $y_1(x),\;y_2(x),\;y_3(x),\ldots,y_n(x)$, непрерывные вместе с своими производными до $n-1$ порядка включительно на интервале $(a;b)$, линейно зависимы, то $W(y_1,y_2,\ldots,y_n) = 0$ для всех $x\in(a;b)$.
Исследовать на линейную зависимость функции $y_1(x)=x$, $y_2(x)=x e^x$ в их области определения.
Областью определения данных функций есть вся числовая прямая, т.е. $x\in(-\infty;+\infty)$.
Так как существует хотя бы одно значение $x\in R$, при котором $W\neq 0$ (например, при $x=1$ имеем $W=e$), то функции $y_1(x)=x$ и $y_2(x)=x e^x$ линейно независимы на $R$.
Исследовать на линейную зависимость функции $y_1(x)=1$, $y_2(x)=x$, $y_3(x)=x^2$, $y_4(x)=x^3$, $y_5(x)=x^4$ в их области определения.
Эта система функций уже была исследована в задаче №3 непосредственным применением определения линейно зависимых и независимых функций. Теперь осуществим исследование с помощью определителя Вронского. Все рассуждения проводим в области определения данных функций, т.е. на $R$.
Так как $W\neq 0$, то данные функции линейно независимы на $R$.
Исследовать на линейную зависимость функции $y_1(x)=4$, $y_2(x)=\arcsin x$, $y_3(x)=\arccos x$ в интервале $(-1;1)$.
Для вычисления полученного определителя можно использовать формулу треугольников, но лучше сделать пару предварительных преобразований. Прибавим к элементам второго столбца соответствующие элементы третьего столбца и учтем, что $\arcsin x+\arccos x=\frac <\pi><2>$ при любом $x\in[-1;1]$:
Так как $W=0$, то ничего определенного про линейную зависимость данных функций сказать нельзя.
Можно исследовать данные функции определителем Грама, но проще использовать определение линейно зависимых функций. В задаче №4 доказано по определению, что данные функции линейно зависимы на отрезке $[-1;1]$, а следовательно, будут линейно зависимы на $(-1;1)$.
Исследовать на линейную зависимость функции $y_1(x)=x$, $y_2(x)=|x|$ в их области определения.
Областью определения заданных функций есть все множество действительных чисел, т.е. $x\in R$. Рассмотрим определитель Вронского этих функций при $x≥ 0$. При данном условии $y_2(x)=|x|=x$.
Итак, вронскиан равен нулю на всей области определения заданных функций. Вновь, как и в примере №3, сказать что-либо определённое по поводу линейной зависимости функций, опираясь на значение вронскиана, нельзя. В задаче №5 эти функции были исследованы на линейную зависимость согласно определению. И, согласно результатам, функции оказались линейно независимыми.
Как видите, примеры №3 и №4 наглядно иллюстрируют тот факт, что условие $W(y_1,y_2,\ldots,y_n)\neq 0$ является достаточным, но не необходимым для линейной независимости рассматриваемых функций. В примере №3 функции были линейно зависимы, в примере №4 – линейно независимы, однако в обоих случаях $W=0$.
Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).
VMath
Инструменты сайта
Основное
Навигация
Информация
Действия
Вронскиан и его применения
Теорема. Аналитические на интервале $ ]a,b[ $ функции $ u_1(x),\dots,u_n(x) $ будут линейно зависимыми на $ ]a,b[ $ тогда и только тогда, когда
$$ W(u_1(x),\dots,u_n(x))\equiv 0 \quad \mbox < на >\quad ]a,b[ \, . $$
Являются ли системы функций
линейно зависимыми на $ \mathbb R $?
Решение (частичное) ☞ ЗДЕСЬ.
Если $ W(u_1,u_2,\dots,u_n) \equiv 0 $ при $ \forall x\in ]a,b[ $, а $ W(u_2,\dots,u_n) \ne 0 $ при $ \forall x\in ]a,b[ $, то существуют такие постоянные $ c_2,\dots,c_n $, что $$ u_1 \equiv c_2u_2+\dots+c_n u_n \quad npu \quad x \in ]a,b[ \ . $$
Теорема. При любых постоянных $ \
$$W(c_<11>u_1+c_<12>u_2+\dots+c_<1n>u_n,c_<21>u_1+c_<22>u_2+\dots+c_<2n>u_n,\dots, c_
Теорема.
$$ W(u_1(\phi(x)),u_2(\phi(x)),\dots,u_n(\phi(x))) \equiv \left( \phi(x) \right)^n W(u_1(y),u_2(y),\dots,u_n(y)) \ , $$ здесь после вычисления вронскиана в правой части тождества, в него производится подстановка $ y= \phi(x) $.
Теорема [Кристофель]. Если $ \
$$ W(u(x)u_1(x),\dots,u(x)u_n(x))\equiv (u(x))^n W(u_1(x),\dots,u_n(x)) \ \mbox < на >]a,b[ \ . $$
Теорема. Если функции $ \
Доказательство следует из правила дифференцирования определителя и свойства определителя, сформулированного в теореме $ 4 $ ☞ ЗДЕСЬ. ♦
Задача. По заданной системе функций $ \
Теорема. Если вронскиан $ W(u_1(x),\dots,u_n(x)) $ не равен тождественно нулю, то набор $ \
ПРОИЗВЕДЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ И ВРОНСКИАНЫ Текст научной статьи по специальности « Математика»
Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Алина Альбертовна Аллахвердян, Алексей Борисович Шабат
Рассматриваются новые вронскианные тождества, открытые недавно в г. Майкопе. Обсуждаются связи этих тождеств с теорией интегрируемых систем и с общей теорией обратимых преобразований Дарбу для линейных дифференциальных операторов с одной независимой переменной. Объектами изучения в данной работе являются однородные относительно группы растяжений отношения вронскианов двух различных порядков 𝑁 и 𝑁′ > 𝑁. Элементы первого вронскиана порядка 𝑁 являются произвольными функциями, что существенно расширяет возможности теории, а элементы второго вронскиана образованы произведениями заданной степени 𝑛 ≥ 2 этих функций. Группа растяжений позволяет перейти к проективным координатам в рассматриваемом отношении вронскианов и определить, в частности, вложение симметрических функций и многочленов в рассматриваемую теорию.96 Наиболее простым оказывается, естественно, случай 𝑁 = 2, в котором второй вронскиан из произведений оказывается степенью исходного вронскиана и, таким образом, рассматриваемое отношение вронскианов вообще не зависит от выбора элементов основного вронскиана второго порядка. В этом случае получены также новые уравнения для кубов и т.д. собственных функций одномерного оператора Шредингера, обобщающие известные уравнения для квадратов, связанное с производной Шварца и КдФ иерархией. Случай 𝑁 = 3 представляется чрезвычайно интересным с различных точек зрения, но его исследование требует дальнейшего развития методов проективной теории вронскианов с использованием логарифмических производных и их высших аналогов.
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Алина Альбертовна Аллахвердян, Алексей Борисович Шабат
Текст научной работы на тему «ПРОИЗВЕДЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ И ВРОНСКИАНЫ»
ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 12. № 2 (2020). С. 3-9.
ПРОИЗВЕДЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИИ
А.А. АЛЛАХВЕРДЯН, А.Б. ШАБАТ
Аннотация. Рассматриваются новые вронскианные тождества, открытые недавно в г. Майкопе. Обсуждаются связи этих тождеств с теорией интегрируемых систем и с общей теорией обратимых преобразований Дарбу для линейных дифференциальных операторов с одной независимой переменной. Объектами изучения в данной работе являются однородные относительно группы растяжений отношения вронскианов двух различных порядков N и N’ > Ж. Элементы первого вронскиана порядка N являются произвольными функциями, что существенно расширяет возможности теории, а элементы второго вронскиана образованы произведениями заданной степени п > 2 этих функций. Группа растяжений позволяет перейти к проективным координатам в рассматриваемом отношении вронскианов и определить, в частности, вложение симметрических функций и многочленов в рассматриваемую теорию.96
Наиболее простым оказывается, естественно, случай N = 2, в котором второй вронскиан из произведений оказывается степенью исходного вронскиана и, таким образом, рассматриваемое отношение вронскианов вообще не зависит от выбора элементов основного вронскиана второго порядка. В этом случае получены также новые уравнения для кубов и т.д. собственных функций одномерного оператора Шредингера, обобщающие известные уравнения для квадратов, связанное с производной Шварца и КдФ иерархией.
Случай N = 3 представляется чрезвычайно интересным с различных точек зрения, но его исследование требует дальнейшего развития методов проективной теории вронскианов с использованием логарифмических производных и их высших аналогов.
Ключевые слова: факторизация, матрица Вронского, производная Шварца, уравнение Риккати, преобразования Дарбу.
Mathematics Subject Classification: 35Р05; 35В10
Задача о построении дифференциального оператора Ь порядка п > 2 по фундаментальной системе решений уравнения Ьф^ = 0, ] = 1,п (для краткости далее будем использовать следующее сокращение <] € [и])) сводится очевидно к линейной алгебре, и формулы Крамера дают нам следующую формулу с вронскианами для действия оператора Ь(ф) па произвольную гладкую функцию
Здесь предполагается, что заданные функции . образуют базис п-мерного линейного пространства кетЬ, а скобки (. ) обозначают вронскиан (у1. ,ут) = )), ],к = 1. ,т т.е. определитель матрицы Вронского, составленной из производных рассматриваемых функций. Формула (1.1) и ее уточнения (см. ниже (3.2)) заменяют нам
A.A. Allakhverdyan, © Аллахвердян A.A. Поступила 7 февраля 2020 г.
Products of eigenfunctions and Wronskians. 2020.
разложение обычного многочлена в произведение линейных сомножителей и играют аналогичную роль, если мы уточняем структуру ядра рассматриваемого дифференциального оператора Ь.
Используя известные свойства определителей и формулы Лейбница, мы находим, что Уз <х) = а(х)уу На языке дифференциального оператора (1.1) эта операция совпадает с операцией сопряжения Ь & Ь = — • Ь о а. (1.3) Напомним, что, используя сопряжение (1.2) в исходной формуле (1.1), можно избавиться от знаменателя, положив . 1 степень многочлена С (А) в левой части уравнения (2.4) заменяется на 2п + 1, а уравнение (2.8) переходит в систему уравнений Дубровина [6] для п корней многочлена (2.7). Коэффициенты a,j (х) этого многочлена (2.7) можно найти один за другим, используя дифференциальный оператор L из формулы (2.2): 4a’j+1 + L(aj) = 0, а0 = 1, L = D3 — 4uD — 2их. (2.9) Проинтегрированная форма (2.4) помогает при этом выразить a,j (х) в терминах потенциала и(х) и его производных. Так, например, с точностью до младших членов 8а2 = 3и2 — и2, 32а3 = и4 — 4ии2 + и\ + 10м3, (и1 = их, щ = ихх. ). подстанов ка и ^ и — А допускается формулами (2.2) При подстановке однородных мономов = ] + к = т в общую формулу (1.1) естественно ожидать, что коэффициенты полученного оператора могут зависеть от конкретного выбора базиса Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 4, и мы получаем (2.12) Точнее, применив формулу (1.4), мы находим в этом случае, что 01 02 02 04 д21 02 03 04 где многоточие обозначает слагаемые из формул (1.5), содержащие производные д^. Аналогично (2.11) мы находим, 01 = ^ 02 = 3g, 03 = ^ 04 = 0 = log — Легко видеть, что формула (2.12) следует из (2.13) и (2.14) при д^ = 0, т.е. экспоненциальных функциях и В общем случае зануление добавочных слагаемых с производными приходится проверять непосредственно, начиная со старших (ср. [3]), используя явные формулы (1.5). Оператор Ь, аналогичный (2.2) и (2.3), будет иметь в случае (2.13) пятый порядок. Интересные вопросы о приложениях этих операторов и их связь с производной Шварца и уравнениями типа КдФ остаются пока открытыми. 2.1. Случай экспонент. Задача о квадратах собственных функций оператора Шре-дингера и связанное с этой задачей тождество: требуют модификации в случае операторов третьего порядка с размерностью нуль-пространства равной 3, Действительно, в случае квадратичных мономов с тремя образующими ^ мы имеем = 02 = ^2, Фз = ^3, 04 = У2, 05 = ^2^3, Фб = (2.16) и переход к однородным координатам и их логарифмическим производным в формуле (фи.. .,ф6) ( 2 не удается найти подходящий нормировочный делитель для вронекианных тождеств типа (2.15). Экспоненциальный вариант этой задачи рассматривался кратко в конце предыдущего параграфа. Опираясь на произвольный выбор функций в тождествах, аналогичных (2.12) мы хотим в качестве первого шага добавить к преобразованиям Дарбу «нулевого порядка» (1.2) преобразования типа заменам у ^ у’ — ¡у, т.е. преобразования Дарбу первого порядка. Следующий вариант известной в теории интегрируемых систем леммы подсказывает, как такие преобразования можно использовать вместо (1.2) в рассматриваемой задаче: хв (2.15) они совпадают Лемма 3.1. Для вронскиана (ф\. ,фт) = det^ )), j,k = 1. ,т от произвольных т > 2 гладких функций фу (ж) имеет место следующая формула А(фт) = (a0Dm-1 + aiDm-2 + ■ ■ ■ + ат-г)(фт) и А(фт) = (Фо Dm-2 + aiDm-3 + ■ ■ ■ + am-2)(D — ¡’)(фт) Легко видеть, что нуль-пространства ker А и ker А содержат функции фг. ,фт-1 и, следовательно, совпадают. Остается заметить, что необходимое нам равенство а0 = ф1а0 эквивалентно доказательству формулы (3.1): <фг. фт-1) = ф^фъ. Фт_\)-, но с заменой тъит — 1. Для завершения доказательства можно сослаться на индукцию по т, т.к. при т = 2 мы имеем <фг,ф2) = Ф^Ъ — ф2ф'\ = фг(D — ¡)ф2 = фгф2- П П Непосредственным следствием Леммы 3.1 является следующая теорема о факторизации произвольного дифференциального оператора, уточняющая исходную формулу (1.1) Теорема 3.1. Пусть заданные функции Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу. http://vmath.ru/vf5/dets/wronskian http://cyberleninka.ru/article/n/proizvedeniya-sobstvennyh-funktsiy-i-vronskiany