Вронскиан дифференциального уравнения второго порядка

Определитель Вронского (вронскиан).

Пусть функции $y_1(x),\;y_2(x),\;y_3(x),\ldots,y_n(x)$ непрерывны вместе с своими производными (до $n-1$ порядка включительно) на интервале $(a;b)$. Определитель Вронского (вронскиан) указанной системы функций задаётся следующей формулой:

Для того, чтобы функции $y_1(x),\;y_2(x),\;y_3(x),\ldots,y_n(x)$ были линейно независимыми на $(a;b)$, достаточно, чтобы $W(y_1,y_2,\ldots,y_n)\neq 0$ хотя бы в одной точке интервала $(a;b)$. Отметим, что это условие является достаточным, но не необходимым. Т.е. если $W(y_1,y_2,\ldots,y_n)= 0$ для всех значений переменной из интервала $(a;b)$, то про линейную зависимость функций $y_1(x),\;y_2(x),\;y_3(x),\ldots,y_n(x)$ в общем случае ничего определённого сказать нельзя.

В некоторых случаях, однако, условие $W(y_1,y_2,\ldots,y_n)\neq 0$ является не только необходимым, но и достаточным для линейной независимости функций. Например, чтобы решения $y_1(x),\;y_2(x),\;y_3(x),\ldots,y_n(x)$ линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка были линейно независимы на $(a;b)$, необходимо и достаточно, чтобы $W(y_1,y_2,\ldots,y_n)\neq 0$ хотя бы в одной точке интервала $(a;b)$. Об этом будет идти речь в соответствующих разделах теории дифференциальных уравнений.

Если функции $y_1(x),\;y_2(x),\;y_3(x),\ldots,y_n(x)$, непрерывные вместе с своими производными до $n-1$ порядка включительно на интервале $(a;b)$, линейно зависимы, то $W(y_1,y_2,\ldots,y_n) = 0$ для всех $x\in(a;b)$.

Исследовать на линейную зависимость функции $y_1(x)=x$, $y_2(x)=x e^x$ в их области определения.

Областью определения данных функций есть вся числовая прямая, т.е. $x\in(-\infty;+\infty)$.

Так как существует хотя бы одно значение $x\in R$, при котором $W\neq 0$ (например, при $x=1$ имеем $W=e$), то функции $y_1(x)=x$ и $y_2(x)=x e^x$ линейно независимы на $R$.

Исследовать на линейную зависимость функции $y_1(x)=1$, $y_2(x)=x$, $y_3(x)=x^2$, $y_4(x)=x^3$, $y_5(x)=x^4$ в их области определения.

Эта система функций уже была исследована в задаче №3 непосредственным применением определения линейно зависимых и независимых функций. Теперь осуществим исследование с помощью определителя Вронского. Все рассуждения проводим в области определения данных функций, т.е. на $R$.

Так как $W\neq 0$, то данные функции линейно независимы на $R$.

Исследовать на линейную зависимость функции $y_1(x)=4$, $y_2(x)=\arcsin x$, $y_3(x)=\arccos x$ в интервале $(-1;1)$.

Для вычисления полученного определителя можно использовать формулу треугольников, но лучше сделать пару предварительных преобразований. Прибавим к элементам второго столбца соответствующие элементы третьего столбца и учтем, что $\arcsin x+\arccos x=\frac <\pi><2>$ при любом $x\in[-1;1]$:

Так как $W=0$, то ничего определенного про линейную зависимость данных функций сказать нельзя.

Можно исследовать данные функции определителем Грама, но проще использовать определение линейно зависимых функций. В задаче №4 доказано по определению, что данные функции линейно зависимы на отрезке $[-1;1]$, а следовательно, будут линейно зависимы на $(-1;1)$.

Исследовать на линейную зависимость функции $y_1(x)=x$, $y_2(x)=|x|$ в их области определения.

Областью определения заданных функций есть все множество действительных чисел, т.е. $x\in R$. Рассмотрим определитель Вронского этих функций при $x≥ 0$. При данном условии $y_2(x)=|x|=x$.

Итак, вронскиан равен нулю на всей области определения заданных функций. Вновь, как и в примере №3, сказать что-либо определённое по поводу линейной зависимости функций, опираясь на значение вронскиана, нельзя. В задаче №5 эти функции были исследованы на линейную зависимость согласно определению. И, согласно результатам, функции оказались линейно независимыми.

Как видите, примеры №3 и №4 наглядно иллюстрируют тот факт, что условие $W(y_1,y_2,\ldots,y_n)\neq 0$ является достаточным, но не необходимым для линейной независимости рассматриваемых функций. В примере №3 функции были линейно зависимы, в примере №4 – линейно независимы, однако в обоих случаях $W=0$.

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).

Вронскиан дифференциального уравнения второго порядка

Если же это тождество выполняется лишь при , то указанные функции , , . называются линейно независимыми на отрезке .

Для случая двух функций критерий линейной независимости можно записать в более простом виде: Функции , будут линейно независимыми на отрезке , если их отношение на данном отрезке тождественно не равно постоянной:

В противном случае, при , эти функции будут линейно зависимыми .

Пусть n функций , , . имеют производные порядка. Определитель

называется определителем Вронского или вронскианом для указанной системы функций.

Теорема . Если система функций , , . линейна зависима на отрезке , то ее определитель Вронского тождественно равен нулю на этом отрезке.

Отсюда следует, что если определитель отличен от нуля хотя бы в одной точке отрезка , то функции , , . будут линейно независимыми. Это свойство определителя Вронского позволяет выяснить, являются ли найденные решения однородного дифференциального уравнения линейно независимыми.

Совокупность двух линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка образует его фундаментальную систему решений .

Если , − фундаментальная система решений, то общее решение уравнения второго порядка представляется в виде

где , − произвольные постоянные.

Заметим, что по заданной фундаментальной системе решений , можно построить соответствующее однородное дифференциальное уравнение. Для случая второго порядка такое уравнение выражается через определитель в виде:

Итак, как указано выше, общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка является линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений , этого уравнения.

Очевидно, что частные решения зависят от коэффициентов дифференциального уравнения. Формула Лиувилля-Остроградского устанавливает связь между вронскианом , построенном на базе частных решений , , и коэффициентом в дифференциальном уравнении.

Пусть − определитель Вронского решений , линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка

К сожалению, общего метода отыскания частного решения не существует. Обычно это можно сделать путем подбора.

Если известно частное решение линейного однородного уравнения второго порядка, то его можно преобразовать к линейному уравнению первого порядка с помощью подстановки и последующей замены .

Другой способ понижения порядка основан на использовании формулы Лиувилля-Остроградского. Здесь также одно частное решение должно быть известно. Соответствующие примеры разобраны ниже.

где , и − непрерывные функции на отрезке .

Соответствующее однородное уравнение записывается в виде

Метод вариации постоянных (или метод Лагранжа) используется для построения общего решения неоднородного уравнения, когда известно общее решение ассоциированного с ним однородного уравнения.

Пусть общее решение однородного уравнения 2-го порядка выражается через фундаментальную систему решений и :

где C₁, C₂ − произвольные постоянные. Идея данного метода состоит в том, что вместо постоянных C₁ и C₂рассматриваются функции и , которые подбираются таким образом, чтобы решение удовлетворяло неоднородному уравнению.

Производные неизвестных функций и можно определить из системы уравнений

Применяя метод вариации параметров, важно помнить, что функция должна соответствовать дифференциальному уравнению, приведенному к стандартному виду, т.е. коэффициент перед старшей производной должен быть равен 1.

Далее, зная производные и , можно найти и сами функции и :

Тогда общее решение исходного неоднородного уравнения будет выражаться формулой

Теперь воспользуемся методом вариации постоянных и построим общее решение неоднородного уравнения. Будем рассматривать параметры C₁ и C₂ как функции от переменной x. Производные этих функций определяются из системы уравнений

В результате получаем общее решение неоднородного уравнения в виде