Все формулы для дифференцирования уравнений

Формулы дифференцирования. Правила дифференцирования.

Дифференцирование – это определение производной.

Если с — постоянное число, и u = u(x), v = v(x) — некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

5) если y = f(u), u=φ(x), т.е. y = f(φ(x)) — сложная функция (суперпозиция) которая составлена из дифференцируемых функций φ и f, то , или

;

6) если для функции y = f(x) существует обратная дифференцируемая функция x = g(y), при этом больше или меньше нуля, то .

На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных основных элементарных функций:

Формулы дифференцирования

Вы будете перенаправлены на Автор24

Таблица производных элементарных функций

Вычисление производной называют дифференцированием.

Обозначают производную $y’$ или $\frac$.

Для нахождения производной функции согласно основным правилам дифференцирования превращают в другую функцию.

Рассмотрим таблицу производных. Обратим внимание на то, что функции после нахождения их производных преобразуются в другие функции.

Рисунок 1. Таблица производных. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Исключение составляет лишь $y=e^x$, превращающаяся сама в себя.

Правила дифференцирования производной

Чаще всего при нахождении производной требуется не просто посмотреть в таблицу производных, а вначале применить правила дифференцирования и доказательство производной произведения, и только потом использовать таблицу производных элементарных функций.

1. Постоянная выносится за знак производной

$C$ – постоянная (константа).

Продифференцировать функцию $y=7x^4$.

Решение.

Находим $y’=(7x^4 )’$. Выносим число $7$ за знак производной, получаем:

используя таблицу, необходимо находить значение производной степенной функции:

Преобразуем результат к принятому в математике виду:

Ответ: $28x^3$.

2. Производная суммы (разницы) равна сумме (разнице) производных:

Продифференцировать функцию $y=7+x-5x^3+4 \sin x-9\sqrt[5]+\frac<4> -11\cot x$.

Решение.

применим правило дифференцирования производной суммы и разницы:

отметим, что при дифференцировании все степени и корни необходимо преобразовать к виду $x^<\frac>$;

вынесем все постоянные за знак производной:

разобравшись с правилами дифференцирования, некоторые из них (например, как последние два) применяются одновременно во избежание переписывания длинного выражения;

мы получили выражение из элементарных функций, стоящих под знаком производной; воспользуемся таблицей производных:

преобразуем к виду, принятому в математике:

Обратим внимание, что при нахождении результата принято слагаемые с дробными степенями преобразовать в корни, а с отрицательными – в дроби.

Готовые работы на аналогичную тему

3. Формула производной произведения функций:

Продифференцировать функцию $y=x^ <11>\ln x$.

Решение.

Сначала применим правило вычисления производной произведения функций, а затем используем таблицу производных:

Ответ: $x^ <10>(11 \ln x-1)$.

4. Формула производной частной функции:

Продифференцировать функцию $y=\frac<3x-8>$.

Решение.

по правилам приоритета математических операций сначала выполним деление, а потом сложение и вычитание, поэтому применим сначала правило вычисления производной частного:

применим правила производных суммы и разности, раскроем скобки и упростим выражение:

Продифференцируем функцию $y=\frac$.

Решение.

Функция y является частным двух функций, поэтому можно применить правило вычисления производной частного, но в таком случае получим громоздкую функцию. Для упрощения данной функции можно почленно разделить числитель на знаменатель:

Применим к упрощенной функции правило дифференцирования суммы и разности функций:

Ответ: $6x^5-\frac<9>$.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 05 07 2021

Таблица производных функций

О чем эта статья:

10 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Что такое производная и зачем она нужна

Прежде чем переходить к таблице для вычисления производных, дадим определение производной. В учебнике оно звучит так:

Производная функции — это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Если же говорить простыми словами, то производная функции описывает, как и с какой скоростью эта функция меняется в данной конкретной точке. Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

Объясним на примере: допустим, Маша решила по утрам делать зарядку и стоять в планке. В первую неделю она держалась каждый день по 10 секунд, но начиная со второй недели смогла стоять в планке с каждым днем на 3 секунды дольше. Успехи Маши можно описать следующими графиками:

Очевидно, что в первую неделю результаты Маши не менялись (т. е. были константой), скорость прироста оставалась нулевой. Если мы заглянем в таблицу производных простых функций, то увидим, что производная константы равна нулю.

Во вторую неделю время выполнения планки с 10 сек начало увеличиваться на 3 сек ежедневно.

Снова смотрим в таблицу дифференцирования производных, где указано, что производная от х равна 1.

Вот так с помощью таблицы производных и элементарной математики мы докажем, что успехи Маши росли со скоростью 3 сек в день.

Это был очень простой пример, который в общих чертах объясняет азы дифференциального исчисления и помогает понять, для чего нужны формулы из таблицы производных функций. Но разобраться в решении задач, где скорость меняется нелинейно, конечно, не так просто.

Быстрее освоить производные поможет обучение на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Производные основных элементарных функций

Таблица производных для 10 и 11 класса может включать только элементарные часто встречающиеся функции. Поэтому приведем стандартную таблицу производных.