Логарифмические уравнения и системы
п.1. Методы решения логарифмических уравнений
При решении логарифмических уравнений используются следующие основные методы:
1) переход от логарифмического уравнения к равносильному уравнению \(f(x)=g(x)\) с системой неравенств, описывающих ОДЗ;
2) графический метод;
3) замена переменной.
п.2. Решение уравнений вида \(\log_a f(x)=\log_a g(x)\)
Неравенства \( \begin
Решать логарифмическое уравнение принято в таком порядке:
1) решить систему неравенств и получить промежутки допустимых значений для \(x\) в явном виде;
2) решить уравнение \(f(x)=g(x)\);
3) из полученных корней выбрать те, что входят в промежутки допустимых значений. Записать ответ.
Однако, если выражения \(f(x)\) и \(g(x)\) слишком сложны для явного решения, возможен другой порядок действий:
1) решить уравнение \(f(x)=g(x)\);
2) провести подстановку: полученные корни подставить в выражения для \(f(x)\) и \(g(x)\), и проверить, получатся ли положительные значения для этих функций;
3) из корней выбрать те, для которых подстановка оказалась успешной. Записать ответ.
Например:
Решим уравнение \(\lg(2x+3)+\lg(x+4)=\lg(1-2x)\)
Найдем ОДЗ в явном виде:
\( \begin
Решаем уравнение:
\(\lg\left((2x+3)(x+4)\right)=\lg(1-2x)\)
\((2x+3)(x+4)=1-2x\)
\(2x^2+11x+12-1+2x=0\)
\(2x^2+13x+11=0\)
\((2x+11)(x+1)=0\)
\( \left[ \begin
Корень \(x_1=-5,5\notin \left(-\frac32;\frac12\right),\) т.е. не подходит.
Корень \(x_2=-1\in \left(-\frac32;\frac12\right)\) — искомое решение.
Ответ: -1
п.3. Решение уравнений вида \(\log_ f(x)=\log_ g(x)\)
Как и в предыдущем случае, можно сначала найти ОДЗ, а потом решать уравнение.
Или же, можно решить уравнение, а потом проверить требования ОДЗ прямой подстановкой полученных корней.
Например:
Решим уравнение \(\log_
Найдем ОДЗ в явном виде:
\( \begin
Решаем уравнение:
\(x^2-4=2-x\)
\(x^2+x-6=0\)
\((x+3)(x-2)=0\)
\( \left[ \begin
Ответ: -3
В логарифмическом уравнении перед отбрасыванием логарифмов основания обязательно должны быть равны. Не забывайте это проверять!
Например:
Решим уравнение \(\log_<2>(x+1)=\log_<4>(x+3)\)
Основания \(2\ne 4\), и нельзя сразу написать \(x+1=x+3\).
Нужно привести к одному основанию, преобразовав левую часть:
\(\log_2(x+1)=\log_<2^2>(x+1)^2=\log_4(x+1)^2\)
Тогда исходное уравнение примет вид: \(\log_4(x+1)^2=\log_4(x+3)\)
И теперь: \((x+1)^2=x+3\)
\(x^2+x-2=0\)
\((x+2)(x-1)=0\)
\( \left[ \begin
Что касается ОДЗ, то её нужно искать для исходного уравнения:
\( \begin
Корень \(x_1=-2\lt -1\) — не подходит.
Ответ: 1
Преобразования могут расширить первоначальную область допустимых значений (например, при возведении в квадрат), и вы включите в решение лишние корни.
Преобразования также могут сузить ОДЗ (например, при взятии корня), и некоторые решения окажутся потеряны.
Поэтому ОДЗ определяется для исходного уравнения (выражения, неравенства), а не того, которое получено после преобразований.
п.4. Примеры
Пример 1. Решите уравнения:
a) \( \log_2(x+1)-\log_2(x-1)=1 \)
ОДЗ: \( \begin
\(\log_2\left((x+1)(x-1)\right)=\log_22\)
\(x^2-1=2\Rightarrow x^2 =3\)
\( \left[ \begin
Ответ: \(\sqrt<3>\)
б) \( 2\log_5(x-1)=\log_5(1,5x+1) \)
ОДЗ: \( \begin
Преобразуем: \(2\log_5(x-1)=\log_5(x-1)^2\)
Получаем: \(\log_5(x-1)^2=\log_5(1,5x+1)\)
\((x-1)^2=1,5x+1\)
\(x^2-2x+1-1,5x-1=0\Rightarrow x^2-3,5x=0\Rightarrow x(x-3,5)=0\)
\( \left[ \begin
Ответ: 3,5
в) \( \log_3(3-x)+\log_3(4-x)=1+2\log_3 2 \)
ОДЗ: \( \begin
Преобразуем: \(1+2\log_3 2=\log_3 3+\log_3 2^2=\log_3(3\cdot 4)=\log_3 12\)
Получаем: \(\log_3\left((3-x)(4-x)\right)=\log_3 12\)
\((3-x)(4-x)=12\Rightarrow 12-7x+x^2=12\Rightarrow x(x-7)=0\)
\( \left[ \begin
Ответ: 0
г) \( \log_2^2x+\log_2 x^2+1=0 \)
ОДЗ: \(x\gt 0\)
\(\log_2x^2=2\log_2x\)
Получаем: \(\log_2^2x+2\log_2x+1=0\)
Замена: \(t=\log_2 x\)
\(t^2+2t+1=0\Rightarrow(t+1)^2=0\Rightarrow t=-1\)
Возвращаемся к исходной переменной: \(\log_2x=-1\)
\(x=2^<-1>=\frac12\)
Ответ: \(\frac12\)
д) \( x^<\lg x>=10 \)
ОДЗ: \(x\gt 0\)
Замена: \(t=\lg x\). Тогда \(x=10^t\)
Подставляем:
\((10^t)^t=10\Rightarrow 10^
Возвращаемся к исходной переменной:
\( \left[ \begin
Оба корня подходят.
Ответ:
e) \( \sqrt
ОДЗ: \( \begin
\( \left[ \begin
Ответ: 0
ж) \( \log_<5x-2>2+2\log_<5x-2>x=\log_<5x-2>(x+1) \)
ОДЗ: \( \begin
Преобразуем: \(\log_<5x-2>2+2\log_<5x-2>x=\log_<5x-2>(2x^2)\)
Подставляем: \(\log_<5x-2>(2x^2)=\log_<5x-2>(x+1)\)
\( 2x^2=x+1\Rightarrow 2x^2-x-1=0\Rightarrow (2x+1)(x-1)=0 \Rightarrow \left[ \begin
Ответ: 1
Пример 2*. Решите уравнения:
a) \( \log_4\log_2\log_3(2x-1)=\frac12 \)
ОДЗ: \( \begin
\( \Rightarrow \begin
Решаем:
\(\log_2\log_3(2x-1)=4^<1/2>=2\)
\(\log_3(2x-1)=2^2=4\)
\(2x-1=3^4=81\)
\(2x=82\)
\(x=41\)
Ответ: 41
б) \( \log_2(9-2^x)=25^<\log_5\sqrt<3-x>> \)
ОДЗ: \( \begin
Преобразуем: \(25^<\log_5\sqrt<3-x>>=25^<\log_<5^2>(\sqrt<3-x>)^2>=25^<\log_<25>(3-x)>=3-x\)
Подставляем: \(\log_2(9-2^x)=3-x\)
\(9-2^x=2^<3-x>\)
\(9-2^x-\frac<8><2^x>=0\)
Замена: \(t=2^x\gt 0\)
\( 9-t-\frac8t=0\Rightarrow \frac<-t^2+9t-8>
Возвращаемся к исходной переменной:
\( \left[ \begin
По ОДЗ \(x\lt 3\), второй корень не подходит.
Ответ: 0
в) \( \lg\sqrt
ОДЗ: \( \begin
Преобразуем: \(\lg 30-1=\lg 30-\lg 10=\lg\frac<30><10>=\lg 3\)
Подставляем: \(\lg\sqrt
\(\frac12\lg(x-5)+\frac12\lg(2x-3)=\lg 3\ |\cdot 2\)
\(\lg(x-4)+\lg(2x-3)=2\lg 3\)
\(\lg\left((x-5)(2x-3)\right)=\lg 3^2\)
\((x-5)(2x-3)=9\Rightarrow 2x^2-13x+15-9=0 \Rightarrow 2x^2-13x+6=0\)
\( (2x-1)(x-6)=0\Rightarrow \left[ \begin
Ответ: 6
г) \( \frac<1><\lg x>+\frac<1><\lg 10x>+\frac<3><\lg 100x>=0 \)
ОДЗ: \( \begin
Преобразуем: \(\lg 10x=\lg 10+\lg x=1+\lg 10\)
\(\lg 100x=\lg 100+\lg x=2+\lg x\)
Подставляем: \(\frac<1><\lg x>+\frac<1><1+\lg x>+\frac<3><2+\lg x>=0\)
Замена: \(t=\lg x\)
\begin
$$ \left[ \begin
Ответ: \(\left\<10\frac<-4\pm\sqrt<6>><5>\right\>\)
e) \( x^<\frac<\lg x+7><4>>=10^ <\lg x+1>\)
ОДЗ: \(x\gt 0\)
Замена: \(t=\lg x.\) Тогда \(x=10^t\)
Подставляем: \begin
$$ \left[ \begin
Ответ: \(\left\<0,0001;\ 10\right\>\)
ж) \( 4^<\log_3(1-x)>=(2x^2+2x+5)^ <\log_3 2>\)
ОДЗ: \( \begin
По условию: \begin
Пример 3. Решите систему уравнений:
a) \( \begin
ОДЗ: \( \begin
Из первого уравнения: \(\lg(xy)=\lg 2\Rightarrow xy=2\)
Получаем: \( \begin
Решаем биквадратное уравнение: \begin
Получаем две пары решений: \( \left[ \begin
Ответ: \(\left\<(1;2),(2,1)\right\>\)
б) \( \begin
ОДЗ: \(x\gt 0,\ x\ne 1\)
Логарифмируем: \( \begin
Замена: \(z=\log_x3\) \begin
Ответ: (3;2)
в*) \( \begin
ОДЗ: \( \begin
Сделаем замену \(t=\log_x y\). Тогда \(\log_y x=\frac<1><\log_x y>=\frac1t\)
Подставим в первое уравнение и решим его: \begin
Ответ: \(\left\<(8;2),\left(\frac14; 64\right)\right\>\)
г*) \( \begin
ОДЗ: \(x+y\gt 0\)
Прологарифмируем первое уравнение по 3: \begin
Решим последнее уравнение относительно \(t=x+y\) \begin
Получаем систему линейных уравнений: \begin
Ответ: (4;1)
Методика решения логарифмических уравнений
Разделы: Математика
Введение
Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем как поддержать у студентов интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. В связи с этим ведутся поиски новых эффективных методов обучения и таких методических приемов, которые активизировали бы мысль студентов, стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний.
Возникновение интереса к математике у значительного числа студентов зависит в большей степени от методики ее преподавания, от того, на сколько умело будет построена учебная работа. Вовремя обращая внимание студентов на то, что математика изучает общие свойства объектов и явлений окружающего мира, имеет дело не с предметами, а с отвлеченными абстрактными понятиями, можно добиться понимания того, что математика не нарушает связи с действительностью, а, напротив, дает возможность изучить ее глубже, сделать обобщенные теоретические выводы, которые широко применяются в практике.
Участвуя в фестивале педагогических идей «Открытый урок» 2004-2005 учебного года, я представила урок-лекцию по теме «Логарифмическая функция» (диплом № 204044). Считаю этот метод наиболее удачным в данном конкретном случае. В результате изучения у студентов имеется подробный конспект и краткая схема по теме, что облегчит им подготовку к следующим урокам. В частности, по теме «Решение логарифмических уравнений», которая полностью опирается на изучение логарифмической функции и ее свойств.
При формировании основополагающих математических понятий важно создать у студентов представление о целесообразности введения каждого из них и возможности их применения. Для этого необходимо, чтобы при формулировке определения некоторого понятия, работе над его логической структурой, рассматривались вопросы об истории возникновения данного понятия. Такой подход поможет студентам осознать, что новое понятие служит обобщением фактов реальной действительности.
История возникновения логарифмов подробно представлена в работе прошлого года.
Учитывая важность преемственности при обучении математике в среднем специальном учебном заведении и в вузе и необходимость соблюдения единых требований к студентам считаю целесообразным следующую методику ознакомления студентов с решением логарифмических уравнений.
Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма (в частности, в основании логарифма), называются логарифмическими. Рассмотрим логарифмические уравнения вида:
(1)
Решение этих уравнений основано на следующей теореме.
Теорема 1. Уравнение равносильно системе
(2)
Для решения уравнения (1) достаточно решить уравнение
(3)
и его решения подставить в систему неравенств
(4),
задающую область определения уравнения (1).
Корнями уравнения (1) будут только те решения уравнения (3), которые удовлетворяют системе (4), т.е. принадлежат области определения уравнения (1).
При решения логарифмических уравнений может произойти расширение области определения (приобретение посторонних корней) или сужение (потеря корней). Поэтому подстановка корней уравнения (3) в систему (4), т.е. проверка решения, обязательна.
Пример 1: Решить уравнение
Оба значения х удовлетворяют условиям системы.
Ответ:
Рассмотрим уравнения вида:
(5)
Их решение основано на следующей теореме
Теорема 2: Уравнение (5) равносильно системе
(6)
Корнями уравнения (5) будут только те корни уравнения , которые
принадлежат области определения, задаваемой условиями .
Логарифмическое уравнение вида (5) можно решить различными способами. Рассмотрим основные из них.
1. ПОТЕНЦИНИРОВАНИЕ (применение свойств логарифма).
Пример 2: Решить уравнение
Решение: В силу теоремы 2 данное уравнение равносильно системе:
Всем условиям системы удовлетворяет лишь один корень. Ответ:
2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛОГАРИФМА .
Пример 3: Найти х, если
Значение х = 3 принадлежит области определения уравнения. Ответ х = 3
3. ПРИВЕДЕНИЕ К КВАДРАТНОМУ УРАВНЕНИЮ.
Пример 4: Решить уравнение
Оба значения х являются корнями уравнения.
Ответ:
Пример 5: Решить уравнение
Решение: Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 и применим свойство «логарифм степени».
Оба корня принадлежат области допустимых значений логарифмической функции.
Ответ: х = 0,1; х = 100
5. ПРИВЕДЕНИЕ К ОДНОМУ ОСНОВАНИЮ.
Пример 6: Решить уравнение
Воспользуемся формулой и перейдем во всех слагаемых к логарифму по основанию 2:
Тогда данное уравнение примет вид:
Так как , то это корень уравнения.
Ответ: х = 16
6. ВВЕДЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
Решим способом введения вспомогательной переменной уравнение, заданное в примере 6.
Пусть ; тогда
Учитывая, что
После проверки, проведенной устно, легко убеждаемся в правильности найденного ответа.
Многие уравнения, содержащие переменную не только под знаком логарифма или в показателе степени, удобно решать графически.
Графически решением уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций, заданных в уравнении.
Пример 7: Решить уравнение
Решение: Построим графики функций и y = x
Графики функций не пересекаются, и, значит, уравнение не имеет корней (см. рисунок).
Ответ: корней нет
Пример 8: Найти х, если
Решение: С помощью рассмотренных выше способов корни уравнения найти не удается. Найдем какой-нибудь корень методом подбора.
Пусть, например, х = 10. Проверкой убедимся в том, что 10 — корень уравнения. Действительно,
истинно
Докажем, что других корней данное уравнение не имеет.
Эти корни следует искать во множестве значений х.
Допустимые значения х находятся в промежутке
На этом промежутке функция убывает, а функция возрастает. И, значит, если уравнение имеет решение, то оно единственное.
Логарифм. Основные способы решения логарифмических уравнений.
Логарифмическими уравнениями называют уравнения, в котором представлены неизвестные величины под знаком логарифма.
Логарифмические уравнения, так же как и показательные, относятся к трансцендентным.
Самым простым логарифмическим уравнением представлено уравнение следующее непосредственно из формулировки логарифма:
где а и b — заданные числа,
х — неизвестная переменная.
Если а – не отрицательное и не равное единице число, то у такого уравнения существует единственный корень:
При решении более трудных логарифмических уравнений, обыкновенно, приводим их или к решению алгебраических уравнений, или к решению уравнений типа Logаx=b.
Проанализируем это на нескольких отдельных уравнениях.
Найдем корни уравнения:
Отталкиваясь от формулировки логарифма из вышеприведенного уравнения получаем, что:
решив его имеем х = 2.
х= 2 — решение указанного уравнения.
Для нахождения ответа аналогичных уравнений применяем нижеследующее свойство логарифмов: если логарифмы двух чисел по одному и тому же основанию равны, то равны и сами эти числа.
И соответственно имеем, что если только у данного уравнения есть корни, то они будут удовлетворять уравнению:
Осуществим подстановку для проверки при х = 5
Следовательно, х= 5 — корень выбранного уравнения.
При х = -4 левая и правая части данного уравнения не существуют, поскольку x 2 — 17= — 1 2 x — 3log3x — 10 = 0.
Если log3x приравнять к у, то уравнение станет квадратным:
решив его получим:
Выполнив проверку видим, что эти две величины будут решением выбранного уравнения.
Отдельные уравнения решаются методом почленного логарифмирования. Так же в случае необходимости применяют формулу для перехода от одного основания логарифмов к другому.
http://urok.1sept.ru/articles/313550
http://www.calc.ru/Osnovnyye-Sposoby-Resheniya-Logarifmicheskikh-Uravneniy.html