Лекции по теме «Дифференциальные уравнения» Е.Н.01 Математика.
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Департамент образования и науки Приморского края
Краевое государственное автономное
профессиональное образовательное учреждение
«Региональный технический колледж»
Учебная дисциплина Е.Н.01 МАТЕМАТИКА
Преподаватель высшей квалификационной категории учебной дисциплины
Лекции изложены в доступном пониманию виде и могут быть использованы студентами при самостоятельной подготовке к занятиям.
Изложение теоретического материала по теме сопровождается рассмотрением большого количества примеров и задач, что позволит подготовиться к выполнению практической работы. В конце лекции представлены вопросы, необходимые для самоподготовки и темы для самостоятельного изучения.
Пособие поможет обучающимся освоить тему «Дифференцированные уравнения» курса высшей математики, подготовиться к сдаче зачётов и экзаменов.
Лекции по теме «Дифференцированные уравнения» рекомендованные для всех специальностей в образовательных учреждениях среднего профессионального образования.
Раздел 1. Дифференциальное и интегральное исчисление
Тема 1.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
1.Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Общее и частное решение.
2.Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными.
3.Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка.
4.Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами.
1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Общее и частное решение.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этих функций. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется уравнением в частных производных.
Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.
х+ уу’=0 – обыкновенное дифференциальное уравнение 1 порядка.
— 4 xy = — обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка.
О: Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция у=(х), которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество.
О: Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка у’= f ( x ;у) в области D называется функция у=(х,С), обладающая следующими свойствами:
1)она является решением данного уравнения при любых действительных значениях произвольной постоянной С;
2)для любого начального условия у(х 0 ) = у 0 такого, что (х 0 ;у 0 ) , существует единственное значение С=С 0 , при котором решение у=(х,С 0 ) удовлетворяет заданному начальному условию.
О: Всякое решение у=(х,С 0 ), получающееся из общего решения у=(х,С) при конкретном значении С=С 0 , называется частным решением.
О: Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения у’ = f ( x ; y ), удовлетворяющих начальному условию у(х 0 ) = у 0 , называется задачей Коши.
Построенный на плоскости хОу график всякого решения у=(х) данного дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Таким образом, общему решению (х;С) на плоскости хОу соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра – произвольной постоянной С, а частному решению, удовлетворяющему начальному условию у(х 0 ) = у 0 , — кривая этого семейства, проходящая через точку (х 0 ;у 0 ).
2. Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными
О: Дифференциальное уравнение вида
называется уравнением с разделяющими переменными.
Если f 2 ( x ) ≠ 0 и 1 ( y ) ≠ 0, то его можно представить в виде
В результате почленного интегрирования получаем
Пример 1. Решить уравнение у’ = .
Решение. f 2 ( x ) = x , 1 ( y ) = у, = , ydx = xdy . Разделяя переменные, получаем = . Интегрируя, = + С 1 |, С 1 0 или = + С 1 .
Потенцируя, находим | у| = | С 1 | |х |, что эквивалентно уравнению у = С 1 х. Полагая С 1 = С, окончательно получаем у = Сх.
Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения
(1 + е 2х ) у 2 dy = е х dx и частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(0) = 0.
Решение. Разделим переменные: у 2 dy = . Почленно интегрируя,
Получим : у 3 = arctg е х + С, или у 3 = 3 arctg е х + C , или у = — общее решение дифференциального уравнения.
Найдем постоянную интегрирования С из условия у(0) = 0: 0 = + С или С = — . Частное решение имеет вид: у 3 = 3 arctg е х — ,
Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения
х + у у ‘ = 0 и частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(0) = 2.
Решение. Разделяя переменные и обозначая у’ = , получим
y = — x ydy = — xdx.
Почленно интегрируя, будем иметь = — + С или х 2 + у 2 = С — общее решение дифференциального уравнения. Найдем постоянную интегрирования С из условия у(0) = 2 : 0 + 4 = С С = 4. Частное решение имеет вид х 2 + у 2 = 4.
Замечание. Геометрической интерпретацией общего решения данного уравнения является семейство концентрических окружностей х 2 + у 2 = С
С центром в начале координат. Частное решение представляет собой конкретную окружность х 2 + у 2 = 4, проходящую через точку с координатами (0;2).
3.Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка.
О: Дифференциальное уравнение вида у’ + Р(х) у = Q ( x ) называется линейным. Если Q ( x ) 0, то уравнение называется линейным неоднородным, а если Q ( x ) = 0, то – линейным однородным.
Общее решение линейного однородного уравнения у’ + Р(х) у = 0 легко получается разделением переменных
= — P (x) y = — P (x) y = — dx + = — y = C .
Пример 1. Найти общее решение уравнения у’ + 3у = е 2х .
Решение. Данное уравнение является линейным. Здесь р(х) = 3; f (х) = е 2х . Решаем сначала соответствующее однородное уравнение у’ + 3у = 0. Разделяя переменные = — 3 dx и интегрируя, находим
= — 3х + или у = С 1 е -3х = С е -3х .
Общее решение данного неоднородного уравнения будем искать в том же виде у = С(х) е -3х , только произвольную постоянную будем считать уже функцией от х. Здесь применен метод вариации постоянной. Дифференцируя, имеем у’ = С’ (х) е -3х – 3С(х) е -3х . Подставляя в данное уравнение выражения для у и у’, получаем
С’ (х) е -3х = е 2х , С’ (х) = е 5х или dC = е 5х d х, откуда С(х) = е 5х + С 2 , где С 2 – произвольная постоянная. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид у = С(х) е -3х = ( е 5х + С 2 ) е -3х или у = е 2х + С 2 е -3х .
Найдем теперь общее решение данного уравнения методом подстановки. Положим у = uv . Тогда будем иметь y ‘ = u ‘ v + uv ‘.
Подставляя эти выражения в данное уравнение, получим
u ‘ v + uv ‘ + 3 uv = е 2х или u ‘ v + u ( v ‘ + 3 v ) = е 2х . ()
Теперь потребуем, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль, т.е. чтобы v ‘ + 3 v = 0, откуда = — dx ; = — x ; = e — x ; v = e -3 x .
Подставляя найденное значение v в (), найдем u ‘ e -3 x = e 2 x ; du = e 5 x dx ;
u = е 5х + С. Но у = uv , поэтому у = е -3х ( е 5х + С ) или у = е 2х + С е -3х .
Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения
ху’ + 2у = и частное решение, удовлетворяющее начальному условию
Подставляя у и у’ в исходное уравнение, будем иметь
x v u’ + x u v’ + 2u v = ; u ( x v’ + 2v ) + x v u’ = .
Решим оставшееся уравнение:
x v u’ = xv = x = = 1 du = dx u = x + C.
Общее решение уравнения имеет вид y = u v = .
Найдем частное решение: 1 = С = 6 у = .
4.Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами.
некоторые постоянные действительные числа, называется линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
Теорема. Если у 1 (х) и у 2 (х) — два линейно независимых частных решения уравнения 0 у» + 1 у’ + 2 у = 0, то у = С 1 у 1 + С 2 у 2 есть общее решение этого уравнения (С 1 и С 2 — произвольные постоянные ).
Теорема. Частное решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 0 у» + 1 у’ + 2 у = 0
может быть найдено в виде у = е kx .
Доказательство. После нахождения у’ = k e kx , y » = k 2 e kx и подстановки в уравнение, получим 0 k 2 e kx + 1 k e kx + 2 e kx = 0 e kx ( 0 k 2 + 1 k + 2 ) = 0.
Поскольку е kx 0, то 0 k 2 + 1 k + 2 = 0.
Это квадратное уравнение определит те значения k , при которых у = е kx
будет решением дифференциального уравнения. Оно называется характеристическим уравнением.
Случай 1. Корни k 1 и k 2 квадратного уравнения действительны и различны ( k 1 k 2 ) ( D 0). Получим два частных линейно независимых решения у 1 = ; у 2 = . Общее решение исходного однородного дифференциального уравнения будет иметь вид: у = С 1 + С 2 .
Пример 3. Найти общее решение уравнения у» – 3у’ +2у’ =0.
Решение. Составляем характеристическое уравнение, заменяя у» на k 2 , у’ на k , а у на 1. Получаем k 2 — 3 k + 2 = 0; k 1 = 1; k 2 = 2 y = C 1 e x + C 2 e 2 x .
Случай 2. Корни k 1 и k 2 квадратного уравнения действительны и одинаковы ( k 1 = k 2 = k = — ( D = 0).
В этом случае общее решение имеет вид:
у = C 1 e kx + C 2 х e kx = ( C 1 + C 2 x ) e kx .
Пример 4. Найти общее решение уравнения у» – 2у’ + 1 = 0.
Решение. Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид
k 2 – 2 k + 1 =0. Корни уравнения k 1 = k 2 = 1 действительные и равные.
Этим корням соответствуют частные линейно независимые решения
у 1 = е х , у 2 = х е х ; = const . Общее решение уравнения имеет вид
у = С 1 е х + С 2 х е х = е х ( С 1 + С 2 х ).
Пример 5. Найти общее решение уравнения у» – 4у’ + 13 =0.
Решение. Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид
k 2 – 4 k + 13 = 0. Корни уравнения k 1 = 2 + 3 i , k 2 = 2 – 3 i — комплексные.
Этим корням соответствуют частные линейно независимые решения у 1 = е 2х cos 3 x , y 2 = = е 2х sin 3 x . Общее решение уравнения имеет вид
у = е 2х ( С 1 cos 3 x + C 2 sin 3 x ).
Примеры решения дифференциальных уравнений с ответами
Простое объяснение принципов решения дифференциальных уравнений и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.
Алгоритм решения дифференциальных уравнений
Дифференциальные уравнения не так сильно отличаются от привычных уравнений, где необходимо найти переменную x , как кажется на первый взгляд. Всё различие лишь в том, что в дифференциальных уравнениях мы ищем не переменную, а функцию у(х) , с помощью которой можно обратить уравнение в равенство.
Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее саму функцию (y=y(x)), производные функции или дифференциалы (y′, y″) и независимые переменные (наиболее распространённая – х). Обыкновенным дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором содержится неизвестная функция под знаком производной или под знаком дифференциала.
Чтобы решить ДУ, необходимо найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Это множество в большинстве случаев выглядит следующим образом:y=f(x; С), где С – произвольная постоянная.
Проверить решённое ДУ можно, подставив найденную функцию в изначальное уравнение и убедившись, что уравнение обращается в тождество (равенство).
Примеры решения дифференциальных уравнений
Задание
Решить дифференциальное уравнение xy’=y.
Решение
В первую очередь, необходимо переписать уравнение в другой вид. Пользуясь
переписываем дифференциальное уравнение, получаем
Дальше смотрим, насколько реально разделить переменные, то есть путем обычных манипуляций (перенос слагаемых из части в часть, вынесение за скобки и пр.) получить выражение, где «иксы» с одной стороны, а «игреки» с другой. В данном уравнении разделить переменные вполне реально, и после переноса множителей по правилу пропорции получаем
Далее интегрируем полученное уравнение:
В данном случае интегралы берём из таблицы:
После того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.
– это общий интеграл. Также для удобства и красоты, его можно переписать в другом виде: y=Cx, где С=Const
Ответ
Задание
Найти частное решение дифференциального уравнения
Решение
Действуем по тому же алгоритму, что и в предыдущем решении.
Переписываем производную в нужном виде, разделяем переменные и интегрируем полученное уравнение:
Получили общий интеграл.Далее, воспользуемся свойством степеней, выразим у в «общем» виде и перепишем функцию:
Если – это константа, то
0\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» />
– тоже некоторая константа, заменим её буквой С:
– убираем модуль и теперь константа может принимать и положительные, и отрицательные значения.
Получаем общее решение:
Ответ
Задание
Решить дифференциальное уравнение
Решение
В первую очередь необходимо переписать производную в необходимом виде:
Второй шаг – разделение переменных и перенос со сменой знака второго слагаемого в правую часть:
После разделения переменных, интегрируем уравнение, как в примерах выше.
Чтобы решить интегралы из левой части, применим метод подведения функции под знак дифференциала:
В ответе мы получили одни логарифмы и константу, их тоже определяем под логарифм.
Далее упрощаем общий интеграл:
Приводим полученный общий интеграл к виду: F(x,y)=C:
Чтобы ответ смотрелся красивее, обе части необходимо возвести в квадрат.
Ответ
Задание
Найти частное решение дифференциального уравнения
удовлетворяющее начальному условию y(0)=ln2.
Решение
Первый шаг – нахождение общего решения. То, что в исходном уравнении уже находятся готовые дифференциалы dy и dx значительно упрощает нам решение.
Начинаем разделять переменные и интегрировать уравнение:
Мы получили общий интеграл и следующий шаг – выразить общее решение. Для этого необходимо прологарифмировать обе части. Знак модуля не ставим, т.к. обе части уравнения положительные.
Получаем общее решение:
Далее необходимо найти частное решение, которое соответствует заданному начальному условию y(0)=ln2.
В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:
Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.
Ответ
Задание
Решить дифференциальное уравнение
Решение
При внимательном разборе данного уравнения видно, что можно разделить переменные, что и делаем, после интегрируем:
В данном случае константу C считается не обязательным определять под логарифм.
Ответ
Задание
Найти частное решение дифференциального уравнения
удовлетворяющее начальному условию y(1)=e. Выполнить проверку.
Решение
Как и в предыдущих примерах первым шагом будет нахождение общего решения. Для этого начинаем разделять переменные:
Общий интеграл получен, осталось упростить его. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:
можно выразить функцию в явном виде.
Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=e.
Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.
Ответ
Проверка
Необходимо проверить, выполняется ли начальное условие:
Из равенства выше видно, что начальное условие y(1)=e выполнено.
Далее проводим следующую проверку: удовлетворяет ли вообще частное решение
дифференциальному уравнению. Для этого находим производную:
Подставим полученное частное решение
и найденную производную в исходное уравнение
Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.
Задание
Найти общий интеграл уравнения
Решение
Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:
Ответ
Задание
Найти частное решение ДУ.
Решение
Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:
Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию
Подставляем в общее решение
Ответ
Задание
Решить дифференциальное уравнение
Решение
Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:
Левую часть интегрируем по частям:
В интеграле правой части проведем замену:
(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов)
Ответ
Задание
Решить дифференциальное уравнение
Решение
Данное уравнение допускает разделение переменных.
Разделяем переменные и интегрируем:
Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:
Примеры дифференциальных уравнений с решениями
- Попробуйте решить приведенные ниже дифференциальные уравнения.
- Нажмите на изображение уравнения, и вы попадете на страницу с подробным решением.
Примеры решений дифференциальных уравнений первого порядка
Примеры решений дифференциальных уравнений второго и высших порядков
Найти общее решение дифференциального уравнения, или решение с заданными начальными условиями.
Примеры решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Примеры решений линейных уравнений в частных производных первого порядка
Найти общее решение линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка и решить задачу Коши с указанным граничным условием:
,
при .
Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению
,
и проходящую через данную окружность
, .
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 28-01-2016 Изменено: 26-11-2021
http://nauchniestati.ru/spravka/primery-resheniya-differenczialnyh-uravnenij-s-otvetami/
http://1cov-edu.ru/differentsialnye-uravneniya/primery/