Урок тригонометрии «Различные способы решения уравнения sinx + cosx = 1»
Разделы: Математика
Образовательные, развивающие и воспитательные цели урока:
Техническая оснащенность урока: компьютеры.
План сдвоенного урока.
I. Повторение по теме “Уравнения”.
Вопросы для повторения.
II. Сообщение темы урока, знакомство с целями.
Урок посвящён способам решения уравнения sin x + cos x = 1.
III. Ход работы.
Я буду ставить перед вами задачу, определив способ решения, а вы будете именно этим способом решать данное уравнение, используя различные приёмы. Работать будете на листочках. Кто раньше решит, выйдет и приведёт своё решение на обороте доски (такую возможность будут иметь одновременно 4 ученика).
По окончанию работы и сдачи листочков на проверку класс обсудит приведённые на доске варианты решений. Затем начнётся следующий этап работы. Не забывайте каждый раз подписывать листочки.
Различные способы решения тригонометрического уравнения sin x + cos x = 1.
I способ. Введение вспомогательного угла.
Рассмотрим два приёма:
Разделим обе части уравнения на :
Воспользуемся алгоритмом решения уравнений вида а sin x + b cos x = c.
применительно к уравнению sin x + cos x, имеем:
Подпишите листочки.
- Изложите на листочках алгоритм использования вспомогательного угла при решении уравнений вида a sin x + b cos x =0.
- Запишите формулу применения синуса дополнительного угла для выражения sin x + cos x.
- Теперь выразите sin x + cos x через косинус дополнительного угла.
- Кто раньше закончит работу, покажет свои варианты ответов на доске.
II способ. С помощью универсальной тригонометрической подстановки.
Запишите формулы универсальной подстановки для sin x, cos x . Кто первый закончит, покажет на доске.
(1)
Выводы: Обращение к функции tgx / 2 предполагает, что cosx / 2 0, т.е. x 2n, n Z.
При таком переходе возможна потеря решений, т.к. исходное уравнение имело смысл при всех значениях переменной х, в том числе и при x = + 2n, n Z.
Есть вероятность того, что они могут оказаться корнями исходного уравнения,
поэтому надо проверить, не являются ли значения x = + 2n, n Z решениями данного уравнения.
sin ( + 2n) + cos( + 2n) = 1
-1 1.
Следовательно, x = + 2n, n Z.
Решением уравнения не является и переход к функции tgx / 2, в данном случае потери решения за собой не повлечёт. Итак, по формулам (1) из исходного уравнения sin x + cos x = 1, получаем:
III способ. Сведение к однородному уравнению.
Возможно, ли получить из данного уравнения однородное уравнение?
Надо перейти к аргументу x/2 и применить формулы половинного аргумента к функциям в левой и правой частях уравнения sin x + cos x = 1.
Написать на листочках формулы, которые при этом используются, и то однородное уравнение, которое получится. Получили однородное уравнение второй степени.
2sinx/2*cosx/2 + cos 2 x/2- sin 2 x/2 = sin 2 x/2 + cos 2 x/2 (2)
Подпишите листочки и решите данное однородное тригонометрическое уравнение второй степени
2sinx/2*cosx/2 + cos 2 x/2- sin 2 x/2 = sin 2 x/2 + cos 2 x/2,
2sinx/2*cosx/2 + cos 2 x/2- sin 2 x/2 — sin 2 x/2 — cos 2 x/2 = 0
sinx/2*cosx/2 — sin 2 x/2 = 0
Это уравнение можно решить, используя различные приёмы.
Разделим обе части уравнения на cos 2 x/2, т.к. cos 2 x/2 0
Ответ: <2n; /2 + 2k>, где n, k Z
Рассмотрим решение уравнения (2) способом разложения на множители:
sinx/2*cosx/2 — sin 2 x/2 = 0,
sinx/2*(cosx/2 — sinx/2) = 0,
x = 2n, n Z;
b) cosx/2 – sinx/2 = 0
x = /2 + 2k, k Z.
Ответ : <2n; /2 + 2k>, где n, k Z.
IV способ. Преобразование суммы в произведение.
Запишите формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение. Кто первый закончит работу, воспроизведёт её на доске. Используя формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение, решить данное уравнение:
а) Выразим cos x через sin(/2 – x):
О т в е т : <2n; /2 + 2k>, где n, k Z
sin x + cos x = 1
б) Выразим sin x через cos (/2 – х):
V способ. Применение формул половинного и двойного аргумента.
Напишите формулы тригонометрических функций двойного аргумента и половинного аргумента.
Запишите: sin x + cos x = 1; sin x = 1- cos x, приведите левую и правую части уравнения к аргументу х/2, используя формулы двойного и половинного угла, и решите получившееся уравнение.
2sinx/2 * cosx/2 = 2 sin 2 x/2 ,
sinx/2 * cosx/2 = sin 2 x/2 ,
x = /2 + 2k, k Z.
x = 2n; n, Z
Ответ: <2n; /2 + 2k>, где n, k Z.
Или это уравнение можно решить делением обеих частей на cos 2 x/2.
VI способ. Возведение обеих частей уравнения в квадрат:
sin x + cos x = 1,
(sin x + cos x) 2 = 1,
2 sin x cos x + 1= 1,
2 sin x cos x = 0,
При возведении в степень возможно появление посторонних решений уравнения, но не возможна потеря корней, т.е. получается уравнение-следствие. Причина приобретения корней состоит в том, что при возведении в квадрат чисел, равных по абсолютной величине, но разных по знаку, получается один и тот же результат.
При возведении в квадрат обеих частей уравнения sin x + cos x = 1, мы производим эту же операцию и с частями «теневого» уравнения (- sin x — cos x = 1), поскольку результат этих действий будет один и тот же.
Следовательно, по окончании решения, обязательно следует производить отбор корней.
1. Проверим корни вида x = j:
Значит, значения x = 2k, k Z, являются решениями исходного уравнения.
х= j , при j = 2k + 1, k Z.
следовательно, значения x = 2(k+1), где k Z, не являются решениями исходного уравнения.
2. Проверяем корни вида x = /2 + j, j Z:
j = 2n : x = /2+ 2n, где n Z.
Значит, значения x = /2+ 2n, где n Z являются решениями исходного уравнения.
x = /2 + 2(n+1); n Z.
следовательно, значения x = /2 + 2(n+1); n Z не являются решениями исходного уравнения.
Ответ : <2n; /2 + 2k>, где n, k Z.
VII способ. Замена cos x выражением :
Проверив результат, убеждаемся, что из серии x = k, k Z решением исходного уравнения являются только значения х вида: x = 2h, где h Z при k = 2h.
Ответ : <2h; /2 + 2n>, где n, h Z.
VIII способ. Графическое решение уравнения sin x + cos x = 1.
Предварительно проводится фронтальная беседа.
1. Что значит решить уравнение графически?
2. Как можно решить графически данное уравнение?
1. Построить в одной системе координат графики функций:
Абсциссы точек пересечения графиков функций и являются решением данного уравнения.
2. Построить график функции y = sin x+ cos x –1.
Абсциссы точек пересечения графика с осью абсцисс являются решением исходного уравнения.
3. Построение графиков на экране компьютера:
Прежде чем приступить к работе на компьютере, повторим элементы компьютерной грамотности, позволяющие построение графиков.
Что такое масштаб применительно к ЭВМ?
Масштаб – количество точек на экране, приходящееся на единицу значения.
Что называется пикселем?
Пиксель – наименьший объект графической среды, характеризующийся координатой Х и У (это точка на экране).
С помощью какого оператора можно построить точку на экране?
C помощью, какого оператора устанавливается новая система координат?
Window (x1, y1) – (x2, y2).
Рассказать о порядке построения линий осей координат на экране.
Line (x, y) – (x2, y2), c
Назовите операторы, которые обеспечивают надписи на осях координат.
Locate x, y: PRINT «Y».
Что собой представляет график на экране?
Что обеспечивает развёртку графика по осям координат?
Выполняем решение систем (1) на компьютере по соответствующим программам.
IV. Домашнее задание:
Решить различными способами уравнение sinx – cosx = 1 или любое другое уравнение.
Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Решение тригонометрических уравнений.
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое уравнение. Программа для решения тригонометрического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите тригонометрическое уравнение
Решить уравнение
Немного теории.
Тригонометрические уравнения
Уравнение cos(х) = а
Из определения косинуса следует, что \( -1 \leqslant \cos \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней. Например, уравнение cos х = -1,5 не имеет корней.
Уравнение cos x = а, где \( |a| \leqslant 1 \), имеет на отрезке \( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right] \); если a
Уравнение sin(х) = а
Из определения синуса следует, что \( -1 \leqslant \sin \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение sin x = а не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней.
Уравнение sin х = а, где \( |a| \leqslant 1 \), на отрезке \( \left[ -\frac<\pi><2>; \; \frac<\pi> <2>\right] \) имеет только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right] \); если а
Уравнение tg(х) = а
Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет корни при любом значении а.
Уравнение tg x = а для любого a имеет на интервале \( \left( -\frac<\pi><2>; \; \frac<\pi> <2>\right) \) только один корень. Если \( |a| \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right) \); если а
Решение тригонометрических уравнений
Выше были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin(x) = a, cos(x) = а, tg(x) = а. К этим уравнеииям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.
Уравнения, сводящиеся к квадратным
Решить уравнение 2 cos 2 (х) — 5 sin(х) + 1 = 0
Заменяя cos 2 (х) на 1 — sin 2 (х), получаем
2 (1 — sin 2 (х)) — 5 sin(х) + 1 = 0, или
2 sin 2 (х) + 5 sin(х) — 3 = 0.
Обозначая sin(х) = у, получаем 2у 2 + 5y — 3 = 0, откуда y1 = -3, y2 = 0,5
1) sin(х) = — 3 — уравнение не имеет корней, так как |-3| > 1;
2) sin(х) = 0,5; \( x = (-1)^n \text
Ответ \( x = (-1)^n \frac<\pi> <6>+ \pi n, \; n \in \mathbb
Решить уравнение 2 cos 2 (6х) + 8 sin(3х) cos(3x) — 4 = 0
Используя формулы
sin 2 (6x) + cos 2 (6x) = 1, sin(6х) = 2 sin(3x) cos(3x)
преобразуем уравнение:
3 (1 — sin 2 (6х)) + 4 sin(6х) — 4 = 0 => 3 sin 2 (6х) — 4 sin(6x) + 1 = 0
Обозначим sin 6x = y, получим уравнение
3y 2 — 4y +1 =0, откуда y1 = 1, y2 = 1/3
Уравнение вида a sin(x) + b cos(x) = c
Решить уравнение 2 sin(x) + cos(x) — 2 = 0
Используя формулы \( \sin(x) = 2\sin\frac
Поделив это уравнение на \( \cos^2 \frac
Обозначая \( \text
В общем случае уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c, при условиях \( a \neq 0, \; b \neq 0, \; c \neq 0, \; c^2 \leqslant b^2+c^2 \) можно решить методом введения вспомогательного угла.
Разделим обе части этого уравнения на \( \sqrt \):
Решить уравнение 4 sin(x) + 3 cos(x) = 5
Здесь a = 4, b = 3, \( \sqrt = 5 \). Поделим обе части уравнения на 5:
Уравнения, решаемые разложением левой части на множители
Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.
Решить уравнение sin(2х) — sin(x) = 0
Используя формулу синуса двойного аргумента, запишем уравнепие в виде 2 sin(x) cos(x) — sin(x) = 0. Вынося общий множитель sin(x) за скобки, получаем sin(x) (2 cos x — 1) = 0
Решить уравнение cos(3х) cos(x) = cos(2x)
cos(2х) = cos (3х — х) = cos(3х) cos(x) + sin(3х) sin(x), поэтому уравнение примет вид sin(x) sin(3х) = 0
Решить уравнение 6 sin 2 (x) + 2 sin 2 (2x) = 5
Выразим sin 2 (x) через cos(2x)
Так как cos(2x) = cos 2 (x) — sin 2 (x), то
cos(2x) = 1 — sin 2 (x) — sin 2 (x), cos(2x) = 1 — 2 sin 2 (x), откуда
sin 2 (x) = 1/2 (1 — cos(2x))
Поэтому исходное уравнение можно записать так:
3(1 — cos(2x)) + 2 (1 — cos 2 (2х)) = 5
2 cos 2 (2х) + 3 cos(2х) = 0
cos(2х) (2 cos(2x) + 3) = 0
8 способов решения тригонометрического уравнения sinx+cosx=1
2016г. ученица 10 Б класса
Цели: изучить способы решения одного тригонометрического уравнения, научиться применять их имыслить логически, углубить понимание методов его решения, расширить знания по данной теме, поделиться знаниями с учащимися.
Задачи: вспомнить методы решений тригонометрических уравнений при помощи дополнительной литературы, применить к уравнению sinx + cosx = 1, рассказать о них учащимся.
Гипотеза: одно уравнение можно решить несколькими способами.
Методы исследования: теоретические и математические.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
100_referat_i_anastasii_10a_.docx | 834.53 КБ |
i_anastasiya_10a_8_sposobov_resheniya_trigonom_uravn-ya_.pdf | 1.37 МБ |
Предварительный просмотр:
средняя общеобразовательная школа №9 г. Холмска
муниципального образования «Холмский городской округ»
8 способов решения тригонометрического уравнения sinx+cosx=1
ученица 10 «А» класса
Рязанцева Людмила Ивановна,
1.1Изглубокой древности и до наших дней……………………….………………..…….5
Глава 2. Тригонометрические уравнения. Методы решений тригонометрических уравнений………………………………………………………………………………..…..8
2.1 Решение простейших тригонометрических уравнений………………………. 8
2.3 Разложение на множители……………………………………………………………. 9
2.4 Сведение к однородному уравнению…………………………………………. ……10
2.5 Переход к половинному углу……………………………………………..…….…….10
2.6 Введение вспомогательного угла……………………………………………….…….11
2.7 Преобразование суммы в произведение……………………………. ………………11
2.8 Преобразование произведения в сумму………………………………………………12
2.9 Универсальная тригонометрическая подстановка…………………………………..12
2.10 Возведение обоих частей уравнения в квадрат………………………..……..……..13
2.11 Сведение к квадратному уравнению……………………………………..………….14
Глава 3. Способы решения тригонометрического уравнения sinx+cosx=1…………. 15
3.1 Возведение обоих частей уравнения в квадрат…………………………………. 15
3.2 Введение вспомогательного угла……………………………………………………..16
3.3 Сведение к однородному уравнению……………………………………….…. 16
3.4 Сведение к квадратному уравнению…………………………………………………..18
3.5 Универсальная тригонометрическая подстановка (УТП)……………………..……19
3.6 Преобразование суммы в произведение………………………………………………20
3.8 Переход к половинному углу. …………………………………………………. …..22
Первое знакомство с математикой происходит в детстве. Изначально, в старшей группе детского сада, нас учат цифрам, счету, основам, без которых невозможно приступить к дальнейшему изучению данной науки. Затем, в начальной школе, мы учимся проводить расчеты: складывать и вычитать, делить и умножать, решать простейшие задачи. Перейдя в старшие классы, изучаемый материал становится сложнее, но довольно интереснее, и уже математика имеет несколько разделов, а не два, как на начальном этапе нашего изучения.
Лично для меня наиболее интересной показалась тригонометрия. Она изучает зависимость между значениями величин углов и длин сторон треугольников, а также занимается анализом алгебраических тождеств тригонометрических функций. Её изящность и гибкость решений многих задач привлекает большое количество людей. Например, одно уравнение имеет не одно или два решения, как учат в школе, а несколько. А если рассмотреть окружность, составляющую данного раздела, можно заметить,что точкам, лежащим на ней, соответствует множество значений. Этим то и необычна тригонометрия.
К тому же, сложно представить, но с этой наукой мы сталкиваемся не только на уроках математики, но и в нашей повседневной жизни. Учащийся в школе подросток не всегда знает, как сложится его будущее, куда пойдет учиться и где будет работать. Для некоторых профессий знание тригонометрии просто необходимо. Вы могли не подозревать об этом, но именно она позволяет измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Принципы тригонометрии используются в таких науках и областях, как физика, биология, химия, медицина, электроника, теория вероятностей, фармацевтика, экономика и даже фонетика. Не последнюю роль она играет в сейсмологии, метеорологии, океанологии, картографии, геодезии и, что самое интересное, без нее не обошлось даже в музыке и архитектуре.
Решение тригонометрических уравнений играет важную роль для учащегося школы, так как они из года в год встречаются в заданиях ЕГЭ.
В своей работе я буду рассматривать 8 способов решений одного тригонометрического уравнения. Я выбрала эту тему, потому что она показалась мне достаточно интересной, к тому же в школе отводится мало часов для ее изучения. В ходе исследований по данной теме я поставила цели и задачи, а также вывела гипотезу.
Цели : изучить способы решения одного тригонометрического уравнения, научиться применять их имыслить логически, углубить понимание методов его решения, расширить знания по данной теме, поделиться знаниями с учащимися.
Задачи : вспомнить методы решений тригонометрических уравнений при помощи дополнительной литературы, применить к уравнению sinx + cosx = 1, рассказать о них учащимся.
Гипотеза : одно уравнение можно решить несколькими способами.
Методы исследования : теоретические и математические.
Итак, мы сегодня сможем поближе познакомиться с этой наукой и рассмотреть всю красоту и разносторонность решений тригонометрических задач.
Глава 1. Историческая справка.
Впервые термин «тригонометрия» встречается в заглавии книги«Тригонометрия, или краткий и ясный трактат о решении треугольников» немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (1561-1613) в 1595 году. Оно имеет греческое происхождение и означает «измеряю треугольник».
1.1 Из глубокой древности и до наших дней
Хотя название науки возникло сравнительно недавно, многие относимые сейчас к тригонометрии понятия и факты были известны ещё две тысячи лет назад. Стимулом к развитию тригонометрии являлись потребности астрономии, вспомогательным разделом которой стала тригонометрия. Согласно сохранившимся данным, основоположником возникновения тригонометрии стал во 2 в. до н. э. древнегреческий астроном Гиппарх Никейский. Он впервые рассмотрел тригонометрический круг и вычислил таблицу хорд, соответствующих различным углам. Так как в то время астрономам не были известны тригонометрические функции, она стала основным элементом греческой тригонометрии на плоскости. Единицами измерения были градусы, минуты, секунды, терции. Далее, Клавдий Птолемей во 2 в. н. э. вывел соотношения между хордами в круге, которые равносильны современным формулам для синуса половинного и двойного угла, суммы и разности двух углов. Для прямоугольного треугольника с гипотенузой, равной диаметру круга, на основании теоремы Пифагора он записал: (хорда α)²+ (хорда /180-α/)² = (диаметру)², что соответствует современной формуле sin²α+cos²α=1.
Важный вклад в развитие тригонометрии был внесен индийскими астрономами в период 5-12 вв. н. э. Индийские математики вычисляли не полную хорду, как это делали греки, а ее половину. Замена хорд синусами стала главным достижением средневековой Индии. Такая замена позволила вводить различные функции, связанные со сторонами и углами прямоугольного треугольника. Индийские математики назвали синус «ардхаджива», что в буквальном смысле означало «половина тетивы лука». Также они составили таблицу синусов, в которой были даны значения полухорд. Таким образом, в Индии было положено начало тригонометрии как учению о тригонометрических величинах, названное позже гониометрией (от «гониа» — угол и «метрио» — измеряю). Тем не менее, для индийцев как и для греков тригонометрия была вспомогательным разделом астрономии.
Ознакомившись с трудами индийских математиков, арабские ученые существенно продвинули вперед разработку тригонометрии. Они называли линию синусов словом «джайб» , что переводится на латынь как sinus – изгиб, кривизна. От латинского выражения complementisinus, т.е. «дополнительный синус», произошло слово «косинус» . Тангенсы и котангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени в 10 в. Термин «тангенс» с латинского переводится как «касающийся», т.е. линия тангенсов – касательная к единичной окружности. Ну а «котангенс», по аналогии с косинусом, означает «дополнительный тангенс». Важным нововведением было использование единичного радиуса, вычисления с ним гораздо проще.
В 11-13 вв. в трудах математиков Средней Азии, Закавказья, Ближнего Востока и Индии началось формирование тригонометрии как отдельной науки.
Первые упоминания о тригонометрии в Европе относятся к 12 в., когда арабские трактаты были переведены на латынь. Изначально тригонометрия представляется как часть геометрии, но затем в сочинении «Четыре трактата о прямых и обращенных хордах» английского астронома Ричарда Уоллингфордского (около 1320 г.) начинает обособляться от нее.Немецкий ученый Иоганн Мюллер (1436-1476), известный в науке под именем Региомонтан, издал труд «Пять книг о треугольниках всех видов» (1462-1464), сыгравший важную роль в развитии тригонометрии. Благодаря его трудам тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной и в Европе. В 14—15 вв. тригонометрия заняла место среди университетских курсов.
Дальнейшее развитие тригонометрии шло на пути накопления и систематизации формул, уточнении основных понятий, становления терминологии и обозначений.
В данной области работали европейские ученые Николай Коперник (1473-1543), Иоганн Кеплер (1571-1630), Франсуа Виет (1540-1603) и Исаак Ньютон (1643-1727).
Коперник посвятил тригонометрии две главы в своём трактате «О вращении небесных сфер» (1543). Кеплер опубликовал труд «Оптическая часть астрономии» (1604).
Виет открыл «плоскую» теорему косинусов, разработал общую алгебраическую символику. Появление символики позволило записать в компактном и общем виде тригонометрические тождества, например, формулы тригонометрических функций для кратных углов (приложение 2). Исаак Ньютон (1643-1727) разложил эти функции в ряды и открыл путь для их использования в математическом анализе.
В 17 в. тригонометрия имеет новое направление – аналитическое. Постепенно она становится частью математического анализа. Также находит широкое применение в физике, особенно при изучении колебательных движений и других периодических процессов. А Альбрехт Дюрер стал тем, благодаря кому на свет появилась синусоида.
В России первые сведения о тригонометрии появились в начале 18 в.В то же время появился первый русский учебник по тригонометрии, и назывался он «Геометрия практика». Дальнейшее развитие теории тригонометрии было продолжено в 19 в Н. И. Лобачевским и другими учеными. В 19—20 вв. бурное развитие получили теория тригонометрических рядов и связанные с ней области математики: гармонический анализ, теория случайных процессов, кодирование аудио и видеоинформации и другие.
В наше время важнейшая часть тригонометрии – учение о тригонометрических функциях рассматривается в математическом анализе, а решение треугольников является частью геометрии.
1.3.1 Заслуги Леонарда Эйлера
Современный вид тригонометрия получила, благодаря заслугам члена Российской академии наук Леонарда Эйлера (1707-1783). Именно он ввел само понятие функции и принятую в наши дни символику. Величины sinx, cos x и т.д. он рассматривал как функции числа х – радианной меры соответствующего угла. Он давал числу х всевозможные значения. Как положительные, так и отрицательные, и даже комплексные. К его заслугам можно отнести то, что именно он обнаружил связь между тригонометрическими функциями и экспонентой комплексного аргумента. Это позволило превратить многочисленные и объемные тригонометрические формулы в простые следствия из правил сложения и умножения комплексных чисел. Также, Эйлер ввел обратные функции. Именно он создал тригонометрию как науку о функциях и дал ей аналитическое изложение, вывел всю совокупность формул из основных формул. Благодаря обозначениям, которые заключались в определении сторон малыми буквами, а углов – большими, он смог упростить формулы, тем самым придать им красоту и ясность. Его нововведения позволяют нам изучать тригонометрию такой, какая она есть в 21 в. Ведь именно Леонарду Эйлеру принадлежит идея рассматривать тригонометрические функции как числа (отношения соответствующих линий к радиусу круга, причем радиус равен 1). Он вывел ряд новых соотношений, установил связь тригонометрических функций с показательными, дал правило знаков функций в во всех четвертях, получил обобщенную формулу приведения, избавил тригонометрию от многих ошибок, допущенных ранее. На основании работ Эйлера были составлены учебники тригонометрии, излагавшие ее в строгой научной последовательности.
Глава 2. Тригонометрические уравнения. Методы решений тригонометрических уравнений.
Тригонометрические уравнения – это один из видов трансцендентныхуравнений (содержащие показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции), то есть не алгебраических, содержащих переменную под знаками тригонометрических функций.
Решение трансцендентных уравнений в явном виде также может быть получено в редких, простейших случаях. Уравнения такого типа, как правило, имеют неопределённое число корней. Необходимость решения трансцендентных уравнений возникает, например, при расчёте устойчивости систем, расчете парожидкостного равновесия и т.п.
Одним из нескольких отличий такого уравнения является наличие в ответе параметра k . Его рассматривают как количество полных обходов окружности в ту или иную сторону. Данный параметр принадлежит к множеству целых чисел. В единичной окружности (R = 1) одной точке соответствует бесконечное множество чисел, потому что окружность – замкнутая линия. Ее можно сравнить с беговой дорожкой стадиона. По ней можно двигаться очень долго, так как она замыкается, и начинается новый круг, и старту ,началу движения, может соответствовать 0 м и 600 м (после прохождения дистанции 600 м), то есть одна точка имеет несколько значений. Также и в окружности, одной точке соответствует несколько чисел. Именно поэтому ввели параметр k .
А основной целью решения любого тригонометрического уравнения является приведение его к виду простейшего.
2.1 Решение простейших тригонометрических уравнений.
Простейшие уравнения — это уравнения вида f(x) = a , где f(x) — одна из основных тригонометрических функция, а а -данное число. Для решения уравнений нужно знать основные тригонометрические формулы (приложение 1).
http://www.math-solution.ru/math-task/trigonometry-equality
http://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2017/11/08/8-sposobov-resheniya-trigonometricheskogo