Системы линейных уравнений (7 класс)
Если несколько линейных уравнений с одними теми же неизвестными рассматривают совместно, то говорят, что это система линейных уравнений с несколькими неизвестными.
Решить систему с двумя неизвестными – это значит найти все пары значений переменных, которые удовлетворяют каждому из заданных уравнений. Каждая такая пара называется решением системы.
Пример:
Пара значений \(x=3\);\(y=-1\) является решением первой системы, потому что при подстановке этих тройки и минус единицы в вместо \(x\) и \(y\), оба уравнения превратятся в верные равенства \(\begin
А вот \(x=1\); \(y=-2\) — не является решением первой системы, потому что после подстановки второе уравнение «не сходится» \(\begin
Отметим, что такие пары часто записывают короче: вместо «\(x=3\); \(y=-1\)» пишут так: \((3;-1)\).
Как решить систему линейных уравнений?
Есть три основных способа решения систем линейных уравнений:
Возьмите любое из уравнений системы и выразите из него любую переменную.
Полученное выражение подставьте вместо этой переменной в другое линейное уравнение системы.
Ответ запишите парой чисел \((x_0;y_0)\)
Замечание к шагу 1: нет никакой разницы какую переменную и из какого уравнения выражать. Обычно более удобно выражать ту переменную, перед которой нет коэффициента или, говоря точнее, коэффициент которой равен единице (в примере выше это был икс в первом уравнении).
Почему так? Потому что во всех остальных случаях у нас при выражении переменной получилась бы дробное выражение . Попробуем, например, выразить икс из второго уравнения системы:
И сейчас нам нужно будет эту дробь подставлять в первое уравнение и решать то, что получиться. До верного ответа мы бы всё равно дошли, но идти было бы неудобнее
Способ алгебраического сложения.
Равносильно преобразовывая каждое уравнение в отдельности, запишите систему в виде:\(\begin
Теперь нужно сделать так, чтоб коэффициенты при одном из неизвестных стали одинаковы (например, (\(3\) и \(3\)) или противоположны по значению (например, \(5\) и \(-5\)). В нашем примере уравняем коэффициенты при игреках. Для этого первое уравнение домножим на \(2\), а второе — на \(3\).
\(\begin
Сложите (или вычтите) почленно обе части уравнения так, чтобы получилось уравнение с одним неизвестным.
Найдите неизвестное из полученного уравнения.
Подставьте найденное значение неизвестного в любое из исходных уравнений и найдите второе неизвестное.
Ответ запишите парой чисел \((x_0;y_0)\).
Замечание к шагу 3: В каком случае уравнения складывают, а в каком вычитают? Ответ прост – делайте так, чтоб пропала переменная: если «уравненные» коэффициенты имеют один и тот же знак – вычитайте, а если разные – складывайте.
Пример. Решите систему уравнений: \(\begin
Приводим систему к виду \(\begin
«Уравняем» коэффициенты при иксах. Для этого домножим второе уравнение на \(3\).
Знаки при иксах разные, поэтому чтоб иксы пропали, уравнения надо сложить.
Делим уравнение на \(8\), чтобы найти \(y\).
Игрек нашли. Теперь найдем \(x\), подставив вместо игрека \(-2\) в любое из уравнений системы.
Икс тоже найден. Пишем ответ.
Приведите каждое уравнение к виду линейной функции \(y=kx+b\).
Постройте графики этих функций. Как? Можете прочитать здесь .
Ответ: \((4;2)\)
Матхак. Если сомневаетесь в правильности ответа (неважно каким способом вы решали), проверьте подстановкой значений \(x_0\) и \(y_0\) в каждое уравнение. Если оба уравнения превратятся в верные равенства, то ответ правильный.
Пример: решая систему \(\begin
Оба уравнения сошлись, решение системы найдено верно.
Пример. Решите систему уравнений: \(\begin
Перенесем все выражения с буквами в одну сторону, а числа в другую.
Во втором уравнении каждое слагаемое — четное, поэтому упрощаем уравнение, деля его на \(2\).
Эту систему линейных уравнений можно решить любым из способов, но мне кажется, что способ подстановки здесь удобнее всего. Выразим y из второго уравнения.
Подставим \(6x-13\) вместо \(y\) в первое уравнение.
Первое уравнение превратилась в обычное линейное . Решаем его.
Сначала раскроем скобки.
Перенесем \(117\) вправо и приведем подобные слагаемые.
Поделим обе части первого уравнения на \(67\).
Ура, мы нашли \(x\)! Подставим его значение во второе уравнение и найдем \(y\).
Решение простых линейных уравнений
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие уравнения
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.
Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.
Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.
Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.
Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.
Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.
Какие бывают виды уравнений
Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.
Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.
| Линейное уравнение выглядит так | ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Что поможет в решении:
|
|---|---|
| Квадратное уравнение выглядит так: | ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0. |
Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.
Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:
Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.
Как решать простые уравнения
Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.
1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.
Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5
Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.
Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.
Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.
Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.
Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.
Приведем подобные и завершим решение.
2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.
Применим правило при решении примера: 4x=8.
При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.
Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.
Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:
Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:
Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12
- Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.
−4x = 12 | : (−4)
x = −3
Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.
Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.
Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.
| Алгоритм решения простого линейного уравнения |
|---|
|
Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.
Примеры линейных уравнений
Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!
Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.
- Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.
Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.
Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.
5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1
Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.
5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2
Приведем подобные члены.
Ответ: х — любое число.
Пример 3. Решить: 4х = 1/8.
- Разделим обе части уравнения на множитель стоящий перед переменной х, то есть на 4.
Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.
- 4х + 8 = 6 − 7х
- 4х + 7х = 6 − 8
- 11х = −2
- х = −2 : 11
- х = −2/11
Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.
Пример 5. Решить: 
- 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
- 9х — 12 = 28х + 24
- 9х — 28х = 24 + 12
- -19х = 36
- х = 36 : (-19)
- х = — 36/19
Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.
5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1
Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:
Приведем подобные члены.
Ответ: нет решений.
Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.
Все способы решения линейных уравнений 7 класс
Решим систему уравнений:
Выразим из первого уравнения у через х:
Подставив во второе уравнение вместо у выражение , получим систему:
Докажем, что системы (1) и (2) имеют одни и те же решения.
Пусть некоторая пара значений х и у является решением системы (1). При этих значениях х и у уравнение обращается в верное равенство. Заменив в нем значение у равным ему значением выражения , мы снова получим верное равенство. Значит, каждое решение системы (1) является решением системы (2).
Аналогично доказывается, что каждое решение системы (2) является решением системы (1).
Таким образом, системы (1) и (2) имеют одни и те же решения. Такие системы называются равносильными.
В системе (2) второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:
Соответствующее значение у можно найти, подставив вместо х число 1 в первое уравнение системы (1). Удобнее, однако, воспользоваться формулой
Пара (1; 4) — решение системы (1).
Способ, с помощью которого мы решили систему (1), называют способом подстановки. При решении этим способом сначала из какого-нибудь уравнения выражают одну переменную через другую. Полученное выражение подставляют в другое уравнение, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной. Решают это уравнение. Затем находят соответствующее значение второй переменной.
На рисунке 66 построены графики уравнений и . Они пересекаются в точке (1; 4). Через эту точку проходит и график уравнения т. е. прямая х = 1. Мы видим, что системы (1) и (2) имеют одно и то же решение.
Покажем применение способа подстановки еще на одном примере. Решим систему:
Выразим из второго уравнения х через у:
Подставим в первое уравнение вместо х выражение
Решим полученное уравнение с одной переменной у:
Подставим в уравнение вместо у число 4,5:
Ответ: х=—3, у = 4,5.
СПОСОБ СЛОЖЕНИЯ
Рассмотрим еще один способ решения систем уравнений — способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.
Пример 1. Решим систему:
В уравнениях системы коэффициенты при у — противоположные числа. Сложив почленно левые и правые части уравнения, получим уравнение с одной переменной:
Заменим одно из уравнений системы (1), например первое, уравнением . Получим систему:
Решим систему (2). Из уравнения находим, что . Подставив это значение х в уравнение , получим уравнение с переменной у:
Решим это уравнение:
Пара (11; —9) — решение системы (2). Она является также решением системы (1), так как системы (1) и (2) равносильны. В этом можно убедиться с помощью рассуждений, аналогичных тем, которые были проведены в предыдущем пункте при решении систем способом подстановки.
На рисунке 67 изображены графики уравнений 2x + 3у = — 5 и х — Зу = 38.
График уравнения , т. е. прямая , проходит через точку их пересечения. Из рисунка видно, что система (2) имеет то же решение, что и система (1).
Пример 2. Решим систему:
Почленное сложение уравнений системы не приводит к исключению одной из переменных. Однако если умножить все члены первого уравнения на — 2, а второе уравнение оставить без изменений, то коэффициенты при х в полученных уравнениях будут противоположными числами:
Теперь почленное сложение приведет к уравнению с одной переменной . Из этого уравнения находим, что . Подставив во второе уравнение вместо у число —2, найдем значение х:
Ответ: х = 6, у= — 2.
Пример 3. Решим систему
Подберем множители к уравнениям так, чтобы коэффициенты при у стали противоположными числами. С этой целью умножим каждый член первого уравнения на 3, а второго на 7. Получим систему:
Сложив уравнения почленно, получим:
Подставив это значение х в уравнение , найдем, что у = 19.
Ответ: х=—14, у —19.
http://skysmart.ru/articles/mathematic/reshenie-prostyh-linejnyh-uravnenij
http://forkettle.ru/vidioteka/estestvoznanie/matematika/181-algebra/algebra-7-9-klassy/1881-algebra-7-9-klassy-11-sposoby-resheniya-sistem-linejnykh-uravnenij