Все типы уравнений 11 класс

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №49. Уравнения. Методы решения уравнений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Методы решения уравнений.
• Применение методов решения к уравнениям различного вида.
• Примеры решения задач государственной итоговой аттестации

Глоссарий по теме

Уравнение. Пусть заданы функции f(x) и g(x). Если относительно равенства поставлена задача отыскания всех значений переменной, при которых получается верное числовое равенство, то говорят, что задано уравнение с одной переменной.

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. Под ред. А.Б. Жижченко. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Основные методы решения уравнений

Метод разложения на множители

Решить уравнение:

ООУ:

Преобразуем обе части уравнения

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений

или

имеет множество корней

равносильно и его корни

Ответ:

Метод замены переменной

ООУ:

Так как в уравнении присутствует повторяющееся выражение, введем новую переменную

и получи уравнение

, корни которого

Возвращаемся к первоначальной переменной

Ответ:

Метод решения однородных уравнений.

ООУ: x – любое действительное число

Все слагаемые в правой части уравнения имеют равные степени, поэтому разделим обе части уравнения на и получим

.

Решаем полученное уравнение методом замены переменной

или

Итак, можно сделать следующие выводы. Наличие в уравнении повторяющихся элементов позволяет сделать предположение, что в его решении можно применить метод замены переменной. Наличие общих множителей выводит на применение метода разложение на множители. Если же в одной из частей уравнения стоит однородный многочлен, то применяем метод решения однородных уравнений.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Решите уравнение

Выберите ответ из предложенных.

ООУ:

Преобразуем левую часть уравнения

Введем новую переменную

Получим уравнение

Возвращаемся к первоначальной переменной

Решите уравнение

Выберите корень из списка:

ООУ:

Возведем обе части уравнения в квадрат

Повторно возведем в квадрат при условии

Корни этого уравнения

Учитывая все ограничения, получаем ответ .

Статья на тему: «Различные виды уравнений и их решений (подбор для учащихся 11 класса)»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Нестандартные методы решения уравнений

Программа элективного курса c оставлена на основе федерального компонента государственного стандарта среднего (полного) общего образования по математике.

Элективные занятия рассчитаны на 1 ч в неделю, в общей сложности – на 17 ч в учебный год. Преподавание элективного курса строится как углублённое изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление обучающихся. Элективные занятия дают возможность шире и глубже изучать программный материал, задачи повышенной трудности, больше рассматривать теоретический материал, внедрять принцип опережения. Регулярно проводимые занятия по расписанию дают возможность разрешить основную задачу: как можно полнее развить потенциальные творческие способности каждого ученика, не ограничивая заранее сверху уровень сложности используемого задачного материала, повысить уровень математической подготовки обучающихся. Тематика задач не выходит за рамки основного курса, но уровень их трудности – повышенный, существенно превышающий обязательный.

Основные цели курса:

повышение интереса к предмету;

эффективная математическая подготовка обучающихся 11-х классов;

знакомство школьников с различными, основанными на материале программы общеобразовательной средней школы, методами решения задач;

иллюстрация широкой возможности использования хорошо усвоенных школьных знаний и привитие ученику навыков употребления нестандартных методов рассуждений при решении задач.

обеспечить овладение программой математики на повышенном уровне

Общие методы решения уравнений (урок алгебры и начала анализа в 11-м классе)

Разделы: Математика

Ключевые слова: личностно-ориентрованное обучение, дидактическая задача, общие методы решения уравнений, метод разложения на множители, метод введения новой переменной, метод замены уравнения равносильным, функционально-графический метод.

Основной формой организации учебной деятельности учащихся в школе является урок. Основная задача учителя на современном этапе – создать условия для обеспечения собственной учебной деятельности учащихся, учета и развития их индивидуальных особенностей. Рассмотрим построение урока математики по теме «Общие методы решения уравнений» с позиции личностно-ориентрованного обучения.

Дидактическая цель: создать условия для усвоения новых знаний учащимися с ориентацией на их практическое применение, обеспечить усвоение всеми учащимися требований образовательного стандарта по теме «Общие методы решения уравнений».

Образовательная цель: способствовать формированию у учащихся предметных компетенций

1. выделить общие методы решения уравнений на примере решения иррациональных, показательных, логарифмических уравнений;
2. определить насколько хорошо учащиеся умеют применять их при решении иррациональные, показательные, логарифмические уравнения;
3. способствовать дальнейшему закреплению навыка учащихся в решении уравнений, использования различных языков математики (словесного, символического, графического).

Развивающая цель: способствовать развитию у учащихся метапредметных компетенций:

1. коммуникативных – формирование мыслительной, речевой деятельности, навыка сотрудничества;
2. регулятивных – умение управлять собственной деятельностью.

Воспитательная цель: способствовать формированию у учащихся личностных компетенций:

1. смыслообразование – умение субъектного целеполагания (постановка учебных целей самим учеником, сознательно принимает решение);
2. самоопределение – самооценка (оценка результатов собственной деятельности на уроке).

Тип урока: урок усвоения новых знаний учащимися (по Конаржевскому Ю.А.)

Ход урока

I. Организационный момент.

Дидактическая задача. Обеспечить нормальную внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически подготовить учащихся к общению и предстоящему занятию.

Проверка внешнего состояния классного помещения, определение отсутствующих учащихся, подготовленности учащихся к уроку (рабочее место, внешний вид учащихся), организация внимания, взаимное приветствие учителя и учащихся.

Учитель. Ребята, сегодня, как и обычно, будем работать на уроке активно и продуктивно, чтобы «на небосклоне ваших знаний» с каждым днем оставалось все меньше «белых пятен». А для чего нужны вам знания?

Учащиеся. Чтобы быть образованными и успешными людьми, а для этого нужно успешно сдать ЕГЭ, получить хорошие баллы и поступить в то ВУЗ, в которое хотим.

Учитель. Совет народной мудрости учащимся: «Знание – сокровище, которое повсюду следует за тем, кто им обладает». (Китайская поговорка).

II. Подготовка учащихся к активному сознательному усвоению знаний.

Дидактическая задача. Организовать и целенаправить познавательную деятельность учащихся, подготовить их к усвоению нового материала. Учить учащихся формулировать цели учения и выбирать конкретные средства для их достижения.

Учитель. Тема нашего урока «Общие методы решения уравнений».

Запишем в рабочих тетрадях число, классная работа, тему урока.

Ребята, поясните, пожалуйста, смысл словосочетаний «методы решения уравнений», «общие методы решения уравнений».

– Методы решения уравнений – это способы, приемы, с помощью которых можно решить то или иное уравнение.

– Общие методы решения уравнений – это такие способы, приемы, с помощью которых можно решить уравнения разного типа.

Учитель. Какие цели учения на урок вы поставили бы для себя?

Учащиеся. Повторить какие методы решения уравнений нам известны, выделить общие методы решения уравнений, учиться применять их при решении уравнений разного типа, проверить насколько хорошо мы ими владеем.

Учитель. Где вам могут пригодиться эти знания?

Учащиеся. При написании самостоятельной работы, контрольной работы, на едином государственном экзамене.

III. Этап усвоения новых знаний.

Дидактическая задача. Дать учащимся конкретное представление об основной идее изучаемого вопроса.

Учитель. Повторить методы решения уравнений, нам помогут фрагменты презентаций, которые вы готовили ранее, работая в группах.

Учащиеся 1 группы.

Предлагаем взять девизом нашего урока слова В. Гюго «Я слышу – я забываю, я вижу – я запоминаю, я делаю – я понимаю».

Методы решения иррациональных уравнений. (См. Приложение 1)

Учащиеся 2 группы. Методы решения логарифмических уравнений (См. Приложение 1)

Учащиеся 3 группы. Методы решения показательных уравнений (См. Приложение 1)

Учащиеся 4 группы. Функционально-графический метод (См. Приложение 1)

Учитель. Какие методы решения уравнений можно выделить как общие?

1. Метод разложения на множители.
2. Метод введения новой переменной.
3. Метод замены уравнения равносильным.
4. Функционально-графический метод.

Учитель. Запишем в рабочих тетрадях опорный конспект.

1. Метод разложения на множители.

Уравнение f(x)g(x)h(x)=0 заменить совокупностью уравнений f(x)=0, g(x)=0, h(x)=0. Необходима проверка корней.

2. Метод введения новой переменной.

Пусть g(x)=t, тогда уравнение p(g(x))=0 равносильно уравнению p(t)=0.

3. Метод замены уравнения равносильным.

1. При решении показательных уравнений: уравнение a f(x) = a g(x) (a >0, a≠1) равносильно f(x) = g(x).
2. При решении логарифмических уравнений: уравнение log_a f(x) = log_a g(x) (f(x) > 0, g(x)>0, a>0, a≠1) равносильно f (x) = g(x).
3. При решении иррациональных уравнений (можно применять, если функции монотонны): уравнение равносильно f(x) = g(x).
4. Функционально-графический метод. f(x)=g(x)
   • построение графиков функций y=f(x) и y=g(x); определение абсцисс точек пересечения графиков.
   • использование свойств функций: монотонности, наибольшего и наименьшего значений на промежутке Х.

IV. Физкультминутка

Дидактическая задача. Снять усталость и напряжение.

Стоя выполняем упражнения под музыку:

• вытянуть руки вперед;
• дотронуться до кончика носа правой, левой рукой;
• встряхнуть кистями рук;
• наклонить голову вперед, назад;
• повернуть туловище налево, направо;
• выпрямить спину, сесть прямо.

V. Закрепление новых знаний

VI. Информация о домашнем задании

VII. Подведение итогов урока, рефлексия