Все уравнения при равноускоренном движении

Равноускоренное движение: формулы, примеры

Равноускоренное движение

Равноускоренное движение — это движение, при котором вектор ускорения не меняется по модулю и направлению. Примеры такого движения: велосипед, который катится с горки; камень брошенный под углом к горизонту. Равномерное движение — частный случай равноускоренного движения с ускорением, равным нулю.

Рассмотрим случай свободного падения (тело брошено под уголом к горизонту) более подробно. Такое движение можно представить в виде суммы движений относительно вертикальной и горизонтальной осей.

В любой точке траектории на тело действует ускорение свободного падения g → , которое не меняется по величине и всегда направлено в одну сторону.

Вдоль оси X движение равномерное и прямолинейное, а вдоль оси Y — равноускоренное и прямолинейное. Будем рассматривать проекции векторов скорости и ускорения на оси.

Формулы для равноускоренного движения

Формула для скорости при равноускоренном движении:

Здесь v 0 — начальная скорость тела, a = c o n s t — ускорение.

Покажем на графике, что при равноускоренном движении зависимость v ( t ) имеет вид прямой линии.

​​​​​​​

Ускорение можно определить по углу наклона графика скорости. На рисунке выше модуль ускорения равен отношению сторон треугольника ABC.

a = v — v 0 t = B C A C

Чем больше угол β , тем больше наклон (крутизна) графика по отношению к оси времени. Соответственно, тем больше ускорение тела.

Для первого графика: v 0 = — 2 м с ; a = 0 , 5 м с 2 .

Для второго графика: v 0 = 3 м с ; a = — 1 3 м с 2 .

По данному графику можно также вычислить перемещение тела за время t . Как это сделать?

Выделим на графике малый отрезок времени ∆ t . Будем считать, что он настолько мал, что движение за время ∆ t можно считать равномерным движением со скоростью, равной скорости тела в середине промежутка ∆ t . Тогда, перемещение ∆ s за время ∆ t будет равно ∆ s = v ∆ t .

Разобьем все время t на бесконечно малые промежутки ∆ t . Перемещение s за время t равно площади трапеции O D E F .

s = O D + E F 2 O F = v 0 + v 2 t = 2 v 0 + ( v — v 0 ) 2 t .

Мы знаем, что v — v 0 = a t , поэтому окончательная формула для перемещения тела примет вид:

s = v 0 t + a t 2 2

Для того, чтобы найти координату тела в данный момент времени, нужно к начальной координате тела добавить перемещение. Изменение координаты в зависимости от времени выражает закон равноускоренного движения.

Закон равноускоренного движения

y = y 0 + v 0 t + a t 2 2 .

Еще одна распространенная задача кинематики, которая возникает при анализе равноускоренного движения — нахождение координаты при заданных значениях начальной и конечной скоростей и ускорения.

Исключая из записанных выше уравнений t и решая их, получаем:

s = v 2 — v 0 2 2 a .

По известным начальной скорости, ускорению и перемещению можно найти конечную скорость тела:

v = v 0 2 + 2 a s .

При v 0 = 0 s = v 2 2 a и v = 2 a s

Величины v , v 0 , a , y 0 , s , входящие в выражения, являются алгебраическими величинами. В зависимости от характера движения и направления координатных осей в условиях конкретной задачи они могут принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Равноускоренное движение.

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: виды механического движения, скорость, ускорение, уравнения прямолинейного равноускоренного движения, свободное падение.

Равноускоренное движение — это движение с постоянным вектором ускорения . Таким образом, при равноускоренном движении остаются неизменными направление и абсолютная величина ускорения.

Зависимость скорости от времени.

При изучении равномерного прямолинейного движения вопрос зависимости скорости от времени не возникал: скорость была постоянна в процессе движения. Однако при равноускоренном движении скорость меняется с течением времени, и эту зависимость нам предстоит выяснить.

Давайте ещё раз потренируемся в элементарном интегрировании. Исходим из того, что производная вектора скорости есть вектор ускорения:

В нашем случае имеем . Что надо продифференцировать, чтобы получить постоянный вектор ? Разумеется, функцию . Но не только: к ней можно добавить ещё произвольный постоянный вектор (ведь производная постоянного вектора равна нулю). Таким образом,

Каков смысл константы ? В начальный момент времени скорость равна своему начальному значению: . Поэтому, полагая в формуле (2) , получим:

Итак, константа — это начальная скорость тела. Теперь соотношение (2) принимает свой окончательный вид:

В конкретных задачах мы выбираем систему координат и переходим к проекциям на координатные оси. Часто хватает двух осей и прямоугольной декартовой системы координат, и векторная формула (3) даёт два скалярных равенства:

Формула для третьей компоненты скорости, если она необходима, выглядит аналогично.)

Закон движения.

Теперь мы можем найти закон движения, то есть зависимость радиус-вектора от времени. Вспоминаем, что производная радиус-вектора есть скорость тела:

Подставляем сюда выражение для скорости, даваемое формулой (3) :

Сейчас нам предстоит проинтегрировать равенство (6) . Это несложно. Чтобы получить , надо продифференцировать функцию . Чтобы получить , нужно продифференцировать . Не забудем добавить и произвольную константу :

Ясно, что — это начальное значение радиус-вектора в момент времени . В результате получаем искомый закон равноускоренного движения:

Переходя к проекциям на координатные оси, вместо одного векторного равенства (7) получаем три скалярных равенства:

Формулы (8) — (10) дают зависимость координат тела от времени и поэтому служат решением основной задачи механики для равноускоренного движения.

Снова вернёмся к закону движения (7) . Заметим, что — перемещение тела. Тогда
получаем зависимость перемещения от времени:

Прямолинейное равноускоренное движение.

Если равноускоренное движение является прямолинейным, то удобно выбрать координатную ось вдоль прямой, по которой движется тело. Пусть, например, это будет ось . Тогда для решения задач нам достаточно будет трёх формул:

где — проекция перемещения на ось .

Но очень часто помогает ещё одна формула, являющаяся их следствием. Выразим из первой формулы время:

и подставим в формулу для перемещения:

После алгебраических преобразований (проделайте их обязательно!) придём к соотношению:

Эта формула не содержит времени и позволяет быстрее приходить к ответу в тех задачах, где время не фигурирует.

Свободное падение.

Важным частным случаем равноускоренного движения является свободное падение. Так называется движение тела вблизи поверхности Земли без учёта сопротивления воздуха.

Свободное падение тела, независимо от его массы, происходит с постоянным ускорением свободного падения , направленным вертикально вниз. Почти во всех задачах при расчётах полагают м/с .

Давайте разберём несколько задач и посмотрим, как работают выведенные нами формулы для равноускоренного движения.

Задача. Найти скорость приземления дождевой капли, если высота тучи км.

Решение. Направим ось вертикально вниз, расположив начало отсчёта в точке отрыва капли. Воспользуемся формулой

Имеем: — искомая скорость приземления, . Получаем: , откуда . Вычисляем: м/с. Это 720 км/ч, порядка скорости пули.

На самом деле капли дождя падают со скоростью порядка нескольких метров в секунду. Почему такое расхождение? Сопротивление воздуха!

Задача. Тело брошено вертикально вверх со скоростью м/с. Найти его скорость через c.

Решение. Направим ось вертикально вверх, поместив начало отсчёта на поверхности Земли. Используем формулу

Здесь , так что . Вычисляем: м/с. Значит, скорость будет равна 20 м/с. Знак проекции указывает на то, что тело будет лететь вниз.

Задача. С балкона, находящегося на высоте м, бросили вертикально вверх камень со скоростью м/с. Через какое время камень упадёт на землю?

Решение. Направим ось вертикально вверх, поместив начало отсчёта на поверхности Земли. Используем формулу

Имеем: так что , или . Решая квадратное уравнение, получим c.

Горизонтальный бросок.

Равноускоренное движение не обязательно является прямолинейным. Рассмотрим движение тела, брошенного горизонтально.

Предположим, что тело брошено горизонтально со скоростью с высоты . Найдём время и дальность полёта, а также выясним, по какой траектории происходит движение.

Выберем систему координат так, как показано на рис. 1 .

Рис. 1. Горизонтальный бросок

В нашем случае . Получаем:

Время полёта найдём из условия, что в момент падения координата тела обращается в нуль:

Дальность полёта — это значение координаты в момент времени :

Уравнение траектории получим, исключая время из уравнений (11) . Выражаем из первого уравнения и подставляем во второе:

Получили зависимость от , которая является уравнением параболы. Следовательно, тело летит по параболе.

Бросок под углом к горизонту.

Рассмотрим несколько более сложный случай равноускоренного движения: полёт тела, брошенного под углом к горизонту.

Предположим, что тело брошено с поверхности Земли со скоростью , направленной под углом к горизонту. Найдём время и дальность полёта, а также выясним, по какой траектории двигается тело.

Выберем систему координат так, как показано на рис. 2 .

Рис. 2. Бросок под углом к горизонту

Начинаем с уравнений:

В нашем случае . Получаем:

Дальше действуем так же, как и в случае горизонтального броска. В результате приходим к соотношениям:

(Обязательно проделайте эти вычисления самостоятельно!) Как видим, зависимость от снова является уравнением параболы.Попробуйте также показать, что максимальная высота подъёма определяется формулой:

Уравнения скорости при равноускоренном движении. Пример задачи с автомобилем

Одним из простых видов механического перемещения в пространстве тел является равноускоренное движение. Оно описывается определенными кинематическими формулами. В данной статье рассмотрим, что собой представляет уравнение скорости при движении равноускоренном.

Понятие скорости и ускорения в физике

Прежде чем записать уравнение скорости при равноускоренном движении тела, рассмотрим обе физические величины и их смысл.

Скорость — это кинематическая характеристика, определяющая быстроту изменения пространственных координат тела во время его движения. Математическое определение скорости выглядит так:

Вам будет интересно: Что препятствует распространению звука? Распространение звука в среде

Где dl¯ вектор пройденного за время dt пути.

Скорость измеряется в м/с (метры в секунду). Вектор ее вдоль касательной направлен к точке траектории, в которой находится движущееся тело в данный момент времени.

Ускорение — это по времени производная скорости. Ускорение показывает, как быстро скорость тела изменяется, то есть:

Измеряется величина a¯ в м/с2 (метры в квадратную секунду). Направление ускорения совпадает с разницей векторов скорости. Если вспомнить закон Ньютона о связи между силой и ускорением, то можно установить, что вектор a¯ всегда совпадает с вектором результирующей внешней силы, действующей на тело.

Какое движение называют равноускоренным?

Теперь мы знаем, что такое скорость и ускорение. Уравнение равноускоренного движения можно записать, если знать, что собой представляет данный тип перемещения тел. Движение тела равноускоренным будет только тогда, когда его ускорение в течение некоторого времени является постоянным. Под постоянством ускорения имеется в виду неизменность модуля и вектора величины a¯.

Понятие равноускоренного движения тесно связано с понятием траектории. Если траектория является прямой линией, то постоянное ускорение может быть направлено либо по вектору скорости, либо против него. В последнем случае будет происходить торможение тела.

Если траектория является окружностью (вращение тел вокруг неподвижной оси), то равноускоренное движение предполагает постоянство углового ускорения. Последнее линейно связано с тангенциальной компонентой полного ускорения. В случае равномерного перемещения по окружности полное ускорение не равно нулю, поскольку существует ненулевая его нормальная компонента.

Далее рассмотрим уравнения скорости при движении равноускоренном, принимая во внимание прямолинейную траекторию.

Уравнения скорости через ускорение

Проведем следующий мысленный эксперимент. Предположим, что автомобиль находится в состоянии покоя на дороге. Затем он начинает движение, и за время t его скорость становится равной v. Поскольку скорость изменилась от нуля до v, то можно следующее выражение записать для ускорения a:

Таким образом, произведение постоянного ускорения на время движения даст значение скорости.

Теперь предположим, что автомобиль набрал некоторую скорость v0 и начал тормозить. В таком случае скорости уравнение при равноускоренном движении имеет вид:

Знак минус говорит о том, что вектор ускорения направлен против скорости и стремится уменьшить ее модуль (автомобиль останавливается).

Наконец, если транспортное средство уже имело некоторую скорость v0, а затем водитель нажал на педаль газа, то рассчитать значение v в любой момент времени t можно по следующей формуле:

Все три записанных уравнения в графической форме представляют собой прямые линии. График первого уравнения проходит через начало координат (t=0; v=0). Графики второго и третьего уравнений проходят через точку (t=0; v0), при этом график второго уравнения убывает, то есть имеет отрицательный коэффициент наклона (-a), а график третьего возрастает (+a).

Пример решения задачи

Известно, что автомобиль двигался со скоростью 70 км/ч. После нажатия на педаль тормоза он начал останавливаться. Известно, что ускорение торможения транспортного средства было равно 3 м/с2. Через какое время после нажатия педали тормоза автомобиль остановится полностью?

В соответствии с условием задачи очевидно, что нам необходимо для ее решения применить следующее уравнение скорости через ускорение:

Поскольку транспортное средство остановилось полностью, то его конечная скорость v стала равной нулю. Этот факт позволяет выразить из записанного выше уравнения величину t, имеем:

Скорость 70 км/ч соответствует величине 19,44 м/c. Подставляя значение ускорения торможения, приходим к ответу: t = 6,48 секунды.