Все уравнения прямой на плоскости и в пространстве

Уравнения прямой, виды уравнений прямой в пространстве

Материал этой статьи продолжает тему прямой в пространстве. От геометрического описания пойдем к алгебраическому: зададим прямую при помощи уравнений в фиксированной прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Приведем общую информацию, расскажем о видах уравнений прямой в пространстве и их связи между собой.

Уравнение прямой в пространстве: общие сведения

Уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат O x y – это линейное уравнение с переменными x и y , которому отвечают координаты всех точек прямой и не удовлетворяют координаты никаких прочих точек.

Если речь идет о прямой в трехмерном пространстве, все несколько иначе: не существует такого линейного уравнения с тремя переменными x , y , z , которому бы отвечали только координаты точек заданной прямой. В самом деле, уравнение A x + B y + C z + D = 0 , где x , y , z – переменные, а А , В , С и D – некоторые действительные числа ( А , В , С одновременно не равны нулю) – это общее уравнение плоскости. Тогда как же задать прямую линию в прямоугольной системе координат O x y z ? Найдем ответ на этот вопрос в следующих пунктах темы.

Уравнение прямой в пространстве как уравнение двух пересекающихся плоскостей

Когда две плоскости в пространстве имеют общую точку, существует их общая прямая, на которой находятся все общие точки этих плоскостей.

Рассмотрим это утверждение в алгебраическом толковании.

Допустим, в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат O x y z и задано, что прямая a – это линия пересечения двух плоскостей α и β , которые соответственно описываются уравнениями плоскости A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Поскольку прямая a – это множество общих точек плоскостей α и β , то координаты любой точки прямой a будут одновременно отвечать обоим уравнениям. Никакие прочие точки одновременно удовлетворять условия обоих уравнений не будут.

Таким образом, координаты любой точки прямой a в прямоугольной системе координат станут частным решением системы линейных уравнений вида

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

Общее же решение системы уравнений _ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 определит координаты каждой точки прямой a , т.е. по сути задает саму прямую a .

Резюмируем: прямая в пространстве в прямоугольной системе координат O x y z может быть задана системой уравнений двух плоскостей, которые пересекаются:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

Приведем пример описания прямой линии в пространстве при помощи системы уравнений:

x + 3 y — 2 1 z + 11 3 y + 1 4 z — 2 = 0

Навык определения прямой линии уравнениями пересекающихся плоскостей необходим при решении задач на нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости или нахождение координат точки пересечения двух прямых в пространстве.

Подробнее изучить эту тему можно, обратившись к статье об уравнениях прямой в пространстве, уравнениях двух пересекающихся прямых.

Заметим, что существует несколько способов описания прямой в пространстве. В практике прямую чаще задают не двумя пересекающимися плоскостями, а направляющим вектором прямой и точкой, принадлежащей этой прямой. В подобных случаях легче задать канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Поговорим о них ниже.

Параметрические уравнения прямой в пространстве

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , где x 1 , y 1 , z 1 – координаты некой точки прямой; а x , а y и a z (одновременно не равны нулю) – координаты направляющего вектора прямой. а · λ – некий параметр, принимающий любые действительные значения.

Любое значение параметра λ позволяет, используя параметрические уравнения прямой в пространстве, определить тройку чисел ( x , y , z ) , соответствующую некой точке прямой (отсюда и название такого вида уравнений). Например, пусть λ = 0 , тогда из параметрических уравнений прямой в пространстве получим координаты:

x = x 1 + a x · 0 y = y 1 + a y · 0 z = z 1 + a z · 0 ⇔ x = x 1 y = y 1 z = z 1

Рассмотрим конкретный пример:

Пусть прямая задана параметрическими уравнениями вида x = 3 + 2 · a x y = — 2 · a y z = 2 + 2 · a z .

Заданная прямая проходит через точку М 1 ( 3 , 0 , 2 ) ; направляющий вектор этой прямой имеет координаты 2 , — 2 , 2 .

Продолжение изучения этой темы можно найти в статье о параметрических уравнениях прямой в пространстве.

Канонические уравнения прямой в пространстве

Если разрешить каждое из параметрических уравнений прямой

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ относительно параметра λ , возможно просто перейти к каноническим уравнениям прямой в пространстве x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z .

Канонические уравнения прямой в пространстве задают прямую, которая проходит через точку М 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) , и у которой направляющий вектор равен a → = ( a x , a y , a z ) . Например, задана прямая, описываемая каноническим уравнением x — 1 1 = y 2 = z + 5 7 . Эта прямая проходит через точку с координатами ( 1 , 0 , — 5 ) , ее направляющий вектор имеет координаты ( 1 , 2 , — 7 ) .

Отметим, что одно или два числа из чисел а x , а y и а z в канонических уравнениях прямой могут быть равны нулю (все три числа не могут быть равны нулю, поскольку направляющий вектор не может быть нулевым). В таком случае запись вида x — x 1 a x = y — y 1 a y = z — z 1 a z является формальной (поскольку в знаменателях одной или двух дробей будут нули) и понимать ее нужно как:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , где λ ∈ R .

Если одно из чисел а x , а y и a z канонического уравнения прямой равно нулю, то прямая лежит в какой-то из координатных плоскостей, или в плоскости, ей параллельной. Если два из чисел а x , а y и a z равны нулю, то прямая или совпадает с какой-либо из координатных осей, или параллельна ей. К примеру, прямая, описываемая каноническим уравнением x + 4 3 = y — 5 2 = z + 2 0 , лежит в плоскости z = — 2 , параллельной координатной плоскости O x y , а координатная ось O y описывается каноническими уравнениями x 0 = y 1 = z 0 .

Графические иллюстрации подобных случаев, составление канонических уравнений прямой в пространстве, примеры решения типовых задач, а также алгоритм перехода от канонических уравнений к другим видам уравнений прямой в пространстве рассмотрены в статье о канонических уравнениях прямой в пространстве.

Уравнение прямой

Уравнение прямой на плоскости

Любую прямую на плоскости можно задать уравнением прямой первой степени вида

где A и B не могут быть одновременно равны нулю.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Общее уравнение прямой при B≠0 можно привести к виду

где k — угловой коэффициент равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ.

Уравнение прямой в отрезках на осях

Если прямая пересекает оси OX и OY в точках с координатами ( a , 0) и (0, b ), то она может быть найдена используя формулу уравнения прямой в отрезках

x	+	y	= 1
a		b

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости

Если прямая проходит через две точки M( x ₁, y ₁) и N( x ₂, y ₂), такие что x ₁ ≠ x ₂ и y ₁ ≠ y ₂, то уравнение прямой можно найти, используя следующую формулу

x — x ₁	=	y — y ₁
x ₂ — x ₁	=	y ₂ — y ₁

Параметрическое уравнение прямой на плоскости

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

x = l t + x ₀ y = m t + y ₀

где N( x ₀, y ₀) — координаты точки лежащей на прямой, a = < l , m >— координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой на плоскости

Если известны координаты точки N( x ₀, y ₀) лежащей на прямой и направляющего вектора a = ( l и m не равны нулю), то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

x — x ₀	=	y — y ₀
l	=	m

Решение. Воспользуемся формулой для уравнения прямой проходящей через две точки

x — 1 2 — 1 = y — 7 3 — 7

Упростив это уравнение получим каноническое уравнение прямой

Выразим y через x и получим уравнение прямой с угловым коэффициентом

Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

x = t + 1 y = -4 t + 7

Решение. Так как M _y — N _y = 0, то невозможно записать уравнение прямой проходящей через две точки.

Найдем параметрическое уравнение прямой. В качестве направляющего вектора можно взять вектор MN .

Взяв в качестве координат точки лежащей на прямой, координаты точки М, запишем параметрическое уравнение прямой

Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой, проходящей через две различные точки в пространстве

Если прямая проходит через две точки M( x ₁, y ₁, z ₁) и N( x ₂, y ₂, z ₂), такие что x ₁ ≠ x ₂, y ₁ ≠ y ₂ и z ₁ ≠ z ₂, то уравнение прямой можно найти используя следующую формулу

x — x ₁	=	y — y ₁	=	z — z ₁
x ₂ — x ₁	=	y ₂ — y ₁	=	z ₂ — z ₁

Параметрическое уравнение прямой в пространстве

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны следующим образом

	x = l t + x ₀
	y = m t + y ₀
	z = n t + z ₀

где ( x ₀, y ₀, z ₀) — координаты точки лежащей на прямой, — координаты направляющего вектора прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Если известны координаты точки M( x ₀, y ₀, z ₀) лежащей на прямой и направляющего вектора n = , то уравнение прямой можно записать в каноническом виде, используя следующую формулу

x — x ₀	=	y — y ₀	=	z — z ₀
l	=	m	=	n

Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Если прямая является пересечением двух плоскостей, то ее уравнение можно задать следующей системой уравнений

Способы задавания уравнений прямых в плоскости и в трехмерном пространстве

Прямая является основным геометрическим объектом на плоскости и в трехмерном пространстве. Именно из прямых строятся многие фигуры, например: параллелограмм, треугольник, призма, пирамида и так далее. Рассмотрим в статье различные способы задавания уравнений прямых.

Определение прямой и виды уравнений для ее описания

Каждый школьник хорошо себе представляет, о каком геометрическом объекте идет речь. Прямую можно представить как совокупность точек, причем если соединить каждую из них по очереди со всеми остальными, то мы получим набор параллельных векторов. Иными словами, попасть в каждую точку прямой можно из одной фиксированной ее точки, перенося ее на некоторый единичный вектор, умноженный на действительное число. Это определение прямой используется для задавания векторного равенства для ее математического описания как на плоскости, так и в трехмерном пространстве.

Вам будет интересно: Муляж — это необходимость или выдумка?

Прямая может быть математически представлена следующими видами уравнений:

общее;
векторное;
параметрическое;
в отрезках;
симметричное (каноническое).

Далее рассмотрим все названные виды и покажем на примерах решения задач, как с ними работать.

Векторное и параметрическое описание прямой

Вам будет интересно: Размер бумаги А3 в сантиметрах и не только: краткий путеводитель

Начнем с задавания прямой через известный вектор. Предположим, что в пространстве имеется фиксированная точка M(x0; y0; z0). Известно, что прямая проходит через нее и направлена вдоль векторного отрезка v¯(a; b; c). Как по этим данным найти произвольную точку прямой? Ответ на этот вопрос даст следующее равенство:

(x; y; z) = (x0; y0; z0) + λ * (a; b; c)

Где λ — произвольное число.

Аналогичное выражение можно записать для двумерного случая, где координаты векторов и точек представлены набором из двух чисел:

(x; y) = (x0; y0) + λ * (a; b)

Записанные уравнения называются векторными, а сам направленный отрезок v¯ — это направляющий вектор для прямой.

Из записанных выражений соответствующие параметрические уравнения получаются просто, достаточно лишь переписать их в явном виде. Например, для случая в пространстве получаем следующее уравнение:

С параметрическими уравнениями удобно работать, если необходимо проанализировать поведение каждой координаты. Заметим, что хотя параметр λ может принимать произвольные значения, но во всех трех равенствах он должен быть одинаковым.

Общее уравнение

Другим способом задавания прямой, который часто используют для работы с рассматриваемым геометрическим объектом, является применение уравнения общего вида. Для двумерного случая оно имеет вид:

A * x + B * y + C = 0

Здесь большие латинские буквы представляют конкретные числовые значения. Удобство данного равенства при решении задач заключается в том, что оно в явном виде содержит вектор, который перпендикулярен прямой. Если обозначить его n¯, тогда можно записать:

Кроме того, выражение удобно применять для определения расстояния от прямой до некоторой точки P(x1; y1). Формула для расстояния d имеет вид:

d = |A * x1 + B * y1 + C| / √(A2 + B2)

Несложно показать, что если из общего уравнения выразить явно переменную y, то получится следующая известная форма записи прямой:

Где k и b однозначно определяются числами A, B, C.

Уравнение в отрезках и каноническое

Уравнение в отрезках проще всего получить из общего вида. Покажем, как это можно сделать.

Предположим, что имеется следующая прямая:

A * x + B * y + C = 0

Перенесем свободный член в правую часть равенства, затем поделим на него все уравнение, получаем:

x / (-C / A) + y / (-C / B) = 1;

x / q + y / p = 1, где q = -C / A, p = -C / B

Мы получили так называемое уравнение в отрезках. Свое название оно получило по причине того, что знаменатель, на который делится каждая переменная, показывает значение координаты пересечения прямой с соответствующей осью. Этот факт удобно использовать для изображения прямой в координатной системе, а также для анализа ее взаимного расположения по отношению к другим геометрическим объектам (прямым, точкам).

Теперь перейдем к получению канонического уравнения. Это проще сделать, если рассмотреть параметрический вариант. Для случая на плоскости имеем:

Выразим параметр λ в каждом равенстве, затем приравняем их, получаем:

(x — x0) / a = (y — y0) / b

Это и есть искомое уравнение, записанное в симметричной форме. Так же, как и векторное выражение, оно в явной форме содержит координаты направляющего вектора и координаты одной из точек, которая принадлежит прямой.

Можно заметить, что в данном пункте мы привели уравнения для двумерного случая. Аналогичным образом можно составить уравнение прямой в пространстве. Здесь нужно заметить, что если каноническая форма записи и выражение в отрезках будут иметь такой же вид, то общее уравнение в пространстве для прямой представляется системой из двух уравнений для пересекающихся плоскостей.

Задача на построение уравнения прямой

Из геометрии каждый школьник знает, что через две точки можно начертить единственную линию. Предположим, что в координатной плоскости заданы следующие точки:

Следует найти уравнение прямой, которой принадлежат обе точки, в отрезках, в векторном, каноническом и в общем виде.

Получим сначала векторное уравнение. Для этого следует определить для прямой направляющий вектор M1M2¯:

M1M2¯ = (-1; 3) — (1; 2) = (-2; 1)

Теперь можно составить векторное уравнение, взяв одну из двух заданных в условии задачи точек, например, M2:

(x; y) = (-1; 3) + λ * (-2; 1)

Чтобы получить каноническое уравнение, достаточно преобразовать найденное равенство в параметрический вид и исключить параметр λ. Имеем:

x = -1 — 2 * λ, следовательно, λ = x + 1 / (-2);

y = 3 + λ, далее получаем λ = y — 3;

x + 1 / (-2) = (y — 3) / 1

Оставшиеся два уравнения (общее и в отрезках) можно найти из канонического, преобразуя его следующим образом:

общее уравнение: x + 2 * y — 5 = 0;

в отрезках уравнение: x / 5 + y / 2,5 = 1

Полученные уравнения показывают, что вектор (1; 2) должен быть перпендикулярен прямой. Действительно, если найти его скалярное произведение с направляющим вектором, то оно будет равно нулю. Уравнение в отрезках говорит, что прямая пересекает ось x в точке (5; 0), а ось y — в точке (2,5; 0).

Задача на определение точки пересечения прямых

На плоскости заданы две прямые следующими уравнениями:

(x; y) = (0; -1) + λ * (-1; 3)

Необходимо определить координаты точки, в которой эти прямые пересекаются.

Решить задачу можно двумя способами:

Преобразовать векторное уравнение в общий вид, затем решить систему из двух линейных уравнений.

Не выполнять никаких преобразований, а просто подставить координату точки пересечения, выраженную через параметр λ, в первое уравнение. Затем найти значение параметра.

Поступим вторым способом. Имеем:

2 * (-λ) + (-1) + 3 * λ — 1 = 0;

Подставляем полученное число в векторное уравнение:

(x; y) = (0; -1) + 2 * (-1; 3) = (-2; 5)

Таким образом, единственной точкой, которая принадлежит обеим прямым, является точка с координатами (-2; 5). В ней прямые пересекаются.

источники:

http://ru.onlinemschool.com/math/library/analytic_geometry/line/

http://1ku.ru/obrazovanie/41786-sposoby-zadavanija-uravnenij-prjamyh-v-ploskosti-i-v-trehmernom-prostranstve/