Все виды уравнений второй степени

Все виды уравнений второй степени

УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.

§ 1. Рeшeниe числовых уравнeний второй стeпени.

Уравнeнием второй степени или квадратным уравнением называeтся всякоe уравнениe, котороe посрeдством прeобразований, замeняющих его другими, совмeстными с ним уравнeниями, можeт быть привeдeно к виду ax 2 + bx + c = 0.

Послeднеe уравнeниe называeтся о б щ и м видом квадратных уравнeний. Количeства а, b и с называются коэффициентамн уравнения. Если эти коэффициeнты выражeны дробными количeствами, то их можно замeнить цeлыми количeствами. Коэффициент а всегда можно считать положитeлным. Если случайно коэффициeнт с равен нулю или b равeн нулю, то получаeтся так называемоe нeполноe квадратноe уравнение. Рeшить квадратноe уравнениe значит найти тe значeния х которые обращают данноe ураваениe в тождeство. Таких значeний или корнeй всякоe квадратноe уравнeниe имeет два.

Для рeшения нeполного уравнeния ax 2 + bx = 0 достаточно вывести в первой части eго за скобки х. Получится х(ax + b)= 0. Из этого видно, что уравнению можно удовлeтворить двумя способами: или полагая х = 0, отчeго обращаeтся в нуль первый множитель пeрвой части уравнения, или полагая х = — b /_a, отчeго обращается в нуль второй множитель. В обоих этих случаях всe произвeдeниe будет равно второй части уравнeния, т.e. равно нулю, и, слeдоватeльно, уравнениe будет удовлeтворeно.

Рассматривая второe неполноe уравнeниe ax 2 + с = 0, различим два сдучая, когда коэффициeят с отрицатeлeн и когда он положителeн. Положим, напр., что дано уравнeниe 4x 2 —7 = 0 . Рассматривая первую часть, как разность квадратов, можно разложить ее в произведениe. Получим (2х—√ 7 )(2х+√ 7 )= 0. Но произведение может быть равно нулю только тогда, когда один из множителей равен нулю. Поэтому данное уравнениe совмe-щает в себe два корня, удовлeтворяющиe порознь двум уравнениям первой степени 2х—√ 7 = 0 и 2х+√ 7 = 0. Значит корни его суть x₁ = √ 7 /₂ и x₂ = — √ 7 /₂

Положим тепeрь, что дано уравнeние 3x 2 + 10 = 0. Пeрвая часть eго может быть разложена в произведениe посредством мнимых количеств. Дeйствительно, так как i 2 = —1, то можно написать данноe уравнениe в видe 3x 2 — 10i 2 = 0 . Послe этого, рассматривая первую часть, как разность квадратов, имeем (√ 3 • х —√ 10 • i)(√ 3 • х + √ 10 • i) = 0, откуда видно, что данноe уравнение разлагается на два

и потому имeeт два мнимых корня

Рeшить нeполные квадратные уравнения:

Решение полного квадратного уравления ax 2 + bx + c = 0 состоит такжe в разложении первой части eго на множители. Это преобразовавие значительно упрощаeтся в том случаe, когда коэффициент при высшем членe есть единица. Замeтим, что всякоe квадратноe уравнeнио можно привести к такому виду. Нужно только раздeлить обe части на коэффициeпт а, Получим x 2 + b /_a x + с /_a = 0 Обыкновенно обозначают b /_a буквой р и с /_a буквой q, отчего уравнeниe пишeтся в видe x 2 + px + q = 0. Такой вид уравнения называeтся приведeнным. Неудобно, однако, так преобразовывать всякое уравнениe к привeдeнному виду, потому что в послeднем коэффициенты р и q часто оказываются дробными.

Рассмотрим частные виды уравнений с цeлыми коэффициентами.

Дано уравнeние x 2 — 8x + 15 = 0. В пeрвой части настоящаго сборника указывался способ для разложения трехчленов второй степени в произвeдениe. Этот способ слeдует припомнить и примeнять, гдe удобно, в нижеслeдующих задачах.

Укажем теперь другой способ, болeе сложный, но и болee общий, состоящий в прeобразовании трeхлена к виду разности квадратов. Принимая x 2 за квадрат и 8x за удвоeнноe произведение, легко видeть, что для преобразовяния x 2 — 8x к виду полного квадрата нужно прибавить ещe второй квадрат 16. Прибавляя это число к первой части данного уравнeния и затeм вычитая то жe число из нее, представим уравнение в видe x 2 — 8x + +16 — 1 = 0 или в видe (х— 4) 2 —1=0. Послe этого пeрвая часть легко разлагается в произведение,именно получаем(х— 3)(х— 5)=0 и находим два корня уравнения
x₁ = 3 и x₂ =5.

Иногда, подобное разложeние трехчлена требует ввeдeния мнимых количеств. Так, если дано уравлениe x 2 + 2x + 7 = 0 , то, преобразовав первые два члена его к виду полного квадрата, находим x 2 + 2x + 1 + 6 = 0 или (х+ 1) 2 + 6=0. Но в первой части получается теперь не разность, а сумма. Заметив, что i 2 = —1, пишем уравнение в виде
(х+ 1) 2 — 6i 2 = 0, затем разлагаем в форму (х+ 1—√ 6 • i)(х+ 1+√ 6 • i)=0 и наконец нахо-дим два мнимых корня x₁ = —1+ √ 6 • i и x ₂= —1— √ 6 • i

Если коэффициент члена, содержащего х в первой степени, есть нечетное число, то действие усложняется тем, что для составления полного квадрата нужно вводить новый квадрат от дробного числа. Напр., имеем:

Решить полные квадратные уравнения:

Так как приходится решать квадратные уравнения очень часто, то неудобно в каждом отдельном случае проделывать те преобразования, посредством которых квадратное уравнение разлагается на два уравнения первой степени. Квадратные уравнения решают по общей формуле. В курсах алгебры доказывается, что, если уравнение имеет вид
ax 2 + bx + c = 0, то корни выражаются формулой

, т.-е. корень общего квадратного уравнения равен среднему коэффициенту взятому с противоположным знаком, плюс или минус квадратный корень из разности между квадратом среднего коэффициента и учетверенным произведением крайних коэффициентов, все деленное на удвоенный первый коэффициент.

Кроме этой формулы нужно знать еще более простую формулу, соответствующую тому случаю, когда средний коэффициент есть четное число. Если уравнение имеет вид
αx 2 + 2βx + c = 0, то , т.е. корень квадратнаго уравнения с четным средним коэффициентом равен половине среднего коэффициента, взятой с противоположным знаком, плюс или минус квадратный корень из разности между квадратом этой половины и произведением крайних коэффициентов, все деленное на первый коэффициент.

Наконец, еще полезно заметить наиболее простую формулу, соответствующую тому случаю, когда первый коэффициент есть единица, а средний четное число. Если уравнение имеет вид x 2 + 2βx + c = 0, то х = —β ±√ β 2 —с , т.е. корень приведенного квадратного уравнения с четным средним коэффициентом равен половине второго коэффициента, взятой с противоположным знаком, плюс или минус квадратный корень из разности между квадратом этой половины и третьим коэффициентом.

Каждую из указанных формул нужно прилагать не прежде, как преобразовав уравнение к простейшему виду, в котором все коэффициенты суть целые количества и первый коэффициент положителен. Нужно помнить притом, что коэффициенты рассматриваются вместе со знаками их.

Примечание. В курсах алгебры указывается еще формула . Если уравнение имеет вид
x 2 + px + q = 0, то

Эта формула есть общая , потому что всякое квадратное уравнение может быть преобразовано в приведенное. Но для вычисления корнeй упомянутая формула неудобна, потому что приводит дeйствиe с цeлыми количествами к дeйствию с дробями.

При начальных упражнениях полeзно выписывать коэффициeнты с их знаками отдeльно от буквы, обозначающeй нeизвeстное. Для первых упражнений слeдуeт пeрeдeлать вновь примeры с 21 до 40, ужe приведенные выше.

Преобразовать к простeйшему виду и рeшить уравнeния:

Системы с нелинейными уравнениями

Нелинейные уравнения с двумя неизвестными

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное

Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное

Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное

Примеры решения систем уравнений других видов

Нелинейные уравнения с двумя неизвестными

Определение 1 . Пусть A – некоторое множество пар чисел (x ; y) . Говорят, что на множестве A задана числовая функция z от двух переменных x и y , если указано правило, с помощью которого каждой паре чисел из множества A ставится в соответствие некоторое число.

Задание числовой функции z от двух переменных x и y часто обозначают так:

причем в записи (1) числа x и y называют аргументами функции , а число z – значением функции , соответствующим паре аргументов (x ; y) .

Определение 2 . Нелинейным уравнением с двумя неизвестными x и y называют уравнение вида

где f (x , y) – любая функция, отличная от функции

где a , b , c – заданные числа.

Определение 3 . Решением уравнения (2) называют пару чисел (x ; y) , для которых формула (2) является верным равенством.

Пример 1 . Решить уравнение

Решение . Преобразуем левую часть уравнения (3):

Таким образом, уравнение (3) можно переписать в виде

Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то из формулы (4) вытекает, что неизвестные x и y удовлетворяют системе уравнений

решением которой служит пара чисел (6 ; 3) .

Пример 2 . Решить уравнение

вытекает, что уравнение (5) решений не имеет.

Ответ : Решений нет.

Пример 3 . Решить уравнение

Следовательно, решением уравнения (6) является бесконечное множество пар чисел вида

где y – любое число.

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное

Определение 4 . Решением системы уравнений

называют пару чисел (x ; y) , при подстановке которых в каждое из уравнений этой системы получается верное равенство.

Системы из двух уравнений, одно из которых линейное, имеют вид

где a , b , c – заданные числа, а g(x , y) – функция двух переменных x и y .

Пример 4 . Решить систему уравнений

(7)

Решение . Выразим из первого уравнения системы (7) неизвестное y через неизвестное x и подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

Таким образом, решениями системы (7) являются две пары чисел

и

Ответ : (– 1 ; 9) , (9 ; – 1)

Однородные уравнения второй степени с двумя неизвестными

Определение 5 . Однородным уравнением второй степени с двумя неизвестными x и y называют уравнение вида

где a , b , c – заданные числа.

Пример 5 . Решить уравнение

Решение . Для каждого значения y рассмотрим уравнение (8) как квадратное уравнение относительно неизвестного x . Тогда дискриминант D квадратного уравнения (8) будет выражаться по формуле

откуда с помощью формулы для корней квадратного уравнения найдем корни уравнения (8):

Ответ . Решениями уравнения (8) являются все пары чисел вида

( y ; y) или

где y – любое число.

Следствие . Левую часть уравнения (8) можно разложить на множители

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное

Системы из двух уравнений, одно из которых однородное, имеют вид

где a , b , c – заданные числа, а g(x , y) – функция двух переменных x и y .

Пример 6 . Решить систему уравнений

(9)

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :

.

В случае, когда x = – y , из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

корнями которого служат числа y₁ = 2 , y₂ = – 2 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (– 2 ; 2) , (2 ; – 2) .

,

из второго уравнения системы (9) получаем уравнение

которое корней не имеет.

Ответ : (– 2 ; 2) , (2 ; – 2)

Системы из двух уравнений, сводящиеся к системам, в которых одно из уравнений однородное

Пример 7 . Решить систему уравнений

(10)

Решение . Совершим над системой (10) следующие преобразования:

• второе уравнение системы оставим без изменений;
• к первому уравнению, умноженному на 5 , прибавим второе уравнение, умноженное на 3 , и запишем полученный результат вместо первого уравнения системы (10).

В результате система (10) преобразуется в равносильную ей систему (11), в которой первое уравнение является однородным уравнением:

(11)

рассматривая его как квадратное уравнение относительно неизвестного x :

.

В случае, когда x = – 5y , из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

которое корней не имеет.

,

из второго уравнения системы (11) получаем уравнение

,

корнями которого служат числа y₁ = 3 , y₂ = – 3 . Находя для каждого из этих значений y соответствующее ему значение x , получаем два решения системы: (– 2 ; 3) , (2 ; – 3) .

Ответ : (– 2 ; 3) , (2 ; – 3)

Примеры решения систем уравнений других видов

Пример 8 . Решить систему уравнений (МФТИ)

Решение . Введем новые неизвестные u и v , которые выражаются через x и y по формулам:

(13)

Для того, чтобы переписать систему (12) через новые неизвестные, выразим сначала неизвестные x и y через u и v . Из системы (13) следует, что

(14)

Решим линейную систему (14), исключив из второго уравнения этой системы переменную x . С этой целью совершим над системой (14) следующие преобразования:

• первое уравнение системы оставим без изменений;
• из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.

В результате система (14) преобразуется в равносильную ей систему

из которой находим

(15)

Воспользовавшись формулами (13) и (15), перепишем исходную систему (12) в виде

(16)

У системы (16) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное u через неизвестное v и подставить это выражение во второе уравнение системы:

Следовательно, решениями системы (16) являются две пары чисел

Из формул (13) вытекает, что , поэтому первое решение должно быть отброшено. В случае u₂ = 5, v₂ = 2 из формул (15) находим значения x и y :

Определение 6 . Решением системы из двух уравнений с тремя неизвестными называют тройку чисел (x ; y ; z) , при подстановке которых в каждое уравнение системы получается верное равенство.

Пример 9 . Решить систему из двух уравнений с тремя неизвестными

(17)

Решение . У системы (17) первое уравнение – линейное, поэтому мы можем выразить из него неизвестное z через неизвестные x и y и подставить это выражение во второе уравнение системы:

(18)

Перепишем второе уравнение системы (18) в другом виде:

Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, то выполнение последнего равенства возможно лишь в случае x = 4, y = 4 .

Ответ : (4 ; 4 ; – 4)

Замечание . Рекомендуем посетителю нашего сайта, интересующемуся методами решения систем уравнений, ознакомиться также c разделом справочника «Системы линейных уравнений» и нашим учебным пособием «Системы уравнений».

Уравнения второй степени: формулы, как их решать, примеры, упражнения

Уравнения второй степени: формулы, как их решать, примеры, упражнения — Наука

Содержание:

В квадратные или квадратные уравнения и неизвестное имеют видтопор 2 + bx + c = 0.Где a ≠ 0, поскольку если бы он был равен 0, уравнение было бы преобразовано в линейное уравнение, а коэффициенты a, b и c — действительные числа.

Неизвестным, которое предстоит определить, является значение x. Например, уравнение 3x 2 — 5x + 2 = 0 — полное квадратное уравнение.

Существуют также варианты, известные как неполные уравнения второй степени, в которых отсутствуют какие-либо члены, кроме топор 2 . Вот некоторые примеры:

Аль-Джуарисми, известный арабский математик античности, описал в своих работах различные типы уравнений первой и второй степени, но только с положительными коэффициентами. Однако именно французский математик Франсуа Вите первым ввел буквы для обозначения величин и предложил решение с помощью формулы решительный:

Это общая формула, позволяющая решить квадратное уравнение, найти его корни или нули, даже если решения не являются действительными. Есть и другие способы их решения.

Как решать квадратные уравнения?

Уравнения второй степени могут быть решены с использованием формулы, приведенной выше, и есть также другие алгебраические процедуры, которые могут дать результаты в некоторых уравнениях.

Мы собираемся решить уравнение, предложенное в начале, с формулой, подходящим методом для любого квадратного уравнения с одной неизвестной:

Чтобы правильно использовать формулу, обратите внимание, что:

• к коэффициент при члене с x 2
• б коэффициент при линейном члене
• c это самостоятельный термин.

Мы собираемся идентифицировать их с помощью того же уравнения:

Обратите внимание, что знак, который сопровождает коэффициент, необходимо учитывать. Теперь подставляем эти значения в формулу:

В числителе стоит символ «плюс — минус» ±, который указывает, что величина с корнем может приниматься как положительная, так и отрицательная. Квадратное уравнение имеет не более двух действительных решений, и этот символ учитывает это.

Позвоните x₁ и х₂ к этим двум решениям, то:

Икс₂ = (5-1) / 6 = 4/6 = 2/3

Разрешение по факторингу

Некоторые уравнения второй степени состоят из трехчленов, которые легко разложить на множители. Если так, то этот метод работает намного быстрее. Рассмотрим уравнение:

Икс 2 + 7x — 18 = 0

Факторизация имеет следующий вид:

Пустые места заполняются двумя числами, которые при умножении дают 18, а при вычитании — 7. Знаки в скобках выбираются по этому критерию:

-В первой скобке знак ставится между первым и вторым слагаемыми.

-А во второй скобке указано произведение увиденных знаков.

Что касается чисел, то в этом случае их легко подсчитать: это 9 и 2. Самый большой всегда помещается в первую из круглых скобок, например:

Икс 2 + 7x — 18 = (x + 9). (х — 2)

Читатель может проверить с помощью свойства дистрибутивности, что при построении произведения правой части равенства получается трехчлен левой. Теперь уравнение переписано:

Для выполнения равенства достаточно, чтобы один из двух множителей был равен нулю. Итак, в первом x должно быть выполнено₁ = -9 или может оказаться, что второй множитель исчезнет, ​​и в этом случае x₂ = 2. Это решения уравнения.

Графический метод

Корни или решения квадратного уравнения соответствуют пересечениям параболы y = топор 2 + bx + c с горизонтальной осью или осью x. Таким образом, при построении графика соответствующей параболы мы найдем решение квадратного уравнения, сделав y = 0.

Разрезы параболы с горизонтальной осью представляют собой решения уравнения топор 2 + bx + c = 0. Парабола, которая пересекает горизонтальную ось только в одной точке, имеет единственный корень, и он всегда будет вершиной параболы.

И наконец, если парабола не пересекает горизонтальную ось, соответствующее уравнениетопор 2 + bx + c = 0 ему не хватает реальных решений.

Построение графика вручную может быть трудоемким, но с использованием онлайн-программ для построения графиков это очень просто.

Разрешение научного калькулятора

Многие модели научных калькуляторов позволяют решать квадратные уравнения (а также уравнения других типов). Чтобы узнать это, вам нужно проверить меню.

После выбора варианта квадратного уравнения для одного неизвестного, меню просит ввести значения коэффициентов a, b и c и возвращает реальные решения, если они существуют. И есть также модели научных калькуляторов, которые работают с комплексными числами и предлагают эти решения.

Дискриминант квадратного уравнения

Чтобы узнать, имеет ли уравнение действительные решения или нет и сколько их, без необходимости сначала решать, дискриминант Δ определяется как величина под квадратным корнем:

По знаку дискриминанта известно, сколько решений имеет уравнение по этому критерию:

-Два реальных решения: Δ> 0

-Реальное решение (или два одинаковых решения): Δ = 0

-Нет реального решения: Δ 2 + 12x + 64 = 0? Идентифицируем коэффициенты:

Δ = Ь 2 — 4ac = 12 2 — 4x (-7) x 64 = 144 + 1792 = 1936> 0

У уравнения есть два решения. Теперь посмотрим на этот другой:

Икс 2 — 6x + 9 = 0

Δ = (-6) 2 — 4 х 1 х 9 = 36 — 36 = 0

Это уравнение с одним решением или с двумя равными решениями.

Примеры простых квадратных уравнений

Вначале мы сказали, что уравнения второй степени могут быть полными, если трехчлен есть, и неполными, если линейный член или независимый член отсутствует. Теперь давайте посмотрим на некоторые конкретные типы:

Уравнение вида x 2 + mx + n = 0

В этом случае a = 1 и формула сводится к:

Для этого типа уравнения и всегда в зависимости от оставшихся коэффициентов, метод факторизации может работать хорошо, как мы видели в предыдущем разделе.

Неполное уравнение вида ax 2 + c = 0

Решение, если оно существует, имеет вид:

Когда a или c имеют отрицательный знак, существует реальное решение, но если два члена имеют одинаковый знак, решение будет мнимым.

Неполное уравнение вида ax 2 + bx = 0

Это уравнение быстро решается с использованием факторизации, поскольку x является общим множителем в обоих терминах. Одно из решений всегда x = 0, другое находится так:

ах + Ь = 0 → х = -b / а

Давайте посмотрим на пример ниже. Решить:

Следовательно, x₁ = 0 и x₂ = 5

Уравнения со знаменателем

Существуют различные уравнения рационального типа, в которых неизвестное может присутствовать как в числителе, так и в знаменателе или даже только в последнем, и которые с помощью алгебраических манипуляций сводятся к квадратным уравнениям.

Чтобы решить их, нужно умножить обе части равенства на наименьшее общее кратное или m.c.m знаменателей, а затем переставить члены. Например:

Уравнения высшего порядка, которые становятся квадратичными

Существуют уравнения более высокого порядка, которые можно решить, как если бы они были квадратичными, с помощью замены переменной, например это уравнение двуквадратный:

Икс 4 — 10x 2 + 9 = 0

Пусть x 2 = u, тогда уравнение принимает вид:

или 2 — 10u + 9 = 0

Это уравнение быстро решается путем факторизации, нахождения двух чисел, которые умножаются на 9 и складываются с 10. Это числа 9 и 1:

Следовательно, решениями этого уравнения являются u₁ = 9 и u₂ = 1. Теперь возвращаем изменение:

Икс 2 = 9 → х₁ = 3 и x₂ = -3

Икс 2 = 1 → х₁ = 1 и x₂ = -1

Исходное уравнение имеет порядок 4, поэтому у него не менее 4 корней. В примере это -3, -1, 1 и 3.

Простые решаемые упражнения

— Упражнение 1

Решите следующее квадратное уравнение с неизвестным в знаменателе:

Наименьшее общее кратное — это x (x + 2), и вы должны умножить все члены:

Эквивалентное выражение остается:

5х (х + 2) — х = х (х + 2)

5x 2 + 10х — х = х 2 + 2x

Все слагаемые переносим слева от равенства, а справа оставляем 0:

5x 2 + 10х — х — х 2 — 2x = 0

Мы учитываем, поскольку это неполное уравнение:

Одно из решений x = 0, другое:

— Упражнение 2.

Найдите решение квадратных уравнений:

а) -7x 2 + 12x + 64 = 0

б) х 2 — 6x + 9 = 0

Решение для

Из этого уравнения мы знаем определитель Δ, потому что он был вычислен в качестве примера ранее, поэтому мы собираемся воспользоваться им, выразив разрешающую формулу следующим образом:

Икс₁ = (-12+44) / -14 = – (32/14) = – (16/7)

Икс₂ = (-12 – 44) / -14 = 4

Решение б

Квадратный трехчлен x 2 — 6x + 9 факторизуем, так как это трехчлен полного квадрата:

Икс 2 — 6х + 9 = (х-3) 2 = 0

Решение этого уравнения — x = 3.

— Упражнение 3.

Какое уравнение имеет решения 3 и 4?

Решение

Применение распределительного свойства:

Икс 2 — 4х -3х + 12 = 0

Два центральных члена похожи и могут быть сокращены, в результате чего остается: