Все значения параметра k при которых уравнение

Задания по теме «Уравнения с параметром»

Открытый банк заданий по теме уравнения с параметром. Задания C6 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1222

Условие

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение \frac2=\sqrt <4x^2+ax+1>имеет ровно три различных корня.

Решение

Уравнение \frac2=\sqrt <4x^2+ax+1>при \frac2 не имеет корней. При x^2+ax+2 \geqslant 0 обе части уравнения можно возвести в квадрат.

x^4+ax^3+2x^2+ax^3+a^2x^2\,+ 2ax+2x^2+2ax+4= 16x^2+4ax+4,

Чтобы исходное уравнение имело три различных корня, необходимо, чтобы числа x_ <1,>x_ <2,>x_3 были различными и для каждого из этих чисел выполнялось условие x^2 +ax+2 \geqslant 0.

x_2 \neq 0 и x_3 \neq 0, если a \neq \sqrt <12>=2\sqrt 3 и a \neq -\sqrt <12>=-2\sqrt 3.

Обозначим g(x)=x^2+ax+2. g(0)=2>0. Числа x_2=-a+2\sqrt 3 и x_3=-a-2\sqrt 3 будут корнями исходного уравнения, если выполняются условия:

\begin g(x_2)\geqslant 0,\\g(x_3)\geqslant 0; \end\enspace \begin (-a+2\sqrt 3)^2+a(-a+2\sqrt 3)+2\geqslant 0,\\( -a-2\sqrt 3)^2+a(-a-2\sqrt 3)+2\geqslant 0; \end

\begin -2a\sqrt 3+14\geqslant 0,\\2a\sqrt 3+14\geqslant 0; \end\enspace \begin a\leqslant \frac7 <\sqrt 3>,\\a\geqslant -\frac7<\sqrt 3>. \end

Таким образом, a\in\left[-\frac7<\sqrt3>;-2\sqrt3\right)\,\cup (-2\sqrt 3;2\sqrt3)\,\,\,\cup \left( 2\sqrt3;\frac7<\sqrt3>\right].

Ответ

\left[-\frac7<\sqrt3>;-2\sqrt3\right)\,\cup (-2\sqrt3;2\sqrt3)\,\,\,\cup \left(2\sqrt3;\frac7<\sqrt3>\right].

Задание №1220

Условие

Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение \frac+\frac=1 имеет единственный корень.

Решение

Решим уравнение x^2-x(3a+2)+3a^2+3a-6=0,

1 . При D уравнение корней не имеет.

2 . При D=0,\enspace -3a^2+28=0, a=\pm 2\sqrt \frac73. Уравнение имеет единственный корень x =\frac<3a+2>2 при a=\pm 2 \sqrt \frac73.

Проверим условие x \neq -3,\, x \neq a.

\frac<3a+2>2 =-3, a=-\frac83 \neq \pm2\sqrt \frac73 ,

\frac<3a+2>2 =a, a=-2\neq \pm2\sqrt \frac73.

Значит, a=\pm 2\sqrt \frac73 удовлетворяет условию.

3 . При D>0 уравнение имеет два корня x_<1,2>=\frac<(3a+2) \pm \sqrt <28-3a^2>>2. Проверим, при каких значениях a значения x=-3 и x=a являются корнями уравнения x^2-x(3a+2)+3a^2+3a-6=0.

При x=-3 должно выполняться равенство 9+3(3a+2)+3a^2+3a-6=0,

3a^2+12a+9=0, a^2+4a+3=0, a=-1, a=-3.

При x=a должно выполняться равенство a^2-2a+3a-6=0,

a^2+a-6=0, a_1=-3, a_2=2.

При a=-3, a=-1 и a=2 исходное уравнение имеет единственный корень.

Ответ

-3; − 1; \pm 2\sqrt \frac73 ; 2.

Задание №1018

Условие

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых уравнение x^3+3x^2-x\log_<3>(a+1)+5=0 имеет единственное решение на отрезке [0;2]

Решение

Уравнение x^3+3x^2-x\log_<3>(a+1)+5=0 имеет единственное решение на отрезке [0;2], если графики функций y=x^3+3x^2 и y=x\log_<3>(a+1)-5 имеют единственную точку пересечения на отрезке [0;2].

Построим графики этих функций.

1) y=x^3+3x^2.

Найдём стационарные точки: y’=3x^2+6x=3x(x+2). y’=0 при x=0, x=-2

y(-2)=-8+3(-2)^2=-8+12=4, y(0)=0. Отсюда получаем график y=x^3+3x^2.

2) y=x\log_<3>(a+1)-5. Графиком функции является прямая, угловой коэффициент которой k=\log_<3>(a+1). Прямая y=kx-5 проходит через точку (0;-5).

Найдём точку x_<0>, в которой прямая y=kx-5 является касательной к графику функции y=x^3+3x^2.

Уравнение касательной y=(x_<0>^3+3x_<0>^2)+(3x_<0>^2+6x_<0>)(x-x_<0>) проходит через точку (0;-5), следовательно, -5=(x_<0>^3+3x_<0>^2)-x_<0>(3x_<0>^2+6x_<0>),

2x_<0>^3+3x_<0>^2-5=0. x_<0>=1 — точка касания.

Других точек касания нет, так как уравнение 2x_<0>^2+5x_<0>+5=0 корней не имеет.

Если x=1, то y=4, тогда 4=k-5, откуда k=9.

Найдем значение k , при котором прямая y=kx-5 проходит через точку (2;20). 20=2k-5, k=12,5, y=12,5x-5.

Для k=9 и k > 12,5 графики функций y=x^3+3x^2 и y=kx-5 имеют на отрезке [0;2] единственную общую точку. Найдем значения параметра a .

Итак, если a=3^9-1 или a > 3^<12,5>-1, то уравнение x^3+3x^2-x\log_<3>(a+1)+5=0 имеет единственное решение на отрезке [0;2].

Ответ

Задание №1017

Условие

При каких значениях параметра a уравнение x-a=\sqrt> имеет единственное решение?

Решение

Исходное уравнение равносильно уравнению a + \sqrt>=x.

Рассмотрим функцию f(x)=a+\sqrt определённую при x \geq 0. Тогда полученное уравнение можно записать в виде f(f(x))=x. Это уравнение равносильно уравнению f(x)=f^<-1>(x), где f^<-1>(x) — функция, обратная к f(x). Если y=a+\sqrt, то x=(y-a)^2. Тогда обратной к функции f(x) является функция f^<-1>(x)=(x-a)^2, определенная при x \geq a. Проверим это:

Возможны три случая.

1. При a > 0 уравнение f(x)=f^<-1>(x) имеет единственный корень x_

2. При a=0 уравнение f(x)=f^<-1>(x) принимает вид \sqrt=x^ <2>и имеет два корня: x_<1>=0 и x_<2>=1.

3. При a уравнение f(x)=f^<-1>(x) будет иметь один единственный корень x_<0>, только если прямая y=x будет общей касательной к графикам функций y=f(x) и y=f^<-1>(x) в точке с абсциссой x_

В этом случае в точке x_ <0>выполняются условия:

Из второго уравнения системы находим x_<0>=\frac<1> <4>и подставляем это значение в первое уравнение:

Последнее уравнение имеет два корня: a_<1>=-\frac<1> <4>и a_<2>=\frac<7><4>. Так как a то a=-\frac<1><4>.

Ответ

Задание №1012

Условие

Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение \frac+x^<2>-16a^<2>x-5x+a>-16a^<2>x>=1 имеет единственный корень.

Решение

В левой части уравнения выделим целую часть

Тогда уравнение примет вид \frac-5x+a>-16a^<2>x>=0.

Оно равносильно системе

\begin a = -x^<2>+5x, \\ x \neq 0, x \neq \pm 4a.\end

Решим систему графически в системе координат xOa . Для этого построим графики функций a=-x^<2>+5x и a= \pm \frac<4>.

Графиком функции a=-x^<2>+5x является парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы — точка \left ( \frac<5><2>; \frac<25> <4>\right ), точки (0;0) и (5;0) принадлежат параболе. Графиками функций a= \pm \frac <4>являются прямые.

Решая уравнение -x^<2>+5x=\frac<4>, находим точки пересечения прямой a=\frac <4>и параболы

a=-x^<2>+5x: x=0, x=\frac<19><4>, откуда a=0, a=\frac<19><16>. Аналогично, решая уравнение -x^<2>+5x=-\frac<4>, находим a=0, a=-\frac<21><16>. Выкалываем эти точки. По рисунку видим, что ровно одна точка пересечения параболы с каждой из прямых будет при a=-\frac<21><16>, a=0, a=\frac<19><16>, a=\frac<25><4>.

Решение показательных уравнений с параметрами

Разделы: Математика

Цели урока: Учащиеся должны знать способы решений уравнений вида – показательная функция и уметь применять при решении задач.

Ход урока.

Для первой группы учащихся выдавались следующие задания.

Для каждого значения a решить уравнения:

Задания для второй группы учащихся.

Указать число решений в зависимости от параметра а.

Третья группа решает уравнения, сводящиеся к квадратным.

Задание 1. Решить уравнение p · 4 x – 4 · 2 x + 1 = 0 и указать число решений в зависимости от параметра p.

Задание 2. При каких a уравнение 9 x + (2a + 4) · 3 x + 8a + 1 = 0 имеет единственное решение.

Задание 3. Указать число решений уравнения 49 x + 2p · 7 x + p 2 – 1 = 0 в зависимости от параметра p.

Задание 4. При каких значениях p уравнение 4 x – (5p – 3) · 2 x + 4p 2 – 3p = 0 имеет единственное решение.

Выступление первой группы – решение показательных уравнений вида

Докладывает лидер первой группы и привлекает к своему докладу участников этой группы. То есть диалог идёт ученик – ученик.

Решение исходного уравнения сводится к решению линейного уравнения с параметрами kx = b.

Если k = 0, b = 0, то 0 · x = 0, – любое действительное число.

Если k = 0, b ≠ 0, то 0 · x = b – нет решений.

Если k ≠ 0, то , один корень.

Задание 1. Решить уравнение .

Докладчик решает у доски с комментариями, остальные записывают в тетрадях.

Значит уравнение (1) можно представить в виде (a – 1)(a + 4)x = (a – 1)(a – 1)(a – 3).

Исследуем полученное уравнение:

Ответ:

На этом выступление первой группы закончено. Решение остальных заданий этой группы см. Приложение, стр. 1.

Выступление второй группы – решение уравнений вида

Докладывает лидер второй группы и привлекает к обсуждению этого вопроса всех учащихся. Исходное уравнение равносильно уравнению ax 2 + bx + c₁ = c₀, или ax 2 + bx + c = 0.

Далее идёт диалог ученик–ученик.

1. Какое уравнение получили? – Это уравнение степени не выше второй.
2. При a = 0, bx + c = 0, получили линейное уравнение, которое может иметь одно решение, не иметь корней, или иметь бесконечное множество решений.
3. При a ≠ 0, ax 2 + bx + c = 0, квадратное уравнение.
4. От чего зависит число решений квадратного уравнения? – Число решений квадратного уравнения зависит от дискриминанта. Если D = 0 то квадратное уравнение имеет одно решение. Если D > 0, то два решения. Если D 2 + 2(a + 3)x + a + 2 = 0.

Ответ:

На этом выступление второй группы закончено. Решение остальных заданий этой группы см. Приложение, стр. 2.

Выступление третьей группы – решение уравнений вида af 2 (x) + bf(x) + c = 0, где f(x) – показательная функция. Способ решения – введение новой переменной. f(x) = t, t > 0.

Слово предоставляется выступающему от третьей группы. Он докладывает, что их группа решала уравнения вида: (1) af 2 (x) + bf(x) + c = 0, где f(x) – показательная функция. Способ решения – введение новой переменной. f(x) = t, t > 0.

Исходное уравнение (1) равносильно

Далее докладчик задаёт вопросы, а учащиеся отвечают на них.

При каких условиях уравнение (1) имеет один корень?

1. При a = 0 уравнение (2) становится линейным, значит может иметь только один корень, и он должен быть положительным.
2. Если D = 0, уравнение (2) имеет один корень, и он должен быть положительным.
3. Если D > 0, уравнение (2) имеет два корня, но они должны быть различных знаков.
4. Если D > 0, уравнение (2) имеет два корня, но один из низ нуль. А второй положительный.

При каких условиях уравнение (1) имеет два корня?

Исходное уравнение имеет два корня, если уравнение (2) имеет два корня и оба они положительны.

При каких условиях уравнение (1) не имеет корней?

Если Dx – 4 · 2 x + 1 = 0 и указать число решений в зависимости от параметра p.

Ответим на вопрос: При каких значениях p уравнение (1) имеет один корень?

• Если одно решение. Обсуждается вопрос какие ещё могли быть варианты при t = 0 – нет решений, при t 0.

Уравнение будет иметь единственное решение при условии. Что дискриминант уравнения (2) есть число положительное, но корни при этом имеют различные знаки. Эти условия достигаются с помощью теоремы Виета. Чтобы корни квадратного трёхчлена были действительными и имели различные знаки, необходимо и достаточно выполнение соотношений.

Итак, уравнение (1) имеет единственное решение при p ≤ 0, p = 4.

Теперь остаётся ответить на вопрос. При каких условиях исходное уравнение (2) имеет два решения? Это возможно, если уравнение (2) имеет два корня и оба они положительны. По теореме Виета для того, чтобы корни квадратного трёхчлена были действительными и при этом оба были положительными, необходимо и достаточно выполнение соотношений.

Исходное уравнение имеет два корня при 0 0, то уравнение (2) имеет корни, но они оба отрицательны.

Итак, D 4. При p > 4 – нет решений. Второе условие равносильно следующим соотношениям.

Значит уравнение (1) не имеет решений при p > 4.

Ответ:

1. При p = 4, p ≤ 0 одно решение.
2. При 0 4 нет решений.

На этом выступление третьей группы закончено. Решение остальных заданий этой группы см. Приложение, стр. 3.

Домашнее задание.

Задание 1. Найти все значения параметра a, при которых уравнение (a – 3) · 4 x – 8 · 6 x + (a +3) 9 x = 0 не имеет корней.

Задание 2.Указать число решений уравнения p · 2 x + 2 –x – 5 = 0 в зависимости от параметра p.

Задание 3. Выяснить при каких значениях a уравнение . имеет решения, найти эти решения.

Задание 4. Найти все значения p при которых уравнение (p – 1) · 4 x – 4 · 2 x + (p + 2) = 0 имеет хотя бы одно решение.

Задание 5. Указать число решений уравнения a · 12 |x| = 2 – 12 –|x| в зависимости от параметра a.

Задача 18 ЕГЭ-2021 по математике. Параметры

Посмотрите на условия задач с параметрами ЕГЭ-2021. Вы заметите, что на вид все они похожи. Однако сходство только внешнее, и решаются они по-разному. В этой статье – обзор задач с параметрами ЕГЭ-2021 по математике.

1. Начнем с задачи, которую лучше всего решить аналитическим способом. Слева в уравнении модуль, справа – произведение модуля и корня квадратного. Лучше всего первым действием сделать возведение обеих частей уравнения в квадрат (при неотрицательности подкоренного выражения).

О том, как решать уравнения, где слева модуль и справа модуль, читайте здесь: Уравнения с модулем.

При каких значениях параметра a уравнение

имеет ровно 2 решения?

Уравнение равносильно системе:

Вынесли общий множитель за скобку

Так как и при всех исходное уравнение имеет корни и при всех Значит, исходное уравнение имеет ровно два корня в следующих случаях:

не имеет решений и

2) совпадение корней

Рассмотрим первый случай.

Неравенство — не имеет решений, если

Рассмотрим второй случай.

1) Корни и совпадают, тогда и

Так как исходное уравнение при имеет один корень

2) Корни и совпадают.

Уравнение имеет корни и

3) Корни и совпадают, исходное уравнение имеет ровно два корня.

Мы применили аналитический способ решения: с помощью равносильных переходов от исходного уравнения перешли к такой форме, где сразу видно, какие корни имеет уравнение при определенных значениях параметра.

На Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ на 100 баллов мы подробно рассказывали об этом методе и решали множество задач. Способ хорош тем, что вы просто действуете по образцу – и быстро приходите к ответу.

2. Второе уравнение очень похоже на первое. И первое действие будет таким же: возведением обеих частей в квадрат. А закончим мы – для разнообразия – построением графиков в системе координат (а; х).

Найти a, при которых имеет ровно 2 решения.

Возведем обе части уравнения в квадрат.

Найдем, каким значениям параметра соответствует ровно два значения

Построим в системе координат графики функций:

Мы находим такие при которых горизонтальная прямая имеет ровно 2 общие точки с совокупностью прямых, являющихся графиком исходного уравнения.

Видим, что в общем случае прямая пересекает каждую из трех прямых, то есть исходное уравнение имеет ровно 3 решения.
Ровно 2 решения будет в случаях, когда прямая проходит через точки пересечения прямых, то есть в случаях совпадения корней.

Данная совокупность имеет ровно два решения в случаях совпадения корней.

О графическом способе решения задач с параметрами читайте здесь: Графический метод решения задач с параметрами.

3. В третьем задании также присутствуют выражения под модулями. Но подход будет другой: мы применим метод интервалов для модулей, о котором можно прочитать здесь: Уравнения с модулем.

С его помощью раскроем модули и получим график функции, заданной описанием: на разных интервалах график этой функции выглядит по-разному, то есть состоит из отдельных кусочков. А дальше – графическое решение.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

Применим метод интервалов для модулей. Уравнение равносильно совокупности систем:

Мы сделали так, потому что при оба модуля раскрываем с противоположным знаком:

Заметим, что если уравнение не выполняется ни при каких

Решим графически полученную совокупность.

Рассмотрим функцию такую, что:

Для функции ось ординат – вертикальная асимптота.

Уравнение имеет ровно два корня при или

Вообще задачи с параметрами, как правило, можно решать многими способами.

4. И наконец, довольно сложное уравнение с тремя модулями. Нам придется раскрывать все эти модули по определению, рассматривая 4 случая. Но ничего страшного здесь нет – просто аккуратность. А потом мы разобьем координатную плоскость (х; а) на области и в каждой из областей построим график уравнения. Кто знаком с методом областей – тот легко с этим справится.

При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно три различных решения