Определения и понятия теории дифференциальных уравнений
С этой темы мы рекомендуем начинать изучение теории дифференциальных уравнений. В одном разделе мы собрали все основные термины и определения, которые будут применяться при рассмотрении теоретической части. Для того, чтобы облегчить усвоение материала, мы приводим многочисленные примеры.
Дифференциальное уравнение
Дифференциальное уравнение – это уравнение, которое содержит неизвестную функцию под знаком производной или дифференциала.
Обыкновенное дифференциальное уравнение содержит неизвестную функцию, которая является функцией одной переменной. Если же переменных несколько, то мы имеем дело с уравнением в частных производных.
Имеет значение также порядок дифференциального уравнения, за который принимают максимальный порядок производной неизвестной функции дифференциального уравнения.
1 ) y ‘ + 1 = 0 ; 2 ) d 2 y d x 2 + y = x · sin x ; 3 ) y ( 5 ) + y ( 3 ) = a · y , α ∈ R
Уравнения в частных производных 2 -го порядка:
1 ) ∂ 2 u ∂ t 2 = v 2 · ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 , u = u ( x , y , z , t ) , v ∈ R ; 2 ) ∂ 2 u ∂ x 2 — ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 , u = u ( x , y )
С порядками ДУ разобрались. Далее мы будем в основном рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения n -ого порядка вида F ( x , y , y ‘ , y ‘ ‘ , . . . , y ( n ) ) = 0 или F x , y , d y d x , d 2 y d x 2 , . . . , d n y d x n = 0 , в которых Ф ( x , y ) = 0 — это заданная неявно функция. В тех случаях, когда это будет возможно, неявную функцию мы будем записывать в ее явном представлении y = f ( x ) .
Интегрирование дифференциального уравнения
Интегрирование дифференциального уравнения – это процесс решения этого уравнения.
Решением дифференциального уравнения является функция Ф ( x , y ) = 0 , которая задана неявно и которая обращает данное уравнение в тождество. В некоторых случаях нам нужно будет неявно заданную функцию у выражать через аргумент х явно.
Искать решение дифференциального уравнения мы всегда будем на интервале Х , который задается заранее.
В каких случаях мы будем учитывать интервал Х ? Обычно в условии задач он не упоминается. В этих случаях мы буде искать решение уравнения F ( x , y , y ‘ , y ‘ ‘ , . . . , y ( n ) ) для всех х , при которых искомая функция у и исходное уравнение будут иметь смысл.
Интеграл дифференциального уравнения – это название решения дифференциального уравнения.
Функции y = ∫ x d x или y = x 2 2 + 1 можно назвать решением дифференциального уравнения y ‘ = x .
У одного дифференциального уравнения может быть множество решений.
Функция y = x 3 3 является решением ДУ y ‘ = x 2 . Если мы подставим полученную функцию в исходное выражение, то получим тождество y ‘ = x 3 3 = 1 3 · 3 x 2 = x 2 .
Вторым решением данного дифференциального уравнения является y = x 3 3 + 1 . Подстановка полученной функции в уравнение также превращает его в тождество.
Общее решение ДУ
Общее решение ДУ – это все множество решений данного дифференциального уравнения.
Также общее решение часто носит название общего интеграла ДУ.
Общее решение дифференциального уравнения y ‘ = x 2 имеет вид y = ∫ x 2 d x или y = x 3 3 + C , где C – произвольная постоянная. Из общего интеграла ДУ y = x 3 3 + C мы можем прийти к двум решениям, которые мы привели в прошлом примере. Для этого нам нужно подставить значения С = 0 и C = 1 .
Частное решение ДУ
Частное решение ДУ – это такое решение, которое удовлетворяет условиям, заданным изначально.
Для ДУ y ‘ = x 2 частным решением, которое будет удовлетворять условию y ( 1 ) = 1 , будет y = x 3 3 + 2 3 . Действительно, y ‘ = x 3 3 + 2 3 ‘ = x 2 и y ( 1 ) = 1 3 3 + 2 3 = 1 .
К числу основных задач из теории дифференциальных уравнений относятся:
задачи Коши;
задачи нахождения общего решения ДУ при заданном интервале Х ;
краевые задачи.
Особенностью задач Коши является наличие начальных условий, которым должно удовлетворять полученное частное решение ДУ. Начальные условия задаются следующим образом:
f ( x 0 ) = f 0 ; f ‘ ( x 0 ) = f 1 ; f ‘ ‘ ( x 0 ) = f 2 ; . . . ; f ( n — 1 ) ( x 0 ) = f n — 1
где f 0 ; f 1 ; f 2 ; . . . ; f n — 1 — это некоторые числа.
Особенностью краевых задач является наличие дополнительных условий в граничных точках x 0 и x 1 , которым должно удовлетворять решение ДУ второго порядка: f ( x 0 ) = f 0 , f ( x 1 ) = f 1 , где f 0 и f 1 — заданные числа. Такие задачи также часто называют граничными задачами.
Линейное обыкновенное ДУ n -ого порядка имеет вид:
f n ( x ) · y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = f ( x )
При этом коэффициенты f 0 ( x ) ; f 1 ( x ) ; f 2 ( x ) ; . . . ; f n ( x ) — это непрерывные функции аргумента х на интервале интегрирования.
Уравнение f n ( x ) · y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 1 ( x ) · y ‘ + f 0 ( x ) · y = f ( x ) будет называться линейным однородным дифференциальным уравнением в том случае, если f ( x ) ≡ 0 . Если нет, то мы будем иметь дело с линейным неоднородным ДУ.
В линейных однородных ДУ коэффициенты f 0 ( x ) = f 0 ; f 1 ( x ) = f 1 ; f 2 ( x ) = f 2 ; . . . ; f n ( x ) = f n могут быть постоянными функциями (некоторыми числами), то мы будем говорить о ЛОДУ с постоянными коэффициентами или ЛНДУ с постоянными коэффициентами. В ЛОДУ с постоянными коэффициентами f ( x ) ≡ 0 , в ЛНДУ с постоянными коэффициентами f ( x ) ненулевая.
Характеристическое уравнение ЛНДУ n -ой степени с постоянными коэффициентами
Характеристическое уравнение ЛНДУ n -ой степени с постоянными коэффициентами – это уравнение n -ой степени вида f n · k n + f n — 1 · k n — 1 + . . . + f 1 · k + f 0 = 0 .
Остальные определения мы будем разбирать в других темах по мере изучения теории.
Основные понятия и определения дифференциальных уравнений
Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную , искомую функцию и её производные , т. е. уравнение вида
Если искомая функция есть функция одной независимой переменной , дифференциальное уравнение называется обыкновенным ; например,
Когда искомая функция есть функция двух и более независимых переменных, например, если , то уравнение вида
называется уравнением в частных производных. Здесь — неотрицательные целые числа, такие, что ; например
Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение. Например, дифференциальное уравнение — уравнение первого порядка, дифференциальное уравнение , где — известная функция, — уравнение второго порядка; дифференциальное уравнение — уравнение 9-го порядка.
Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале называется функция , определенная на интервале вместе со своими производными до n-го порядка включительно, и такая, что подстановка функции в дифференциальное уравнение превращает последнее в тождество по на . Например, функция является решением уравнения на интервале . В самом деле, дифференцируя функцию дважды, будем иметь
Подставляя выражения и в дифференциальное уравнение, получим тождество
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.
Общий вид уравнения первого порядка
Если уравнение (1) удается разрешить относительно , то получится уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.
Задачей Коши называют задачу нахождения решения уравнения , удовлетворяющего начальному условию (другая запись ).
Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, проходящая через заданную точку плоскости (рис. 1).
Теорема существования и единственности решения задачи Коши
Пусть дано дифференциальное уравнение , где функция определена в некоторой области плоскости , содержащей точку . Если функция удовлетворяет условиям
а) есть непрерывная функция двух переменных и в области ;
б) имеет частную производную , ограниченную в области , то найдется интервал , на котором существует единственное решение данного уравнения, удовлетворяющее условию .
Теорема дает достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для уравнения , но эти условия не являются необходимыми . Именно, может существовать единственное решение уравнения , удовлетворяющее условию , хотя в точке не выполняются условия а) или б) или оба вместе.
1. . Здесь . В точках оси условия а) и б) не выполняются (функция и её частная производная разрывны на оси и неограниченны при ), но через каждую точку оси проходит единственная интегральная кривая (рис. 2).
2. . Правая часть уравнения и ее частная производная непрерывны по и во всех точках плоскости . В силу теоремы существования и единственности областью, в которой данное уравнение имеет единственное решение является вся плоскость .
3. . Правая часть уравнения определена и непрерывна во всех точках плоскости . Частная производная обращается в бесконечность при , т.е. на оси , так что при нарушается условие б) теоремы существования и единственности. Следовательно, в точках оси возможно нарушение единственности. Легко проверить, что функция есть решение данного уравнения. Кроме этого, уравнение имеет очевидное решение . Таким образом, через каждую точку оси проходит по крайней мере две интегральные линии и, следовательно, действительно в точках этой оси нарушается единственность (рис. 3).
Интегральными линиями данного уравнения будут также линии, составленные из кусков кубических парабол и отрезков оси , например, и др., так что через каждую точку оси проходит бесконечное множество интегральных линий.
Условие Липшица
Замечание. Условие ограниченности производной , фигурирующее в теореме существования и единственности решения задачи Коши, может быть несколько ослаблено и заменено так называемым условием Липшица .
Говорят, что функция , определенная в некоторой области , удовлетворяет в условию Липшица по , если существует такая постоянная ( постоянная Липшица ), что для любых из и любого из справедливо неравенство
Существование в области ограниченной производной достаточно для того, чтобы функция удовлетворяла в условию Липшица. Напротив, из условия Липшица не вытекает условие ограниченности ; последняя может даже не существовать. Например, для уравнения функция не дифференцируема по в точке , но условие Липшица в окрестности этой точки выполняется. В самом деле,
поскольку а . Таким образом, условие Липшица выполняется с постоянной .
Теорема. Если функция непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по в области , то задача Коши
имеет единственное решение.
Условие Липшица является существенным для единственности решения задачи Коши. В качестве примера рассмотрим уравнение
Нетрудно видеть, что функция непрерывна; с другой стороны,
и условие Липшица не удовлетворяется ни в одной области, содержащей начало координат , так как множитель при оказывается неограниченным при .
Данное дифференциальное уравнение допускает решение где — произвольная постоянная. Отсюда видно, что существует бесконечное множество решений, удовлетворяющих начальному условию
Общим решением дифференциального уравнения (2) называется функция
зависящая от одной произвольной постоянной , и такая, что
1) она удовлетворяет уравнению (2) при любых допустимых значениях постоянной ;
2) каково бы ни было начальное условие
можно подобрать такое значение постоянной , что решение будет удовлетворять заданному начальному условию (4). При этом предполагается, что точка принадлежит области, где выполняются условия существования и единственности решения.
Частным решением дифференциального уравнения (2) называется решение, получаемое из общего решения (3) при каком-либо определенном значении произвольной постоянной .
Пример 1. Проверить, что функция есть общее решение дифференциального уравнения и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Дать геометрическое истолкование результата.
Решение. Функция удовлетворяет данному уравнению при любых значениях произвольной постоянной . В самом деле,
Зададим произвольное начальное условие . Полагая и в равенстве , найдем, что . Подставив это значение в данную функцию, будем иметь . Эта функция удовлетворяет заданному начальному условию: положив , получим . Итак, функция является общим решением данного уравнения.
В частности, полагая и , получим частное решение .
Общее решение данного уравнения, т.е. функция , определяет в плоскости семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом . Через каждую точку плоскости проходит единственная интегральная линия . Частное решение определяет одну из интегральных кривых, а именно прямую, проходящую через начало координат (рис.4).
Пример 2. Проверить, что функция есть общее решение уравнения и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию .
Решение. Имеем . Подставляя в данное уравнение выражения и , получаем , т. е. функция удовлетворяет данному уравнению при любых значениях постоянной .
Зададим произвольное начальное условие . Подставив и вместо и в функцию , будем иметь , откуда . Функция удовлетворяет начальному условию. Действительно, полагая , получим . Функция есть общее решение данного уравнения.
При и получим частное решение .
С геометрической точки зрения общее решение определяет семейство интегральных кривых, которыми являются графики показательных функций; частное решение есть интегральная кривая, проходящая через точку (рис.5).
Соотношение вида , неявно определяющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка.
Соотношение, получаемое из общего интеграла при конкретном значении постоянной , называется частным интегралом дифференциального уравнения.
Задача решения или интегрирования дифференциального уравнения состоит в нахождении общего решения или общего интеграла данного дифференциального уравнения. Если дополнительно задано начальное условие, то требуется выделить частное решение или частный интеграл, удовлетворяющие поставленному начальному условию.
Так как с геометрической точки зрения координаты и равноправны, то наряду с уравнением мы будем рассматривать уравнение .