Второй закон ньютона как уравнение движения импульс

Второй закон ньютона как уравнение движения импульс

Название работы: Масса и импульс. Второй закон Ньютона как уравнение движения

Предметная область: Физика

Описание: Масса скал. тела масса величина аддитивная т. масса системы рана сумме масс материальных тел входящих в состав этой системы при любых воздействиях выполняется закон сохранения массы: суммарная масса взаимодействующих тел до взаимодействия и после равны между собой. инерции точка в которой может считаться масса всего тела при поступательном движении данного тела.

Дата добавления: 2013-09-05

Размер файла: 37.5 KB

Работу скачали: 17 чел.

6.Масса и импульс. Второй закон Ньютона как уравнение движения.

Массой тела называется количественная характеристика инертности тела. Масса — скал. величина, обл. свойствами:

-не зависит от скорости движ. тела

-масса – величина аддитивная, т.е. масса системы рана сумме масс материальных тел, входящих в состав этой системы

-при любых воздействиях выполняется закон сохранения массы: суммарная масса взаимодействующих тел до взаимодействия и после равны между собой.

-центр масс системы (ц. инерции)- точка, в которой может считаться масса всего тела при поступательном движении данного тела. Это точка С, радиус-вектор r c которой равен r c =m -1  m i  r i . Центр масс системы движется как мат.т., в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная главному вектору внешних сил, действующих на всю систему.

Импульсом , или количеством движения мат.т. называется векторная величина p, равная произведению массы m мат. точки на её скорость. Импульс системы равен p=mV c .

Второй закон Ньютона — дифференциальный закон движения , описывающий взаимосвязь между приложенной к материальной точке силой и получающимся от этого ускорением этой точки. Фактически, второй закон Ньютона вводит массу, как мерило проявления инерции материальной точки в выбранной инерциальной системе отсчёта (ИСО).

Второй закон Ньютона утверждает, что

В инерциальной системе отсчета ускорение, которое получает материальная точка, прямо пропорционально приложенной к ней силе и обратно пропорционально её массе.
При подходящем выборе единиц измерения , этот закон можно записать в виде формулы:

где — ускорение материальной точки; — сила , приложенная к материальной точке; m — масса материальной точки.

Или в более известном виде:

В случае, когда масса материальной точки меняется со временем, второй закон Ньютона формулируется с использованием понятия импульс :

В инерциальной системе отсчета скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на неё силе.

где — импульс точки, где — скорость точки; t — время ;

— производная импульса по времени.

Второй закон Ньютона действителен только для скоростей, много меньших скорости света и в инерциальных системах отсчёта. Для скоростей, приближенных к скорости света, используются законы теории относительности .

Закон cохранения импульса

О чем эта статья:

9 класс, 10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Импульс: что это такое

Как-то раз Рене Декарт (это который придумал ту самую декартову систему координат) решил, что каждый раз считать силу, чтобы описать процессы — как-то лень и сложно.

Для этого нужно ускорение, а оно не всегда очевидно. Тогда он придумал такую величину, как импульс. Импульс можно охарактеризовать, как количество движения — это произведение массы на скорость.

Импульс тела

p — импульс тела [кг · м/с]

m — масса тела [кг]

Закон сохранения импульса

В физике и правда ничего не исчезает и не появляется из ниоткуда. Импульс — не исключение. В замкнутой изолированной системе (это та, в которой тела взаимодействуют только друг с другом) закон сохранения импульса звучит так:

Закон сохранения импульса

Векторная сумма импульсов тел в замкнутой системе постоянна

А выглядит — вот так:

Закон сохранения импульса

p_n — импульс тела [кг · м/с]

Простая задачка

Мальчик массой m = 45 кг плыл на лодке массой M = 270 кг в озере и решил искупаться. Остановил лодку (совсем остановил, чтобы она не двигалась) и спрыгнул с нее с горизонтально направленной скоростью 3 м/с. С какой скоростью станет двигаться лодка?

Решение:

Запишем закон сохранения импульса для данного процесса.

— это импульс системы мальчик + лодка до того, как мальчик спрыгнул,

— это импульс мальчика после прыжка,

— это импульс лодки после прыжка.

Изобразим на рисунке, что происходило до и после прыжка.

Если мы спроецируем импульсы на ось х, то закон сохранения импульса примет вид

Подставим формулу импульса.
, где:
— масса мальчика [кг]
— скорость мальчика после прыжка [м/с]
— масса лодки [кг]
— скорость лодки после прыжка [м/с]

Выразим скорость лодки :

Подставим значения:
м/с

Ответ: скорость лодки после прыжка равна 0,5 м/с

Задачка посложнее

Тело массы m₁ = 800 г движется со скоростью v₁ = 3 м/с по гладкой горизонтальной поверхности. Навстречу ему движется тело массы m₂ = 200 г со скоростью v₂ = 13 м/с. Происходит абсолютно неупругий удар (тела слипаются). Найти скорость тел после удара.

Решение: Для данной системы выполняется закон сохранения импульса:

Импульс системы до удара — это сумма импульсов тел, а после удара — импульс «получившегося» в результате удара тела.

Спроецируем импульсы на ось х:

После неупругого удара получилось одно тело массы , которое движется с искомой скоростью:

Отсюда находим скорость тела, образовавшегося после удара:

Переводим массу в килограммы и подставляем значения:

В результате мы получили отрицательное значение скорости. Это значит, что в самом начале на рисунке мы направили скорость после удара неправильно.

Знак минус указывает на то, что слипшиеся тела двигаются в сторону, противоположную оси X. Это никак не влияет на получившееся значение.

Ответ: скорость системы тел после соударения равна v = 0,2 м/с.

Второй закон Ньютона в импульсной форме

Второй закон Ньютона в импульсной форме можно получить следующим образом. Пусть для определенности векторы скоростей тела и вектор силы направлены вдоль одной прямой линии, т. е. движение прямолинейное.

Запишем второй закон Ньютона, спроецированный на ось х, сонаправленную с направлением движения и ускорением:

Применим выражение для ускорения

В этих уравнениях слева находится величина a. Так как левые части уравнений равны, можно приравнять правые их части

Полученное выражение является пропорцией. Применив основное свойство пропорции, получим такое выражение:

В правой части находится — это разница между конечной и начальной скоростью.

Преобразуем правую часть

Раскрыв скобки, получим

Заменим произведение массы и скорости на импульс:

То есть, вектор – это вектор изменения импульса .

Тогда второй закон Ньютона в импульсной форме запишем так

Вернемся к векторной форме, чтобы данное выражение было справедливо для любого направления вектора ускорения.

Задачка про белку отлично описывает смысл второго закона Ньютона в импульсной форме

Белка с полными лапками орехов сидит на гладком горизонтальном столе. И вот кто-то бесцеремонно толкает ее к краю стола. Белка понимает законы Ньютона и предотвращает падение. Но как?

Решение:

Чтобы к белке приложить силу, которая будет толкать белку в обратном направлении от края стола, нужно создать соответствующий импульс (вот и второй закон Ньютона в импульсной форме подъехал).

Ну, а чтобы создать импульс, белка может выкинуть орехи в сторону направления движения — тогда по закону сохранения импульса ее собственный импульс будет направлен против направления скорости орехов.

Реактивное движение

В основе движения ракет, салютов и некоторых живых существ: кальмаров, осьминогов, каракатиц и медуз — лежит закон сохранения импульса. В этих случаях движение тела возникает из-за отделения какой-либо его части. Такое движение называется реактивным.

Яркий пример реактивного движения в технике — движение ракеты, когда из нее истекает струя горючего газа, которая образуется при сгорании топлива.

Сила, с которой ракета действует на газы, равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой газы отталкивают от себя ракету:

Сила называется реактивной. Это та сила, которая возникает в процессе отделения части тела. Особенностью реактивной силы является то, что она возникает без взаимодействия с внешними телами.

Закон сохранения импульса позволяет оценить скорость ракеты.

v_г — скорость горючего,

v_р — скорость ракеты.

Отсюда можно выразить скорость ракеты:

Скорость ракеты при реактивном движении

v_г — скорость горючего [м/с]

m_р — масса ракеты [кг]

v_р — скорость ракеты [м/с]

Эта формула справедлива для случая мгновенного сгорания топлива. Мгновенное сгорание — это теоретическая модель. В реальной жизни топливо сгорает постепенно, так как мгновенное сгорание приводит к взрыву.

Онлайн-курсы физики в Skysmart не менее увлекательны, чем наши статьи!

Второй закон Ньютона в импульсной форме

Любое тело, обладающее скоростью, обладает импульсом.

Скорость тела будет меняться, когда на него подействует сила и появится ускорение. Об этом сообщает второй закон Ньютона. А если изменяется скорость тела, то будет изменяться его импульс.

Второй закон Ньютона в импульсной форме описывает изменение импульса тела под действием силы.

Формула второго закона Ньютона в импульсной форме

Импульсная форма записи второго закона выглядит так:

Словами это выражение можно сформулировать так:

\(\overrightarrow <\Delta p>\left( \text <кг>\cdot \frac<\text<м>>\right) \) – вектор изменения импульса тела;

\( \overrightarrow < F \cdot \Delta t>\left( H \cdot \text <м>\right) \) – вектор импульса силы;

Слева и справа в формуле находятся два вектора. Так как между ними записан знак равенства, значит у векторов \(\overrightarrow <\Delta p>\) и \( \overrightarrow < F \cdot \Delta t>\) совпадают обе характеристики — направление и длина.

С помощью математики фразу «длины векторов равны» можно записать так:

\( \left| \overrightarrow <\Delta p>\right | = \left| \overrightarrow < F \cdot \Delta t>\right | \)

Как посчитать длину вектора, и как ее обозначать, читайте тут.

Пояснения и вывод формулы с помощью геометрии

Чтобы получить импульсный вид записи для второго закона, рассмотрим такую задачу.

Представим, что мы склонились над бильярдным столом и смотрим на него сверху. А в это время по столу катится бильярдный шар с какой-то постоянной скоростью.

Примечание: с постоянной скоростью, значит — с одной и той же скоростью. О такой скорости физики часто говорят «с неизменной скоростью», а математики применяют для нее запись \( \vec = const \).

Пусть для определенности масса шара равна двум килограммам.

\( m = 2 \left( \text <кг>\right) \)

Пусть до того, как мы подействовали на шар, он двигался по столу в направлении, указанном на рисунке 1а. Шар вначале движется по горизонтали (рис. 1а), вектор начальной скорости обозначен \( \vec> \).

Подействуем теперь на шар, ударив его кием под углом к начальной скорости. Направление, вдоль которого мы ударили, показано на рисунке 1б с помощью вектора силы \( \vec \) .

После удара шар будет катиться уже не по горизонтали на рисунке. Физики скажут: направление движения шара изменилось. Направление, в котором шар движется после удара, обозначено вектором \( \vec \) на рисунке 2в. Вектор \( \vec \) — конечная скорость шара.

Нам известны начальная и конечная скорости тела, а также, его масса. Мы можем вычислить импульс тела до удара (рис 2а), и после удара (рис 2б).

\( m \cdot \vec> = \vec>\) – импульс тела до удара (начальный);

\( m \cdot \vec = \vec

\) – импульс тела после удара (конечный).

Обратите внимание, что у векторов начального импульса \( \vec>\) и начальной скорости \( \vec>\) направления совпадают. Вектор конечного импульса \( \vec

\), так же, сонаправлен с вектором \( \vec\) конечной скорости тела.

Для удобства совместим начала векторов \( \vec>\) и \( \vec

\) (рис. 3). Зададимся вопросом, как из вектора начального импульса \( \vec>\) получить конечный \( \vec

\) вектор?

Очевидно, нужно к вектору \( \vec>\) прибавить еще один вектор. Обозначим этот вектор \( \overrightarrow <\Delta p>\), он представлен на рисунке 4.

Подробнее о том, как складывать векторы, написано тут.

Сумму можно записать так:

Это уравнение записано в векторном виде. Стрелки над символами подчеркивают тот факт, что векторы складывают с помощью геометрии, то есть, учитывают их направления.

Выразим теперь вектор, обозначенный \( \overrightarrow <\Delta p>\). Для этого, из обеих частей уравнения вычтем вектор \( \vec> \).

Видно, что вектор \( \overrightarrow <\Delta p>\) – это разница между конечным \( \vec

\) и начальным \( \vec> \) векторами импульса тела.

Физики для вектора \( \overrightarrow <\Delta p>\) используют такое название:

\( \overrightarrow <\Delta p>\left( \text <кг>\cdot \frac<\text<м>> \right) \) – вектор изменения импульса тела.

Рассмотрим теперь совместно векторы \( \overrightarrow <\Delta p>\) и \( \vec \) на одном рисунке (рис. 5).

Направления векторов совпадают, а длина – различается.

Примечание: Математики вместо выражения «длина вектора» употребляют термин «модуль вектора».

Предположим, у нас есть точный хронометр и мы измерили кусочек времени, в течение которого сила действовала на бильярдный шар.

Умножим теперь вектор \( \vec \) на этот промежуток времени \( \Delta t \) — скаляр. Результат умножения представлен на рисунке 6.

Из рисунка 6 видно, что у векторов \(\overrightarrow <\Delta p>\) и \( \overrightarrow < F \cdot \Delta t>\) совпадают не только направления, но и длины.

Если у векторов совпадают обе характеристики, то их можно приравнять. Подробнее о том, какие у векторов есть характеристики, написано тут.

Это выражение называют вторым законом Ньютона, записанным в импульсной форме.

Примечания

1). Сумму векторов

можно теперь переписать в таком виде:

2). Складывать можно векторы, у которых размерность совпадает.

О сложении векторов простым языком написано тут.

Обратим внимание на размерность.

\( \overrightarrow < F \cdot \Delta t>\left( H \cdot c \right) \)

На первый взгляд, она отличается, но с помощью простых преобразований можно показать, что

\[ \large 1 \text <кг>\cdot \frac< 1\text<м>> <1 c>= 1 H \cdot 1 c \]

Вывод формулы с помощью алгебры

Второй закон Ньютона в импульсной форме можно получить из алгебраических соображений.

Пусть для определенности векторы скоростей тела и вектор силы направлены вдоль одной прямой линии, т. е. движение прямолинейное.

Применим выражение для ускорения

Полученное выражение является пропорцией. Применив одно из свойств пропорции, получим такое выражение:

В правой части находится вектор \(\overrightarrow <\Delta v>= \vec — \vec > \) – это разница между конечной и начальной скоростью.

Преобразуем правую часть

\(\overrightarrow<\Delta v>\cdot m = \left( \vec — \vec > \right) \cdot m\)

Раскрыв скобки, получим

\(\overrightarrow<\Delta v>\cdot m = \vec \cdot m — \vec > \cdot m \)

Подставляя их, получим

\(\overrightarrow<\Delta v>\cdot m = \overrightarrow<\Delta p>\)

То есть, вектор \(\overrightarrow <\Delta v\cdot m>\) – это вектор \(\overrightarrow <\Delta p>\).

Тогда второй закон Ньютона в импульсной форме запишем так