Второй закон Ньютона. Динамические уравнения движения
Второй закон Ньютона – основной закон динамики. Этот закон выполняется только в инерциальных системах отсчета.
Приступая к формулировке второго закона, следует вспомнить, что в динамике вводятся две новые физические величины – масса тела m и сила а также способы их измерения. Первая из этих величин – масса – является количественной характеристикой инертных свойств тела. Она показывает, как тело реагирует на внешнее воздействие. Вторая – сила – является количественной мерой действия одного тела на другое.
Второй закон Ньютона – это фундаментальный закон природы; он является обобщением опытных фактов, которые можно разделить на две категории:
- Если на тела разной массы подействовать одинаковой силой, то ускорения, приобретаемые телами, оказываются обратно пропорциональны массам:
при F = const. |
- Если силами разной величины подействовать на одно и то же тело, то ускорения тела оказываются прямо пропорциональными приложенн силам:
при m = const. |
Обобщая подобные наблюдения, Ньютон сформулировал основной закон динамики:
Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на сообщаемое этой силой ускорение:
Это и есть второй закон Ньютона. Он позволяет вычислить ускорение тела, если известна его масса m и действующая на тело сила :
В Международной системе единиц (СИ) за единицу силы принимается сила, которая сообщает телу массой 1 кг ускорение 1 м/с 2 . Эта единица называется ньютоном (Н). Ее принимают в СИ за эталон силы (см. §1.7):
Если на тело одновременно действуют несколько сил (например, и то под силой в формуле, выражающей второй закон Ньютона, нужно пониматьравнодействующую всех сил:
Рисунок 1.8.1. Сила – равнодействующая силы тяжести и силы нормального давления действующих на лыжницу на гладкой горе. Сила вызывает ускорение лыжника |
Если равнодействующая сила то тело будет оставаться в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. Таким образом, формально второй закон Ньютона включает как частный случай первый закон Ньютона, однако первый закон Ньютона имеет более глубокое физическое содержание – он постулирует существование инерциальных систем отсчета.
Второй закон Ньютона[править | править вики-текст]
Основная статья: Второй закон Ньютона
Второй закон Ньютона — дифференциальный закон движения, описывающий взаимосвязь между приложенной к материальной точке силой и получающимся от этогоускорением этой точки. Фактически, второй закон Ньютона вводит массу как меру проявления инертности материальной точки в выбранной инерциальной системе отсчёта (ИСО).
Масса материальной точки при этом полагается величиной постоянной во времени и независящей от каких-либо особенностей её движения и взаимодействия с другими телами [4][5][6][7] .
Современная формулировка[править | править вики-текст]
В инерциальной системе отсчёта ускорение, которое получает материальная точка с постоянной массой, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил и обратно пропорционально её массе. |
При подходящем выборе единиц измерения, этот закон можно записать в виде формулы:
где — ускорение материальной точки;
— равнодействующая всех сил, приложенных к материальной точке;
— масса материальной точки.
Второй закон Ньютона может быть также сформулирован в эквивалентной форме с использованием понятия импульс:
В инерциальной системе отсчета скорость изменения импульса материальной точки равна равнодействующей всех приложенных к ней внешних сил. |
где — импульс точки, — её скорость, а — время. При такой формулировке, как и при предшествующей, полагают, что масса материальной точки неизменна во времени [8][9][10] .
Иногда предпринимаются попытки распространить сферу применения уравнения и на случай тел переменной массы. Однако, вместе с таким расширительным толкованием уравнения приходится существенным образом модифицировать принятые ранее определения и изменять смысл таких фундаментальных понятий, как материальная точка, импульс и сила [11][12] .
Замечания[править | править вики-текст]
Когда на материальную точку действуют несколько сил, с учётом принципа суперпозиции, второй закон Ньютона записывается в виде:
Второй закон Ньютона, как и вся классическая механика, справедлив только для движения тел со скоростями, много меньшими скорости света. При движении тел со скоростями, близкими к скорости света, используется релятивистское обобщение второго закона, получаемое в рамках специальной теории относительности.
Следует учитывать, что нельзя рассматривать частный случай (при ) второго закона как эквивалент первого, так как первый закон постулирует существование ИСО, а второй формулируется уже в ИСО.
В уравнении движения динамической системы входит полный набор переменных, определяющий состояние этой системы (например, все координаты и скорости, или все координаты и импульсы), а также их производные по времени, что позволяет, зная такой набор в некий момент времени, вычислить его для момента времени, отстоящего на малый (бесконечно малый) промежуток времени. В принципе, повторяя этот процесс вычисления последовательно большое (бесконечное) количество раз, можно вычислить значение всех этих переменных для момента времени, как угодно далеко [2] отстоящего от начального. С помощью такого процесса можно (выбрав достаточно малым, но конечным) получить приближённое численное решение уравнений движения. Однако чтобы получить точное [3] решение, приходится применять другие математические методы.
В современной квантовой теории термин уравнение движения нередко используется для обозначения именно только классических уравнений движения, то есть как раз для различения классического и квантового случая. В таком употреблении, например, слова «решение уравнений движения» означают именно классическое (неквантовое) приближение, которое может затем так или иначе использоваться при получении квантового результата или для сравнения с ним. В этом смыслеуравнения эволюции волновой функции не называют уравнениями движения, например упомянутые ниже уравнение Шредингера и уравнение Дирака нельзя назвать уравнением движения электрона. Определённую ясность тут вносит дополнение, указывающее на то, об уравнении движения чего идёт речь: так, хотя уравнение Дирака нельзя назвать уравнением движения электрона, его можно, даже в смысле, обсуждаемом в этом абзаце, назвать классическим уравнением движения спинорного поля.
| | следующая лекция ==> |
д) Исполнительные двигатели постоянного тока. | | |
Дата добавления: 2016-01-29 ; просмотров: 4555 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
Второй закон Ньютона
Второй закон Ньютона представляет собой основной закон динамики. Данный закон может выполняться только в инерциальных системах отсчета.
Формулируя второй закон, стоит обратить внимание на то, что в динамике вводятся масса тела m и сила F → , а также способы их измерения. Масса является количественной характеристикой инертных свойств тела и показывает реакцию тела на внешнее воздействие. Сила же F → представляет из себя количественную меру действия одного объекта на другой.
2-ой закон Ньютона, определение и формула
Второй закон Ньютона – фундаментальный закон природы, являющийся обобщением опытных фактов, подразделяющихся на две категории:
- Если на обладающие разной массой тела подействовать одной и той же силой, то приобретаемые телами ускорения окажутся обратно пропорциональны их массам:
1 m , при F = c o n s t .
- Если силами различной величины подействовать на одно тело, то ускорения тела окажутся прямо пропорциональными приложенным силам:
F → , при m = c o n s t .
Основной закон динамики был сформулирован Ньютоном путем обобщения данных фактов:
Сила, которая оказывает воздействие на тело, эквивалентна произведению массы тела на сообщаемое данной силой ускорение:
Приведенное выражение и представляет собой второй закон Ньютона.
С помощью него стало возможным вычисление ускорение тела в случае, если известна его масса m и действующая на него сила F → :
В Международной системе единиц ( С И ) в качестве единицы силы считают такую силу, которая сообщающая телу массой 1 к г ускорение 1 м / с 2 . Данная единица называется ньютоном ( Н ) . В ( С И ) ее принимают за эталон силы.
1 Н = 1 к г · м с 2 .
Равнодействующая сила
В том случае, если на тело одновременно воздействуют несколько сил, как например, F 1 → , F 2 → и F 3 → , то силой F → в формуле второго закона Ньютона считается равнодействующая всех сил это величина, выражающаяся в виде формулы:
F → = F 1 → + F 2 → + F 3 → .
Рисунок 1 . 8 . 1 . Сила F → – равнодействующая силы тяжести F → Т и силы нормального давления F N → , действующих на лыжницу на гладкой горе. Сила F → вызывает ускорение лыжника.
В случае же, когда равнодействующая сила F → = 0 , тело будет пребывать в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. Выходит, что формально второй закон Ньютона включает в себя в качестве частного случая первый закон Ньютона. Но первый закон Ньютона обладает более глубоким физическим значением. Он обуславливает существование инерциальных систем отсчета.
Рисунок 1 . 8 . 1 . Модель движения тел на легком блоке.
II Закон Ньютона.Динамические уравнения движения
Система отсчета, относительно которой выполняется закон Ньютона, называется инерциальной.
Второй закон Ньютона: изменение движения пропорционально приложенной силе и происходит в том направлении, в каком действует сила.
Сила – это физическая величина, характеризующая взаимодействие тел, в результате оторого тела приобретают ускорения или деформируются [F]=[Н]=[ ].
Но разные тела под влиянием одинаковых сил приобретают разные ускорения, следовательно, ускорение зависит не только от силы, но и от собственных свойств тел. Это свойство называется массой.
Масса – это мера инертности тела [m] = [кг].
Инертность – это способность тела приобретать ускорение.
1Н – сила, сообщающая телу массой 1кг ускорение 1м/с 2 в направлении действия силы.
Запишем второй закон Ньютона
, (1)
но , следовательно,
. (2)
Подведем m под знак дифференциала
, но
(3)
импульс (количество движения).
[Р]=[ ] направление импульса совпадает с направлением силы.
Перепишем второй закон Ньютона ;
. (9)
второй закон Ньютона через импульс
Динамические уравнения движения – это второй закон Ньютона, записанный для данного тела. Эти уравнения можно записать в векторном виде и в проекциях на оси координат. Составление и решение таких уравнений – главная задача динамики.
Движение твердого тела можно охарактеризовать двумя видами: поступательным и вращательным (из них состоит любое сложное движение).
При поступательном движении тела все его точки двигаются с одинаковыми скоростями и ускорениями. Если мысленно разбить тело наэлементами с массами Dmi, то по второму закону Ньютона получим
, (4)
где fi – внутренняя сила (сила взаимодействия элементов тела);
Fi – внешняя сила, действующая на каждый элемент.
По третьему закону Ньютона сумма вех внутренних сил равна 0, поэтому, суммируя выражения, получим
(5)
, (6)
где – векторная сумма всех внешних сил;
– главный вектор внешних сил.
Следовательно, рассмотрение поступательного движения твердого тела можно заменить рассмотрением движения одной материальной точки с массой, равной массе тела, и находящейся под действием силы, равной главному вектору внешних сил.
При сложном движении тела все его точки имеют разные скорости и ускорения. Разобьем тело на столь малые элементы, что их скорости и ускорения остаются постоянными
.
Суммируем это равенство fi = 0
(7)
главный вектор внешних сил
Однако ускорения всех элементов тела разные, поэтому введем ускорение ас, определяемое равенством
, (8)
где М – масса всего тела.
Умножим левую и правую часть равенства на М, используя , получим
, (9)
где ас – ускорение некоторой точкиС, координаты которой
; ; , (10)
где С – центр масс тела или центр инерции (совпадает с центром приложения равнодействующей сил тяже).
15. Сложение двух гармонических колебаний одинаковой циклической частоты, происходящих вдоль одной прямой.
Пусть ; ; .
Складываемые колебания описываются уравнениями:
; (1)
. (2)
Так как колебания происходят вдоль одной прямой (вдоль оси ), то результирующее смещение в любой момент времени равно алгебраической сумме смещений и :
(3)
Выполним это сложение геометрически, с помощью векторов амплитуды и . На рисунке1 изображены положения векторов амплитуды в начальный момент времени. Вектор результирующей амплитуды равен геометрической сумме векторов и .
Проекции конца вектора определяет результирующее смещение в начальный момент времени. Так как оба вектора, и , вращаются в процессе колебаний с одной и той же угловой скоростью , с такой же скоростью будет вращаться и вектор результирующей амплитуды. Следовательно, результирующее колебание представляет собой гармоническое колебание той же частоты и происходит вдоль той же прямой. Из рисунка 1 видно, что
,
для произвольного момента времени:
, (4)
где и — амплитуда и начальная фаза результирующего колебания. Из по теореме косинусов получаем:
(5)
так как
(6)
Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз ( ) слагаемых колебаний. Если ( ), где то и , т.е. если разность фаз равна четному числу , колебания усиливают друг друга. Если , то и , т.е.
если разность фаз равна нечетному числу , колебания максимально ослабляют друг друга. В зависимости от разности фаз амплитуда колебания может принимать любые значения, лежащие в интервале:
.
http://zaochnik.com/spravochnik/fizika/osnovy-dinamiki/vtoroj-zakon-njutona/
http://poisk-ru.ru/s17604t10.html