Методы решения уравнений, неравенств и их систем
Методы решения систем уравнений с двумя переменными
- Выражаем из какого-либо уравнения системы одну переменную через другую.
- Подставляем вместо этой переменной полученное выражение во второе уравнение.
- Решаем получившееся уравнение с одной переменной.
- Находим соответствующие значения второй переменной.
Просмотр содержимого документа
«Методы решения уравнений, неравенств и их систем»
Материал, связанный с уравнениями и неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики. Однако решению всех видов уравнений и неравенств уделяется недостаточно внимания. Актуальность рассмотрения данной темы обусловлена противоречием между тем, что задания, связанные с уравнениями и неравенствами и их системами регулярно встречаются в материалах ЕГЭ и ОГЭ и тем, что их решение, вызывают у учащихся значительные трудности.
Целью данной работы является: Рассмотреть методические основы профильного и углубленного обучения теме «Уравнения, неравенства и их системы».
Из данной цели вытекают задачи:
Выделить методы решения уравнений, неравенств и их систем.
Выполнить логико-дидактический анализ темы «Уравнения, неравенства и их системы» по школьным учебникам «Алгебра» Ю.Н. Макарычева за 7-9 класс и «Алгебра» А.Г. Мордковича 10-11 класс.
Разработать конспект урока по теме «Уравнения, неравенства и их системы» для 8 класса.
Данные практические разработки могут быть использованы в школе.
Данная работа состоит из трех параграфов:
§1. Методы решения уравнений, неравенств и их систем.
§2. Логико-дидактический анализ по теме «Уравнения, неравенства и их системы» по школьным учебникам «Алгебра» Ю.Н. Макарычева за 7-9 класс и «Алгебра» А.Г. Мордковича 10-11 класс.
§3. Конспект урока по теме «Уравнения, неравенства и их системы» для 8 класса.
§1. Методы решения уравнений, неравенств и их систем
Методы решения целых уравнений первой степени.
Раскрытие скобок (умножаем многочлен на многочлен). Пример: (2x+1)(3x-2)-6x(x+4)=67-2x
Домножение на НОК знаменателей дробей обеих частей уравнения. Пример: 
—
Способы решения целых уравнений.
Разложение многочлена на множители. Пример: 
+3=0
С помощью теоремы о корне многочлена. Пример: 
Введение новой переменной. Пример: 
Метод неопределенных коэффициентов. Пример:
Графический способ. Пример: 
С помощью алгоритма решения квадратных уравнений: 
Алгоритмы и способы решения дробно-рациональных уравнений.
а) Умножаем обе части уравнения на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.
б) Решаем полученное целое уравнение.
в) Исключаем из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель дробей.
Пример: 
Используя нестандартные преобразования. Пример: 
Введение новой переменной. Пример: 
Введение вспомогательной переменной. Пример: 
Графический способ решения. Пример: 
Способы решения целых неравенств с одной переменной.
1.Используя свойства дискриминанта квадратного уравнения и свойств графика квадратичной функции. Пример: 
2. Метод интервалов. Пример: 
3. Используя свойства графика квадратной функции. Пример:
Способы решения дробно-рациональных неравенств с одной переменной.
Разложение на множители числителя и знаменателя. Пример: 
Используя систему. Примеры: 
Способы решения уравнений с переменной под знаком модуля.
Замена на систему уравнений. Пример: 
Замена совокупность из двух систем. Пример: 
Графический способ с дальнейшей заменой на совокупность из трех систем уравнений. Пример: 
Способы решения неравенств с переменной под знаком модуля.
Замена на систему неравенств. Пример: 
Используя свойство модуля. Пример:
Графический способ с дальнейшей заменой на совокупность из трех систем неравенств. Пример: 
Способы решения уравнений с параметром.
Вынесение многочлена за скобку. Пример: ax-2x=a 2 +a-6
Используя дискриминант. Пример: 
Способы решения дробно-рациональных уравнений с параметром.
Домножение на общий знаменатель. Пример:
Методы решения систем уравнений с двумя переменными
Выражаем из какого-либо уравнения системы одну переменную через другую.
Подставляем вместо этой переменной полученное выражение во второе уравнение.
Решаем получившееся уравнение с одной переменной.
Находим соответствующие значения второй переменной.
Умножаем левые и правые части уравнений.
Складываем почленно левые и правые части уравнений.
Решаем получившееся при сложении уравнение с одной переменной.
Находим соответствующие значения второй переменной.
б) Разложение на линейные множители.
Способы решения линейных неравенств с двумя переменными.
Графический. Пример: 4x-5y20
Способы решения неравенств с двумя переменными выше первой.
Способы решения системы неравенств с двумя переменными.
Способы решения неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля.
Методы решения уравнений высших степеней.
Используя делители свободного члена уравнения. Пример: x 3 +2x 2 -7x-12=0
Деления обеих частей уравнения на x 2 . Пример: 3x 4 -2x 3 -9x 2 -4x+12=0
Метод замены двух переменных. Пример: 2(x 2 +x+1)-7(x-1) 2 =13(x 3 -1)
Графический метод. Пример: x 5 +5x-42=0
Используя производную функции. Пример: x 4 -8x+63=0
Методы решения показательных уравнений.
Метод введения новой переменной. Пример: 4 x +2 x +1 -24=0
Методы решения показательных неравенств.
Метод уравнивания показателей. Пример:
Метод введения новой переменной. Пример:
Деления обеих частей уравнения на число с наибольшим показателем в степени. (однородные уравнения второй степени) Пример: 8 x +18 x 2∙27 x
Используя свойство дискриминанта. Пример: (x 2 +x+1) x ≤1
Методы решения логарифмических уравнений.
Введение новой переменной. Пример: lg 2 x+lg x+1=
Методы решения логарифмических неравенств.
Представление обеих частей неравенства в виде логарифмов с одинаковым основанием. Пример: (16+4x—x 2 )≤-4
Введение новой переменной. Пример:
Методы решения уравнений и неравенств с модулем.
Раскрытие модуля по определению. Пример:
Графический способ. Пример:
Используя совокупность уравнений (неравенств). Пример:
Методы решения иррациональных уравнений.
Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Пример:
Введение новой переменной. Пример:
Уединение корня и возведение обеих частей уравнения в степень. Пример:
Введение двух новых переменных. Пример:
Умножение обеих частей уравнения на выражение сопряженное данному. Пример:
Методы решения иррациональных неравенств.
Используя совокупность неравенств. Пример:
Введение новой переменной. Пример:
Методы решения систем уравнений.
Перемножением правых и левых частей уравнения. Пример:
«Неравенства и системы неравенств» в школьном курсе математики
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Глава 1 Содержание темы «Неравенства и системы неравенств»
в школьном курсе математики ………. ………….…………………..5
1.1. Изучение неравенств и систем неравенств в школьном курсе математики…….……………………………………………. 5
Анализ комплектов школьных учебников……. ……….17
Глава 2 Методические разработки по теме «Неравенства и системы неравенств» ………………………………………………………….24
2.1.Конспект урока « Решение показательных неравенств»… .24
2.2. Конспект урока «Решение квадратных неравенств»
(с использованием интерактивной доски)…………………. …32
2.3. Примеры решения задач ЕГЭ по теме «Неравенства
и системы неравенств»….……………………………………. 37
Список использованной литературы ………………………………44
Учебный материал, связанный с неравенствами, составляет значительную часть школьного курса математики, а его изучение в современной методике обучения математике организовано в отдельную содержательно-методическую линию.
Логическим продолжением развития содержательно-методической линии вслед за уравнениями являются неравенства, а также системы уравнений и неравенств. Отметим, что умение школьников решать уравнения и неравенства является обязательным компонентом при проведении итоговой аттестации учащихся.
Как правило, наибольшие затруднения у учащихся вызывают нестандартные неравенства, где нужно выяснять, какие преобразования необходимо выполнить, чтобы свести его к стандартному, либо переходить к использованию искусственных приемов решения. Это связано с тем, что нахождение решения произвольного неравенства не алгоритмизировано и требует от учащихся проявления творчества. Поскольку «пустая голова не творит», то необходима работа по «вооружению» учащихся знаниями о тех преобразованиях, которые применяются для решения уравнений и неравенств. Учителю при этом следует помнить, что развитие содержательно-методической линии уравнений и неравенств идет линейно-концентрически: методы и приемы решения уравнений и неравенств, рассмотренные в одной теме, используются и в последующих темах, появление новых типов уравнений и неравенств влечет лишь обогащение знаний школьников о специальных преобразованиях, а общие методы и приемы остаются те же. Поэтому стоит подчеркивать и выделять как общее в процессе решения алгебраических уравнений и неравенств в основной школе, так и новое, специальное, связанное с особенностями решения трансцендентных уравнений и неравенств в старшей школе.
Данная тема очень актуальна при работе с одаренными детьми. Так как задания с неравенствами часто встречаются в олимпиадах и в заданиях части С ЕГЭ. На сегодня наиболее распространенными формами работы с одаренными детьми являются факультативы, кружки, олимпиады и т. д. Актуально на спецкурсах и элективных курсах рассмотреть изучение неравенств и систем неравенств более подробно.
Цель работы: подготовить методические материалы по теме «Неравенства и системы неравенств в школьном курсе математики».
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
Проследить развитие содержательной линии неравенств и систем неравенств в школьном курсе;
Проанализировать задачный материал школьных учебников по теме «Неравенства и системы неравенств»;
Разработать конспекты уроков по теме «Решение неравенств и систем неравенств»;
Привести примеры решения задач ЕГЭ части С3 и С5 по теме «Неравенства и системы неравенств».
Объектом исследования является процесс обучения решению неравенств и систем неравенств в школьном курсе математики.
Предметом исследования являются методические особенности решения неравенств и систем неравенств в школьном курсе математики.
1) изучение научной, методической, педагогической литературы по теме исследования;
2) анализ ФГОС, программ по математике, школьных учебников;
Структура исследования: работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы.
Глава 1 Содержание темы «Неравенства и системы неравенств» в школьном курсе математики
1.1. Изучение неравенств и систем неравенств в школьном курсе математики
Основная задача обучения математике в школе – обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.
Федеральный государственный образовательный стандарт среднего (полного) общего образования в требованиях к предметным результатам освоения курса «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия» в 4 пункте отражает «владение стандартными приёмами решения рациональных и иррациональных, показательных, степенных, тригонометрических уравнений и неравенств, их систем…» [21, стр. 15]. Это указывает на важность изучения данной темы в школьном курсе математики.
В связи с важностью и обширностью материала, связанного с понятием неравенства, его изучение в современной методике математики организовано в содержательно-методическую линию «Уравнения и неравенства». В ней рассматриваются вопросы формирования понятий уравнения и неравенства, общих и частных методов их решения, взаимосвязи изучения уравнений и неравенств с числовой, функциональной и другими линиями школьного курса математики.
Можно выделить три основных направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики.
1. Прикладная направленность линии уравнений и неравенств раскрывается при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, так каку он связан с изучением приемов, используемых в приложениях математики.
Одно из важных положений в приложениях математики занимает математическое моделирование. Используя это понятие, можно сказать, что прикладное значение уравнений, неравенств и их систем определяется тем, что они являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании.
2. Теоретико-математическая направленность линии уравнений и неравенств имеет два аспекта: первый — изучение наиболее важных классов уравнений, неравенств и их систем , второй — изучение обобщенных понятий и методов, относящихся к линии в целом. Оба эти аспекта важны в школьном курсе математики. Основные классы уравнений и неравенств связаны с простейшими и одновременно наиболее важными математическими моделями. Использование обобщенных понятий и методов позволяет логически упорядочить изучение линии в целом, поскольку они описывают то общее, что имеется в процедурах и приемах решения, относящихся к отдельным классам уравнений, неравенств, систем. В свою очередь, эти общие понятия и методы опираются на основные логические понятия: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следование, которые также должны быть раскрыты в линии уравнений и неравенств.
3) Для линии уравнений и неравенств характерна направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики. Эта линия тесно связана с числовой линией. Основная идея, реализуемая в процессе установления взаимосвязи этих линий, — это идея последовательного расширения числовой системы. Все числовые области, за исключением области всех действительных чисел, возникают в связи с решением каких-либо уравнений, неравенств, систем. Например, числовые промежутки выделяются неравенствами или системами неравенств. Связь линии уравнений и неравенств с числовой линией двусторонняя. Обратное влияние проявляется в том, что каждая вновь введенная числовая область расширяет возможности составления и решения различных уравнений и неравенств.
Линия уравнений и неравенств тесно связана также и с функциональной линией. Одна из важнейших таких связей приложения методов, разрабатываемых в линии уравнений и неравенств, к исследованию функции (например, к заданиям на нахождение области определения некоторых функций, их корней, промежутков знакопостоянства и т.д.). С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние как на содержание линии уравнений и неравенств, так и на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию уравнений, неравенств и их систем.
Можно выделить три типа преобразований неравенств и их систем в школьном курсе маткматики:
1) Преобразование одной из частей неравенства.
2) Согласованное преобразование обеих частей неравенства.
3) Преобразование логической структуры.
Преобразования первого типа используются при упрощении выражения, входящего в запись неравенства. Преобразование одной из частей неравенства используют раньше других преобразований, это происходит еще в начальном курсе математики. Прочность владения навыком преобразований этого типа имеет большое значение для успешности изучения других видов преобразований, поскольку они применяются очень часто.
Преобразования второго типа заключаются в согласованном изменении обеих частей неравенства в результате применения к ним арифметических действий или элементарных функций. Преобразования второго типа сравнительно многочисленны. Они являются ядром материала, изучаемого в линии неравенств.
Приведем примеры преобразований этого типа.
1. Прибавление к обеим частям неравенства одного и того же выражения.
2. Умножение (деление) обеих частей неравенства на выражение, принимающее только положительные значения.
Умножение (деление) обеих частей неравенства на выражение, принимающее только отрицательные значения и изменение знака неравенства на противоположный.
3. Переход от неравенства a>b к неравенству f(a) >f(b), где f-возрастающая функция, или обратный переход.
Переход от неравенства а
Среди преобразований второго типа преобразования неравенств образуют сложную в изучении, обширную систему. Этим в значительной степени объясняется то, что навыки решения неравенств формируются медленнее навыков решения уравнений и не достигают у большинства учащихся такого же уровня.
К третьему типу преобразований относятся преобразования неравенств и их систем, изменяющие логическую структуру заданий. То есть, в каждом задании можно выделить элементарные предикаты — отдельные уравнения или неравенства.
Изучение и применение преобразований оказывают большое влияние на формирование логической культуры учащихся.
В итоге изучения неравенств и их систем, учащиеся должны не только овладеть применением алгоритмических предписаний к решению конкретных заданий, но и научиться использовать логические средства для обоснования решений в случаях, когда это необходимо.
При изучении материала линии неравенств необходимо учитывать два противоположно направленных процесса, сопровождающих обучение. Первый процесс — постепенное возрастание количества классов неравенств и приемов их решения, различных преобразований, применяемых в решении. За счет увеличения объема материал как бы дробится, изучение его новых фрагментов затрудняется наличием уже изученных. Второй процесс — установление разнообразных связей между различными классами неравенств, выявление более общих классов, закрепление обобщенных типов преобразований, упрощение описания и обоснования решений.
Можно выделить четыре основные ступени распределения материала по изучению неравенств и их систем: независимое изучение основных типов неравенств и их систем; постепенное расширение количества изученных классов неравенств и их систем; формирование приемов решения и анализа неравенств и их систем, имеющих широкую область применимости; синтез материала линии уравнений и неравенств.
К основным типам неравенств и систем неравенств, изучаемых в школьном курсе математики, относятся: линейные неравенства с одним неизвестным, квадратные неравенства, простейшие иррациональные и трансцендентные неравенства.
Введение нового основного класса неравенств сопровождается введением новой области числовых выражений, которые входят в стандартную форму записи ответа. Когда материал усвоен, следует предлагать задания, в которых могут возникать нестандартные ответы для данного класса неравенств.
Заметную роль при изучении неравенств играют универсальные средства решения и исследования. Их можно разделить на три группы.
Первая группа включает в себя логические методы обоснования решения. Он заключается в переходе от исходных неравенств к новым. Такие переходы производятся до тех пор, пока не получаются задания, относящиеся к известным классам.
Вторая группа состоит из вычислительных приемов, с помощью которых производятся упрощения одной из частей данного неравенства, проверка найденных корней при помощи подстановки вместо неизвестного, различные промежуточные подсчеты и т.д.
Третья группа — это наглядно-графические приемы. В качестве основы, большинство этих приёмов, используют координатную прямую или координатную плоскость.
Координатная прямая позволяет решать некоторые неравенства и системы неравенств с одним неизвестным, а также неравенства с модулями. Например, прием решения систем линейных неравенств с одним неизвестным состоит в том, что на координатную прямую наносятся множества решений каждого неравенства, а потом выделяется их общая часть.
Использование координатной плоскости позволяет применить графические методы к решению и исследованию неравенств и их систем с одним, а также с двумя неизвестными. Графические приемы эффективно применяются для изображения результатов исследования там, где аналитическая запись громоздка. Характерным примером служит схема, на которой приведены различные случаи решения неравенства ax²+bx+c>0, помещенная на рис.1. В результате определенной тренировки учащиеся привыкают пользоваться такой схемой, а затем ее мысленным образом.
Основные классы неравенств и их систем можно разбить на две группы. Первая группа алгебраические неравенства и системы. Вторая группа — трансцендентные неравенства и системы. В состав этой группы входят показательные, логарифмические и тригонометрические неравенства.
Первая группа получает достаточное развертывание, вплоть до формирования прочных навыков решения, уже в курсе алгебры неполной средней школы. Вторая же группа в этом курсе только начинает изучаться, причем рассматриваются далеко не все классы, а окончательное изучение происходит в курсе алгебры и начал анализа. При изучении второй группы приходится опираться на общие понятия и методы, относящиеся к линии неравенств. Указанное различие, однако, не является единственным, которое противопоставляет эти две группы. Более существенным является учет особенностей, связанных с развертыванием материала каждой из этих групп. По сравнению с первой группой неравенства, входящие в состав второй, в процессе их изучения обнаруживают значительно более сложные связи с другими линиями курса математики — числовой, функциональной, тождественных преобразований и др.
Последовательность изучения различных классов неравенств и систем различна в разных учебниках. Однако количество возможных вариантов для последовательности их введения не слишком велико — классы находятся в определенной логической зависимости друг от друга, которая предписывает порядок их появления в курсе.
Наличие такого разнообразия подходов затрудняет методическое описание, поскольку принятие того или иного пути требует различных приемов изучения материала.
Отметим ряд особенностей в изучении неравенств:
1) Как правило, навыки решения неравенств, за исключением квадратных, формируются на более низком уровне, чем уравнений соответствующих классов. Эта особенность имеет объективную природу: теория неравенств сложнее теории уравнений. Отмеченное обстоятельство отчасти смягчается другими особенностями изучения неравенств, поэтому в целом можно считать, что содержательная сторона неравенств в школьном курсе от этого не страдают.
2) Большинство приемов решения неравенств состоит в переходе от данного неравенства a>b к уравнению а=b и последующем переходе от найденных корней уравнения к множеству решений исходного неравенства. Пожалуй, такого перехода не производится лишь при рассмотрении линейных неравенств, где в нем нет необходимости из-за простоты процесса решения таких неравенств. Эту особенность необходимо постоянно подчеркивать, для того, чтобы переход к уравнениям и обратный переход превратились в основной метод решения неравенств; в старших классах он представлен в виде «метода интервалов».
3) В изучении неравенств большую роль играют наглядно-графические средства.
Указанные особенности могут быть использованы для обоснования расположения материала, относящегося к неравенствам, количества заданий, необходимых для усвоения программного минимума.
Перечисленные особенности показывают, что изучение предшествующего материала сильно влияет на изучение неравенств. Поэтому роль этапа синтеза в изучении неравенств особенно возрастает.
Приведем сравнительный анализ программ календарно-тематического планирования уроков алгебры по теме «Неравенства и системы неравенств» для 8 — 11 классов (Таблица. 1)
Алгебра. Урок 8. Неравенства, системы неравенств.
Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Неравенства” на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
- Неравенства
- Линейные неравенства
Неравенства
Что такое неравенство? Если взять любое уравнение и знак = поменять на любой из знаков неравенства:
≥ больше или равно,
≤ меньше или равно,
то получится неравенство.
Линейные неравенства
Линейные неравенства – это неравенства вида:
a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b
где a и b – любые числа, причем a ≠ 0, x – переменная.
Примеры линейных неравенств:
3 x 5 x − 2 ≥ 0 7 − 5 x 1 x ≤ 0
Решить линейное неравенство – получить выражение вида:
x c x ≤ c x > c x ≥ c
где c – некоторое число.
Последний шаг в решении неравенства – запись ответа. Давайте разбираться, как правильно записывать ответ.
- Если знак неравенства строгий > , , точка на оси будет выколотой (не закрашенной), а скобка, обнимающая точку – круглой .
Смысл выколотой точки в том, что сама точка в ответ не входит.
- Если знак неравенства нестрогий ≥ , ≤ , точка на оси будет жирной (закрашенной), а скобка, обнимающая точку – квадратной .
Смысл жирной точки в том, что сама точка входит в ответ.
- Скобка, которая обнимает знак бесконечности всегда круглая – не можем мы объять необъятное, как бы нам этого ни хотелось.
Таблица числовых промежутков
| Неравенство | Графическое решение | Форма записи ответа |
|---|---|---|
| x c | x ∈ ( − ∞ ; c ) | |
| x ≤ c | x ∈ ( − ∞ ; c ] | |
| x > c | x ∈ ( c ; + ∞ ) | |
| x ≥ c | Алгоритм решения линейного неравенства
a x b a x ≤ b a x > b a x ≥ b
Примеры решения линейных неравенств: №1. Решить неравенство 3 ( 2 − x ) > 18. Решение: Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые. − 3 x > 18 − 6 − 3 x > 12 | ÷ ( − 3 ) Делим обе части неравенства на ( -3 ) – коэффициент, который стоит перед x . Так как − 3 0 , знак неравенства поменяется на противоположный . x 12 − 3 ⇒ x − 4 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков). Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 ) №2. Решить неравество 6 x + 4 ≥ 3 ( x + 1 ) − 14. Решение: Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые. 6 x + 4 ≥ 3 x + 3 − 14 6 x − 3 x ≥ 3 − 14 − 4 3 x ≥ − 15 | ÷ 3 Делим обе части неравенства на ( 3 ) – коэффициент, который стоит перед x . Так как 3 > 0, знак неравенства после деления меняться не будет. x ≥ − 15 3 ⇒ x ≥ − 5 Остается записать ответ (см. таблицу числовых промежутков). Особые случаи (в 14 задании ОГЭ 2019 они не встречались, но знать их полезно). №1. Решить неравенство 6 x − 1 ≤ 2 ( 3 x − 0,5 ). Решение: Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые. 6 x − 6 x ≤ − 1 + 1 Получили верное неравенство, которое не зависит от переменной x . Возникает вопрос, какие значения может принимать переменная x , чтобы неравенство выполнялось? Любые! Какое бы значение мы ни взяли, оно все равно сократится и результат неравенства будет верным. Рассмотрим три варианта записи ответа. Ответ:
№2. Решить неравенство x + 3 ( 2 − 3 x ) > − 4 ( 2 x − 12 ). Решение: Раскрываем скобки, переносим иксы влево, числа вправо, приводим подобные слагаемые. x + 6 − 9 x > − 8 x + 48 − 8 x + 8 x > 48 − 6 Получили неверное равенство, которое не зависит от переменной x . Какие бы значения мы ни подставляли в исходное неравенство, результат окажется одним и тем же – неверное неравенство. Ни при каких значениях x исходное неравенство не станет верным. Данное неравенство не имеет решений. Запишем ответ. Квадратные неравенства Квадратные неравенства – это неравенства вида: a x 2 + b x + c > 0 a x 2 + b x + c ≥ 0 a x 2 + b x + c 0 a x 2 + b x + c ≤ 0 где a, b, c — некоторые числа, причем a ≠ 0, x — переменная. Существует универсальный метод решения неравенств степени выше первой (квадратных, кубических, биквадратных и т.д.) – метод интервалов. Если его один раз как следует осмыслить, то проблем с решением любых неравенств не возникнет. Для того, чтобы применять метод интервалов для решения квадратных неравенств, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения (см. урок 4). Алгоритм решения квадратного неравенства методом интервалов
Если знак неравенства строгий > , , точки будут выколотые. Если знак неравенства нестрогий ≥ , ≤ , точки будут жирные (заштрихованный).
Если получилось положительное число, знак на интервале плюс. На остальных интервалах знаки будут чередоваться. Точки выколотые, если знак неравенства строгий. Точки жирные, если знак неравенства нестрогий. Если получилось отрицательное число, знак на интервале минус. На остальных интервалах знаки будут чередоваться. Точки выколотые, если знак неравенства строгий. Точки жирные, если знак неравенства нестрогий.
Если знак неравенства > или ≥ в ответ выбираем интервалы со знаком +. Если знак неравенства или ≤ в ответ выбираем интервалы со знаком -. Примеры решения квадратных неравенств: №1. Решить неравенство x 2 ≥ x + 12. Решение: Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0. a = 1, b = − 1, c = − 12 D = b 2 − 4 a c = ( − 1 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 12 ) = 1 + 48 = 49 D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 1 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 1 ± 7 2 = [ 1 + 7 2 = 8 2 = 4 1 − 7 2 = − 6 2 = − 3 Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 6 . Подставляем эту точку в исходное выражение: x 2 − x − 1 = 6 2 − 6 − 1 = 29 > 0 Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 6 будет +. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный. В ответ пойдут два интервала. В математике для объединения нескольких интервалов используется знак объединения: ∪ . Точки -3 и 4 будут в квадратных скобках, так как они жирные. Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ] ∪ [ 4 ; + ∞ ) №2. Решить неравенство − 3 x − 2 ≥ x 2 . Решение: Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0. a = − 1, b = − 3, c = − 2 D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 2 ) = 9 − 8 = 1 D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 1 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 1 − 2 = [ 3 + 1 − 2 = 4 − 2 = − 2 3 − 1 − 2 = 2 − 2 = − 1 x 1 = − 2, x 2 = − 1 Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0 . Подставляем эту точку в исходное выражение: − x 2 − 3 x − 2 = − ( 0 ) 2 − 3 ⋅ 0 − 2 = − 2 0 Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет − . Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный. Поскольку знак неравенства ≥ , выбираем в ответ интервал со знаком +. Точки -2 и -1 будут в квадратных скобках, так как они жирные. Ответ: x ∈ [ − 2 ; − 1 ] №3. Решить неравенство 4 x 2 + 3 x . Решение: Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0. a = − 1, b = − 3, c = 4 D = b 2 − 4 a c = ( − 3 ) 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 4 = 9 + 16 = 25 D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 3 ) ± 25 2 ⋅ ( − 1 ) = 3 ± 5 − 2 = [ 3 + 5 − 2 = 8 − 2 = − 4 3 − 5 − 2 = − 2 − 2 = 1 Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2 . Подставляем эту точку в исходное выражение: − x 2 − 3 x + 4 = − ( 2 ) 2 − 3 ⋅ 2 + 4 = − 6 0 Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 , будет -. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный. Поскольку знак неравенства , выбираем в ответ интервалы со знаком − . Точки -4 и 1 будут в круглых скобках, так как они выколотые. Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 4 ) ∪ ( 1 ; + ∞ ) №4. Решить неравенство x 2 − 5 x 6. Решение: Приводим неравенство к виду a x 2 + b x + c ≥ 0, а затем решаем уравнение a x 2 + b x + c = 0. a = 1, b = − 5, c = − 6 D = b 2 − 4 a c = ( − 5 ) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 6 ) = 25 + 25 = 49 D > 0 ⇒ будет два различных действительных корня x 1,2 = − b ± D 2 a = − ( − 5 ) ± 49 2 ⋅ 1 = 5 ± 7 2 = [ 5 + 7 2 = 12 2 = 6 5 − 7 2 = − 2 2 = − 1 Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 10. Подставляем эту точку в исходное выражение: x 2 − 5 x − 6 = 10 2 − 5 ⋅ 10 − 6 = 100 − 50 − 6 = 44 > 0 Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 10 будет +. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный. Поскольку знак неравенства , выбираем в ответ интервал со знаком -. Точки -1 и 6 будут в круглых скобках, так как они выколотые Ответ: x ∈ ( − 1 ; 6 ) №5. Решить неравенство x 2 4. Решение: Переносим 4 в левую часть, раскладываем выражение на множители по ФСУ и находим корни уравнения. ( x − 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ [ x − 2 = 0 x + 2 = 0 [ x = 2 x = − 2 Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства строгий, точки будут выколотыми. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 3 . Подставляем эту точку в исходное выражение: x 2 − 4 = 3 2 − 4 = 9 − 4 = 5 > 0 Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 3 будет +. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный. Поскольку знак неравенства , выбираем в ответ интервал со знаком − . Точки -2 и 2 будут в круглых скобках, так как они выколотые. Ответ: x ∈ ( − 2 ; 2 ) №6. Решить неравенство x 2 + x ≥ 0. Решение: Выносим общий множитель за скобку, находим корни уравнения x 2 + x = 0. x ( x + 1 ) = 0 ⇔ [ x = 0 x + 1 = 0 [ x = 0 x = − 1 Наносим точки на ось x . Так как знак неравенства нестрогий, точки будут жирными. Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 1 . Подставляем эту точку в исходное выражение: x 2 + x = 1 2 + 1 = 2 > 0 Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 1 будет +. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный. Поскольку знак неравенства ≥ , выбираем в ответ интервалы со знаком +. В ответ пойдут два интервала. Точки -1 и 0 будут в квадратных скобках, так как они жирные. Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ 0 ; + ∞ ) Вот мы и познакомились с методом интервалов. Он нам еще пригодится при решении дробно рациональных неравенств, речь о которых пойдёт ниже. Дробно рациональные неравенства Дробно рациональное неравенство – это неравенство, в котором есть дробь, в знаменателе которой стоит переменная, т.е. неравенство одного из следующих видов: f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0 Дробно рациональное неравенство не обязательно сразу выглядит так. Иногда, для приведения его к такому виду, приходится потрудиться (перенести слагаемые в левую часть, привести к общему знаменателю). Примеры дробно рациональных неравенств: x − 1 x + 3 0 3 ( x + 8 ) ≤ 5 x 2 − 1 x > 0 x + 20 x ≥ x + 3 Как же решать эти дробно рациональные неравенства? Да всё при помощи того же всемогущего метода интервалов. Алгоритм решения дробно рациональных неравенств:
f ( x ) g ( x ) 0 f ( x ) g ( x ) ≤ 0 f ( x ) g ( x ) > 0 f ( x ) g ( x ) ≥ 0
В этом пункте алгоритма мы будем делать всё то, что нам запрещали делать все 9 лет обучения в школе – приравнивать знаменатель дроби к нулю. Чтобы как-то оправдать свои буйные действия, полученные точки при нанесении на ось x будем всегда рисовать выколотыми, вне зависимости от того, какой знак неравенства.
Вне зависимости от знака неравенства Если знак неравенства строгий , Если знак неравенства нестрогий ,
Примеры решения дробно рациональных неравенств: №1. Решить неравенство x − 1 x + 3 > 0. Решение: Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
x = 1 — это ноль числителя . Поскольку знак неравенства строгий, ноль числителя при нанесени на ось x будет выколотым. Запомним это.
x = − 3 — это ноль знаменателя . При нанесении на ось x точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства) .
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данном случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.
Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2 . Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) : x − 1 x + 3 = 2 − 1 2 + 3 = 1 5 > 0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2 будет +. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Поскольку знак неравенства > , выбираем в ответ интервалы со знаком +. В ответ пойдут два интервала. Точки -3 и 1 будут в круглых скобках, так как обе они выколотые. Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 1 ; + ∞ ) №2. Решить неравенство 3 ( x + 8 ) ≤ 5. Решение: Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
3 ( x + 8 ) − 5 \ x + 8 ≤ 0 3 x + 8 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0 3 − 5 ( x + 8 ) x + 8 ≤ 0 3 − 5 x − 40 x + 8 ≤ 0 − 5 x − 37 x + 8 ≤ 0
x = − 37 5 = − 37 5 = − 7,4 x = − 7,4 — ноль числителя . Поскольку знак неравенства нестрогий, при нанесении этой точки на ось x точка будет жирной.
x = − 8 — это ноль знаменателя . При нанесении на ось x , точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства нестрогий, значит нули числителя будут жирными. Ну а нули знаменателя выколоты всегда.
Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 0 . Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) : − 5 x − 37 x + 8 = − 5 ⋅ 0 − 37 0 + 8 = − 37 8 0 Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 0 будет -. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Поскольку знак неравенства ≤ , выбираем в ответ интервалы со знаком -. В ответ пойдут два интервала. Точка -8 будет в круглой скобке, так как она выколотая, точка -7,4 будет в квадратных скобках, так как она жирная. Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 8 ) ∪ [ − 7,4 ; + ∞ ) №3. Решить неравенство x 2 − 1 x > 0. Решение: Будем решать данное неравенство в соответствии с алгоритмом.
( x − 1 ) ( x + 1 ) = 0 ⇒ [ x − 1 = 0 x + 1 = 0 [ x = 1 x = − 1 x 1 = 1, x 2 = − 1 — нули числителя . Поскольку знак неравенства строгий, при нанесении этих точек на ось x точки будут выколотыми.
x = 0 — это ноль знаменателя . При нанесении на ось x , точка будет всегда выколотой (вне зависимости от знака неравенства).
При нанесении нулей числителя обращаем внимание на знак неравенства. В данному случае знак неравенства строгий, значит нули числителя будут выколотыми. Ну а нули знаменателя и так выколоты всегда.
Выбираем точку из любого интервала для проверки знака на интервале. Пусть это будет точка 2 . Подставляем эту точку в исходное выражение f ( x ) g ( x ) : x 2 − 1 x = 2 2 − 1 2 = 4 − 1 2 = 3 2 > 0, Это значит, что знак на интервале, в котором лежит точка 2, будет +. Далее расставляем знаки справа налево. При переходе через найденные нулевые точки знак будет меняться на противоположный.
Поскольку знак неравенства > , выбираем в ответ интервалы со знаком +. В ответ пойдут два интервала. Все точки будут в круглых скобках, так как они выколотые. Ответ: x ∈ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 1 ; + ∞ ) Системы неравенств Системой неравенств называют два неравенства с одной неизвестной, которые объединены в общую систему фигурной скобкой. Пример системы неравенств: Алгоритм решения системы неравенств
Примеры решений систем неравенств: №1. Решить систему неравенств < 2 x − 3 ≤ 5 7 − 3 x ≤ 1 Решение: Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
2 x ≤ 8 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется. Точка 4 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.
− 3 x ≤ − 6 | ÷ ( − 3 ), поскольку − 3 0, знак неравенства после деления меняется на противоположный. Графическая интерпретация решения: Точка 2 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.
Пересечение решений наблюдается на отрезке от 2 до 4 . Точки 2 и 4 в ответе буду в квадратных скобках, так как обе они жирные. №2. Решить систему неравенств < 2 x − 1 ≤ 5 1 − 3 x − 2 Решение: Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
2 x ≤ 6 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется. Точка 3 на графике жирная, так как знак неравенства нестрогий.
3 x − 3 | ÷ 3 , поскольку 3 > 0, знак неравенства после деления сохраняется. Графическая интерпретация решения: Точка -1 на графике выколотая, так как знак неравенства строгий.
Пересечение решений наблюдается на самом левом участке. Точка -1 будет в ответе в круглых скобках, так как она выколотая. Ответ: x ∈ ( − ∞ ; − 1 ) №3. Решить систему неравенств < 3 x + 1 ≤ 2 x x − 7 >5 − x Решение: Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
Графическая интерпретация решения:
2 x > 12 | ÷ 2 , поскольку 2 > 0, знак неравенства после деления сохраняется. Графическая интерпретация решения:
Пересечений решений не наблюдается. Значит у данной системы неравенств нет решений. №4. Решить систему неравенств < x + 4 >0 2 x + 3 ≤ x 2 Решение: Будем решать данную систему неравенств в соответствии с алгоритмом.
Графическая интерпретация решения первого неравенства:
Решаем методом интервалов. a = − 1, b = 2, c = 3 D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ 3 = 4 + 12 = 16 D > 0 — два различных действительных корня. x 1,2 = − b ± D 2 a = − 2 ± 16 2 ⋅ ( − 1 ) = − 2 ± 4 − 2 = [ − 2 − 4 − 2 = − 6 − 2 = 3 − 2 + 4 − 2 = 2 − 2 = − 1 Наносим точки на ось x и расставляем знаки на интервалах. Поскольку знак неравенства нестрогий, обе точки будут заштрихованными. Графическая интерпретация решения второго неравенства:
Пересечение решений наблюдается в двух интервалах. Для того, чтобы в ответе объединить два интервала, используется знак объединения ∪ . Точка -4 будет в круглой скобке, так как она выколотая, а точки -1 и 3 в квадратных, так как они жирные. источники: http://infourok.ru/neravenstva-i-sistemi-neravenstv-v-shkolnom-kurse-matematiki-2119024.html http://epmat.ru/modul-algebra/urok-8-neravenstva-sistemy-neravenstv/ |
