Введение новой переменной логарифмических уравнений

Методика решения логарифмических уравнений

Разделы: Математика

Введение

Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем как поддержать у студентов интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. В связи с этим ведутся поиски новых эффективных методов обучения и таких методических приемов, которые активизировали бы мысль студентов, стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний.

Возникновение интереса к математике у значительного числа студентов зависит в большей степени от методики ее преподавания, от того, на сколько умело будет построена учебная работа. Вовремя обращая внимание студентов на то, что математика изучает общие свойства объектов и явлений окружающего мира, имеет дело не с предметами, а с отвлеченными абстрактными понятиями, можно добиться понимания того, что математика не нарушает связи с действительностью, а, напротив, дает возможность изучить ее глубже, сделать обобщенные теоретические выводы, которые широко применяются в практике.

Участвуя в фестивале педагогических идей «Открытый урок» 2004-2005 учебного года, я представила урок-лекцию по теме «Логарифмическая функция» (диплом № 204044). Считаю этот метод наиболее удачным в данном конкретном случае. В результате изучения у студентов имеется подробный конспект и краткая схема по теме, что облегчит им подготовку к следующим урокам. В частности, по теме «Решение логарифмических уравнений», которая полностью опирается на изучение логарифмической функции и ее свойств.

При формировании основополагающих математических понятий важно создать у студентов представление о целесообразности введения каждого из них и возможности их применения. Для этого необходимо, чтобы при формулировке определения некоторого понятия, работе над его логической структурой, рассматривались вопросы об истории возникновения данного понятия. Такой подход поможет студентам осознать, что новое понятие служит обобщением фактов реальной действительности.

История возникновения логарифмов подробно представлена в работе прошлого года.

Учитывая важность преемственности при обучении математике в среднем специальном учебном заведении и в вузе и необходимость соблюдения единых требований к студентам считаю целесообразным следующую методику ознакомления студентов с решением логарифмических уравнений.

Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма (в частности, в основании логарифма), называются логарифмическими. Рассмотрим логарифмические уравнения вида:

(1)

Решение этих уравнений основано на следующей теореме.

Теорема 1. Уравнение равносильно системе

(2)

Для решения уравнения (1) достаточно решить уравнение

(3)

и его решения подставить в систему неравенств

(4),

задающую область определения уравнения (1).

Корнями уравнения (1) будут только те решения уравнения (3), которые удовлетворяют системе (4), т.е. принадлежат области определения уравнения (1).

При решения логарифмических уравнений может произойти расширение области определения (приобретение посторонних корней) или сужение (потеря корней). Поэтому подстановка корней уравнения (3) в систему (4), т.е. проверка решения, обязательна.

Пример 1: Решить уравнение

Оба значения х удовлетворяют условиям системы.

Ответ:

Рассмотрим уравнения вида:

(5)

Их решение основано на следующей теореме

Теорема 2: Уравнение (5) равносильно системе

(6)

Корнями уравнения (5) будут только те корни уравнения , которые

принадлежат области определения, задаваемой условиями .

Логарифмическое уравнение вида (5) можно решить различными способами. Рассмотрим основные из них.

1. ПОТЕНЦИНИРОВАНИЕ (применение свойств логарифма).

Пример 2: Решить уравнение

Решение: В силу теоремы 2 данное уравнение равносильно системе:

Всем условиям системы удовлетворяет лишь один корень. Ответ:

2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛОГАРИФМА .

Пример 3: Найти х, если

Значение х = 3 принадлежит области определения уравнения. Ответ х = 3

3. ПРИВЕДЕНИЕ К КВАДРАТНОМУ УРАВНЕНИЮ.

Пример 4: Решить уравнение

Оба значения х являются корнями уравнения.

Ответ:

Пример 5: Решить уравнение

Решение: Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 и применим свойство «логарифм степени».

Оба корня принадлежат области допустимых значений логарифмической функции.

Ответ: х = 0,1; х = 100

5. ПРИВЕДЕНИЕ К ОДНОМУ ОСНОВАНИЮ.

Пример 6: Решить уравнение

Воспользуемся формулой и перейдем во всех слагаемых к логарифму по основанию 2:

Тогда данное уравнение примет вид:

Так как , то это корень уравнения.

Ответ: х = 16

6. ВВЕДЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Решим способом введения вспомогательной переменной уравнение, заданное в примере 6.

Пусть ; тогда

Учитывая, что

После проверки, проведенной устно, легко убеждаемся в правильности найденного ответа.

Многие уравнения, содержащие переменную не только под знаком логарифма или в показателе степени, удобно решать графически.

Графически решением уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций, заданных в уравнении.

Пример 7: Решить уравнение

Решение: Построим графики функций и y = x

Графики функций не пересекаются, и, значит, уравнение не имеет корней (см. рисунок).

Ответ: корней нет

Пример 8: Найти х, если

Решение: С помощью рассмотренных выше способов корни уравнения найти не удается. Найдем какой-нибудь корень методом подбора.

Пусть, например, х = 10. Проверкой убедимся в том, что 10 — корень уравнения. Действительно,

истинно

Докажем, что других корней данное уравнение не имеет.

Эти корни следует искать во множестве значений х.

Допустимые значения х находятся в промежутке

На этом промежутке функция убывает, а функция возрастает. И, значит, если уравнение имеет решение, то оно единственное.

Способы решения логарифмических уравнений и неравенств

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Республиканская научно — практическая конференция «Шаг в будущее»

Способы решения логарифмических

уравнений и неравенств

работа ученицы 11 класса

средней общеобразовательной школы

руководитель: учитель математики

Основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств

Применение определения логарифма

Применение основного логарифмического тождества

Метод введения новой переменной

Нестандартные методы решения логарифмических уравнений и неравенств

Метод замены множителей

Решение уравнений и неравенств за счет свойств, входящих в них функций

Использование числовых неравенств

Из истории логарифмов

Логарифмические уравнения и неравенства из вариантов ЕГЭ

В ходе решения некоторых математических задач приходится оперировать слогарифмами. Поэтому важно знать правила действий с логарифмами и научиться преобразовывать выражения, их содержащие. Мнепоказалась достаточно интересной тема «Способы решения логарифмических уравнений и неравенств».Данная тема актуальна , так как задания с логарифмами есть в 10 – 11 классах общеобразовательных школ, лицеев, колледжей. Много заданий, содержащих логарифмы, и в тестах ЕГЭ. Они создаются и сегодня – как для использования в учебном процессе, так и для конкурсных экзаменов в вузы, для олимпиад самого высокого уровня.

Решение логарифмических уравнений и неравенств — трудоёмкая задача, которая тожене всегда приводит к желаемому результату. Я постаралась найти все способы решения логарифмических уравнений и неравенств.

Цель : изучить способы решения логарифмических уравнений и неравенств

Познакомиться с историей логарифмов;

Исследовать методы и нестандартные способырешения логарифмических уравнений и неравенств;

Применить их на практике, решая множество примеров;

Рассмотреть логарифмические уравнения и неравенства из вариантов ЕГЭ

В данной работе описывается история возникновения логарифма, приведен теоретический материал, рассмотрены множество примеров. Затрагиваются материалы, не изучаемые в общеобразовательных классах. Изучены много литературы, интернет – ресурсов. Все это позволяет эффективно и успешно подготовиться к сдаче ЕГЭ по математике.

1. Основные методы решения логарифмических уравнений и неравенств

Применение определения логарифма

Напомним, что число x называется логарифмом числа по основанию , если .

Таким образом, по определению .

Поскольку операция возведения в степень определена только при положительном основании степени,то логарифмы определены только при положительном основании. Кроме того, из того, что любая степень единицы равна единице, следует, что основание логарифма должно быть отличным от единицы. Любая степень положительного числа есть положительное число, поэтому логарифмы определены только для положительных чисел. Следовательно, функция определена при x > 0 и a > 0, a 1. Это обстоятельство необходимо учитывать при решении уравнений, содержащих логарифмы, и начинать с определения области допустимых значений, учитывая, что все выражения, от которых берутся логарифмы, должны быть положительны.

Отметим, что из определения логарифма следует, чтодля любого a , при котором определен логарифм.

Напомним основные свойства логарифмов:

Пример 1.1 . Решить уравнение.

с учетом ОДЗ, корень уравнения равен 1

Пример 1.2 . Решить уравнение.

Пример 1.3. Решить уравнение.

не удовлетворяет ОДЗ.

Потенцирование, то есть переход от уравненияк уравнению .

Здесь следует иметь в виду, что эти уравнения, возможно, неравносильны. Второе уравнение может иметь корни, не входящие в ОДЗ первого, для которых

Пример 1.4. Решить уравнение.

lg5+ lg ( x+10 ) =1-lg ( 2x-1 ) +lg(21x-20)

ОДЗ определено условиями условием:

Заменим единицу на lg 10 и используем формулы суммы и разности логарифмов. Получим уравнение

Потенцирование и сокращение на 5 приводит к уравнению

После приведения к общему знаменателю и приведения подобных членов получаем уравнение

Корнями, которого являются числа , оба входящие в ОДЗ

Применение основного логарифмического тождества

При применении основного логарифмического тождествапроисходит переход от уравненияк уравнению Здесь также могут появиться посторонние корни.

Пример 1.5 . Решить уравнение.

Решение: применив основное логарифмическое тождество , и формулу , получим

Потенцирование этого уравнения приводит к однородному показательному уравнению

Разделим обе части уравнения на и обозначим Полученное при этом квадратное уравнение имеет корни . Второй корень посторонний , поэтому – решение однородного показательного уравнения. Так как не входит в ОДЗ данного уравнения, то задача не имеет решений.

Метод введения новой переменной

Распространенным методом решения уравнений и неравенств вообще, и логарифмических в частности, служит замена переменных (метод подстановки). Чаще всего этот метод используется, когда уравнение или неравенство является квадратным относительно функции, содержащей искомую переменную. Ниже рассмотрим некоторые виды замены переменной, позволяющие значительно упростить или ускорить получение решения уравнений содержащих кроме логарифмической другие комбинации функций.

Пример 1.6. Найти произведение корней уравнения.

Произведение корней равно 1

Пример 1.7. Решить уравнение.

Пример 1.8. Решить уравнение.

Переход к новому основанию

Пример 1.9. Решить уравнение.

ОДЗ определяется исходя из того, что основание логарифма должно быть положительным и отличным от единицы. Это дает набор условий:

Поскольку 16=, а 64=, удобно перейти к логарифмам по основанию 2:

Обозначим Получаем уравнение

После очевидных преобразований получаем уравнение

Корни этого уравнения равны . Это дает два уравнения для нахождения x .

Потенцируя, получаем корни , входящие в ОДЗ.

Рассмотренные примеры показывают, что замена переменной эффективный прием решения логарифмических уравнений и неравенств.

Преимущество такого приема наиболее ярко проявляется при решении уравнений и неравенств, представляющих комбинацию логарифмических и показательных функций.

Метод логарифмирования заключается в том, что обе части равенства или неравенства, если они положительные, можно прологарифмировать по одному основанию (в неравенствах, учитывать при этом монотонность функции).

Пример 1.10. Решить уравнение.

ОДЗ определено условием x >0. Учитывая, что lg 0,0001= lg , получаем

Обозначим Получаем уравнение Корни этого уравнения . Это дает два уравнения для x

Потенцируя, получаем четыре уравнения: . Все корни входят в ОДЗ.

Нестандартные способы решения логарифмических уравнений и неравенств

2.1. Метод замены множителей

Данный метод позволяет нам решение неравенства повышенной сложности свести к решению рациональных неравенств.

Любое неравенство можно привести к виду:

Здесь символ « V » означает один из четырех возможных знаков неравенства: — комбинация функций неизвестной переменной (сложная функция). В основе рассматриваемого метода лежат два равносильных утверждения:

Утверждение 1. Функция есть строго возрастающая, тогда и только тогда, когда для любых значений из области определения функции совпадает по знаку с разностью

Утверждение 2 . Функция есть строго убывающая, тогда и только тогда, когда для любых значений из области определения функции разность совпадает по знаку с разностью

Здесь и дальше по тексту t – функция неизвестной переменной.

Равносильность утверждений 1 и 2 следует из того факта, что если есть монотонно возрастающая функция, то есть монотонно убывающая.

Если нам неудобно работать с данным множителем, мы можем заменить его на другой знакосовпадающий с ним в области определения неравенства(имеющий в этой области те же корни). Этот факт и определяет основную идею метода замены множителей.

Показательная и логарифмическая функции и вызываемые ими замены

Показательная функция как известно строго убывает при и строго возрастает при . Поэтому, в частности, для получаем

Для произвольного основания a , пользуясь основным логарифмическим тождеством, можно увидеть что

Функция – строго возрастающая. Поэтому с учетом ОДЗ

При получаем , те есть

Тогда соотношение принимает вид

Таким образом, мы установили, что разность степеней с одним и тем же основанием всегда по знаку совпадает с произведением разности показателей этих степеней на разность основания и единицы.

Для логарифмической функции аналогично устанавливаем, что

Отсюда следует, что

То есть разность логарифмов по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с отношением разности подлогарифмических выражений к разности основания единицы:

Исходя из этого, образуются полезные схемы решения основных показательных и логарифмических неравенств:

Пример 2.1. Решить неравенство

Первый множитель в числителе имеет вид который совпадает с разностью. Поэтому заменяем на ( 2 – x )

Множитель имеет вид где , который знакосовпадает с заменяем на х.

Множитель имеет вид который знакосовпадает с , поэтому заменяем его на

Множитель имеет вид , где поэтому знакосовпадает с . И так как, то указанный множитель заменяем на.

В знаменателе первый множитель имеет вид , который по знаку совпадает с . Поэтому этот множитель знакосовпадает с произведением . И так как знакосовпадает с , то окончательно получаем, что первый множитель можно заменить на .

Второй множитель в знаменателе имеет вид , который совпадает с произведением . Поэтому сначала этот множитель заменяем на

И так как знакосовпадает с , то второй множитель в знаменателе заменяем на .

Последний множитель имеет вид, который знакосовпадает с a . И так как имея видзнакосовпадает с то заменяем последний множитель на

Окончательно после всех замен устанавливаем, что исходное неравенство в своей области определения равносильно неравенству

Очевидно, что область определения левой части неравенства задается системой

То есть область одновременного существования всех множителей представляет с собой два промежутка: В этой области множители знакопостоянны, и поэтому их можно заменить на (– 1) и на 1 соответственно. Знакопостоянны в области определения и квадратные трехчлены . Поэтому заменяя их на (– 1) и на 1, устанавливаем, что:

Пример 2.2. Решить неравенство

Пример 2.3. Решить неравенство.

Пример 2.4. Решить неравенство.

Для решения этого неравенства вместо знаменателя запишем, а вместо числителя

Пример 2.5. Решить неравенство

После замены получим:

В области определения неравенства знаменатель дроби поэтому

Пример 2.6. Решить неравенство.

Замена (12) приводит к системе:

Представленные примеры убедительно демонстрируют возможности метода замены множителей при решении достаточно сложных неравенств.

Для удобства использования целесообразно привести сводку наиболее употребляемых замен:

Решение уравнений и неравенств за счет свойств, входящих в них функций .

Имеется довольно много уравнений и неравенств, которых можно решать за счет свойств, входящих в них функций. Этот метод дает возможность решить уравнение или неравенство проще, чем с помощью стандартных методов. Существует несколько таких нестандартных методов:

Использование областей существования функций

Анализ области определения уравнения или неравенства в некоторых случаях позволяет существенно упростить процедуру нахождения решений.

Так, если множество, на котором определены обе части уравнения, окажется пустым множеством, то ответ в этом случае ясен – уравнение не имеет решений.

Пример2.7. Решить уравнение

Условия для нахождения ОДЗ имеет вид:

Система решений не имеет, т.е. ОДЗ уравнения – пустое множество.

Ответ: нет решений

Если множество состоит из одного или нескольких чисел, то достаточно проверить, является ли каждое из этих чисел решением данного уравнения.

Пример 2.8. Решить уравнение

Обе части уравнения определены только для тех x , которые удовлетворяют системе неравенств

Решением системы являются . Проверка показывает, что удовлетворяет данному уравнению, а .

Пример 2.9. Решить неравенство.

Обе части неравенства определены только для тех х, которые удовлетворяют системе неравенств

Данной системе неравенств удовлетворяют лишь два числа: . Поэтому если данное неравенство имеет решения, то они могут быть только среди этих двух чисел. Проверка показывает, что число не удовлетворяет неравенству, а число ему удовлетворяет. Следовательно, неравенство имеет единственное решение

Знание множества области определения может помочь в нахождении решений даже в случае, когда оно – бесконечное множество чисел.

Пример2.10. Решить неравенство.

Неравенство определено для x >0, при которых. Учитывая, что получим, что множество образует положительные , для которых , то есть для

Проверим, какие из них удовлетворяют данному неравенству. Так как

Использование ограниченности функции

Пусть левая часть уравнения F ( x )=0 есть сумма нескольких функций каждая из которых неотрицательна для х из области ее существования. Тогда уравнение F ( x )=0 равносильно системе уравнений:

Суть рассматривания подхода к решению уравнений и неравенств состоит в следующем:

Пусть множество М есть общая часть (пересечение) областей существования функции и пусть для любого справедливы неравенства , где A – некоторое число. Тогда уравнение или неравенство равносильно системе уравнений:

Пример 2.11. Решить уравнение

Это уравнение равносильно системе уравнений

Первое уравнение системы имеет единственное решение х=3, которое является также решением второго уравнения системы.

Следовательно, система, а значит, и равносильное ей уравнение имеет единственное решение.

Пример 2.12. Решить неравенство

Каждая из функций в левой части неравенства неотрицательна при 𝓍𝜖 поэтому неравенство равносильно системе:

Из корней первого уравнения системы х=3, х=4; только х=4 удовлетворяет второму уравнению, то есть неравенство имеет единственное решение.

Пример 2.13. Решить уравнение.

Уравнение определено для всех действительных значений причем:

Следовательно, данное уравнение равносильно системе:

Решениями второго уравнения системы являются . Из этих чисел только число удовлетворяет первому уравнению системы.

Следовательно, исходное уравнение имеет единственное решение

Пример 2.14. Решить неравенство.

Обе части неравенства определены для всех действительных чисел . Для любого , поэтому Следовательно, неравенство

Единственное решение второго уравнения системы х=-1. Это число удовлетворяет первому уравнению этой системы и поэтому является решением равносильного системе неравенства.

Использование монотонности функций

Напомним, непрерывная функция называется строго монотонной , если при выполняется условие т.е. в случае строгой монотонности неравенство для значений функции так же строгое.

Решение уравнений и неравенства с использованием строгой монотонности основано на утверждениях:

Если – непрерывная, строго монотонная функция на интервале ( a ; b ), то уравнение может иметь не более одного решения на этом интервале.

Если – непрерывны на интервале ( a ; b ), и имеют в нем разный характер строгой монотонности (одна из функций возрастает, другая убывает), то уравнение может иметь не более одного решения на этом интервале.

В случае, когда определить характер или интегралы монотонности функции из общих соображений не удается, то такая задача решается с использованием производных.

Пример 2.15. Решить неравенство.

ОДЗ данного неравенства есть промежуток На ОДЗ функция +является непрерывной и строго возрастающей. Так как f (1)=4, то все значения из множества удовлетворяет исходному неравенству.

Пример 2.16. Решить уравнение.

Перепишем данное уравнение в виде

Рассмотрим непрерывные функции Функцияубывает на промежутке возрастает на промежутке . Функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке . Так как на промежутке функция возрастает, а функция убывает и обе функции непрерывны, то на этом промежутке уравнение может иметь не более одного корня. Легко проверить, что таким корнем является число х=2. Так как на промежутке функция убывает, а функция возрастает и обе функции непрерывны, то на этом промежутке уравнение также может иметь не более одного корня. Легко видеть, что таким числом является число х=0. Итак, данное уравнение имеет два корня .

Использование числовых неравенств

Иногда применение того или иного числового неравенства к одной из частей уравнения (неравенства) позволяет заменить его равносильной ему системой уравнений. Часто применяется неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

(причем равенство здесь возможно лишь при ), и его следствия:

(причем =2 тогда когда, ).

Пример 2.17. Решить уравнение

ОДЗ этого уравнения есть все действительные числа. Переписав левую часть уравнения в виде

замечаем, что она не меньше четырех, как сумма двух взаимно обратных положительных величин, и только при =0 она равна четырем. В то же время правая часть при =0 также равна четырем, а для всех меньше четырех. Следовательно, есть единственное решение уравнения.

Поставленная задача выполнена, так как в ходе выполнения работы были, еще раз, повторены, дополнены основные свойства, выполнено решение большого количества уравнений и неравенств, что окажет реальную помощь при сдаче ЕГЭ. Также при выполнении работы освоены и проиллюстрированы конкретными примерами нестандартные методы решения уравнений и неравенств. Рассмотренные примеры позволяют существенно упростить, а в некоторых случаях, и ускорить процесс нахождения решений.

Выполненная работа может быть использована выпускниками для повторения и систематизации знаний по обозначенной теме, а также учителями математики для факультативного курса.

Из истории логарифмов

Одна из важных идей, лежащих в основе изобретения логарифмов была уже частично известна Архимеду (3 в. до н.э.),были хорошо известны Н.Шюке (1484) и немецкому математику М. Штифелю (1544). Важный шаг в теоретическом изучении логарифмов сделал бельгийский математик Григорий из Сен-Винцента (1647), обнаруживший связь логарифмов и площадей, ограниченных дугой гиперболы, осью абсцисс и соответствующими ординатами. Представление логарифма бесконечным степенным рядом дано Н. Меркатором (1668). В развитии теории логарифма большое значение имели работы Л. Эйлера. Им установлено понятие о логарифмировании как действии, обратном возведению в степень. Изобретение логарифмов в начале XVII в. тесно связано с развитием в XVI в. производства и торговли, астрономии и мореплавания, требовавших усовершенствования методов вычислительной математики. Все чаще требовалось быстро производить громоздкие действия над многозначными числами, все точнее и точнее должны были быть результаты действий. Вот тогда-то и нашла воплощение идея логарифмов, ценность которых состоит в сведении сложных действий III ступени (возведения в степень и извлечения корня) к более простым действиям II ступени (умножению и делению), а последних — к самым простым, к действиям I ступени (сложению и вычитанию). Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобретатели логарифмов не ограничились разработкой новой теории. Было создано практическое средство — таблицы логарифмов, — резко повысившее производительность труда вычислителей. Первые таблицы логарифмов составлены независимо друг от друга шотландским математиком Дж. Непером(1550 — 1617) и швейцарцем И. Бюрги (1552 — 1632). В таблицы Непера, изданные в книгах под названиями «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 г.) и «Устройство удивительной таблицы логарифмов» (1619 г.), вошли значения логарифмов синусов, косинусов и тангенсов для углов от 0 до 90 с шагом в 1 минуту. Бюрги подготовил свои таблицы логарифмов чисел, по-видимому, к 1610 г., но вышли в свет они в 1620 г., уже после издания таблиц Непера, и поэтому остались незамеченными. Уже в 1623 г., т. е. всего через 9 лет после издания первых таблиц, английским математиком Д. Гантером была изобретена первая логарифмическая линейка, ставшая рабочим инструментом для многих поколений. Вплоть до самого последнего времени, когда на наших глазах повсеместное распространение получает электронная вычислительная техника и роль логарифмов как средств вычислений резко снижается.Термин «ЛОГАРИФМ» предложил Дж. Непер; он возник из сочетания греческих слов logos (здесь — отношение) и arithmos (число); в античной математике квадрат, куб и т. д. отношения а/b называются «двойным», «тройным» и т. д. отношением. Таким образом, для Непера слова «lóguarithmós» означали «число (кратность) отношения», то есть логарифм у Дж. Непера — вспомогательное число для измерения отношения двух чисел. Термин «натуральный логарифм» принадлежит Н. Меркатору. Современное определение логарифма впервые дано английским математиком В. Гардинером (1742). Знак логарифма — результат сокращения слова «ЛОГАРИФМ» — встречается в различных видах почти одновременно с появлением первых таблиц. Основные работы Архимеда касались различных практических приложений математики (геометрии), физики, гидростатики и механики. В сочинении «Параболы квадратуры» Архимед обосновал метод расчета площади параболического сегмента, причем сделал это за две тысячи лет до открытия интегрального исчисления. В труде «Об измерении круга» Архимед впервые вычислил число «пи» — отношение длины окружности к диаметру — и доказал, что оно одинаково для любого круга.Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую математику по руководствам, первыми образцами которых явились классические монографии Эйлера. Он был прежде всего математиком, но он знал, что почвой, на которой расцветает математика, является практическая деятельность. Он оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. Трудно даже перечислить все отрасли, в которых трудился великий учёный.

Логарифмические уравнения и неравенства из вариантов ЕГЭ

Рассмотрим несколько примеров, предлагаемых учащимся во время подготовки к ЕГЭ.

В3. Найдите корень уравнения

Решение: ОДЗ: Прологарифмируем число 2 и получим =, используем метод потенцирования, после чего получим 𝓍 – 3 = 9. Отсюда, 𝓍 = 12

C 3. Решите неравенство

Решение: Находим область допустимых значений неравенства.

Воспользуемся условием равносильности для логарифмов с переменным

Используя метод интервалов и учитывая ОДЗ, получаем

С3 Решите систему неравенств:

 1 . Решим первое неравенство системы:

Рассмотрим два случая. Первый случай:

Решение первого неравенства исходной системы:

2.Решим второе неравенство системы: ,

Решение второго неравенства исходной системы:,

3. Решение исходной системы неравенств:

C 3. Решите неравенство

log (4 + 7х — 2х²) ≤ 2

Последняя система легко решается методом интервалов.

PS : В решении использованы и будут в дальнейшем использоваться условия равносильности в ОДЗ для решения логарифмических неравенств с числовым (переменным основанием)- см.С.И.Колесникова. «Математика. Решение сложных задач ЕГЭ»-М.АЙРИС ПРЕСС. 2006.:

Список использованной литературы

Гусев В.А., А.Г. Мордкович. – М.: ООО «Издательство АСТ»: ООО «Издательство Астрель», 2003.- 671, с.: ил.

Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средней школы. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980 г.

БрадисВ.М. Четырехзначные математические таблицы: для средней школы – М.: Просвещение, 1988.-95с.

Лаппо Л.Д. ЕГЭ. Математика. Подготовка к ЕГЭ. М.: Издательство «Экзамен», 2013.-334,[2]с.

ЕГЭ- 2014.Математика: типовые экзаменационные варианты. Под редакцией А.Л. Семенова, И.В. Ященко.- М.: Издательство «Национальное образование», 2012.-80с.

Алгебра

План урока:

Задание. Укажите корень логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

В чуть более сложных случаях под знаком логарифма может стоять не сама переменная х, а выражение с переменной. То есть урав-ние имеет вид

Задание. Найдите решение логарифмического уравнения

Задание. Решите урав-ние

Задание. Решите урав-ние

Получили показательное уравнение. Показатели степеней можно приравнять, если равны их основания:

Уравнения вида log_af(x) = log_ag(x)

Порою логарифм стоит в обеих частях равенства, то есть и слева, и справа от знака «равно». Если основания логарифмов совпадают, то должны совпадать и аргументы логарифмов.

Задание. Решите урав-ние

Задание. Найдите корень урав-ния

Ситуация несколько усложняется в том случае, когда, под знаком логарифма в обоих частях равенства стоят выражения с переменными, то есть оно имеет вид

С одной стороны, очевидно, что должно выполняться равенство f(x) = g(x). Но этого мало, ведь под знаком логарифма не должно стоять отрицательное число. Поэтому после получения корней следует подставить их в урав-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями.

Задание. Решите урав-ние

Получили квадратное уравнение, которое решаем с помощью дискриминанта:

Получили два корня, (– 3) и 4. Однако теперь подставим их в исходное урав-ние и посмотрим, что у нас получится. При х = – 3 имеем:

Это верное равенство, поэтому х = – 3 действительно является корнем урав-ния. Теперь проверяем х = 4:

Хотя выражения и справа, и слева одинаковы, равенство верным считать нельзя, ведь выражение log₃ (– 1) не имеет смысла! Действительно, нельзя вычислять логарифм от отрицательного числа. Поэтому корень х = 4 оказывается посторонним, и у нас остается только один настоящий корень – число (– 3).

Уравнения, требующие предварительных преобразований

Естественно, не всегда в обоих частях логарифмических уравнений и неравенств стоят только логарифмы с совпадающими основаниями. Часто требуется выполнить некоторые предварительные преобразования, чтобы привести урав-ние к виду log_af(x) = log_ag(x).

Задание. Решите урав-ние

с помощью которой любой множитель можно внести под знак логарифма. Сделаем это и в нашем случае:

Теперь в обеих частях равенства не стоит ничего, кроме логарифмов с одинаковыми основаниями. Поэтому мы можем приравнять их аргументы:

Задание. Решите урав-ние

Снова проверяем каждый из корней, подставляя его в исходное ур-ние. Прих = –1 получаем

Задание. Решите урав-ние

Решение. В правой части снова стоит сумма, но на этот раз не логарифмов. Однако число 1 можно представить как log₅ 5. Тогда урав-ние можно преобразовать:

Задание. Решите урав-ние

Решение. Данный пример похож на простейшее логарифмическое уравнение, однако переменная находится в основании логарифма, а не в аргументе. По определению логарифма мы можем записать, что

Первый вариант придется отбросить, так как основание логарифма, (а в данном случае это выражение х – 5) не может быть отрицательным числом. Получается, что

Задание. Решите урав-ние

Решение. Здесь ситуация осложняется тем, что основания логарифмов разные. Поэтому один из них необходимо привести к новому основанию. Попробуем привести log₂₅x 4 к основанию 5, используя известную нам формулу

Мы добились того, что у логарифмов одинаковые основания, а потому мы можем приравнять их аргументы:

Логарифмические уравнения с заменой переменных

Иногда приходится делать некоторые замены, чтобы уравнение приняло более привычный вид.

Задание. Решите уравнение методом замены переменной

Задание. Найдите решение уравнения методом замены переменной

Решение. Для начала напомним, что символ lg означает десятичный логарифм. Отдельно знаменатель дроби в правой части:

Логарифмирование уравнений

Ясно, что если от равных величин взять логарифмы по одному и тому же основанию, то тогда эти логарифмы окажутся также равными. Если подобный прием применяют при решении урав-ния, то, говорят, что производится логарифмирование уравнения. Иногда оно позволяет решить некоторые особо сложные примеры.

Задание. Укажите корни урав-ния

Здесь переменная величина находится одновременно и в основании степени, и в ее показателе. Возьмем от правой и левой части урав-ния логарифм по основанию 5:

Возвращаемся от переменной t к переменной х:

Переход от логарифмических неравенств к нелогарифмическим

Рассмотрим график логарифмической функции у = log_ax при условии а > 1. Она является возрастающей функцией. Если на оси Ох отложить два числа tи s так, чтобы t располагалось левее s (то есть t 1). Но это не совсем так. Дело в том, что надо учесть ещё и тот факт, что под знаком логарифма может стоять исключительно положительное число. Получается, что от простейшего логарифмического неравенства

Естественно, вместо величин t и s могут стоять как числа, так и выражения с переменными.

Задание. Найдите решение логарифмического неравенства

Ответ можно оставить и в такой форме, однако всё же принято записывать его в виде промежутка. Очевидно, что нерав-во 0 log_as:

Но, снова-таки, мы должны учесть, числа t может быть лишь положительным (тогда s, которое больше t, автоматически также окажется положительным). Получается, что при 0 log_a s можно перейти к двойному нерав-ву 0 2 – 45х + 200 имеет решение

Однако в системе (5) есть ещё два неравенства, х > 0 и 45 >x. Их решениями являются промежутки (0; + ∞) и (– ∞; 45). Чтобы определить решение всей системы, отметим на одной прямой решения каждого отдельного нерав-ва и найдем область их пересечения:

Видно, что решениями нерав-ва будут являться промежутки (0; 5) и (40; 45), на которых справедливы все три нерав-ва, входящих в систему (5).