Введение новой переменной при решении логарифмических уравнений

Методика решения логарифмических уравнений

Разделы: Математика

Введение

Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем как поддержать у студентов интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. В связи с этим ведутся поиски новых эффективных методов обучения и таких методических приемов, которые активизировали бы мысль студентов, стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний.

Возникновение интереса к математике у значительного числа студентов зависит в большей степени от методики ее преподавания, от того, на сколько умело будет построена учебная работа. Вовремя обращая внимание студентов на то, что математика изучает общие свойства объектов и явлений окружающего мира, имеет дело не с предметами, а с отвлеченными абстрактными понятиями, можно добиться понимания того, что математика не нарушает связи с действительностью, а, напротив, дает возможность изучить ее глубже, сделать обобщенные теоретические выводы, которые широко применяются в практике.

Участвуя в фестивале педагогических идей «Открытый урок» 2004-2005 учебного года, я представила урок-лекцию по теме «Логарифмическая функция» (диплом № 204044). Считаю этот метод наиболее удачным в данном конкретном случае. В результате изучения у студентов имеется подробный конспект и краткая схема по теме, что облегчит им подготовку к следующим урокам. В частности, по теме «Решение логарифмических уравнений», которая полностью опирается на изучение логарифмической функции и ее свойств.

При формировании основополагающих математических понятий важно создать у студентов представление о целесообразности введения каждого из них и возможности их применения. Для этого необходимо, чтобы при формулировке определения некоторого понятия, работе над его логической структурой, рассматривались вопросы об истории возникновения данного понятия. Такой подход поможет студентам осознать, что новое понятие служит обобщением фактов реальной действительности.

История возникновения логарифмов подробно представлена в работе прошлого года.

Учитывая важность преемственности при обучении математике в среднем специальном учебном заведении и в вузе и необходимость соблюдения единых требований к студентам считаю целесообразным следующую методику ознакомления студентов с решением логарифмических уравнений.

Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма (в частности, в основании логарифма), называются логарифмическими. Рассмотрим логарифмические уравнения вида:

(1)

Решение этих уравнений основано на следующей теореме.

Теорема 1. Уравнение равносильно системе

(2)

Для решения уравнения (1) достаточно решить уравнение

(3)

и его решения подставить в систему неравенств

(4),

задающую область определения уравнения (1).

Корнями уравнения (1) будут только те решения уравнения (3), которые удовлетворяют системе (4), т.е. принадлежат области определения уравнения (1).

При решения логарифмических уравнений может произойти расширение области определения (приобретение посторонних корней) или сужение (потеря корней). Поэтому подстановка корней уравнения (3) в систему (4), т.е. проверка решения, обязательна.

Пример 1: Решить уравнение

Оба значения х удовлетворяют условиям системы.

Ответ:

Рассмотрим уравнения вида:

(5)

Их решение основано на следующей теореме

Теорема 2: Уравнение (5) равносильно системе

(6)

Корнями уравнения (5) будут только те корни уравнения , которые

принадлежат области определения, задаваемой условиями .

Логарифмическое уравнение вида (5) можно решить различными способами. Рассмотрим основные из них.

1. ПОТЕНЦИНИРОВАНИЕ (применение свойств логарифма).

Пример 2: Решить уравнение

Решение: В силу теоремы 2 данное уравнение равносильно системе:

Всем условиям системы удовлетворяет лишь один корень. Ответ:

2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛОГАРИФМА .

Пример 3: Найти х, если

Значение х = 3 принадлежит области определения уравнения. Ответ х = 3

3. ПРИВЕДЕНИЕ К КВАДРАТНОМУ УРАВНЕНИЮ.

Пример 4: Решить уравнение

Оба значения х являются корнями уравнения.

Ответ:

Пример 5: Решить уравнение

Решение: Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 и применим свойство «логарифм степени».

Оба корня принадлежат области допустимых значений логарифмической функции.

Ответ: х = 0,1; х = 100

5. ПРИВЕДЕНИЕ К ОДНОМУ ОСНОВАНИЮ.

Пример 6: Решить уравнение

Воспользуемся формулой и перейдем во всех слагаемых к логарифму по основанию 2:

Тогда данное уравнение примет вид:

Так как , то это корень уравнения.

Ответ: х = 16

6. ВВЕДЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Решим способом введения вспомогательной переменной уравнение, заданное в примере 6.

Пусть ; тогда

Учитывая, что

После проверки, проведенной устно, легко убеждаемся в правильности найденного ответа.

Многие уравнения, содержащие переменную не только под знаком логарифма или в показателе степени, удобно решать графически.

Графически решением уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций, заданных в уравнении.

Пример 7: Решить уравнение

Решение: Построим графики функций и y = x

Графики функций не пересекаются, и, значит, уравнение не имеет корней (см. рисунок).

Ответ: корней нет

Пример 8: Найти х, если

Решение: С помощью рассмотренных выше способов корни уравнения найти не удается. Найдем какой-нибудь корень методом подбора.

Пусть, например, х = 10. Проверкой убедимся в том, что 10 — корень уравнения. Действительно,

истинно

Докажем, что других корней данное уравнение не имеет.

Эти корни следует искать во множестве значений х.

Допустимые значения х находятся в промежутке

На этом промежутке функция убывает, а функция возрастает. И, значит, если уравнение имеет решение, то оно единственное.

Памятка. Методы решения логарифмических уравнений

В памятке рассмотрены основные методы решения логарифмических уравнений

Содержимое разработки

Данная памятка необходима учащимся старших классов для подготовки к ЦТ по математике по теме «Логарифмические уравнения», а также преподавателям для систематизации и обобщению знаний по данной теме.

При решении логарифмических уравнений полезно помнить некоторые свойства логарифмов:

— основное логарифмическое тождество

; ;

; ;

; ;

; ;

— формула перехода к новому основанию

Замечание: десятичный логарифм (по основанию 10)

натуральный логарифм (по основанию )

По определению логарифма

Уравнения вида выражение, содержащее неизвестное число, а число .
Для решения таких уравнений надо:

1) воспользоваться определением логарифма: ;
2) сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).
Если

_{Решить уравнение .}

Уравнения первой степени относительно логарифма, при решении которых используются свойства логарифмов.

Для решения таких уравнений надо:

1) используя свойства логарифмов, преобразовать уравнение;
2) решить полученное уравнение;
3) сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).
).

Введение новой переменной

Уравнение второй и выше степени относительно логарифма.

Для решения таких уравнений надо:

сделать замену переменной;

решить полученное уравнение;

сделать обратную замену;

решить полученное уравнение;

сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им корни (решения).

Произведем обратную замену.

Найденные корни принадлежат ОДЗ.

Логарифмирование обеих частей уравнения

Уравнения, содержащие неизвестное в основании и в показателе степени.

Для решения таких уравнений надо:

решить полученное уравнение;

сделать проверку или найти область допустимых значений для неизвестного числа и отобрать соответствующие им
корни (решения).

Решить уравнение .

Поскольку нет возможности выразить обе части уравнения через степени с одинаковым основанием, то логарифмируем по основанию 10 (в уравнении есть десятичный логарифм, да и для числа 100 это основание удобно). Логарифмы равных положительных чисел (фактически одного и того же числа, выраженного по-разному) равны, поэтому логарифм левой части равен логарифму правой части: lg ,

Легко убедиться, что корни не посторонние.

Приведение к одному основанию

Решите уравнение: .

Решение: ОДЗ: х0. Перейдем к основанию 3.

или ;

Решить графически уравнение:

= 3 – x.

Можно построить графики функций

и

Есть способ, позволяющий не строить графики. Он заключается в следующем: если одна из

функций у = f(x) возрастает, а другая

y = g(x) убывает на промежутке Х, то уравнение f(x)= g(x) имеет не более одного корня на промежутке Х. Если корень имеется, то его можно угадать. В нашем случае функция

возрастает при х0, а функция y = 3 – x убывает при всех значениях х, в том числе и при х0, значит, уравнение имеет не более одного корня. Заметим, что при

х = 2 уравнение обращается в верное равенство.

План-конспект урока по теме:»Замена переменных в логарифмических уравнениях и неравенствах»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Замена переменных в логарифмических уравнениях и неравенствах»

(Алгебра и начала анализа 11 класс)

Развитие и обобщение знаний учащихся по теме «Решение логарифмических уравнений и неравенств;

Подготовка к ЕГЭ.

Рассмотреть применение алгоритма введения новой переменной при решении логарифмических уравнений и неравенств;

Продолжить формирование навыков сознательного выбора способов решения;

Развивать потребность в нахождении рациональных способов решения;

Способствовать развитию умения видеть и применять рассмотренный материал в нестандартных ситуациях.

Способствовать совершенствованию умения контролировать свои действия, вносить коррективы в план выполняемой работы;

Способствовать развитию умения в ходе работы в группе учитывать позиции других учеников, обосновывать свою позицию, а также координировать в ходе сотрудничества разные точки зрения.

Организационный момент 2 мин.

Устная работа 9 мин.

Лекционная часть урока (объяснение учителя алгоритма введения новой переменной при решении логарифмических уравнений и неравенств) 15 мин.

Работа учащихся в группах с разноуровневыми заданиями 15 мин.

Итог урока 3 мин.

Домашнее задание (комментарий учителя) 2 мин.

Оборудование: интерактивная доска.

I . Устная работа учащихся.

Найдите область определения функции

Укажите и исправьте ошибки в решении

функция у = log _1/5 t – убывающая, значит,

х— 1 > 0;

х > 1.

Учитель использует (доску), компьютер и экран (заранее приготовлены слайды).

4. Вопрос: Какие методы использовались при решении логарифмических уравнений и неравенств?

При решении уравнений, содержащих логарифмические функции, иногда применяют различные преобразования, сводящие заданное уравнение к простейшему виду. При этом важно, чтобы ОДЗ не менялось.

Иногда встречаются уравнения, в которых фигурирует функция вида y = f ( x ) g ( x ) , при этом f ( x )>0. Такие уравнения удобно решать почленным логарифмированием.

Решение логарифмических неравенств основано на монотонности логарифмической функции.

II . Решение некоторых логарифмических уравнений и неравенств сводится к алгебраическим с помощью замены переменных.

Рассмотрим этот способ решения. Объясняет учитель.

Пример 1. Решите уравнение

Решение: Воспользуемся методом замены.

Пусть √ lg x = t , ≥0, тогда данное уравнение примет вид

t 2 + 3 t – 4 = 0, откуда t ₁=1, t ₂= — 4 ( посторонний корень).

Пример 2. Решите уравнение

х≠ 2.

Переходя к логарифмам по основанию 2, получим

Это уравнение равносильно совокупности уравнений

Решением первого уравнения является x = 1.

Для решения второго уравнения сделаем замену t = log ₂ х. После преобразования получим:

(25t 2 + 15t – 30)/((2+ t)(4+ t)(t-1))=0,

25t 2 + 15t – 30=0,

t =2,

log ₂ х =2,

Ответ: 1; 4; 1/ 4 5 √8.

Пример 3. Решите неравенство

Решение: перепишем неравенство в виде:

(4 – (а + 1) 2 ) / (1 + а) ≥ 0,

((а + 3)(1 — а)) / (1 + а) ≥ 0,

((а + 3)(а — 1)) / (1 + а) ≤ 0

Воспользуемся методом интервалов, получим

— 1

— 1 ₃ (х-2) ≤ 1.

y = log ₃ t – возрастающая функция,

0 х — 2 ≤ 1 /27

Ответ: ( 2; 55/27]U(7/3;5].

Итак, рассмотрели метод замены переменных, который будем использовать при решении логарифмических уравнений и неравенств.

III . Учащиеся класса разбиваются на группы ( по выбору).

1 группа: занимаются самостоятельно на оценку.

2 группа работает, используя консультации учителя, с последующей проверкой полного решения учениками через экран.

Задания для учащихся 1 группы.

1. Решите уравнение

2. Решите неравенство

—15 log ₂ ‌х

y = log ₂ ‌ b – возрастающая функция,

Задания для учащихся 2 группы

1. Решите уравнение

2. Решите неравенство

log ₅ х =2,

log _0,5 х

х >0,5

IV . 1 группа учащихся сдает тетради на проверку; решения для 1 и 2 группы демонстрируются на экране. Подводится итог урока: рассмотрев алгоритм введения новой переменной для решения логарифмических уравнений и неравенств, ученики должны развивать умение применять изученный материал, как один из рациональных способов решения.

V . Домашнее задание. Запись на экране. Ученик выполняет на выбор любые 4 примера.

1) 3 lg 2 (х — 1) — 10 lg (х — 1) + 3 = 0,

3 t 2 — 10 t + 3=0,

Ответ: 1001; 3√ 10 +1.

2 х+1 >0

-2 не удовлетворяет условию 2 х+1>0

3/2 у² — 5/2у + 1 = 0,

4(t-5/2)(t+1/2)>0

х

y >-1

‌ х 4

1. Пособие для учителя под ред. М.Л. Галицкого.

Углубленное изучение алгебры и математического анализа

2. А.П.Ершова, В.В.Голобородько. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре 10-11 класс

3. П.В. Чулков. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики-Москва: Педагогический университет «Первое сентября» 2012г.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 929 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 586 033 материала в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 15.08.2015
• 3194
• 1

• 15.08.2015
• 506
• 0

• 15.08.2015
• 554
• 0

• 15.08.2015
• 1077
• 1

• 15.08.2015
• 1603
• 7

• 15.08.2015
• 802
• 2

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 15.08.2015 1548
• DOCX 76.5 кбайт
• 20 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Лосенкова Людмила Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 9 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 19093
• Всего материалов: 13

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В Ленобласти школьники 5-11-х классов вернутся к очному обучению с 21 февраля

Время чтения: 1 минута

Приемная кампания в вузах начнется 20 июня

Время чтения: 1 минута

Ленобласть распределит в школы прибывающих из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Получите новую специальность с дополнительной скидкой 10%

Цена от 4900 740 руб. Промокод (до 23 февраля): Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки