Введение новых переменных рациональных уравнений

Урок «Решение рациональных уравнений методом введения новой переменной»

Краткое описание документа:

Уравнение вида ax4 + bx2 + c = 0 называется биквадратным уравнением. Абсолютно любое уравнение такого типа можно решить при помощи ввода новой переменной и последующего решения уравнения относительно нее. После проводят обратную замену и находят искомый x.
Давайте рассмотрим, как применять этот метод при решении рациональных уравнений.

Дано уравнение: x4 – 4×2 + 4 = 0.
Решение
Для решения данного уравнения необходимо ввести новую переменную, которая имеет вид y =x2. Также справедливо следующее равенство: x4 = (x2)2 = y2. Исходное уравнение переписываем следующим образом: y2 – 4y + 4 =0. Это обычное квадратное уравнение, решив которое, вы получите корни y1 = y2 = 2. Поскольку y = x2, то решение этого задания сводится к решению еще одного уравнения, а именно: x2 = 2. Находим ответ: +-√2.

В данной ситуации, метод введения переменной был «адекватен ситуации», то есть было явно видно, какое выражение заменить новой переменной, но так бывает не всегда. В основном, выражение, которое можно заменить, проявляется только в процессе преобразования и упрощения исходного выражения. Разбор подобного примера вы можете посмотреть в видеоуроке.

Свойства функции y = k/x, при k >0
В видеоуроке вы познакомитесь с основными свойствами гиперболы, опираясь на её геометрическую модель.
1. D(f) = (-∞;0) ∪ (0; ∞) – область определения функции состоит из всех чисел, кроме 0.
2. При x > 0 => y > 0, а при x y 0 функция убывает на открытом луче (-∞;0) и на открытом луче (0; ∞).
4. Функция y = k/x не имеет ограничений сверху и снизу.
5. Функция y = k/x не имеет наибольших и наименьших значений.
6. Непрерывна на промежутке(-∞;0) и (0; ∞), претерпевая разрыв при х = 0.

—> —>

АвторДата добавленияРазделПодразделПросмотровНомер материала
Инфоурок
30.07.2014
Алгебра
Видеоурок
3309
527

© 2022 Проект «Уроки математики»

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено!

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако команда проекта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом на электронную почту службы поддержки сайта.

Разработка урока алгебры в 8-м классе по теме «Решение уравнений методом замены переменной»

Разделы: Математика

Класс: 8.

Программа: для общеобразовательных учреждений, п/р А.Г. Мордковича.

Учебник: Алгебра 8, автор А.Г. Мордкович.

Тип урока: ознакомление с новым материалом.

Цели урока: сформировать умение решать уравнения, приводимые к квадратным, путем введения новой переменной, повторить способы решения неполных квадратных уравнений, формулы сокращенного умножения

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, презентация к уроку, индивидуальные доски, маркеры по доске.

Раздаточный материал: карточки с заданием для самостоятельной работы.

Ход урока

1. Оргмомент.

2. Сообщение темы урока и целей урока.

— Мы должны сегодня изучить новый метод решения уравнений. Он широко применяется при решении многих типов уравнений, которые мы будем изучать в старших классах. А сегодня мы рассмотрим, как применить его при решении уравнений, которые можно свести к квадратным. Что это за способ, вы узнаете немного позже, а сейчас проверим домашнее задание.

3. Проверка домашнего задания: (Приложение 1)

4. Подготовка к изучению нового материала (работа устно).

У каждого учащегося есть индивидуальная маркерная доска, на которой он пишет ответ на задание, появляющееся на экране.

— А сейчас вспомним то, что вы изучали раньше. (Приложение 1)

Слайд 4 Решить уравнение:

х 2 = 16

2х 2 = 50

х 2 + 9 = 0

х 3 — 4х = 0

Слайд 5 Разложить на множители:

  1. а 2 — 36 =
  2. 3в 2 — 12 =
  3. х 2 — 10х + 25 =
  4. х 3 — 49х =

Раскрыть скобки:

  1. (х 2 + 3х ) 2 =
  2. (7 — х 2 ) 2 =
  3. — (3х — 5у ) 2 =

5. Изучение нового материала.

— Сейчас попробуйте решить это уравнение:

Слайд 6 (х 2 — 3 ) 2 + 5 (х 2 — 3 ) + 6 = 0 (Проблема)

— Как? Если, как мы обычно делали, раскрывать скобки, то получится уравнение четвертой степени (вспомните устные упражнения ), а их мы решать не умеем. Значит, надо искать другие методы. Посмотрите внимательнее на это уравнение. Ничего необычного не замечаете?

Чаще всего, дети догадываются, что в уравнении встречается повторяющееся выражение.

— Мы всегда старались все упростить. И теперь давайте попробуем это сделать: заменим выражение х 2 — 3 какой-нибудь буквой, например, t , Посмотрите, что получили?

D = b 2 — 4ac = 25 — 24 = 1

— Но мы нашли только t , нам нужно найти х. Что делать дальше ?

— Вы узнали новый метод решения уравнений, который называется » замена переменной». Это и есть тема нашего урока. Запишите. Слайд 8

— Итак, давайте попробуем сформулировать алгоритм решения уравнений методом введения новой переменной.

— Посмотрите решение еще одного примера.

— А сейчас в тетради решим подобные уравнения и поучимся оформлять их решение.

Пример 1 (3х — 4 ) 2 — 5(3х — 4 ) + 6 = 0

Сделаем замену переменной. Пусть 3х — 4 = t, получим

D = b 2 — 4ac = 25 — 24 = 1

Вернемся к замене.

1) 3х — 4 = 3

2) 3х — 4 = 2

Ответ: ; 2.

Пример 2 2(х 2 + 3 ) 2 — 7 (х 2 + 3) 2 = — 3

Сделаем замену переменной. Пусть х 2 + 3 = t, получим

D = b 2 — 4ac = 49 — 24 = 25

Вернемся к замене:

1) х 2 + 3 = 3

х = 0

2) х 2 + 3 =

х 2 =

нет корней

6. Закрепление изученного материала.

— Сейчас решите из учебника № 26.22 б ; 26.23 а.в ; дополнительно 26.25.

7. Подведение итогов и задание на дом.

— Что нового вы узнали на уроке?

— Каков алгоритм решения уравнений методом замены переменной?

— Ваше домашнее задание на экране.

— На следующем уроке вы узнаете, что такое биквадратные уравнения и научитесь их решать. А сейчас проверим. как вы научились решать уравнения методом замены переменной. У каждого есть карточка с заданием. Если у вас останется время, дополнительное задание на экране. Желаю успеха!

8. Самостоятельная работа. (Приложение 2)

Вариант 1 Вариант 2
Решить уравнения:

1) (х — 5 ) 2 — 2 (х — 5 ) = 8

2) (х 2 — 8 ) 2 + 3 (х 2 — 8 ) 2 — 4 = 0

Решить уравнения:

1) (2х + 3 ) 2 — 4 (2х + 3 ) = 5

2) (х 2 + х ) 2 — 11 (х 2 + х ) = 12

Вариант 3 Вариант 4
Решить уравнения:

1) (х 2 — 2х ) 2 + (х 2 — 2х ) = 12

2) (х 2 + 2 ) 2 — 5 (х 2 + 2 ) — 6 = 0

Решить уравнения:

1) (х 2 — х ) 2 — 8 (х 2 — х ) + 12 = 0

2) (х 2 — 1 ) 2 + 2 (х 2 — 1 ) = 15

Дополнительно.

  1. (х 2 + 4х )( х 2 + 4х — 17 ) + 60 = 0
  2. (х 2 — 5х )( х 2 — 5х + 10 ) = — 24

Решение уравнений методом введения новой переменной, теория, практика

В этой статье мы всесторонне разберем метод введения новой переменной. Здесь мы выясним, для решения каких уравнений этот метод предназначен, проникнем в его суть, приведем обоснование метода, доказав соответствующее утверждение, запишем алгоритм решения уравнений методом введения новой переменной и рассмотрим решения характерных примеров.

Когда применяется и в чем суть метода

Метод введения новой переменной предназначен для решения уравнений, имеющих вид f(g(x))=0 или f1(g(x))=f2(g(x)) , где f , f1 и f2 – некоторые функции, а x – неизвестная переменная. Для лучшего восприятия приведем примеры таких уравнений:

  • (x 2 ) 3 −3·x 2 +2=0 , это уравнение имеет вид f(g(x))=0 , здесь g(x)=x 2 , а функция f такая, что f(t)=t 2 −3·t+2 ;
  • , это уравнение вида f1(g(x))=f2(g(x)) , здесь в качестве g(x) можно рассматривать x 2 +2·x , тогда функции f1 и f2 таковы, что и ;
  • , это уравнение, имеющее вид f(g(x))=0 , где , а функция f описывается как .

Понятно, что f(g(x))=0 и f1(g(x))=f2(g(x)) — равносильные уравнения, так как уравнение f1(g(x))=f2(g(x)) приводится к виду f(g(x))=0 при помощи равносильного преобразования, заключающегося в переносе выражения f2(g(x)) из правой части в левую с противоположным знаком. Поэтому дальнейшую теорию мы будем излагать только для уравнений вида f(g(x))=0 , это сделано в угоду краткости без ущерба для общности.

Суть метода введения новой переменной для решения уравнения f(g(x))=0 состоит во введении новой переменной t как g(x)=t с целью нахождения всех корней исходного уравнения через множество решений T уравнения f(t)=0 с новой переменной t и использование равенства g(x)=t . Забегая немного вперед, скажем, что корнями исходного уравнения являются все такие значения x , которые удовлетворяют условию g(x)∈T . В частности,

  • если T – пустое множество, то есть, уравнение f(t)=0 не имеет решений, то условие g(x)∈T определяет пустое множество, а это означает, что исходное уравнение не имеет решений;
  • если T – конечное множество, то есть, уравнение f(t)=0 имеет n решений t1, t2, …, tn , то условие g(x)∈T есть не что иное, как совокупность уравнений g(x)=t1, g(x)=t2, …, g(x)=tn , а это означает, что решением исходного уравнения является решение совокупности уравнений g(x)=t1, g(x)=t2, …, g(x)=tn .

Поясним на примере. Возьмем уже упомянутое выше уравнение (x 2 ) 3 −3·x 2 +2=0 . Введение новой переменной x 2 =t позволяет от исходного уравнения перейти к кубическому уравнению t 3 −3·t+2=0 с новой переменной (заменяем в исходном уравнении x 2 на t ). Множество решений этого уравнения T (оно в нашем случае состоит из двух чисел t1=1 и t2=−2 , то есть, T= <−2, 1>) и использование равенства x 2 =t дают возможность определить все корни исходного уравнения. Они определяются по условию x 2 ∈ <−2, 1>, которое есть не что иное, как совокупность двух уравнений x 2 =−2 , x 2 =1 .

В основе метода введения новой переменной лежит следующее утверждение:

Решение уравнения f(g(x))=0 есть множество значений переменной x , удовлетворяющих условию g(x)∈T , где T – множество всех корней уравнения f(t)=0 .

Приведем обоснование озвученного утверждения в следующем пункте.

Обоснование

Докажем утверждение, лежащее в основе метода введения новой переменной, которое мы привели в предыдущем пункте. Для этого нужно доказать два момента:

  • что любой корень уравнения f(g(x))=0 удовлетворяет условию g(x)∈T , где T – множество всех корней уравнения f(t)=0 ,
  • что любое значение переменной x , удовлетворяющее условию g(x)∈T , где T – множество всех корней уравнения f(t)=0 , является корнем уравнения f(g(x))=0 .

Начнем с первой части. Пусть x0 – корень уравнения f(g(x))=0 . Докажем, что x0 удовлетворяет условию g(x)∈T , где T – множество всех корней уравнения f(t)=0 .

Так как x0 – корень уравнения f(g(x))=0 , то f(g(x0))=0 – верное числовое равенство. Из этого равенства следует, что g(x0) – корень уравнения f(t)=0 . А из этого следует, что g(x0) принадлежит множеству всех корней уравнения f(t)=0 .

Первая часть доказана. Переходим к доказательству второй части утверждения.

Пусть x0 удовлетворяет условию g(x)∈T , где T – множество всех корней уравнения f(t)=0 . Докажем, что x0 является корнем уравнения f(g(x))=0 .

Так как x0 удовлетворяет условию g(x)∈T , то g(x0)∈T , то есть, g(x0) – это один из корней уравнения f(t)=0 . Значит, f(g(x0))=0 – верное числовое равенство. А из этого равенства следует, что x0 – корень уравнения f(g(x))=0 .

Так доказана вторая часть утверждения и все утверждение в целом.

Алгоритм решения уравнений методом введения новой переменной

Приведенная выше информация позволяет записать алгоритм решения уравнения f(g(x))=0 методом введения новой переменной:

  • Вводится новая переменная t как g(x)=t , и осуществляется переход от исходного уравнения f(g(x))=0 со старой переменной x к уравнению f(t)=0 с новой переменной t .
  • Решается полученное уравнение с новой переменной. При этом
    • если оно не имеет корней, то делается вывод об отсутствии корней у исходного уравнения,
    • если уравнение имеет корни, то выполняются следующие шаги алгоритма.
  • Осуществляется возврат к старой переменной. Для этого
    • если решенное на предыдущем шаге уравнение имеет единственный корень, обозначим его t1 , то составляется уравнение g(x)=t1 ,
    • если решенное на предыдущем шаге уравнение имеет два, три или любое другое, но конечное число корней, обозначим их t1, t2, …, tn , то составляется совокупность уравнений g(x)=t1, g(x)=t2, …, g(x)=tn ,
    • если же решенное на предыдущем шаге уравнение имеет бесконечно много корней, и они составляют числовое множество T , то составляется совокупность уравнений, неравенств и двойных неравенств, отвечающая выражению g(x)∈T (например, если решением уравнения с новой переменной t является числовое множество (−∞, t1)∪2>∪[t3, t4) , что то же самое , то соответствующая совокупность будет иметь вид ).
  • Наконец, решается составленное уравнение или совокупность – ее решение есть искомое решение исходного уравнения.

Решение примеров

Обычно первое знакомство с методом введения новой переменной происходит в школе в рамках темы «решение рациональных уравнений». В частности, рациональными являются биквадратные уравнения, стандартным методом решения которых как раз является метод введения новой переменной. Для примера приведем краткое решение методом введения новой переменной биквадратного уравнения x 4 −3·x 2 +5=0 . После представления его в виде (x 2 ) 2 −3·x 2 +5=0 , вводим новую переменную x 2 =t , это позволяет перейти к квадратному уравнению с новой переменной: t 2 −3·t+5=0 . Оно не имеет действительных корней, так как его дискриминант D=(−3) 2 −4·1·5=−11 – отрицательный, откуда заключаем, что исходное уравнение не имеет корней.

Среди рациональных уравнений масса и других типичных представителей, решающихся методом введения новой переменной. Такими, во-первых, являются уравнения, в которых переменная фигурирует только в одинаковых квадратных двучленах, например (x 2 −5·x+4)·(x 2 −5·x+6)=120 , (x 2 +5) 2 −11·(x 2 +5)+28=0 , . Во-вторых, через введение новой переменной решаются уравнения, в которых переменная находится только во взаимно обратных дробях, например, , здесь одна из дробей принимается за t , а другая, очевидно, выражается через t как 1/t , ведь на ОДЗ для данного уравнения . В-третьих, упомянем про возвратные уравнения, которые тоже решаются методом введения новой переменной, а именно . Решения подобных уравнений Вы без труда найдете в статье, упомянутой в первом предложении этого пункта, а также на страницах школьных учебников, например, [1, c. 74-75, 80; 2, с. 150-152; 3, с. 213-216].

Продвигаясь дальше в школьном курсе математики по пути знакомства с уравнениями, нам встречаются иррациональные, тригонометрические, показательные, логарифмические и другие уравнения, и каждый раз мы возвращаемся к методу введения новой переменной для их решения. Для уравнений каждого вида есть свои особенности в плане введения новой переменной. Рекомендуем ознакомиться с ними в следующих материалах:

  • решение иррациональных уравнений методом введения новой переменной,
  • метод введения новой переменной при решении показательных уравнений,
  • решение показательных уравнений методом введения новой переменной,
  • решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной.

В заключение покажем пример решения уравнения, которое после введения новой переменной имеет бесконечное множество решений. Подобные случаи встречаются крайне редко, и тем они еще более интересны. В них главное разобраться с особенностями возврата к старой переменной.

Решите уравнение


источники:

http://urok.1sept.ru/articles/601133

http://www.cleverstudents.ru/equations/method_of_introducing_new_variable.html

© 2023 Русский язык. Привила написания. Наш первый проект тут и тут