Введение система линейных уравнений и матрицы

Исследовательская работа по математике обучающейся 11 класса Петряевой Марии на тему «Матрицы. Решение систем линейных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Научно — практическая конференция «Первые шаги в науку»

Матрицы. Решение систем линейных уравнений

Автор работы: Петряева Мария Савровна

Место выполнения работы: РК, Яшалтинский р-н, с. Яшалта,

МКОУ «Яшалтинская СОШ имени В. А. Панченко»

Руководитель : Точка И. Г. , учитель математики.

Глава 1. Матрицы. Действия с матрицами ____________________________ 5

Основные сведения о матрицах_______________________________ 5

1.2 Операции над матрицами_______________________________ ______ 6

Глава 2. Определители. Метод Крамера. Решение систем линейных уравнений.______________________________________________________ 7

2.1 Определители. Способы вычисления определителей . ___________ ____7

2.2 Решение систем линейных уравнений методом Крамера ._________ ____ 9

Глава 3. Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы._______________________________________10

Глава 4. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.____________11

4.1 Ранг матрицы и его вычисление__________________________________11

4.2 Теорема Кронекера-Капелли.____________________________________12

4.3 Метод Гаусса__________________________________________________13

Глава 5 . Практикум по решению систем линейных уравнений различными способами. Применение матричного исчисления для решения экономических задач ________________________________________________________14

Список литературы ___________________________________________ 29

Приложение _________________________________________________ 30

Обоснование выбора темы: Посмотрев фильм 2017 года «Матрица времени», я поняла, что слышу понятие матрицы довольно часто, но не знаю, что оно означает. И вот у меня возник вопрос: «Что такое матрица?». Поискав нужное определение в интернете, я узнала, что это математическое понятие, и меня это очень порадовало, потому что математика была всегда интересна мне. Изучив это понятие глубже, я увидела некую связь с темой «Массивы» в информатике, а также выяснила, что с помощью матриц можно решать системы линейных уравнений с произвольным количеством переменных и уравнений. В школьном курсе мы изучали способы решения систем уравнений: способ подстановки, сложения, графический. При этом разбирали системы с двумя неизвестными. Теперь в задачнике встретились системы с тремя неизвестными, т.е. они стали сложнее, поэтому возникла проблема, найти для себя способ решения систем удобный, короткий, универсальный. Кроме того, я нашла непосредственно примеры применения линейной алгебры при решении экономических задач.

Поэтому мой интерес к матрицам усилился. Именно поэтому я решила более детально изучить тему, которая затрагивает два моих любимых предмета: математику и информатику.

Цели и задачи исследования:

1. Познакомиться с понятием «Матрица».

2. Изучить возможные операции над матрицами.

3. Научиться решать системы линейных уравнений разными способами.

4 . Рассмотреть применение матриц в жизни человека.

Новизна исследования : написание программы на языке программирования Pascal для решения систем линейных уравнений.

Практическая значимость : полученные мною знания пригодятся мне в дальнейшем изучении математики, так как я планирую продолжить обучение в ВУЗе, где математика будет ведущим предметом. Также подобранный мною материал пригодится ученикам и учителям для расширения математического кругозора школьников.

Гипотеза: возможно ли ученикам средней школы воспринять материал, который студенты изучают на первом курсе университетов.

Актуальность: Сегодня любому квалифицированному экономисту, финансисту, логисту, статисту просто необходима мощная математическая база. Для них, одним из главных предметов в высшей математике является линейная алгебра, а именно матричная алгебра. Именно она является наиболее компактной и удобной для решения многих поставленных задач. Матричные методы все чаще применяются на практике: различные виды статистических расчётов, сокращение документооборота, организация внутри производства хозяйственных расчётов и экономико-математического анализа. Поэтому, выполнив свою работу, я получу полезные знания, которые, уверенна, пригодятся мне в будущем.

Объект исследования : матрицы

Предмет исследования: способы решения систем линейных уравнений.

Методы исследования : анализ, синтез, сравнение.

ГЛАВА 1.МАТРИЦЫ. ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ
1.1. Основные сведения о матрицах .

Матрицей размерности m×n называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы, содержащей m строк и n столбцов:

где a _ij ∈ R (i=1,2. m; j=1,2. n).
Числа ij a называются элементами матрицы . Индекс i– номер строки (он всегда стоит на первом месте), j– номер столбца.
Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, в сокращённой записи:
A= (a _ij ); i =1, 2, …, m; j =1, 2, …, n. Например: A _2×3 =

Если матрица состоит из одной строки, то она называется матрицей–строкой размерности 1×n:

Если матрица состоит из одного столбца, то она называется матрицей–столбцом размерности m×1:

При n=m матрица (1) называется квадратной матрицей n–го порядка.

Элементы матрицы ij a , у которых номер строки равен номеру
столбца (i=j), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы.
Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.
Если у диагональной матрицы n–го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей n–го порядка, она обозначается E.

Матрица любого размера называется нулевой , или нуль–матрицей , если все её элементы равны нулю: O = .

1.2. Операции над матрицами

Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций, причём некоторые из них аналогичны операциям над числами, а некоторые специфические.

1. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на
число λ (l ∈ R) называется матрица B = λ ⋅ A с элементами b _ij = λ ⋅ a _ij для i =1,2, . m,;

j =1,2. n, (размерности матриц А и В одинаковые).
Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно
выносить за знак матрицы.
Матрица (–1) ⋅ А называется противоположной матрице А и обозначается –А.

2. Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинаковой размерности m×n называется матрица С=А+В размерности m×n, элементы которой определяются равенствами c _ij = a _ij + b _ij для всех значений индексов i и j (т.е. две матрицы складываются поэлементно). В
частном случае A = A + 0 , где 0– нулевая матрица.

3. Вычитание матриц. Разностью двух матриц А и В одинаковой размерности m×n называется матрица С=А+(–1) ⋅ В той же размерности, если для всех значений индексов i, j выполнены равенства c _ij = a _ij –b _ij , (т.е. две матрицы вычитаются поэлементно).

4. Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц A ⋅ B называется такая m × k k × n матрица C _m _× _n , каждый элемент которой равен сумме произведений соответствующих элементов i –й строки первой матрицы на элементы j –го столбца второй матрицы: c _ij = a _i ₁ ⋅ b ₁ _j + a _i ₂ ⋅ b ₂ _j +. + a _ik ⋅ b _kj , где i =1, 2, …, m ; j =1, 2, …, n .
5. Транспонирование матриц. Транспонирование – переход от матрицы А к матрице A T , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица A T называется транспонированной относительно матрицы А.

ГЛАВА 2.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. МЕТОД КРАМЕРА. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

2.1 Определители. Способы вычисления определителей.

Определителем матрицы первого порядка А= (а _ij ) называется элемент а ₁₁ .

Обозначают определитель матрицы А как : Δ, det , │А│.

Определителем матрицы второго порядка А=( а _ij ) называется число , которое вычисляется по формуле:

Определителем матрицы третьего порядка А= (а _ij ) называется число, которое вычисляют по формуле:

Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу легко запомнить, пользуясь схемой ,которой называется «правилом треугольников».

Определитель не изменится , если строки определителя заменить столбцами, а столбцы- соответствующими строками.

Общий множитель всех элементов какой-нибудь строки (или столбца) можно выносить за знак определителя

Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами ) равен нулю.

При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет свой знак на противоположный.

Определитель с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

Определителем квадратной матрицы n -го порядка называется число, равное алгебраической сумме n ! Членов, каждый из которых является произведением n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и и каждого столбца.

На практике расчет определителей n -го порядка удобнее вести с помощью разложения по элементам строки или столбца. Для использования этого метода введем определения минора и алгебраического дополнения.

Минором М _ij элемента a _ij матрицы n –порядка называется определитель матрицы ( n -1)-го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием i -строки и j -го столбца. Каждая матрица n -го порядка имеет n 2 миноров ( n -1)-го порядка.

Алгебраическим дополнением А _ij элемента a _ij матрицы n –порядка называется соответствующий этому элементу минор, умноженный на

Теорема разложения. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки или любого столбца на соответствующее им алгебраическое дополнения.

2.2 Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

С помощью определителей очень удобно записывать решение СЛУ. Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Обозначим Δ –определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных, такой определитель называется главным определителем системы.

Если Δǂ 0, система имеет единственное решение, которое определяется по формулам:

т. е. определители Δ ₁ , Δ ₂ , Δ ₃ получаются из определителя Δ путем замены его первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов.

Формулы (*) называются формулами Крамера.

Эти же формулы обобщаются и на систему n линейных уравнений с n неизвестными.

ГЛАВА 3. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.

Пусть матрица А невырожденная матрица, т. е. ее определитель не равен нулю. Матрица А -1 , удовлетворяющая условию: А*А -1 = Е, называется обратной матрицей.

Формула расчета обратной матрицы имеет вид:

С помощью обратной матрицы можно находить решения СЛУ.

Пусть требуется решить систему из n линейных уравнений с n неизвестными:

Введем обозначение матриц:

Найдем решение системы уравнений в матричной форме: используя правило умножения матриц и условие равенства матриц, систему уравнений можно представить в виде:

Таким образом, чтобы найти матрицу неизвестных Х, достаточно найти матрицу А -1 и умножить ее на матрицу свободных членов В.

ГЛАВА4. МЕТОД ГАУССА РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

4.1 Ранг матрицы и его вычисление

В матрице А размера mxn вычеркиванием каких-либо строк или столбцов можно вычленить квадратные матрицы k -го порядка, где k ≤ min ( m ; n ). Определители таких подматриц называют минорами k -го порядка матрицы А.

Рангом матрицы А называется наибольший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Ранг матрицы А обозначают rangA или r ( A ) . Из определения матрицы следует:

А) ранг матрицы А _mxn не превосходит меньшего из ее размеров ;

Б) r ( A )=0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю.

В) для квадратной матрицы n -го порядка r ( A )= n тогда и только тогда, когда матрица А – невырожденная.

В общем случае определение ранга матрицы перебором всех миноров достаточно трудоемко. Для облегчения этой задачи используются элементарные преобразования матрицы:

Вычеркивание нулевой строки (столбца);

Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю;

Изменение порядка строк (столбцов)

Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на число, отличное от нуля;

В результате таких преобразований исходную матрицу можно преобразовать в единичную. Число единиц на главной диагонали равно рангу этой матрицы.

4.2 Теорема Кронекера-Капелли.

Нахождение ранга матрицы позволяет упростить решение СЛУ.

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

C истема уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение. Если система не имеет решений, то она называется несовместной .

Система называется определенной , если она имеет только одно решение, и неопределенной если таких решений несколько.

называются соответственно основной матрицей и расширенной матрицей системы уравнений. Очевидно, что rang A ≤ rangB .

Теорема Кронекера- Капелли: система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы А равен рангу расширенной матрицы В этой системы.

Из теоремы Кронекера- Капелли следует, что :

Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, то система является определенной и имеет единственное решение, т. е.

Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, то система неопределенная и имеет бесконечное множество решений,

т. е. r ( A )= r (В) n .

3. Если r ( A ) r (В) , то система несовместна и решений не имеет.

С помощью элементарных преобразований строк расширенная (и одновременно основная ) матрицы системы могут быть приведены к упрощенной форме.

Для того, чтобы решить систему уравнений , можно придерживаться следующей схемы:

Расширенную матрицу системы приводим к упрощенной форме.

Проверяем совместность, пользуясь теоремой Кронекера –Капелли.

Решаем упрощенную систему уравнений, если она оказалась совместной.

4.3 Метод Гаусса.

Поиск ранга матрицы удобно совместить с решением системы методом Гаусса, который обеспечивает последовательное исключение переменных и заключается в том , что с помощью элементарных преобразований СЛУ приводится к системе ступенчатого вида.

Если система имеет единственное решение, то ступенчатая система уравнений приводится к треугольной, т. е. к такой, в которой последнее уравнение содержит одно неизвестное. Переход системы к равносильной треугольной называют прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из треугольной системы- обратным ходом метода Гаусса.

В случае неопределенной системы, допускающей бесконечное множество решений , треугольной системы не получается.

Когда же система несовместна, то после приведения к ступенчатому виду она содержит хотя бы одно уравнение вида 0=1. Такая система не имеет решений.

ГЛАВА 5. ПРАКТИКУМ ПО НАХОЖДЕНИЮ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РАЗНЫМИ СПОСОБАМИ.

№ 1 Найти матрицу 3·А+4· B -5 ·E , если А=,В=,Е – единичная матрица.

Решение. Имеем 3·А=, 4· B =, 5 ·E =.

Решение. Имеем А=, 2·В Т =.

Произведение матриц 2·В Т и С возможно, т.к. в матрице 2·В Т один столбец, а в матрице С одна строка. Матрица 2·В Т ·С будет иметь размер 3×2.

Решение. Произведение матриц А и В возможно, т.к. в матрице А три столбца, а в матрице В три строки. Матрица A·B будет иметь размер 2×2.

Матрица произведение С 2 возможно, т.к. в матрице число столбцов равно числу строк. Матрица С 2 будет иметь размер 2×2.

Найдем D =( A·B ) T — C 2 =.

№ 4 Найти произведение матриц А·В, В·А, (А+В Т )·В, если А=,В=.

Произведение матриц В и А возможно, т.к. в матрице В два столбца, а в матрице А две строки. Матрица A·B будет иметь размер 2×3.

Произведение матриц А+В Т и В возможно, т.к. в матрице А+В Т три столбца, а в матрице В три строки. Матрица A·B будет иметь размер 2×2.

№ 5 Вычислить определитель .

Решение. Воспользуемся правилом треугольника:

№ 6 Вычислить определитель .

Решение. Вычислим определитель разложением по первой строке:

№ 7 Решить неравенство

Решение. Раскроем определитель:2(3х 2 -7)-12х 2 -14-12х 2 -12х-18

Решим это неравенство методом интервалов, получим х (-1;3).

№ 8 Решить уравнение =0.

Решение. Найдем определитель: (х-2)·(-1)·1+х·2·(-2)+3·2·3-(х·(-1)·3+2·3·1+(х-2)·(-2)·2), раскроем скобки:-х+2-4х+18+3х-6+4х-8=0, приведем подобные: 2х+6=0. Решим уравнение: х=-3.

№ 9 Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера: .

Решение. ==5+21+12+10+6-21=33. Определитель данной системы отличен от нуля, следовательно, она имеет единственное решение. Находим его по формулам Крамера.

№ 10 Найти обратную матрицу для А=.

Решение. Определитель матрицы А=20.

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А:

Матрица , обратная для матрицы А имеет вид:

№ 11 Найти обратную матрицу для А=.

Решение. Определитель матрицы А=10.

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А:

Следовательно, А -1 =.

№ 12 С помощью элементарных преобразований вычислить ранг матрицы А=.

Решение. Прибавим к третьему столбцу второй, затем к первому столбцу прибавим удвоенный третий. Вычтем из второго столбца удвоенный третий

Ответ: ранг исходной матрицы равен 3.

№ 13 Решить систему линейных уравнений методом Гаусса, предварительно исследовав систему с помощью теоремы Кронекера-Капелли..

Решение. Выписав расширенную матрицу этой системы, после элементарных преобразований получим:

откуда rangA = rangB = n =3, следовательно, система совместна и является определенной. Значит система имеет единственное решение. Вернемся к системе уравнений:

Решение этой системы можно получить при использовании обратного хода метода Гаусса. Из последних двух уравнений можно найти y и z : y =11,5; z =10.Подставив их в первое уравнение, найдем х: x =36-10-11,5=14,5.

С помощью программы, которую я создала, найдем решение данной системы линейных уравнений . Вводим коэффициенты перед неизвестными в ABC Pascal

(Приложение таблица 1), получаем серии ответов:

№ 14 Решить систему линейных уравнений методом Гаусса, предварительно исследовав систему с помощью теоремы Кронекера-Капелли.

Решение: Выписав расширенную матрицу этой системы, после элементарных преобразований получим:

-4 7 5 -2 -4 7 5 -2 -4 7 5 -2

5 15 6 -9 0 — 0 0

-1 6 7 1 0 0 0 0 0

Решение этой системы можно получить при использовании обратного хода метода Гаусса. Из последних двух уравнений можно найти х ₂ и х _1.

Подставив нижнее выражение в верхнее, получим решение

Также решить данное уравнение можно с помощью составленной программы (Приложение таблица 1). Вводим коэффициенты перед неизвестными в ABC Pascal и получаем серии ответов:

№ 15 Исследовать систему линейных уравнений:

Приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:

Так как r ( A )= r ( A B )=2  4= n , то система совместна и определенна.

Количество главных переменных равно r (А)=2, количество свободных переменных равно n — r (А)=4-2=2.

№ 16 Исследовать систему линейных уравнений на наличие корней

Приведем к ступенчатому виду расширенную матрицу системы:

Так как r ( A )=2≠3= r ( B ), то система несовместна (не имеет решений). В самом деле, последней строке полученной расширенной матрицы соответствует уравнение 0·х ₁ +0·х ₂ +0х ₃ =-13, не имеющее решение.

5.1ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В ЭКОНОМИКЕ

Рассмотрим задачи, в которых необходимо использовать действия над матрицами или составлять и решать системы линейных алгебраических уравнений.

№ 1 Обувная фабрика специализируется по выпуску изделий трех видов: сапог, кроссовок и ботинок; при этом используется сырье трех типов: S ₁ S ₂ S ₃ / нормы расхода каждого их них на одну пару обуви и объем расхода сырья на 1 день заданы таблицей:

Найти ежедневный объем выпуска каждого вида обуви.

Решение: Пусть ежедневно фабрика выпускает х ₁ пар сапог, х ₂ пар кроссовок и х ₃ пар ботинок. Тогда в соответствии с расходом сырья каждого вида имеем систему:

Решая систему любым способом, находим(200,300,200), т.е. фабрика выпускает 200 пар сапог, 300-кроссовок и 200 пар ботинок.

№ 2 В три магазина завозят два раза в месяц одинаковое количество диванов, кресел, тумбочек. В первый – по 10 диванов, 6 кресел, 8 тумбочек, во второй –по 5 диванов, 7 кресел, 10 тумбочек, в третий – по 2 дивана, 3 кресла и 5 тумбочек. Во всех магазинах устанавливали одинаковые цены и меняли их в связи с завозами. Найдите суммарные месячные выручки, если в магазинах все распродали, и матрица цен выглядит так:

Реферат: Определители матрицы и системы линейных алгебраических уравнений

по дисциплине: «Математика»

«Определители матрицы и системы линейных алгебраических уравнений»

Основные определения

Определение. Матрицей размера m´n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a_ij , где i- номер строки, а j- номер столбца.

А =

Основные действия над матрицами

Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

Определение. Матрица вида:

= E,

называется единичной матрицей.

Определение. Если a_mn = a_nm , то матрица называется симметрической.

Пример. — симметрическая матрица

Определение. Квадратная матрица вида называется диагональной матрицей.

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

c_ij = a_ij ± b_ij

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

матрица алгебраический линейный уравнение

Пример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В.

2А = , 2А + В = .

Операция умножения матриц

Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Свойства операции умножения матриц

1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

Самым характерным примером может служить едини чная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.

Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:

где О – нулевая матрица.

2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:

3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:

4) Если произведение АВ определено, то для любого числа a верно соотношение:

5) Если определено произведение АВ, то определено произведение В Т А Т и выполняется равенство:

(АВ) Т = В Т А Т , где

индексом Т обозначается транспонированная матрица.

6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detA×detB.

Понятие det (определитель, детерминант) будет рассмотрено ниже.

Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

А = ; В = А Т =;

В качестве следствия из предыдущего свойства (5) можно записать, что:

(ABC) T = C T B T A T ,

при условии, что определено произведение матриц АВС.

Пример. Даны матрицы А = , В = , С = и число a = 2. Найти А Т В+aС.

A T = ; A T B = × = = ;

aC = ; А Т В+aС = + = .

Пример. Найти произведение матриц А = и В = .

АВ = × = .

ВА = × = 2×1 + 4×4 + 1×3 = 2 + 16 + 3 = 21.

Пример. Найти произведение матриц А=, В =

АВ = ×= = .

Определители.(детерминанты)

Определение. Определителем квадратной матрицы А= называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:

det A = , где

М_1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.

Предыдущая формула позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:

det A =

Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула:

detA = , i = 1,2,…,n.

Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители.

Определитель единичной матрицы равен 1.

Для указанной матрицы А число М_1к называется дополнительным минором элемента матрицы a_1k . Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.

Определение. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы a_ij равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Свойство1. Важным свойством определителей является следующее соотношение:

Свойство 2. det (AB) = detA×detB

Свойство 3. Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине.

Свойство 4. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель умножается на это число.

Определение: Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.

Свойство 6. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее определитель равен нулю.

Свойство 7. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно именно по нулевой строке или столбцу.)

Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк(столбца) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое-либо число, не равное нулю.

Свойство 9. Если для элементов какой- либо строки или столбца матрицы верно соотношение: d = d₁ ± d₂ , e = e₁ ± e₂ , f = f₁ ± f₂ , то верно:

Пример. Вычислить определитель матрицы А =

Пример:. Даны матрицы А = , В = . Найти det (AB).

1-й способ: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13; det (AB) = det A ×det B = -26.

2- й способ: AB = , det (AB) = 7×18 — 8×19 = 126 – 152 = -26.

Элементарные преобразования матрицы

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования:

1) умножение строки на число, отличное от нуля;

2) прибавление к элемнтам одной строки элементов другой строки;

3) перестановка строк;

4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);

Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями.

С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк (столбцов).

Миноры

Выше было использовано понятие дополнительного минора матрицы. Дадим определение минора матрицы.

Определение. Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено s строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s.

Заметим, что вышесказанное применимо не только к квадратным матрицам, но и к прямоугольным.

Если вычеркнуть из исходной квадратной матрицы А выделенные строки и столбцы, то определитель полученной матрицы будет являться дополнительным минором.

Алгебраические дополнения

Определение. Алгебраическим дополнением минора матрицы называется его дополните льный минор, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы.

В частном случае, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его дополнительный минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число четное и с противоположным знаком, если нечетное.

Теорема Лапласа. Если выбрано s строк матрицы с номерами i₁ , …,i_s , то определитель этой матрицы равен сумме произведений всех миноров, расположенных в выбранных строках на их алгебраические дополнения.

Обратная матрица

Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.

Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:

где Е — единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А -1 .

Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.

Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.

Исходя из определения произведения матриц, можно записать:

AX = E Þ, i=(1,n), j=(1,n),

Таким образом, получаем систему уравнений:

Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.

Пример. Дана матрица А = , найти А -1 .

Таким образом, А -1 =.

Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу:

где М_ji — дополнит ельный минор элемента а_ji матрицы А.

Пример. Дана матрица А = , найти А -1 .

Таким образом, А -1 =.

Cвойства обратных матриц

Укажем следующие свойства обратных матриц:

Пример. Дана матрица А = , найти А 3 .

А 2 = АА = = ; A 3 = = .

Отметим, что матрицы и являются перестановочными.

Пример. Вычислить определитель .

= -1

= -1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10.

= = 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.

= = 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10.

Значение определителя: -10 + 6 – 40 = -44.

Базисный минор матрицы

Ранг матрицы

Как было сказано выш е, минором матрицы порядка s называется определитель матрицы, образованной из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении каких — либо выбранных s строк и s столбцов.

Определение. В матрице порядка m´n минор порядка r называется базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т.е. r совпадает с меньшим из чисел m или n.

Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются базисными.

В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.

Определение. Порядок базисного минора матрицы называется рангом матрицы и обозначается Rg А.

Очень важным свойством элементарны х преобразований матриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.

Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются эквивалентными.

Надо отметить, что равные матрицы и эвивалентные матрицы — понятия совершенно различные.

Теорема. Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно независимых строк.

Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы.

Пример. Определить ранг матрицы.

, RgA = 2.

Пример: Определить ранг матрицы.

, Rg = 2.

Пример. Определить ранг матрицы.

, Þ Rg = 2.

Если с помощью элементарных преобразований не удается найти матрицу, эквивалентную исходной, но меньшего размера, то нахождение ранга матрицы следует начинать с вычисления миноров наивысшего возможного порядка. В вышеприведенном примере – это миноры порядка 3. Если хотя бы один из них не равен нулю, то ранг матрицы равен порядку этого минора.

Теорема о базисном миноре

Теорема. В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.

Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице.

Если А- квадратная матрица и detA = 0, то по крайней мере один из столбцов – линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное утверждение следует из свойства линейной зависимости при определителе равном нулю.

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.

Метод удобен для решения систем невысокого порядка.

Метод основан на применении свойств умножения матриц.

Пусть дана система уравнений:

Составим матрицы: A = ; B = ; X = .

Систему уравнений можно записать: A×X = B.

Сделаем следующее преобразование: A -1 ×A×X = A -1 ×B,

т.к. А -1 ×А = Е, то Е×Х = А -1 ×В

Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.

Пример. Решить систему уравнений:

Х = , B = , A =

Найдем обратную матрицу А -1 .

D = det A = 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.

M₁₁ = = -5; M₂₁ = = 1; M₃₁ = = -1;

M₁₂ = M₂₂ = M₃₂ =

M₁₃ = M₂₃ = M₃₃ =

A -1 = ;

A×A -1 = =E.

Находим матрицу Х.

Х = = А -1 В = ×= .

Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.

Несмотря на ограничения возможности применения данного метода и сложность вычислений при больших значениях коэффициентов, а также систем высокого порядка, метод может быть легко реализован на ЭВМ.

Метод Крамера

Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.

Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0. det A ¹ 0;

Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.

Теорема. (Правило Крамера)

Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

D = det A, а D_i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов b_i .

D_i =

A = ; D₁ = ; D₂ = ; D₃ = ;

Пример. Найти решение системы уравнений:

D = = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

D₁ = = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

D₂ = = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

D₃ = = 5(32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.

Как видно, результат совпадает с результатом, полученным выш е матричным методом.

Если система однородна, т.е. b_i = 0, то при D¹0 система имеет единственное нулевое решение x₁ = x₂ = … = x_n = 0.

При D = 0 система имеет бесконечное множество решений.

Для самостоятельного решения:

; Ответ: x = 0; y = 0; z = -2.

Решение произвольных систем линейных уравнений

Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений.

Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

где a_ij – коэффициенты, а b_i – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

Определение. Для системы линейных уравнений матрица

А = называется матрицей системы, а матрица

А * = называется расширенной матрицей системы

Определение. Если b₁ , b₂ , …,b_m = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение.

Элементарные преобразования систем

К элементарным преобразованиям относятся:

1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.

2)Перестановка уравнений местами.

3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.

Теорема Кронекера – Капелли(условие совместности системы)

(Леопольд Кронекер (1823-1891) немецкий математик)

Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:

x₁ + x₂ + … + x_n

1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А®А * не изменяют ранга.

2) Если RgA = RgA * , то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений:

A =

. RgA = 2.

A* = RgA* = 3.

Пример. Определить сов местность системы линейных уравнений.

А = ; = 2 + 12 = 14 ¹ 0; RgA = 2;

A* =

RgA* = 2.

Система совместна. Решения: x₁ = 1; x₂ =1/2.

Метод Гаусса

(Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик)

В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

Разделим обе части 1–го уравнения на a₁₁ ¹ 0, затем:

1) умножим на а₂₁ и вычтем из второго уравнения

2) умножим на а₃₁ и вычтем из третьего уравнения

, где d_1j = a_1j /a₁₁ , j = 2, 3, …, n+1.

Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы.

А* =

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: x₃ = 2; x₂ = 5; x₁ = 1.

Пример. Решить систему методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы.

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1.

Полученный ответ совпадает с ответом, полученным для данной системы методом Крамера и матричным методом.

Список используемой литературы

1. Курс высшей математики. Краткий конспект лекций. Ó Ларин Александр Александрович 2000 год.

2. Высшая математика для менеджеров Л.Г. Корсакова

Решение систем линейных алгебраических уравнений. 10 класс.

Исследовательская работа по теме «Решение систем линейных алгебраических уравнений». 10 класс. Алгебра и начала анализа.

Скачать:

Название: Определители матрицы и системы линейных алгебраических уравнений
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 19:37:15 08 июня 2011 Похожие работы
Просмотров: 7696 Комментариев: 23 Оценило: 8 человек Средний балл: 4.4 Оценка: 4 Скачать

Вложение	Размер
nou._reshenie_sistem_lineynykh_algebraicheskikh_uravneniy.doc	515 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа № 81

Сормовского района г. Н. Новгорода

Научное общество учащихся

«Решение систем линейных алгебраических уравнений»

Выполнил: Тихонов Никита,

ученик 10 «а» класса

Капочкина Антонина Николаевна,

1.Системы линейных алгебраических уравнений

2. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

2.1. Основные понятия.

2.2 Определители второго порядка и их свойства.

2.3 Определители третьего порядка и их свойства.

2.4. Решение СЛАУ методом Крамера.

3. Матрицы и действия над ними.

3.2. Действия над матрицами.

3.3.Обратная матрица. Матричный метод решения СЛАУ.

4. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

4.1. Совместность СЛАУ.

4.2. Решение СЛАУ методом Гаусса.

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений и их систем. Овладевая способами их решения, учащиеся находят ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т.д.).

Многие теоритические и практические вопросы, приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными.

Способы решения систем линейных уравнений – очень интересная и важная тема в школьном курсе математики, задания из данной темы были представлены на экзамене в 9 классе, а также входят в состав заданий для ЕГЭ.

С решением систем линейных уравнений мы познакомились в седьмом классе. Тогда мы решали системы линейных уравнений двумя способами:

метод подстановки;
метод сложения.

Нужно заметить, что не все методы решения системы линейных алгебраических уравнений рассматриваются в школьном курсе математики. Существуют и другие методы, например, такие, как: метод Крамера , Гаусса (исключение неизвестных), матричный способ.

С этими способами решения систем линейных уравнений мы познакомимся в данной исследовательской работе.

В процессе работы приобретаются навыки, с помощью которых последующее решение систем линейных уравнений станет намного проще и быстрее.

Рассмотреть решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера, методом Гаусса и матричным методом.

Познакомится с понятием определителя и методами его вычисления.
Рассмотреть метод Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений.
Познакомиться с понятием матрицы, элементами матриц, и их элементарными преобразованиями.
Рассмотреть решение систем линейных алгебраических уравнений матричным методом.
Рассмотреть решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

1.Системы линейных алгебраических уравнений

1.1 Основные понятия и определения

Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:

где a ij, b i (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n) – произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

В более краткой записи с помощью знаков суммирования систему можно записать в виде:

Решением системы (1.1) называется такая совокупность n чисел ( x 1 = k 1, x 2 = k 2 ,…, x n = k n ), при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если она не имеет решений.

Совместная система уравнений называется определенной , если она имеет единственное решение, и неопределенной , если она имеет более одного решения. Например, система уравнений – совместная и определенная, так как имеет единственное решение (10;0); система – несовместная; а система уравнений – совместная и неопределенная, так как имеет более одного, а точнее бесконечное множество решений ( x 1 = c, x 2 = 20-c, где с – любое число).

Две системы уравнений называются равносильными , или эквивалентными , если они имеют одно и то же множество решений. С помощью элементарных преобразований системы уравнений получается система (1.1), равносильная данной.

2. Решение систем линейных алгебраических
уравнений методом Крамера.

2.1. Основные понятия.

Определителем n-го порядка называется число  n , составленное по определенному правилу и записываемое в виде квадратной таблицы

Определитель вычисляется согласно указанному ниже правилу, по заданным числам ( ), которые называются элементами определителя (всего их n 2 ). Индекс i указывает номер строки, j – номер столбца квадратной таблицы (1), на пересечении которых находится элемент . Любую строку или столбец этой таблицы будем называть рядом.

Главной диагональю определителя называется совокупность элементов , , …, определителя (1).

Побочной диагональю определителя называется совокупность элементов , , …, определителя (1).

Минором M ij элемента a ij называется определитель (n–1)–го порядка  n–1 , полученный из определителя n–го порядка  n вычеркиванием i-й строки и jстолбца.

Алгебраическое дополнение A ij элемента a ij определяется равенством

A ij = (–1) i+j  M ij (2)

Значение определителя  n находится по следующему правилу.

Для n = 3 в определителе выбирается разрешающая строка или столбец, относительно которой или которого вычисляются определители 2-го порядка

Здесь в качестве разрешающей была выбрана первая строка определителя (4), однако, без ограничения общности, в качестве разрешающей может быть выбрана любая другая строка либо столбец.

В дальнейшем в качестве разрешающей будем рассматривать первую строку определителя.

Величины A 11 , A 12 , A 13 – алгебраические дополнения, а M 11 , M 12 , M 13 – миноры, соответствующие элементам a 11 , a 12 , a 13 определителя  3 . Эти миноры являются определителями второго порядка, получаемыми из определителя  3 вычеркиванием первой строки и соответствующих столбцов. Например, чтобы найти минор M 13 , следует в определителе  3 вычеркнуть первую строку и третий столбец, а из оставшихся элементов составить определитель второго порядка.

Для произвольного n

где A 1k = (–1) 1+k M 1k , а миноры M 1k , являющиеся определителями (n–1)-го порядка, получаются из  n вычеркиванием первой строки и k-го столбца.

2.2 Определители второго порядка и их свойства.

Определителем второго порядка называется число

Приведем основные свойства определителей второго порядка.

Величина определителя не изменится, если его строки поменять местами соответственными столбцами.
При перестановке двух строк (столбцов) абсолютная величина определителя сохранится, а знак изменится на противоположный.
Если определитель содержит две одинаковые строки (два одинаковых столбца), то его величина равна нулю.
Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
Если все элементы какой – либо строки (столбца) определителя равны нулю, то величина определителя равна нулю.
Если к элементам какой – либо строки (столбца) определителя прибавить соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на одно то же число, то величина определителя не изменится.

Пример 1. Вычислить определитель ∆= .

Решение. По формуле (1) находим

Пример 2. Вычислить определитель ∆= .

Решение. Вынесем за знак определителя общие элементов 1-й и 2-й строк, т.е. числа 125 и 4:

Вынося за знак определителя общий множитель элементов 2-ого столбца, равный 4, получим

2.3 Определители третьего порядка и их свойства.

Определителем третьего порядка называется число

Свойства определителей третьего порядка аналогичны свойствам определителей второго порядка.

Пример 1. Вычислить определитель

Решение. По формуле (1) находим

Пример 2. Вычислить определитель

Решение. Вынося за знак определителя общие множители элементов 1, 2 и 3-й строк, получим