Выберите однородные уравнения и решите их

Однородные уравнения и неравенства

Однородные уравнения – это уравнения, в которых все слагаемые имеют одинаковую суммарную степень.

Однородные неравенства – это неравенства, в которых все слагаемые имеют одинаковую суммарную степень.

Пример. Решить уравнение \(\sin⁡x=\sqrt<3>\cos⁡x\).

Перед нами типичное однородно-тригонометрическое уравнение. Надо разделить уравнение на cos⁡x, но делить на число равное нулю нельзя, поэтому проверим, является ли \(\cos⁡x=0\) решением уравнения. Если \(\cos⁡x=0\), то \(\sin⁡x=±1\). Очевидно, что \(±1≠0\).

Теперь с чистой совестью поделим уравнение на \(\cos⁡x\)

Заметьте, что в этом примере перед тем, как делить на \(\cos⁡x\), была сделана проверка — является ли \(\cos⁡x=0\) решением уравнения. Нужно каждый раз проверять, является ли выражение, на которое вы хотите поделить, решением. Иначе вы рискуете потерять корни уравнения .

Пример. Решить уравнение \(7\cdot 9^+5\cdot 6^-48\cdot 4^=0\).

Показатели степеней в уравнении похожи – в каждом есть \(x^2-3x\). Давайте сделаем их одинаковыми.
Представим \(48\cdot 4^\) как \(12\cdot 4^1\cdot 4^\).

Получился классический вид однородного уравнения.
Поделим уравнение на \(4^\) .
Положительное число в степени никогда не будет равно нулю, поэтому проверку можно не делать.

Обратите внимание: \((\frac<3><2>)^2\) \(=\) \(\frac<9><4>\) . С учетом этого сделаем замену.

Положительное число в любой степени всегда больше нуля, поэтому \(t>0\). Отметим это в решении, чтобы не забыть.

Однородные дифференциальные уравнения

Однородное дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой y = xu, или, что тоже самое, , где u новая искомая функция. Действительно, тогда y’ = u + u’x и исходное уравнение может быть переписано в виде u + u’x = f(u), или u’x = f(u)u. Из последнего при f(u)u можем записать .

Пример. Решить уравнение (y 2 — 2xy)dx + x 2 dy = 0. Это однородное уравнение, так как y 2 — 2xy и x 2 однородные функции второй степени. Делаем замену y = xu, dy = udx + xdu. Подставляя в уравнение, имеем

(x 2 u 2 — 2x 2 u)dx + x 2 (udx + xdu) = 0.

Раскрывая скобки, приводя подобные и сокращая на x 2 , получаем уравнение с разделяющимися переменными

(u 2 — u)dx + xdu = 0

Разделяя переменные, получаем или, что то же самое, Интегрируя последнее соотношение, имеем lnu — ln(u-1) = lnx + lnC. Потенцируя (переходя от логарифмической функции к e x ), можем записать или, делая обратную замену , получаем общий интеграл уравнения

Уравнения вида приводятся к однородным переносом начала координат в точку пересечения прямых a₁x + b₁y +c₁ = 0, a₂x + b₂y +c₂ = 0, если определитель отличен от нуля, и заменой a₁x + b₁y = z, если этот определитель равен нулю.

Решить однородные уравнения онлайн можно с помощью специального сервиса Дифференциальные уравнения онлайн.

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Уравнения и неравенства с двумя переменными с параметрами

Даны уравнения. Выберите однородные

$16^x+2\cdot 20^x-3\cdot 25^x=2$

$4+2\cdot 6^x-3\cdot 9^x=0$

Уравнения и неравенства с двумя переменными с параметрами

Распределите их по группам в зависимости от того, являются они однородными или не являются.

Однородные уравнения

Неоднородные уравнения

Уравнения и неравенства с двумя переменными с параметрами

Выделите цветом уравнения, которые могут быть приведены к однородному

1. $3sin^4x+3sin^2xcosx-cos^2x=0$
2. $-3sin4x+\sqrt<3>cos3x=-3$
3. $sin^2x+2sinxcosx-cos^2x=3$
4. $sin^2x+2sin^2xcosx-cos^2x=0$
5. $sin^2x-4sin2x-3cos^2x=-5$
6. $4sin^2x+3sin2xcosx-cos^2x-4=0$
7. $sin^3x+2sinxcos^2x-5cos^2xsinx=5$
8. $sin^2x-4sinxcosx-3cos^2x=3cosx$
9. $sin^4x+12sin^3x-6cos^4x=0$
10. $sin^3x-2sinxcos^2x-cos^3x=sinx$
11. $4sin^4x+2sin^2x-cos^2x=0$
12. $-3sin3x+\sqrt<5>cos3x=2$

Уравнения и неравенства с двумя переменными с параметрами

Решите уравнения. Укажите значение k, при котором его корень становится больше $\frac<\pi><6>$

Уравнения и неравенства с двумя переменными с параметрами

Выберите простейшие тригонометрические уравнения, которые получаются при решении данного уравнения

Уравнения и неравенства с двумя переменными с параметрами

Для каждого тригонометрического уравнения найдите простейшее уравнение.

Уравнения и неравенства с двумя переменными с параметрами

Выберите из списка простейшие тригонометрические уравнения вида $tgx=b$, которые получаются при решении уравнения $2\sin<2x>+3\cos<2x>=1$.

Уравнения и неравенства с двумя переменными с параметрами

Решите уравнение $sinx-ctg\frac<2>=0$

Перетащите в ответ составляющие.

Уравнения и неравенства с двумя переменными с параметрами

Решите уравнения. Определите, сколько корней имеет каждое из этих уравнений на интервале $\left(-\pi; \pi \right)$.

cos 2 x−sinxcosx−1=0

2sin 2 (5x)−3sin5xcos5x+cos 2 (5x)=0

4sin 2 (2x)−2sin4x+6cos 2 (2x)=3

Уравнения и неравенства с двумя переменными с параметрами

Заполните пропуски в решении.

Растащите элементы по пропускам

Домножим второе и третье слагаемые на $4sin^4x+(2sin^2x-cos^2x)(sin^2x+cos^2x)=0$

Разделим уравнение на

После решения вспомогательного уравнения получим: