Выберите уравнение прямой в отрезках

Уравнение прямой в отрезках

Уравнение прямой в отрезках можно представить уравнением:

при этом a и b отрезки, которые отсекает прямая от осей координат при этом a≠0 и b≠0

Это уравнение получают из полного уравнения прямой следующим образом:

Ax + By + C = 0 — полное уравнение прямой, отсюда получаем

Это выражение называется уравнение прямой в отрезках.

Представим графически на координатной оси отрезки a и b

Пример
Найти уравнение прямой 3x+2y+6=0 в отрезках

Решение
Пусть y=0, тогда 3x+6=0 отсюда x=-2 следовательно a=-2
Пусть x=0, тогда 2y+6=0 отсюда y=-3 следовательно b=-3

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 3.8 / 5. Количество оценок: 4

Уравнение прямой в отрезках

В данной статье мы рассмотрим уравнение прямой в отрезках. Представим методы преобразования уравнения прямой в отрезках в уравнение прямой в общем виде и обратно. Рассмотрим численные примеры.

Уравнение прямой в отрезках представляется следующей формулой:

(1)

где a и b числа, отличные от нуля.

Отметим, что числа a и b в уравнении (1) имеют простой геометрический смысл. Они равны длинам отрезков, которые отсекает прямая на осях Ox и Oy (Рис.1).

Действительно. Подставляя в (1) y=0, получим x=a, если же подставить в (1) x=0, то получим y=b. Таким образом прямая L проходит через точки M₁(a, 0) и M₂(0, b).

Пример 1. Составить уравнение прямой, которая пересекает оси Ox и Oy в точках −1 и 3, соответственно.

Решение. Подставляя значения a=−1 и b=3 в (1), получим:

.

.

Приведение уравнения прямой в отрезках к общему виду

Левая часть уравнения (1) приведем к общему знаменателю:

.

Далее, умножив обе части уравнения на ab, получим:

Пример 2. Уравнение прямой в отрезках представлено следующим уравнением:

Перевести уравнение к общему виду.

Решение. Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

.

Умножив обе части уравнения на −20, получим:

Приведение общего уравнения прямой на плоскости к уравнению прямой в отрезках

где A, B, C − отличные от нуля числа.

Сделаем следующие преобразования. Переведем свободный член C на правую часть уравнения и разделим обе части уравнения на −C:

(2)

Уравнение (2) можно переписать в следующем виде:

(3)

Сделаем следующие обозначения:

Тогда получим уравнение прямой в отрезках (1).

Пример 3. Привести общее уравнение прямой

к уравнению прямой в отрезках.

Решение. Так как все коэффициенты уравнения отличны от нуля, можно построить уравнение прямой в отрезках. Воспользуемся формулой (3). Имеем: A=5, B=8, C=−3. Подставив эти значения в формулу (3), получим:

Уравнение прямой в отрезках на плоскости

Уравнением прямой в отрезках называется уравнение вида

,

где из общего уравнения прямой, из общего уравнения прямой.

Числа a и b имеют весьма простой геометрический смысл. Это величины отрезков, которые прямая отсекает на координатных осях, считая каждый от начала координат (рисунок внизу).

Как получить уравнение прямой в отрезках из общего уравнения прямой? Пусть дано общее уравнение прямой на плоскости

при условии, что ни один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

Перенесём свободный член C в правую часть уравнения и получим:

.

Поделим обе части уравнения на -C и имеем:

.

,

,

то есть уравнение прямой в отрезках.

Пример 1. Прямая на плоскости задана общим уравнением . Составить для этой прямой уравнение в отрезках и построить прямую.

.

Следовательно, для данной прямой уравнение в отрезках будет следующим:

.

Мы получим эту прямую на чертеже, если отложим на координатных осях Ox и Oy отрезки, величины которых соответственно равны и и соединим их концы.

Пример 2. Прямая на плоскости задана общим уравнением . Составить для этой прямой уравнение в отрезках и построить прямую.

.

Следовательно, для данной прямой уравнение в отрезках будет следующим:

.

Мы получим эту прямую на чертеже, если отложим на координатных осях Ox и Oy отрезки, величины которых соответственно равны и и соединим их концы.

Самые наблюдательные, возможно, уже начали устанавливать закономерность, по которой отрезки имеют положительный либо отрицательный знак в зависимости от знаков коэффициентов.

Пример 3. Прямая на плоскости задана уравнением в отрезках . Установить, принадлежит ли этой прямой точка .

Решение. Как и в другие виды уравнения прямой, в уравнение прямой в отрезках подставляем координаты точки. Получаем верное равенство:

.

Следовательно, заданная точка принадлежит прямой.