Выборочное уравнение регрессии это модель

Выборочное уравнение регрессии

Две случайные величины могут быть связаны либо функциональной зависимостью, либо статистической зависимостью, либо быть независимыми. Строгая функциональная зависимость реализуется редко, так как обе или одна из двух величин подвержены еще воздействию случайных факторов. Причем среди этих факторов могут быть и общие для обеих величин, т.е. воздействующие на обе случайные величины. В этих случаях возникает статистическая зависимость.

Статистическойназывается зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение распределения другой. В частности, изменение одной из величин вызывает изменение среднего значения другой. В этом случае статистическая зависимость называется корреляционной.Например, связь между количеством удобрений и урожаем, между вложенными средствами и прибылью.

Среднее арифметическое наблюдавшихся значений случайной величины Y , соответствующих значению X=x, называется условным средним _xи является точечной оценкой математического ожидания. Аналогично определяется условное среднее _y .

Условное математическое ожидание M ( Y | x )является функцией отx,следовательно, его оценка, т.е. условное среднее _x,также функция от x:

_x = f*(x).

Это уравнение называется выборочным уравнением регрессии Y на X. Функцию f*(x)называют выборочной регрессией, а ее график – выборочной линией регрессии Y на X . Аналогично уравнение

_y = φ * (y),

функцию φ * (y) и ее график называют выборочным уравнением регрессии, выборочной регрессией и выборочной линией регрессии X на Y .

Отыскание параметров функций f*(x)и φ * (y), если вид их известен, оценка тесноты связи между величинами X и Y – задачи корреляционного анализа.Задачей регрессионного анализа есть оценка параметров функции регрессии β_i и остаточной дисперсии σ_ост 2 .

Остаточная дисперсия – та часть рассеивания Y , которую нельзя объяснить действием X. σ_ост 2 может служить для оценки точности подбора функции регрессии и полноты набора признаков, включенных в анализ. Вид зависимости g(x) выбирают, исходя из характера поля корреляции и природы процесса.

Оценкой коэффициента линейной регрессии β является выборочный коэффициент регрессии Y на X r_yx. Значения параметра r_yxи параметра b уравнения прямой линии регрессии

Y = r_yx x + b

подбираются таким образом, чтобы точки (x₁,y₁), (x₂,y₂),…,(x_n,y_n), построенные по данным наблюдений, на плоскости xOy лежали как можно ближе к прямой линии регрессии. Это равносильно требованию, чтобы сумма квадратов отклонений функции Y(x_i) от y_i была минимальной. В этом суть МНК.

Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X может быть записано в таком виде:

_x – = r_в s_y/s_x (x – ) ,

где s_x и s_y – выборочные средние квадратические отклонения X и Y , а

r_в = –

выборочный коэффициент корреляции, вычисленный по сгруппированным данным. Здесь n_xy – частота пары вариант (x,y). Аналогично находят выборочное уравнение прямой линии регрессии X на Y :

_y – = r_в s_x/s_y (y – )

Для того, чтобы установить, соответствует ли найденная по выборке математическая модель зависимости между Y и X статистическим данным, следует оценить значимость коэффициентов регрессии и значимость уравнения регрессии.

Проверить значимость коэффициентов регрессии означает установить, достаточна ли величина оценки для обоснованного вывода о том, что коэффициент регрессии отличен от нуля. Выдвигают гипотезу H₀ : коэффициент регрессии равен нулю β =0. Проверку гипотезы H₀ осуществляют с помощью распределенной по закону Стьюдента статистики

t = │b / s_b│

где b – оценка коэффициента регрессии, а s_b – оценка его среднего квадратического отклонения, другими словами стандартная ошибка оценки. Если │t │≥ t_кр ( α, k ), нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента регрессии отвергают, и коэффициент считают значимым. При │t │

b – t(α,k)s_b 2 – коэффициент детерминации, n – объем выборки, k – количество факторных признаков.

Линейная парная регрессия

1. Линейная парная регрессия

Корреляционная зависимость может быть представлена в виде

В регрессионном анализе рассматривается односторонняя зависимость случайной переменной Y от одной (или нескольких) неслучайной независимой переменной Х . Такая зависимость Y от X (иногда ее называют регрессионной ) может быть также представлена в виде модельного уравнения регрессии Y от X (1). При этом зависимую переменную Y называют также функцией отклика (объясняемой, выходной, результирующей, эндогенной переменной, результативным признаком), а независимую переменную Х – объясняющей (входной, предсказывающей, предикторной, экзогенной переменной, фактором, регрессором, факторным признаком).

Для точного описания уравнения регрессии необходимо знать условный закон распределения зависимой переменной Y при условии, что переменная Х примет значение х , т.е. Х = х . В статистической практике такую информацию получить, как правило, не удается, так как обычно исследователь располагает лишь выборкой пар значений (x_i , y_i ) ограниченного объема n . В этом случае речь может идти об оценке (приближенном выражении, аппроксимации) по выборке функции регрессии. Такой оценкой является выборочная линия (кривая) регрессии :

= ( x , b ₀ , b ₁ , …, b_p ) (2)

где — условная (групповая) средняя переменной Y при фиксированном значении переменной X = x ; b ₀ , b ₁ , …, b_p – параметры кривой.

Уравнение (2) называется выборочным уравнением регрессии .

В дальнейшем рассмотрим линейную модель и представим ее в виде

= b ₀ + b ₁ x . (3)

Для решения поставленной задачи определим формулы расчета неизвестных параметров уравнения линейной регрессии (b ₀ , b ₁ ).

Согласно методу наименьших квадратов (МНК) неизвестные параметры b ₀ и b ₁ выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений эмпирических значенийy_i от значений , найденных по уравнению регрессии (3), была минимальной:

. (4)

На основании необходимого условия экстремума функции двух переменных S = S (b ₀ , b ₁ ) (4) приравняем к нулю ее частные производные, т.е.

откуда после преобразований получим систему нормальных уравнений для определения параметров линейной регрессии:

(5)

Теперь, разделив обе части уравнений (5) на n , получим систему нормальных уравнений в следующем виде:

(6)

где соответствующие средние определяются по формулам:

; (7) ; (9)

; (8) . (10)

Решая систему (6), найдем

, (11)

где — выборочная дисперсия переменной Х :

, (12)

— выборочный корреляционный момент или выборочная ковариация:

. (13)

Коэффициент b ₁ называется выборочным коэффициентом регрессии Y по X .

Коэффициент регрессии Y по X показывает, на сколько единиц в среднем изменяется переменная Y при увеличении переменной X на одну единицу.

Отметим, что из уравнения регрессии следует, что линия регрессии проходит через точку , т.е. = b ₀ + b _{1 .}

На первый взгляд, подходящим измерителем тесноты связи Y от Х является коэффициент регрессии b ₁ . Однако b ₁ зависит от единиц измерения переменных. Очевидно, что для «исправления» b ₁ как показателя тесноты связи нужна такая стандартная система единиц измерения, в которой данные по различным характеристикам оказались бы сравнимы между собой. Если представить уравнение в эквивалентном виде:

. (14)

В этой системе величина называется выборочный коэффициент корреляции и является показателем тесноты связи.

Если r > 0 (b ₁ > 0), то корреляционная связь между переменными называется прямой, если r 2 . (20)

4. Возмущения e_i и e_j не коррелированны:

5. Возмущения e_i есть нормально распределенная случайная величина.

Оценкой модели (18) по выборке является уравнение регрессии
= b ₀ + b ₁ x . Параметры этого уравнения b ₀ и b ₁ определяются на основе МНК. Воздействие неучтенных случайных факторов и ошибок наблюдений в модели (18) определяется с помощью дисперсии возмущений (ошибок) или остаточной дисперсии (см. табл. 1).

Теорема Гаусса — Маркова . Если регрессионная модель
y_i = b₀ + b₁ x_i + e_i удовлетворяет предпосылкам 1-5, то оценкиb ₀ , b ₁ имеют наименьшую дисперсию в классе всех линейных несмещенных оценок.

Таким образом, оценки b ₀ и b ₁ в определенном смысле являются наиболее эффективными линейными оценками параметров b₀ и b₁ .

Проверить значимость уравнения регрессии – значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной. Для проверки значимости выдвигают нулевую гипотезу о надежности параметров. Вспомним основные понятия и определения необходимые для анализа значимости параметров регрессии.

Статистическая гипотеза – это предположение о свойствах случайных величин или событий, которое мы хотим проверить по имеющимся данным.

Нулевая гипотеза Н ₀ – это основное проверяемое предположение, которое обычно формулируется как отсутствие различий, отсутствие влияние фактора, отсутствие эффекта, равенство нулю значений выборочных характеристик и т.п.

Другое проверяемое предположение (не всегда строго противоположное или обратное первому) называется конкурирующей или альтернативной гипотезой.

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость проверить ее. Так как проверку производят статистическими методами, то данная проверка называется статистической.

При проверке статистических гипотез возможны ошибки (ошибочные суждения) двух видов:

— можно отвергнуть нулевую гипотезу, когда она на самом деле верна (так называемая ошибка первого рода );

— можно принять нулевую гипотезу, когда она на самом деле не верна (так называемая ошибка второго рода ).

Допустимая вероятность ошибки первого рода может быть равна 5% или 1% (0,05 или 0,01).

Уровень значимости – это вероятность ошибки первого рода при принятии решения (вероятность ошибочного отклонения нулевой гипотезы).

Альтернативные гипотезы принимаются тогда и только тогда, когда опровергается нулевая гипотеза. Это бывает в случаях, когда различия в средних арифметических экспериментальной и контрольной групп настолько значимы (статистически достоверны), что риск ошибки отвергнуть нулевую гипотезу и принять альтернативную не превышает одного из трех принятых уровней значимости статистического вывода:

1-йуровень — 5% (a = 0,05), где допускается риск ошибки в выводе в пяти случаях из ста теоретически возможных таких же экспериментов при строго случайном отборе для каждого эксперимента;

2-й уровень — 1% (a = 0,01), т. е. соответственно допускается риск ошибиться только в одном случае из ста;

3-й уровень — 0,1% (a = 0,01), т. е. допускается риск ошибиться только в одном случае из тысячи.

Последний уровень значимости предъявляет очень высокие требования к обоснованию достоверности результатов эксперимента и потому редко используется. В эконометрических исследованиях, не нуждающихся в очень высоком уровне достоверности, представляется разумным принять 5%-й уровень значимости.

Статистика критерия — некоторая функция от исходных данных, по значению которой проверяется нулевая гипотеза. Чаще всего статистика критерия является числовой функцией.

Всякое правило, на основе которого отклоняется или принимается нулевая гипотеза, называется критерием проверки данной гипотезы. Статистический критерий – это случайная величина, которая служит для проверки статистических гипотез.

Критическая область – совокупность значений критерия, при котором нулевую гипотезу отвергают. Область принятия нулевой гипотезы (область допустимых значений) – совокупность значений критерия, при котором нулевую гипотезу принимают. При справедливости нулевой гипотезы вероятность того, что статистика критерия попадает в область принятия нулевой гипотезы должна быть равна 1.

Процедура проверки нулевой гипотезы в общем случае включает следующие этапы:

— задается допустимая вероятность ошибки первого рода (a = 0,05);

— выбирается статистика критерия;

— ищется область допустимых значений;

— по исходным данным вычисляется значение статистики;

— если статистика критерияпринадлежит области принятия нулевой гипотезы, то нулевая гипотеза принимается (корректнее говоря, делается заключение, что исходные данные не противоречат нулевой гипотезе), а в противном случае нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза. Это основной принцип проверки всех статистических гипотез.

В современных эконометрических программах (например, EViews) используются не стандартные уровни значимости, а уровни, подсчитываемые непосредственно в процессе работы с соответствующим статистическим методом. Эти уровни, обозначенные обычно Prob , могут иметь различное числовое выражение в интервале от 0 до 1, например, 0,7, 0,23 или 0,012. Понятно, что в первых двух случаях, полученные уровни значимости слишком велики и говорить о том, что результат значим нельзя. В последнем случае результаты значимы на уровне двенадцати тысячных.

Если вычисленное значение Р rob превосходит выбранный уровень Р rob _кр , то принимается нулевая гипотеза, а в противном случае — альтернативная гипотеза. Чем меньше вычисленное значение Р rob , тем более исходные данные противоречат нулевой гипотезе.

Число степеней свободы у какого-либо параметра определяют как размер выборки, по которой рассчитан данный параметр, минус количество выбранных переменных.

Величина W называется мощностью критерия и представляет собой вероятность отклонения неверной нулевой гипотезы, т.е. вероятность правильного решения. Мощность критерия – вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что справедлива альтернативная гипотеза. Чем больше W , тем вероятность ошибки второго рода меньше.

Коэффициент регрессии (b ₁ ) является случайной величиной. Отсюда после вычисления возникает необходимость проверки гипотезы о значимости полученного значения. Выдвигаем нулевую гипотеза (Н ₀ ) о равенстве нулю коэффициента регрессии (Н ₀ :b ₁ = 0) против альтернативной гипотезы (Н ₁ ) о неравенстве нулю коэффициента регрессии (Н ₁ :b ₁ ¹ 0). Для проверки гипотезы Н ₀ против альтернативы используется t -статистика, которая имеет распределение Стьюдента с (n — 2) степенями свободы (парная линейная регрессия).

Коэффициент регрессии надежно отличается от нуля (отвергается нулевая гипотеза Н₀ ), если t _набл > t _{a ; n -2} . В этом случае вероятность нулевой гипотезы (Prob . ) будет меньше выбранного уровня значимости. t _{a ; n -2} — критическая точка, определяемая по математико-статистическим таблицам.

Проверка значимости уравнения регрессии производится на основе дисперсионного анализа.

Согласно основной идее дисперсионного анализа

(22)

где Q – общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней, а Q_R и Q_e – соответственно сумма квадратов, обусловленная регрессией, и остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов.

Схема дисперсионного анализа имеет вид, представленный в табл. 1.

Средние квадраты и s 2 (табл. 1) представляют собой несмещенные оценки дисперсий зависимой переменной, обусловленных соответственно регрессией или объясняющей переменной Х и воздействием неучтенных случайных факторов и ошибок; m – число оцениваемых параметров уравнения регрессии; п – число наблюдений.

При отсутствии линейной зависимости между зависимой и объясняющими(ей) переменными случайные величины и имеют c 2 -распределение соответственно с т – 1 и п – т степенями свободы.

Компоненты дисперсии	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Средние квадраты
Регрессия		m – 1
Остаточная		n – m
Общая		n – 1

Поэтому уравнение регрессии значимо на уровне a, если фактически наблюдаемое значение статистики

, (24)

где — табличное значение F -критерия Фишера-Снедекора, определяемое на уровне значимости a при k ₁ = m – 1 и k ₂ = n – m степенях свободы.

Учитывая смысл величин и s 2 , можно сказать, что значение F показывает, в какой мере регрессия лучше оценивает значение зависимой переменной по сравнению с ее средней.

Для парной линейно регрессии т = 2, и уравнение регрессии значимо на уровне a (отвергается нулевая гипотеза), если

. (25)

Следует отметить, что значимость уравнения парной линейной регрессии может быть проведена и другим способом, если оценить значимость коэффициента регрессии b ₁ , который имеет
t -распределение Стьюдента с k = n – 2 степенями свободы.

Уравнение парной регрессии или коэффициент регрессии b ₁ значимы на уровне a (иначе – гипотеза Н ₀ о равенстве параметра b ₁ нулю, т.е.
Н ₀ :b ₁ = 0, отвергается), если фактически наблюдаемое значение статистики

(26)

Коэффициент корреляции r значим на уровне a (Н ₀ : r = 0), если

. (27)

Одной из наиболее эффективных оценок адекватности регрессионной модели, мерой качества уравнения регрессии, характеристикой прогностической силы анализируемой регрессионной модели является коэффициент детерминации , определяемый по формуле:

. (28)

Величина R 2 показывает, какая часть (доля) вариации зависимой переменной обусловлена вариацией объясняющей переменной.

В случае парной линейной регрессионной модели коэффициент детерминации равен квадрату корреляции, т.е. R 2 = r 2 .

Доверительный интервал для индивидуальных значений зависимой переменной .

—t _{1 – a ; n — 2} × £ £ + t _{1 — a ; n — 2} × , (29)

где — оценка дисперсии индивидуальных значений у ₀ при х = х ₀ .

Доверительный интервал для параметров регрессионной модели .

(30)

По 28 предприятиям концерна изучается зависимость дневной выработки (ед.) у от уровня механизации труда (%) х по следующим данным (табл. 2).

При анализе статистических зависимостей широко используются графические методы, которые задают направление его дальнейшего анализа. В Excel для этого можно использовать средство Мастер диаграмм . Для создания диаграммы необходимо выделить данные, запустить мастер диаграмм, выбрать тип и вид диаграммы (для нашего примера тип диаграммы – Точечная), выбрать и уточнить ориентацию диапазона данных и ряда, настроить параметры диаграммы.

Для описания закономерностей в исследуемой выборке наблюдений строится линия тренда .

Для добавления линии тренда в диаграмму необходимо выполнить следующие действия:

1) щелкнуть правой кнопкой мыши по ряду данных;

2) в динамическом меню выбрать команду Добавить линию тренда. На экране появится окно Линия тренда (рис. 2);

3) выбрать вид зависимости регрессии. Для нашего примера тип тренда определим, как Линейный;

4) перейти на вкладку Параметры. В поле Показать уравнение на диаграмме установить подтверждение;

5) в случае необходимости можно задать остальные параметры.

Рис. 2. Диалоговое окно для выбора типа тренда

Изобразим полученную зависимость графически точками координатной плоскости (рис. 3). Такое изображение статистической зависимости называется полем корреляции .

По расположению эмпирических точек можно предполагать наличие линейной корреляционной (регрессионной) зависимости между переменными х и у .

По данным табл. 2 найдем уравнение регрессии у по х . Расчеты произведем в Excel по формулам (7)–(13), промежуточные вычисления представим в табл. 3.

Рис. 3. Поле корреляции

Итак, уравнение регрессии у по х :

= -19,37 + 0,74x .

Из полученного уравнения регрессии следует, что при увеличении уровня механизации х на 1% выработка у увеличивается в среднем на 0,74 ед.

По исходным данным вычислим коэффициент корреляции.

Расчеты произведем в Excel, промежуточные вычисления см. табл. 3 и формулы (15), (16).

= 0,954,

т.е. связь между переменными тесная.

Оценим на уровне значимости a = 0,05 значимость уравнения регрессии у по х .

1-й способ . Используя данные табл. 4 вычислим необходимые суммы по формулам табл. 1:

= 6715,71 (см. столбец 6);

Q_R = = 6108,09 (см. столбец 7);

F = = 261,36.

По статистическим таблицам F -распределения F_0,05;1;26 = 4,22. Так как
F > F _0,05;1;26 , то уравнение регрессии значимо.

2-й способ . Учитывая, что b ₁ = 0,739, = 11170,43
(табл. 4), = =23,37 (табл. 4), по формуле (26)

t = = 16,17.

По таблице t -распределения t _0,95;26 = 2,06. Так как t > t _0,95;26 , то коэффициент регрессии b ₁ , а значит, и уравнение парной линейной регрессии значимо.

Найдем коэффициент детерминации и поясним его смысл. Ранее было получено Q_R = 6108,09, Q = 6715,71. По формуле (28) = 0,9095 (или R 2 = r 2 = 0,954 2 = 0,9095). Это означает, что изменения зависимой переменной у – дневная выработка – на 90% объясняется вариацией объясняющей переменной х – уровнем механизации.

Найдем 95%-ные доверительные интервалы для индивидуального значения прибыли при уровне механизации равной 65%.

Ранее было получено уравнение регрессии

= -19,37 + 0,74x .

Чтобы построить доверительный интервал для индивидуального значения , найдем точечное значение признака = -19,37 + 0,74∙65 = 28,718.

Затем найдем дисперсию оценки:

=23,370 = 0,839

и = 0,916.

Далее искомый доверительный интервал получим по (29):

28,718 – 2,06∙0,916 £ £ 28,718 + 2,06∙0,916

26,832 £ £ 30,604

Таким образом, дневная выработка при уровне механизации равной 65% с надежностью 0,95 находится в пределах от 26,832 ед. до
30,604 ед.

Найдем 95%-ный доверительный интервал для параметра b₁ .

0,74 – 2,06 £b₁ £ 0,74 + 2,06 ,

т.е. с надежностью 0,95 при изменении уровня механизации x на 1% дневная выработка y будет изменяться на величину, заключенную в интервале от 0,645 до 0,834 (ед.).

Исследуем полученную модель на наличие гетероскедастичности.

Упорядочим п наблюдений по мере возрастания переменной х . Исключим из рассмотрения С = 6 центральных наблюдений (условие
(п —С )/2 = (28 – 6)/2 = 11 > р = 1 выполняется). Разделим совокупность из (п —С ) = (28 – 6) = 22 наблюдений на две группы (соответственно с малыми и большими значениями фактора х по 11 наблюдений) и определим по каждой из групп уравнения регрессии. Для первой группы оно составит = -3,70 + 0,39x . Для второй группы: = 1,16 + 53,11x . Определим остаточные суммы квадратов для первой (S ₁ ) и второй (S ₂ ) групп. Промежуточные расчеты занесем в табл. 5.

Тест ранговой корреляции Спирмэна

Проранжируем значения х _i и абсолютные величины остатков в порядке возрастания, расчеты занесем в табл. 6.

Найдем коэффициент ранговой корреляции Спирмэна:

= 0,108.

Найдем t -критерий для ранговой корреляции:

= 0,556.

Сравним полученное значение t _r с табличным значением
t _{0,95; 26} = 2,06. Так как t _r 2 = а + b lnх + и . Проверяется значимость коэффициента регрессии b по t -критерию Стьюдента. Если коэффициент регрессии для уравнения lne 2 окажется статистически значимым, то, следовательно, существует зависимость lne 2 от lnх , т.е. имеет место гетероскедастичность остатков.

Чтобы построить зависимость ln e 2 = а + b lnх введем замены:
ln e 2 = у , lnх = z . Построим линейную регрессию у = а + bz . Для этого воспользуемся пакетом анализа MicrosoftExcel (Сервис + Анализ данных + + Регрессия). В результате получим следующую модель:

ln e 2 = 5,635 — 0,901 lnх .

Проверка уравнения на значимость показывает: R 2 = 0,039; F = 1,056; t_a = 1,565 и t_b = 1,028. По тесту Парка зависимость дисперсии остатков от х проявляется ненадежно: все параметры статистически нее значимы, R 2 очень низкий, t -критерий и F -статистика меньше табличных значений (t _0,95;26 = 2,06; F _0,05;1;26 = 4,23). Тест Парка показал отсутствие гетероскедастичности.

Тест оценивает зависимость абсолютных значений остатков от значений фактора х в виде функции: |e| = a + b ∙ x c , где с задается определенным числом степени. Для нашего примера используем значения с равные -2;-1; -0,5; 0,5; 1;2.

Для построения моделей регрессий воспользуемся пакетом анализа Microsoft Excel. Получили следующие результаты:

при с = -2 |e| = 2,62 + 2327,52x -2 R 2 = 0,460; F = 22,14

при с = -1 |e| = 0,87 + 153,09x -1 R 2 = 0,360; F = 14,61

при с = -0,5 |e| = -2,40 + 46,10x -0,5 R 2 = 0,271; F = 9,65

при с = 0,5 |e| = 8,58 — 0,62x 0,5 R 2 = 0,090; F = 2,56

при с = 1 |e| = 5,39 — 0,03x R 2 = 0,035; F = 0,945

Из теста Гейзера следует, что абсолютная величина остатков достаточно сильно зависит от х -2 .

Истинное и выборочное уравнения регрессии

Основные понятия эконометрики.

Эконометрика – это наука, изучающая количественные закономерности и взаимосвязи в экономике.

Она зародилась и получила свое развитие на основе слияния экономической теории, математической экономики, экономической и математической статистики. В современной эконометрике широко используются информатика, статистические пакеты прикладных программ.

Объект – экономика, различные экономические явления и взаимосвязи.

Предмет – их количественные характеристики.

Задачи: 1. построение эконометрических моделей и оценивание их параметров.

2. проверка гипотез, о свойствах показателей и формах их связей.

Эконометрический анализ — основа для экономического анализа и прогнозирования.

Исследуемый экономический показатель называют результативным, объясняемым, зависимым экономическим показателем. Соответствующую переменную – объясняемой или зависимой.

Экономические показатели, воздействие которых на исследуемый экономический показатель изучается, называют факторами, объясняющими или независимыми показателями (переменными).

Зависимость между переменными, на которую накладывается воздействие случайных факторов, называется статистической. Для нее характерно то, что изменение независимой переменной приводит к изменению математического ожидания зависимой переменной.

Уравнение регрессии – математическая формула, описывающая статистическую зависимость между переменными. Если формула описывается линейной функцией, то регрессия называется линейной. Если нелинейной функцией – нелинейной регрессией. Если регрессия связывает одну зависимую и одну независимую переменную, то такая регрессия называется парной (простой). Если рассматривается зависимость экономической переменной от нескольких экономических переменных, то такая регрессия называется множественной.

Парная линейная регрессия

Истинное и выборочное уравнения регрессии.

У= + Х+Е (1),

где Х – неслучайная величина, У и Е – случайные величины.

Случайная величина Е отражает воздействие на зависимую переменную У неучтенных и случайных факторов и называется ошибкой регрессии. Уравнение (1) называют истинным (теоретическим) уравнением регрессии или линейной регрессионной моделью. На основе реальных статистических данных об экономических показателях Х и У (выборке данных из генеральной совокупности) оцениваются параметры регрессии α и β и строится выборочное уравнение регрессии

, (2)

а, в, — коэффициенты регрессии. Уравнение (2) называют еще эмпирическим уравнением регрессии.

Одним из методов нахождения коэффициентов регрессии а и в является метод наименьших квадратов (МНК).