Выборочным уравнением регрессии называется уравнение формула

Выборочное уравнение регрессии

Две случайные величины могут быть связаны либо функциональной зависимостью, либо статистической зависимостью, либо быть независимыми. Строгая функциональная зависимость реализуется редко, так как обе или одна из двух величин подвержены еще воздействию случайных факторов. Причем среди этих факторов могут быть и общие для обеих величин, т.е. воздействующие на обе случайные величины. В этих случаях возникает статистическая зависимость.

Статистическойназывается зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение распределения другой. В частности, изменение одной из величин вызывает изменение среднего значения другой. В этом случае статистическая зависимость называется корреляционной.Например, связь между количеством удобрений и урожаем, между вложенными средствами и прибылью.

Среднее арифметическое наблюдавшихся значений случайной величины Y , соответствующих значению X=x, называется условным средним _xи является точечной оценкой математического ожидания. Аналогично определяется условное среднее _y .

Условное математическое ожидание M ( Y | x )является функцией отx,следовательно, его оценка, т.е. условное среднее _x,также функция от x:

_x = f*(x).

Это уравнение называется выборочным уравнением регрессии Y на X. Функцию f*(x)называют выборочной регрессией, а ее график – выборочной линией регрессии Y на X . Аналогично уравнение

_y = φ * (y),

функцию φ * (y) и ее график называют выборочным уравнением регрессии, выборочной регрессией и выборочной линией регрессии X на Y .

Отыскание параметров функций f*(x)и φ * (y), если вид их известен, оценка тесноты связи между величинами X и Y – задачи корреляционного анализа.Задачей регрессионного анализа есть оценка параметров функции регрессии β_i и остаточной дисперсии σ_ост 2 .

Остаточная дисперсия – та часть рассеивания Y , которую нельзя объяснить действием X. σ_ост 2 может служить для оценки точности подбора функции регрессии и полноты набора признаков, включенных в анализ. Вид зависимости g(x) выбирают, исходя из характера поля корреляции и природы процесса.

Оценкой коэффициента линейной регрессии β является выборочный коэффициент регрессии Y на X r_yx. Значения параметра r_yxи параметра b уравнения прямой линии регрессии

Y = r_yx x + b

подбираются таким образом, чтобы точки (x₁,y₁), (x₂,y₂),…,(x_n,y_n), построенные по данным наблюдений, на плоскости xOy лежали как можно ближе к прямой линии регрессии. Это равносильно требованию, чтобы сумма квадратов отклонений функции Y(x_i) от y_i была минимальной. В этом суть МНК.

Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X может быть записано в таком виде:

_x – = r_в s_y/s_x (x – ) ,

где s_x и s_y – выборочные средние квадратические отклонения X и Y , а

r_в = –

выборочный коэффициент корреляции, вычисленный по сгруппированным данным. Здесь n_xy – частота пары вариант (x,y). Аналогично находят выборочное уравнение прямой линии регрессии X на Y :

_y – = r_в s_x/s_y (y – )

Для того, чтобы установить, соответствует ли найденная по выборке математическая модель зависимости между Y и X статистическим данным, следует оценить значимость коэффициентов регрессии и значимость уравнения регрессии.

Проверить значимость коэффициентов регрессии означает установить, достаточна ли величина оценки для обоснованного вывода о том, что коэффициент регрессии отличен от нуля. Выдвигают гипотезу H₀ : коэффициент регрессии равен нулю β =0. Проверку гипотезы H₀ осуществляют с помощью распределенной по закону Стьюдента статистики

t = │b / s_b│

где b – оценка коэффициента регрессии, а s_b – оценка его среднего квадратического отклонения, другими словами стандартная ошибка оценки. Если │t │≥ t_кр ( α, k ), нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента регрессии отвергают, и коэффициент считают значимым. При │t │

b – t(α,k)s_b 2 – коэффициент детерминации, n – объем выборки, k – количество факторных признаков.

Выборочным уравнением регрессии называется уравнение формула

Регрессионный анализ позволяет приближенно определить форму связи между результативным и факторными признаками, а также решить вопрос о том, значима ли эта связь. Вид функции, с помощью которой приближенно выражается форма связи, выбирают заранее, исходя из содержательных соображений или визуального анализа данных. Математическое решение задачи основано на методе наименьших квадратов.

Суть метода наименьших квадратов. Рассмотрим содержание метода на конкретном примере. Пусть имеются данные о сборе хлеба на душу населения по совокупности черноземных губерний. От каких факторов зависит величина этого сбора? Вероятно, определяющее влияние на величину сбора хлеба оказывает величина посева и уровень урожайности. Рассмотрим сначала зависимость величины сбора хлеба на душу населения от размера посева на душу ( столбцы 1 и 2 табл .4 ) Попытаемся представить интересующую нас зависимость с помощью прямой линии. Разумеется, такая линия может дать только приближенное представление о форме реальной статистической связи. Постараемся сделать это приближение наилучшим. Оно будет тем лучше, чем меньше исходные данные будут отличаться от соответствующих точек, лежащих на линии. Степень близости может быть выражена величиной суммы квадратов отклонении, реальных значений от, расположенных на прямой. Использование именно квадратов отклонений (не просто отклонений) позволяет суммировать отклонения различных знаков без их взаимного погашения и дополнительно обеспечивает сравнительно большее внимание, уделяемое большим отклонениям. Именно этот критерий (минимизация суммы квадратов отклонений) положен в основу метода наименьших квадратов.

В вычислительном аспекте метод наименьших квадратов сводится к составлению и решению системы так называемых нормальных уравнений. Исходным этапом для этого является подбор вида функции, отображающей статистическую связь.

Тип функции в каждом конкретном случае можно подобрать путем прикидки на графике исходных данных подходящей, т. е. достаточно хорошо приближающей эти данные, линии. В нашем случае связь между сбором хлеба на душу и величиной посева на душу может быть изображена с помощью прямой линии ( рис. 14 ) и записана в виде

где у—величина сбора хлеба на душу (результативный признак или зависимая переменная); x—величина посева на душу (факторный признак или независимая переменная); a o и a 1 — параметры уравнения, которые могут быть найдены методом наименьших квадратов.

Для нахождения искомых параметров нужно составить систему уравнений, которая в данном случае будет иметь вид

Полученная система может быть решена известным из школьного курса методом Гаусса. Искомые параметры системы из двух нормальных уравнений можно вычислить и непосредственно с помощью последовательного использования нижеприведенных формул:

где y i — i-e значение результативного признака; x i — i-e значение факторного признака; и — средние арифметические результативного и факторного признаков соответственно; n— число значений признака y i , или, что то же самое, число значений признака x i .

Пример 9. Найдем уравнение линейной связи между величиной сбора хлеба (у) и размером посева (х) по данным табл. 4. Проделав необходимые вычисления, получим из (6.17):

Таким образом, уравнение связи, или, как принято говорить, уравнение регрессии, выглядит следующим образом:

Интерпретация коэффициента регрессии. Уравнение регрессии не только определяет форму анализируемой связи, но и показывает, в какой степени изменение одного признака сопровождается изменением другого признака.

Коэффициент при х, называемый коэффициентом регрессии, показывает, на какую величину в среднем изменяется результативный признак у при изменении факторного признака х на единицу.

В примере 9 коэффициент регрессии получился равным 24,58. Следовательно, с увеличением посева, приходящегося на душу, на одну десятину сбор хлеба на душу населения в среднем увеличивается на 24,58 пуда.

Средняя и предельная ошибки коэффициента регрессии. Поскольку уравнения регрессии рассчитываются, как правило, для выборочных данных, обязательно встают вопросы точности и надежности полученных результатов. Вычисленный коэффициент регрессии, будучи выборочным, с некоторой точностью оценивает соответствующий коэффициент регрессии генеральной совокупности. Представление об этой точности дает средняя ошибка коэффициента регрессии ( ), рассчитываемая по формуле

у i , — i-e значение результативного признака; ŷ i — i-e выравненное значение, полученное из уравнения (6.15); x i —i-e значение факторного признака; σ x —среднее квадратическое отклонение х; n — число значений х или, что то же самое, значений у; m—число факгорных признаков (независимых переменных).

В формуле (6.18), в частности, формализовано очевидное положение: чем больше фактические значения отклоняются от выравненных, тем большую ошибку следует ожидать; чем меньше число наблюдений, на основе которых строится уравнение, тем больше будет ошибка.

Средняя ошибка коэффициента регрессии является основой для расчета предельной ошибки. Последняя показывает, в каких пределах находится истинное значение коэффициента регрессии при заданной надежности результатов. Предельная ошибка коэффициента регрессии вычисляется аналогично предельной ошибке средней арифметической (см. гл. 5), т. е. как t где t—величина, числовое значение которой определяется в зависимости от принятого уровня надежности.

Пример 10. Найти среднюю и предельную ошибки коэффициента регрессии, полученного в примере 9.

Для расчета прежде всего подсчитаем выравненные значения ŷ i для чего в уравнение регрессии, полученное в примере 9, подставим конкретные значения x i :

ŷ i = 17,6681 +24,5762*0,91 = 40,04 и т. д.

Затем вычислим отклонения фактических значений у i , от выравненных и их квадраты

Далее, подсчитав средний по черноземным губерниям посев на душу ( =0,98), отклонения фактических значений x i от этой средней, квадраты отклонений и среднее квадратическое отклонение , получим все необходимые составляющие формул (618) и (619):

Таким образом, средняя ошибка коэффициента регрессии равна 2,89, что составляет 12% от вычисленного коэффициента

Задавшись уровнем надежности, равным 0,95, найдем по табл. 1 приложения соответствующее ему значение t=1,96, рассчитаем предельную ошибку 1,96*2,89=5,66 и пределы коэффициента регрессии для принятого уровня надежности ( В случае малых выборок величина t находится из табл. 2 приложения. ). Нижняя граница коэффициента регрессии равна 24,58-5,66=18,92, а верхняя граница 24,58+5,66=30,24

Средняя квадратическая ошибка линии регрессии. Уравнение регрессии представляет собой функциональную связь, при которой по любому значению х можно однозначно определить значение у. Функциональная связь лишь приближенно отражает связь реальную, причем степень этого приближения может быть различной и зависит она как от свойств исходных данных, так и от выбора вида функции, по которой производится выравнивание.

На рис. 15 представлены два различных случая взаимоотношения между двумя признаками. В обоих случаях предполагаемая связь описывается одним и тем же уравнением, но во втором случае соотношение между признаками х и у достаточно четко выражено и уравнение, по-видимому, довольно хорошо описывает это соотношение, тогда как в первом случае сомнительно само наличие сколько-нибудь закономерного соотношения между признаками. И в том, и в другом случаях, несмотря на их существенное различие, метод наименьших квадратов дает одинаковое уравнение, поскольку этот метод нечувствителен к потенциальным возможностям исходного материала вписаться в ту или иную схему. Кроме того, метод наименьших квадратов применяется для расчета неизвестных параметров заранее выбранного вида функции, и вопрос о выборе наиболее подходящего для конкретных данных вида функции в рамках этого метода не ставится и не решается. Таким образом, при пользовании методом наименьших квадратов открытыми остаются два важных вопроса, а именно: существует ли связь и верен ли выбор вида функции, с помощью которой делается попытка описать форму связи.

Чтобы оценить, насколько точно уравнение регрессии описывает реальные соотношения между переменными, нужно ввести меру рассеяния фактических значений относительно вычисленных с помощью уравнения. Такой мерой служит средняя квадратическая ошибка регрессионного уравнения, вычисляемая по приведенной выше формуле (6.19).

Пример 11. Определить среднюю квадратическую ошибку уравнения, полученного в примере 9.

Промежуточные расчеты примера 10 дают нам среднюю квадратическую ошибку уравнения. Она равна 4,6 пуда.

Этот показатель аналогичен среднему квадратическому отклонению для средней. Подобно тому, как по величине среднего квадратического отклонения можно судить о представительности средней арифметической (см. гл. 5), по величине средней квадратической ошибки регрессионного уравнения можно сделать вывод о том, насколько показательна для соотношения между признаками та связь, которая выявлена уравнением. В каждом конкретном случае фактическая ошибка может оказаться либо больше, либо меньше средней. Средняя квадратическая ошибка уравнения показывает, насколько в среднем мы ошибемся, если будем пользоваться уравнением, и тем самым дает представление о точности уравнения. Чем меньше σ y.x , тем точнее предсказание линии регрессии, тем лучше уравнение регрессии описывает существующую связь. Показатель σ y.x позволяет различать случаи, представленные на рис. 15. В случае б) он окажется значительно меньше, чем в случае а). Величина σ y.x зависит как от выбора функции, так и от степени описываемой связи.

Варьируя виды функций для выравнивания и оценивая результаты с помощью средней квадратической ошибки, можно среди рассматриваемых выбрать лучшую функцию, функцию с наименьшей средней ошибкой. Но существует ли связь? Значимо ли уравнение регрессии, используемое для отображения предполагаемой связи? На эти вопросы отвечает определяемый ниже критерий значи-мости регрессии.

Мерой значимости линии регрессии может служить следующее соотношение:

где ŷ i —i-e выравненное значение; —средняя арифметическая значений y i ; σ y.x —средняя квадратическая ошибка регрессионного уравнения, вычисляемая по формуле (6.19); n—число сравниваемых пар значений признаков; m—число факторных признаков.

Действительно, связь тем больше, чем значительнее мера рассеяния признака, обусловленная регрессией, превосходит меру рассеяния отклонений фактических значений от выравненных.

Соотношение (6.20) позволяет решить вопрос о значимости регрессии. Регрессия значима, т. е. между признаками существует линейная связь, если для данного уровня значимости вычисленное значение F ф [m,n-(m+1)] превышает критическое значение F кр [m,n-(m+1)], стоящее на пересечении m-го столбца и [n—(m+1)]-й строки специальной таблицы ( см. табл. 4 приложения ).

Пример 12. Выясним, связаны ли сбор хлеба на душу населения и посев на душу населения линейной зависимостью.

Воспользуемся F-критерием значимости регрессии. Подставив в формулу (6.20) данные табл. 4 и результат примера 10, получим

Обращаясь к таблице F-распределения для Р=0,95 (α=1—Р=0,5) и учитывая, что n=23, m =1, в табл. 4А приложения на пересечения 1-го столбца и 21-й строки находим критическое значение F кр , равное 4,32 при степени надежности Р=0,95. Поскольку вычисленное значение F ф существенно превосходит по величине F кр , то обнаруженная линейная связь существенна, т. е. априорная гипотеза о наличии линейной связи подтвердилась. Вывод сделан при степени надежности P=0,95. Между прочим, вывод в данном случае останется прежним, если надежность повысить до Р=0,99 (соответствующее значение F кр =8,02 по табл. 4Б приложения для уровня значимости α=0,01).

Коэффициент детерминации. С помощью F-критерия мы Установили, что существует линейная зависимость между величиной сбора хлеба и величиной посева на душу. Следовательно, можно утверждать, что величина сбора хлеба, приходящегося на душу, линейно зависит от величины посева на душу. Теперь уместно поставить уточняющий вопрос — в какой степени величина посева на душу определяет величину сбора хлеба на душу? На этот вопрос можно ответить, рассчитав, какая часть вариации результативного признака может быть объяснена влиянием факторного признака.

Оно показывает долю разброса, учитываемого регрессией, в общем разбросе результативного признака и носит название коэффициента детерминации. Этот показатель, равный отношению факторной вариации к полной вариации признака, позволяет судить о том, насколько «удачно» выбран вид функции ( Отметим, что по смыслу коэффициент детерминации в регрессионном анализе соответствует квадрату корреляционного отношения для корреляционной таблицы (см. § 2). ). Проведя расчеты, основанные на одних и тех же исходных данных, для нескольких типов функций, мы можем из них выбрать такую, которая дает наибольшее значение R 2 и, следовательно, в большей степени, чем другие функции, объясняет вариацию результативного признака. Действительно, при расчете R 2 для одних и тех же данных, но разных функций знаменатель выражения (6.21) остается неизменным, а числитель показывает ту часть вариации результативного признака, которая учитывается выбранной функцией. Чем больше R 2 , т. е. чем больше числитель, тем больше изменение факторного признака объясняет изменение результативного признака и тем, следовательно, лучше уравнение регрессии, лучше выбор функции.

Наконец, отметим, что введенный ранее, при изложении методов корреляционного анализа, коэффициент детерминации совпадает с определенным здесь показателем, если выравнивание производится По прямой линии. Но последний показатель (R 2 ) имеет более широкий спектр применения и может использоваться в случае связи, отличной от линейной ( см. § 4 данной главы ).

Пример 13. Рассчитать коэффициент детерминации для уравнения, полученного в примере 9.

Вычислим R 2 , воспользовавшись формулой (6.21) и данными табл. 4:

Итак, уравнение регрессии почти на 78% объясняет колебания сбора хлеба на душу. Это немало, но, По-видимому, можно улучшить модель введением в нее еще одного фактора.

Случай двух независимых переменных. Простейший случай множественной регрессии. В предыдущем изложении регрессионного анализа мы имели дело с двумя признаками — результативным и факторным. Но на результат действует обычно не один фактор, а несколько, что необходимо учитывать для достаточно полного анализа связей.

В математической статистике разработаны методы множественной регрессии ( Регрессия называется множественной, если число независимых переменных, учтенных в ней, больше или равно двум. ), позволяющие анализировать влияние на результативный признак нескольких факторных. К рассмотрению этих методов мы и переходим.

Возвратимся к примеру 9. В нем была определена форма связи между величиной сбора хлеба на душу и размером посева на душу. Введем в анализ еще один фактор — уровень урожайности (см. столбец З табл. 4). Без сомнения, эта переменная влияет на сбор хлеба на душу. Но в какой степени влияет? Насколько обе независимые переменные определяют сбор хлеба на душу в черноземных губерниях? Какая из переменных — посев на душу или урожайность — оказывает определяющее влияние на сбор хлеба? Попытаемся ответить на эти вопросы.

После добавления второй независимой переменной уравнение регрессии будет выглядеть так:

где у—сбор хлеба на душу; х 1 —размер посева на душу; x 2 —урожай с десятины (в пудах); а 0 , а 1 , а 2 —параметры, подлежащие определению.

Для нахождения числовых значений искомых параметров, как и в случае одной независимой переменной, пользуются методом наименьших квадратов. Он сводится к составлению и решению системы нормальных уравнений, которая имеет вид

Когда система состоит из трех и более нормальных уравнений, решение ее усложняется. Существуют стандартные программы расчета неизвестных параметров регрессионного уравнения на ЭВМ. При ручном счете можно воспользоваться известным из школьного курса методом Гаусса.

Пример 14. По данным табл. 4 описанным способом найдем параметры a 0 , а 1 , а 2 уравнения (6.22). Получены следующие результаты: a 2 =0,3288, a 1 =28,7536, a 0 =-0,2495.

Таким образом, уравнение множественной регрессии между величиной сбора хлеба на душу населения (у), размером посева на душу (x 1 ) и уровнем урожайности (х 2 ) имеет вид:

у=-0,2495+28,7536x 1 +0,3288x 2 .

Интерпретация коэффициентов уравнения множественной регрессии. Коэффициент при х 1 в полученном уравнении отличается от аналогичного коэффициента в уравнении примера 9.

Коэффициент при независимой переменной в уравнении простой регрессии отличается от коэффициента при соответствующей переменной в уравнении множественной регрессии тем, что в последнем элиминировано влияние всех учтенных в данном уравнении признаков.

Коэффициенты уравнения множественной регрессии поэтому называются частными или чистыми коэффициентами регрессии.

Частный коэффициент множественной регрессии при х 1 показывает, что с увеличением посева на душу на 1 дес. и при фиксированной урожайности сбор хлеба на душу населения вырастает в среднем на 28,8 пуда. Частный коэффициент при x 2 показывает, что при фиксированном посеве на душу увеличение урожая на единицу, т. е. на 1 пуд с десятины, вызывает в среднем увеличение сбора хлеба на душу на 0,33 пуда. Отсюда можно сделать вывод, что увеличение сбора хлеба в черноземных губерниях России идет, в основном, за счет расширения посева и в значительно меньшей степени—за счет повышения урожайности, т. е. экстенсивная форма развития зернового хозяйства является господствующей.

Введение переменной х 2 в уравнение позволяет уточнить коэффициент при х 1 . Конкретно, коэффициент оказался выше (28,8 против 24,6), когда в изучаемой связи вычленилось влияние урожайности на сбор хлеба.

Однако выводы, полученные в результате анализа коэффициентов регрессии, не являются пока корректными, поскольку, во-первых, не учтена разная масштабность факторов, во-вторых, не выяснен вопрос о значимости коэффициента a 2 .

Величина коэффициентов регрессии изменяется в зависимости от единиц измерения, в которых представлены переменные. Если переменные выражены в разном масштабе измерения, то соответствующие им коэффициенты становятся несравнимыми. Для достижения сопоставимости коэффициенты регрессии исходного уравнения стандартизуют, взяв вместо исходных переменных их отношения к собственным средним квадратическим отклонениям. Тогда уравнение (6.22) приобретает вид

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (6.22), определяем стандартизованные частные коэффициенты уравнения, так называемые бета-коэффициенты, по формулам:

где β 1 и β 2 —бета-коэффициенты; а 1 и а 2 —коэффициенты регрессии исходного уравнения; σ у , , и — средние квадратические отклонения переменных у, х 1 и х 2 соответственно.

Вычислив бета-коэффициенты для уравнения, полученного в примере 14:

видим, что вывод о преобладании в черноземной полосе россии экстенсивной формы развития хозяйства над интенсивной остается в силе, так как β 1 значительно больше, чем β 2 .

Оценка точности уравнения множественной регрессии.

Точность уравнения множественной регрессии, как и в случае уравнения с одной независимой переменной, оценивается средней квадратической ошибкой уравнения. Обозначим ее , где подстрочные индексы указывают, что результативным признаком в уравнении является у, а факторными признаками х 1 и x 2 . Для расчета средней квадратической ошибки уравнения множественной регрессии применяется приведенная выше формула (6.19).

Пример 15. Оценим точность полученного в примере 14 уравнения регрессии.

Воспользовавшись формулой (6.19) и данными табл. 4, вычислим среднюю квадратическую ошибку уравнения:

Оценка полезности введения дополнительной переменной. Точность уравнения регрессии тесно связана с вопросом ценности включения дополнительных членов в это уравнение.

Сравним средние квадратические ошибки, рассчитанные для уравнения с одной переменной х 1 (пример 11) и для уравнения с двумя независимыми переменными х 1 и х 2 . Включение в уравнение новой переменной (урожайности) уменьшило среднюю квадратическую ошибку почти вдвое.

Можно провести сравнение ошибок с помощью коэффициентов вариации

где σ f —средняя квадратическая ошибка регрессионного уравнения; —средняя арифметическая результативного признака.

Для уравнения, содержащего одну независимую переменную:

Для уравнения, содержащего две независимые переменные:

Итак, введение независимой переменной «урожайность» уменьшило среднюю квадратическую ошибку до величины порядка 7,95% среднего значения зависимой переменной.

Наконец, по формуле (6.21) рассчитаем коэффициент детерминации

Он показывает, что уравнение регрессии на 81,9% объясняет колебания сбора хлеба на душу населения. Сравнивая полученный результат (81,9%) с величиной R 2 для однофакторного уравнения (77,9%), видим, что включение переменной «урожайность» заметно увеличило точность уравнения.

Таким образом, сравнение средних квадратических ошибок уравнения, коэффициентов вариации, коэффициентов детерминации, рассчитанных до и после введения независимой переменной, позволяет судить о полезности включения этой переменной в уравнение. Однако следует быть осторожными в выводах при подобных сравнениях, поскольку увеличение R 2 или уменьшение σ и V σ не всегда имеют приписываемый им здесь смысл. Так, увеличение R 2 может объясняться тем фактом, что число рассматриваемых параметров в уравнении приближается к числу объектов наблюдения. Скажем, весьма сомнительными будут ссылки на увеличение R 2 или уменьшение σ, если в уравнение вводится третья или четвертая независимая переменная и уравнение строится на данных по шести, семи объектам.

Полезность включения дополнительного фактора можно оценить с помощью F-критерия.

Частный F-критерий показывает степень влияния дополнительной независимой переменной на результативный признак и может использоваться при решении вопроса о добавлении в уравнение или исключении из него этой независимой переменной.

Разброс признака, объясняемый уравнением регрессии (6.22), можно разложить на два вида: 1) разброс признака, обусловленный независимой переменной х 1 , и 2) разброс признака, обусловленный независимой переменной x 2 , когда х 1 уже включена в уравнение. Первой составляющей соответствует разброс признака, объясняемый уравнением (6.15), включающим только переменную х 1 . Разность между разбросом признака, обусловленным уравнением (6.22), и разбросом признака, обусловленным уравнением (6.15), определит ту часть разброса, которая объясняется дополнительной независимой переменной x 2 . Отношение указанной разности к разбросу признака, регрессией не объясняемому, представляет собой значение частного критерия. Частный F-критерий называется также последовательным, если статистические характеристики строятся при последовательном добавлении переменных в регрессионное уравнение.

Пример 16. Оценить полезность включения в уравнение регрессии дополнительной переменной «урожайность» (по данным и результатам примеров 12 и 15).

Разброс признака, объясняемый уравнением множественной регрессии и рассчитываемый как сумма квадратов разностей выравненных значений и их средней, равен 1623,8815. Разброс признака, объясняемый уравнением простой регрессии, составляет 1545,1331.

Разброс признака, регрессией не объясняемый, определяется квадратом средней квадратической ошибки уравнения и равен 10,9948 (см. пример 15).

Воспользовавшись этими характеристиками, рассчитаем частный F-критерий

С уровнем надежности 0,95 (α=0,05) табличное значение F (1,20), т. е. значение, стоящее на пересечении 1-го столбца и 20-й строки табл. 4А приложения, равно 4,35. Рассчитанное значение F ф значительно превосходит табличное, и, следовательно, включение в уравнение переменной «урожайность» имеет смысл.

Таким образом, выводы, сделанные ранее относительно коэффициентов регрессии, вполне правомерны.

Важным условием применения к обработке данных метода множественной регрессии является отсутствие сколько-нибудь значительной взаимосвязи между факторными признаками. При практическом использовании метода множественной регрессии, прежде чем включать факторы в уравнение, необходимо убедиться в том, что они независимы.

Если один из факторов зависит линейно от другого, то система нормальных уравнений, используемая для нахождения параметров уравнения, не разрешима. Содержательно этот факт можно толковать так: если факторы х 1 и x 2 связаны между собой, то они действуют на результативный признак у практически как один фактор, т. е. сливаются воедино и их влияние на изменение у разделить невозможно. Когда между независимыми переменными уравнения множественной регрессии имеется линейная связь, следствием которой является неразрешимость системы нормальных уравнений, то говорят о наличии мультиколлинеарности.

На практике вопрос о наличии или об отсутствии мультиколлинеарности решается с помощью показателей взаимосвязи. В случае двух факторных признаков используется парный коэффициент корреляции между ними: если этот коэффициент по абсолютной величине превышает 0,8, то признаки относят к числу мультиколлинеарных. Если число факторных признаков больше двух, то рассчитываются множественные коэффициенты корреляции. Фактор признается мультиколлинеарным, если множественный коэффициент корреляции, характеризующий совместное влияние на этот фактор остальных факторных признаков, превзойдет по величине коэффициент множественной корреляции между результативным признаком и совокупностью всех независимых переменных.

Самый естественный способ устранения мультиколлинеарности — исключение одного из двух линейно связанных факторных признаков. Этот способ прост, но не всегда приемлем, так как подлежащий исключению фактор может оказывать на зависимую переменную особое влияние. В такой ситуации применяются более сложные методы избавления от мультиколлинеарности ( См.: Мот Ж. Статистические предвидения и решения на предприятии. М., 1966; Ковалева Л. Н. Многофакторное прогнозирование на основе рядов динамики. М., 1980. ).

Выбор «наилучшего» уравнения регрессии. Эта проблема связана с двойственным отношением к вопросу о включении в регрессионное уравнение независимых переменных. С одной стороны, естественно стремление учесть все возможные влияния на результативный признак и, следовательно, включить в модель полный набор выявленных переменных. С другой стороны, возрастает сложность расчетов и затраты, связанные с получением максимума информации, могут оказаться неоправданными. Нельзя забывать и о том, что для построения уравнения регрессии число объектов должно в несколько раз превышать число независимых переменных. Эти противоречивые требования приводят к необходимости компромисса, результатом которого и является «наилучшее» уравнение регрессии. Существует несколько методов, приводящих к цели: метод всех возможных регрессий, метод исключения, метод включения, шаговый регрессионный и ступенчатый регрессионный методы.

Метод всех возможных регрессий заключается в переборе и сравнении всех потенциально возможных уравнений. В качестве критерия сравнения используется коэффициент детерминации R 2 . «Наилучшим» признается уравнение с наибольшей величиной R 2 . Метод весьма трудоемок и предполагает использование вычислительных машин.

Методы исключения и включения являются усовершенствованными вариантами предыдущего метода. В методе исключения в качестве исходного рассматривается регрессионное уравнение, включающее все возможные переменные. Рассчитывается частный F-критерий для каждой из переменных, как будто бы она была последней переменной, введенной в регрессионное уравнение. Минимальная величина частного F-критерия (F min ) сравнивается с критической величиной (F кр ), основанной на заданном исследователем уровне значимости. Если F min >F кр , то уравнение остается без изменения. Если F min кр , то переменная, для которой рассчитывался этот частный F-критерий, исключается. Производится перерасчет уравнения регрессии для оставшихся переменных, и процедура повторяется для нового уравнения регрессии. Исключение из рассмотрения уравнений с незначимыми переменными уменьшает объем вычислений, что является достоинством этого метода по сравнению с предыдущим.

Метод включения состоит в том, что в уравнение включаются переменные по степени их важности до тех пор, пока уравнение не станет достаточно «хорошим». Степень важности определяется линейным коэффициентом корреляции, показывающим тесноту связи между анализируемой независимой переменной и результативным признаком: чем теснее связь, тем больше информации о результирующем признаке содержит данный факторный признак и тем важнее, следовательно, введение этого признака в уравнение.

Процедура начинается с отбора факторного признака, наиболее тесно связанного с результативным признаком, т. е. такого факторного признака, которому соответствует максимальный по величине парный линейный коэффициент корреляции. Далее строится линейное уравнение регрессии, содержащее отобранную независимую переменную. Выбор следующих переменных осуществляется с помощью частных коэффициентов корреляции, в которых исключается влияние вошедших в модель факторов. Для каждой введенной переменной рассчитывается частный F-критерий, по величине которого судят о том, значим ли вклад этой переменной. Как только величина частного F-критерия, относящаяся к очередной переменной, оказывается незначимой, т. е. эффект от введения этой переменной становится малозаметным, процесс включения переменных заканчивается. Метод включения связан с меньшим объемом вычислений, чем предыдущие методы. Но при введении новой переменной нередко значимость включенных ранее переменных изменяется. Метод включения этого не учитывает, что является его недостатком. Модификацией метода включения, исправляющей этот недостаток, является шаговый регрессионный метод.

Шаговый регрессионный метод кроме процедуры метода включения содержит анализ переменных, включенных в уравнение на предыдущей стадии. Потребность в таком анализе возникает в связи с тем, что переменная, обоснованно введенная в уравнение на ранней стадии, может оказаться лишней из-за взаимосвязи ее с переменными, позднее включенными в уравнение. Анализ заключается в расчете на каждом этапе частных F-критериев для каждой переменной уравнения и сравнении их с величиной F кр , точкой F-распределения, соответствующей заданному исследователем уровню значимости. Частный F-критерий показывает вклад переменной в вариацию результативного признака в предположении, что она вошла в модель последней, а сравнение его с F кр позволяет судить о значимости рассматриваемой переменной с учетом влияния позднее включенных факторов. Незначимые переменные из уравнения исключаются.

Рассмотренные методы предполагают довольно большой объем вычислений и практически неосуществимы без ЭВМ. Для реализации ступенчатого регрессионного метода вполне достаточно малой вычислительной техники.

Ступенчатый регрессионный метод включает в себя такую последовательность действий. Сначала выбирается наиболее тесно связанная с результативным признаком переменная и составляется уравнение регрессии. Затем находят разности фактических и выравненных значений и эти разности (остатки) рассматриваются как значения результативной переменной. Для остатков подбирается одна из оставшихся независимых переменных и т. д. На каждой стадии проверяется значимость регрессии. Как только обнаружится незначимость, процесс прекращается и окончательное уравнение получается суммированием уравнений, полученных на каждой стадии за исключением последней.

Ступенчатый регрессионный метод менее точен, чем предыдущие, но не столь громоздок. Он оказывается полезным в случаях, когда необходимо внести содержательные правки в уравнение. Так, для изучения факторов, влияющих на цены угля в Санкт-Петербурге в конце XIX— начале XX в., было получено уравнение множественной регрессии. В него вошли следующие переменные: цены угля в Лондоне, добыча угля в России и экспорт из России. Здесь не обосновано появление в модели такого фактора, как добыча угля, поскольку Санкт-Петербург работал исключительно на импортном угле. Модели легко придать экономический смысл, если независимую переменную «добыча» заменить независимой переменной «импорт». Формально такая замена возможна, поскольку между импортом и добычей существует тесная связь. Пользуясь ступенчатым методом, исследователь может совершить эту замену, если предпочтет содержательно интерпретируемый фактор.

§ 4. Нелинейная регрессия и нелинейная корреляция

Построение уравнений нелинейной регрессии. До сих пор мы, в основном, изучали связи, предполагая их линейность. Но не всегда связь между признаками может быть достаточно хорошо представлена линейной функцией. Иногда для описания существующей связи более пригодными, а порой и единственно возможными являются более сложные нелинейные функции. Ограничимся рассмотрением наиболее простых из них.

Одним из простейших видов нелинейной зависимости является парабола, которая в общем виде может быть представлена функцией (6.2):

Неизвестные параметры а 0 , а 1 , а 2 находятся в результате решения следующей системы уравнений:

Дает ли преимущества описание связи с помощью параболы по сравнению с описанием, построенным по гипотезе линейности? Ответ на этот вопрос можно получить, рассчитав последовательный F-критерий, как это делалось в случае множественной регрессии (см. пример 16).

На практике для изучения связей используются полиномы более высоких порядков (3-го и 4-го порядков). Составление системы, ее решение, а также решение вопроса о полезности повышения порядка функции для этих случаев аналогичны описанным. При этом никаких принципиально новых моментов не возникает, но существенно увеличивается объем расчетов.

Кроме класса парабол для анализа нелинейных связей можно применять и другие виды функций. Для расчета неизвестных параметров этих функций рекомендуется использовать метод наименьших квадратов, как наиболее мощный и широко применяемый.

Однако метод наименьших квадратов не универсален, поскольку он может использоваться только при условии, что выбранные для выравнивания функции линейны по отношению к своим параметрам. Не все функции удовлетворяют этому условию, но большинство применяемых на практике с помощью специальных преобразований могут быть приведены к стандартной форме функции с линейными параметрами.

Рассмотрим некоторые простейшие способы приведения функций с нелинейными параметрами к виду, который позволяет применять к ним метод наименьших квадратов.

Функция не является линейной относительно своих параметров.

Прологарифмировав обе части приведенного равенства

получим функцию, линейную относительно своих новых параметров:

Кроме логарифмирования для приведения функций к нужному виду используют обратные величины.

с помощью следующих переобозначений:

может быть приведена к виду

Подобные преобразования расширяют возможности использования метода наименьших квадратов, увеличивая число функций, к которым этот метод применим.

Измерение тесноты связи при криволинейной зависимости. Рассмотренные ранее линейные коэффициенты корреляции оценивают тесноту взаимосвязи при линейной связи между признаками. При наличии криволинейной связи указанные меры связи не всегда приемлемы. Разберем подобную ситуацию на примере.

Пример 17. В 1-м и 2-м столбцах табл. 5 приведены значения результативного признака у и факторного признака х (данные условные). Поставив вопрос о тесноте связи между ними, рассчитаем парный линейный коэффициент корреляции по формуле (6.3). Он оказался равным нулю, что свидетельствует об отсутствии линейной связи. Тем не менее связь между признаками существует, более того, она является функциональной и имеет вид

Для измерения тесноты связи при криволинейной зависимости используется индекс корреляции, вычисляемый по формуле

где у i —i-e значение результативного признака; ŷ i —i-e выравненное значение этого признака; —среднее арифметическое значение результативного признака.

Числитель формулы (6.27) характеризует разброс выравненных значений результативного признака. Поскольку изменения выравненных, т. е. вычисленных по уравнению регрессии, значений признака происходят только в результате изменения факторного признака х. то числитель измеряет разброс результативного признака, обусловленный влиянием на него факторного признака. Знаменатель же измеряет разброс признака-результата, который определен влиянием на него всех факторов, в том числе и учтенного. Таким образом, индекс корреляции оценивает участие данного факторного признака в общем действии всего комплекса факторов, вызывающих колеблемость результативного признака, тем самым определяя тесноту зависимости признака у от признака х. При этом, если признак х не вызывает никаких изменений признака у, то числитель и, следовательно, индекс корреляции равны 0. Если же линия регрессии полностью совпадает с фактическими данными, т. е. признаки связаны функционально, как в примере 17, то индекс корреляции равен 1. В случае линейной зависимости между х и у индекс корреляции численно равен линейному коэффициенту корреляции г. Квадрат индекса корреляции совпадает с введенным ранее (6.21) коэффициентом детерминации. Если же вопрос о форме связи не ставится, то роль коэффициента детерминации играет квадрат корреляционного отношения η 2 y/x (6.12).

Таковы основные принципы и условия, методика и техника применения корреляционного и регрессионного анализа. Их подробное рассмотрение обусловлено тем, что они являются высокоэффективными и потому очень широко применяемыми методами анализа взаимосвязей в объективном мире природы и общества. Корреляционный и регрессионный анализ широко и успешно применяются и в исторических исследованиях.

Выборочным уравнением регрессии называется уравнение формула

Л=Ро+М 1+- + Мф+е.-> = , . л (5.1) для каждого уровня качественного признака (т. е. выборочное уравнение регрессии отдельно для работников-мужчин и отдельно — для женщин), а затем изучать различия между ними (см. 5.4). [c.116]

Отсюда выборочное уравнение регрессии будет иметь вид [c.168]

Выборочные уравнения регрессии [c.142]

Уравнение (5.4) определяет выборочное уравнение регрессии у на х. Сама функция J (x) называется выборочной регрессией Y на X, а график J (x) — выборочной регрессией. Аналогично определяется для случайных величин X [c.142]

Затем по формулам (3.7)— (3.15) находим выборочные характеристики и параметры уравнений регрессии [c.55]

Найдем дисперсию групповой средней у, представляющей выборочную оценку M Y). С этой целью уравнение регрессии (3.12) представим в виде [c.64]

Зная вектор Ь, выборочное уравнение множественной регрессии представим в виде [c.87]

Решение. По формуле (4.8) найдем вектор оценок параметров регрессионной модели b =(3,515 —0,006 15,542 60,110 4,475 —2,932), так что в соответствии с (4.9) выборочной уравнение множественной регрессии имеет вид [c.113]

Так что в соответствии с (4.9) выборочное уравнение множественной регрессии примет вид [c.120]

Так как параметры линейной регрессии зависимы между собой (b = Y — a-X ), то уравнение регрессии можно переписать в виде f = ax + b = a-(x — X + Y. Каждая точка на линии регрессии выражается через выборочные значения (а, 7), [c.120]

Регрессионное уравнение не дает точного прогноза зависимой переменной для любого заданного значения независимой переменной, так как коэффициенты регрессии подвержены случайным искажениям. Чтобы учесть погрешности оцененного уравнения регрессии, отражающего действительные закономерности поведения всего населения на основе выборочного наблюдения, уравнение регрессии обычно записывается как [c.5]

Наряду с ошибками спецификации могут иметь место ошибки выборки, поскольку исследователь чаще всего имеет дело с выборочными данными при установлении закономерной связи между признаками. Ошибки выборки имеют место и в силу неоднородности данных в исходной статистической совокупности, что, как правило, бывает при изучении экономических процессов. Если совокупность неоднородна, то уравнение регрессии не имеет практического смысла. Для получения хорошего результата обычно исключают из совокупности единицы с аномальными значениями исследуемых признаков. И в этом случае результаты регрессии представляют собой выборочные характеристики. [c.36]

В связи с тем, что в реальности всегда существуют неуправляемые и неконтролируемые возмущения, изменение Y носит случайный характер, поэтому при обработке экспериментальных данных вместо точных значений а,, ац ау . . . получаются так называемые выборочные коэффициенты регрессии, являющиеся оценками теоретических коэффициентов. Уравнение регрессии, получаемое на основании опыта, имеет ту же структуру [c.221]

Вид графа непосредственных связей говорит о том, что при построении уравнения регрессии только по двум факторам — количеству тралений и времени чистого траления— остаточная дисперсия ст .з4 не отличалась бы от остаточной дисперсии а .23456. полученной из уравнения регрессии, построенного по всем факторам. Чтобы оценить различие, мы обратимся в данном случае к выборочной оценке. 1.23456 = 0,907, а 1.34 = 0,877. Но если скорректировать коэффициенты по формуле (38), то 1.23456=0,867, a / i.34= = 0,864. Различие вряд ли можно считать существенным. Более того, г14 = 0,870. Это наводит на мысль, что количество тралений почти не оказывает непосредственного влияния на размер улова. Действительно, в стандартизованном масштабе 1.34 = 0,891 4 — 0,032 3- Нетрудно убедиться, что коэффициент регрессии при t3 недостоверен даже при очень низком доверительном интервале. [c.187]

Следует отметить, что вычисление и использование выборочных характеристик степени тесноты связи типа (1.21) затруднено по меньшей мере тремя обстоятельствами 1) необходимостью предварительного выбора общего вида регрессионной зависимости 2) необходимостью предварительного вычисления оценок для входящих в уравнение регрессии неизвестных параметров 3) отсутствием строгих рекомендаций по их проверке на статистическую значимость и по построению соответствующих интервальных оценок. [c.81]

Пользуясь результатами эксперимента, можно определить выборочные коэффициенты регрессии bo, bt, by, Ь, которые являются лишь оценками (приближенными значениями) для теоретических коэффициентов регрессии. Уравнение регрессии, полученное на основе опыта, запишется так [c.245]

Требуется по полученным данным найти выборочное уравнение прямой линии средней квадратической регрессии [c.143]

Как связаны эмпирические коэффициенты линейной регрессии с выборочным коэффициентом корреляции между переменными уравнения регрессии [c.107]

Проиллюстрируем связь между коэффициентом детерминации R для парного уравнения регрессии и выборочным коэффициентом корреляции гху. [c.134]

Здесь (k — m — 1) — число степеней свободы соответствующих выборочных дисперсий (т — количество объясняющих переменных в уравнении регрессии). [c.218]

Если случайные отклонения уравнения регрессии удовлетворяют предпосылкам МНК, то ошибка предсказания At+p будет иметь нулевое математическое ожидание и минимальную дисперсию. При этом в случае парной регрессии (12.44) выборочная дисперсия определяется по формуле [c.294]

Для практического применения обобщенного метода наименьших квадратов следует оценить матрицу . Это можно сделать, применив метод наименьших квадратов сначала к уравнениям (9.18), (9.19) по отдельности, найти остатки регрессии и принять в качестве оценок матриц Z/, выборочные ковариации 6v(e,,e7). Очевидно, эти оценки будут состоятельными. [c.237]

Коэффициенты регрессии, найденные исходя из системы нормальных уравнений, представляют собой выборочные оценки характеристики силы связи. Их несмещенность является желательным свойством, так как только в этом случае они могут иметь практическую значимость. Несмещенность оценки означает, что математическое ожидание остатков равно нулю. Следовательно, при большом числе выборочных оцениваний остатки не будут накапливаться и найденный параметр регрессии bt можно рассматривать как среднее значение из возможного большого количества несмещенных оценок. Если оценки обладают свойством несмещенности, то их можно сравнивать по разным исследованиям. [c.156]

Этап 7 (анализ точности полученных уравнений связи). Исследователь должен отдавать себе отчет в том, что найденная им в соответствии с (В.24) аппроксимация f (X) неизвестной теоретической функции fT (X) из соотношений типа (В. 14), (В. 16) или (В.21) (называемая эмпирической функцией регрессии, см. гл. 5) является лишь некоторым приближением истинной зависимости fT (X)1. При этом погрешность в описании неизвестной истинной функции fT (X) с помощью f (X) в общем случае состоит из двух составляющих а) ошибки аппроксимации 6F и б) ошибки выборки б (/г). Величина первой зависит от успеха в реализации этапа 4, т. е. от правильности выбора класса допустимых решений F. В частности, если класс F выбран таким образом, что включает в себя и неизвестную истинную функцию f (т. е. fT (X) F), то ошибка аппроксимации 6F = 0. Но даже в этом случае остается случайная составляющая (ошибка выборки) б (/г), обусловленная ограниченностью выборочных данных вида (В.1), па основании которых мы подбираем функцию f (X) (оцениваем ее параметры). Очевидно, уменьшить ошибку выборки мы можем за счет увеличения объема п обрабатываемых выборочных данных, так как при fT (X) F (т. е. при 6F — 0) и правильно выбранных методах статистического оценивания (т. е. при правильном выборе оптимизируемого функционала качества модели Дп (/)) ошибка выборки б (/г) -> 0 (по вероятности) при п — оо (свойство состоятельности используемой процедуры статистического оценивания неизвестной функции fT (X)). [c.52]

Последнее определение Я-регрессии удобно для построения оценок (в, , 0J) по выборочным данным. Для этого достаточно в уравнениях (7.38) — (7.40) заменить символ математического ожидания Е на знак суммирования по всем наблюдениям и ре- [c.220]

Теперь обратимся к выборочным данным о расходах, собранным путем выборочного опроса части жителей городка. Считая выборку репрезентативной, предположим, для простоты, она включает по одному человеку из каждой группы дохода. Отображая выборочные точки на графике, мы можем провести через них линию регрессии, соответствующую уравнению Y = а + ЬX, коэффициенты а и b в котором рассчитываются по обычным формулам линейной регрессии. Если учесть, что наблюдаемые значения К. не лежат на линии регрессии (a+bXt), то в это уравнение надо добавить выборочные случайные возмущения е (ek = Yk-a-bX , являющиеся аналогами случайных возмущений в генеральной совокупности [c.306]

Он характеризует долю вариации (разброса) зависимой переменной, объясненной с помощью данного уравнения. В качестве меры разброса зависимой переменной обычно используется ее дисперсия, а остаточная вариация может быть измерена как дисперсия отклонений вокруг линии регрессии. Если числитель и знаменатель вычитаемой из единицы дроби разделить на число наблюдений л, то получим, соответственно, выборочные оценки остаточной дисперсии и дисперсии зависимой переменной . Отношение остаточной и общей дисперсий представляет собой долю необъясненной дисперсии. Если же эту долю вычесть из единицы, то получим долю дисперсии зависимой переменной, объясненной с помощью регрессии. Иногда при расчете коэффициента детерминации для получения несмещенных оценок дисперсии в числителе и знаменателе вычитаемой из единицы дроби делается поправка на число степеней свободы тогда [c.313]

Для простоты рассмотрим случай, когда набор активов У состоит из одного актива (т = 1), и перейдем к выборочному аналогу уравнения (15.23). Тогда, чтобы тестировать гипотезу Но, нам надо оценить коэффициенты регрессии [c.452]

Jf KXY vs x значит, прямая линия регрессии имеет уравнение у= У+(х— X )Kxv s2x Через KXy s2x обозначаем выборочные аналоги корреляционного момента случайной величины X, У и дисперсии соответственно. [c.136]

В силу того, что оценивание параметров уравнения (6.6.11) осуществляется по выборочным данным, оценки а и b содержат некоторую погрешность. Причем, погрешность в значении а приводит к вертикальному сдвигу линии регрессии, а колеблемость оценки Ь, связанная с ее выборочным происхождением — к покачиванию линии регрессии. Тогда дисперсия значения зависимой переменной у , обозначим ее 5>(2, будет складываться из двух компонент — дисперсии параметра а и дисперсии параметра Ь. Ее выражение имеет вид [c.426]

Несмотря на кажущуюся надежность уравнения регрессии для всей выборочной совокупности НГДУ, использовать его для практических целей нельзя, так как проверка на нормальность распределения у показала, что р=1,043 значительно больше табличного значения, что свидетельствует о ненормальном распределении у. Поэтому необходимо рассмотреть вопрос о правомерности использования данной совокупности НГДУ для корреляционного и регрессионного анализа. Для этого проведено попарное сравнение дисперсий о2 отдельных групп НГДУ. [c.88]

Полученные для выборочной совокупности НГДУ уравнения регрессии (20) — (22) могут точно не совпадать с истинной зависимостью, характерной для генеральной совокупности НГДУ. Поэтому необходимо найти доверительный интервал Д, в котором с определенной вероятностью будет находиться расчетная величина производительности труда. Для среднего значения производительности труда у величину доверительного интервала при заданной доверительной вероятности, являющейся минимальной, рассчитывают по формуле [c.89]

Зная величину Эу для каждого фактора, можно оценить возможный рост (падение) производительности труда за счет изменения отдельных факторов. Так, если нам известно, что изменение дебита скважин на 1 % приводит к изменению производительности труда на k %, то, зная величину изменения указанного фактора в планируемом периоде, можно рассчитать ожидаемый уровень производительности труда. Так как уравнения регрессии (20) — (22) выражают зависимость производительности труда от основных факторов не по каждому НГДУ, а в среднем по выборочной совокупности их, то прогнозируемые значения производительности труда целесообразно рассчитывать по формулам (20) — (22) лишь в отраслевом масштабе для отдельных групп НГДУ с растущей, стабильной или падающей добычей. [c.145]

Для точного описания уравнения регрессии необходимо знать условный закон распределения зависимой переменной Y при условии, что переменная X примет значение дс, т. е. Х=х. В статистической практике такую информацию получить, как правило, не удается, так как обычно исследователь располагает лишь выборкой пар значений (х/, у,) ограниченного объема п. В этом случае речь может идти об оценке (приближенном выражении, аппроксимаций) по выборке функции регрессии. Такой оценкой1 является выборочная линия (кривая) регрессии [c.52]

Проверка уравнения Фишера. Как ранее упоминалось, уравнение Фишера — это тождество, которое не может быть доказано или опровергнуто. Однако наблюдалось множество попыток ввести дополнительные ограничения для модели, чтобы проверить ее полезность для объяснения изменений процентных ставок во времени. Эти исследования восходят к работе самого Фишера, посвященной процентным ставкам и инфляции, где он обнаружил, что корреляция между темпами инфляции и ставкой по коммерческим бумагам оказалась низкой в обоих выборочных периодах (1890-1914 гг. и 1915-1927 гг.). Фама (Fama, 1975) предположил, что с течением времени серьезных изменений реальных ставок не происходит, поэтому данный процесс должен быть вызван исключительно изменениями в инфляции. Он протестировал данное положение, выстроив уравнение регрессии процентных ставок по отношению к ожидаемой инфляции [c.1193]

При практическом применении мнк-оценок исследователь часто сталкивается с явлением мультиколлинеарности, когда объясняющие переменные сильно коррелированы, т. е. существуют выраженные, хотя и неточные, линейные связи между несколькими или всеми объясняющими переменными. В этой ситуации точность обычных мнк-оценок резко падает ошибки некоторых параметров уравнения регрессии становятся очень большими, эти ошибки сильно скоррелированы, выборочные дисперсии резко возрастают. Резко сокращаются возможности интерпретации уравнения регрессии. Степень мультиколлинеарности измеряется либо обратной величиной минимального собственного числа нормированной (корреляционной) матрицы, либо числом обусловленности, равным отношению максимального собственного числа к минимальному. Если минимальное собственное число равно нулю, то степень мультиколлинеарности и число обусловленности являются бесконечно большими, и мы имеем дело с точной мультикол-линеарностью или вырожденной системой линейных уравнений. [c.297]