Вычисление корня уравнения методом ньютона

Метод Ньютона

Инструкция . Введите выражение F(x) , нажмите Далее . Полученное решение сохраняется в файле Word . Также создается шаблон решения в Excel .

  • Решение онлайн
  • Видеоинструкция
  • Оформление Word

Правила ввода функции, заданной в явном виде

  2. Примеры правильного написания F(x) :
    1. 10•x•e 2x = 10*x*exp(2*x)
    2. x•e -x +cos(3x) = x*exp(-x)+cos(3*x)
    3. x 3 -x 2 +3 = x^3-x^2+3
    4. Выражение 0.9*x=sin(x)+1 необходимо преобразовать к виду: sin(x)+1-0.9*x . Аналогично, x^2-7=5-3x к виду x^2+3x-12 .

    Пусть дано уравнение f(x)=0 , где f(x) определено и непрерывно в некотором конечном или бесконечном интервале a ≤ x ≤ b . Всякое значение ξ, обращающее функцию f(x) в нуль, то есть такое, что f(ξ)=0 называется корнем уравнения или нулем функции f(x) . Число ξ называется корнем k -ой кратности, если при x = ξ вместе с функцией f(x) обращаются в нуль ее производные до (k-1) порядка включительно: f(ξ)=f’(ξ)= … =f k-1 (ξ) = 0 . Однократный корень называется простым.
    Приближенное нахождение корней уравнения складывается из двух этапов:

    1. Отделение корней, то есть установление интервалов [αi,βi] , в которых содержится один корень уравнения.
      1. f(a)•f(b) , т.е. значения функции на его концах имеют противоположные знаки.
      2. f’(x) сохраняет постоянный знак, т.е. функция монотонна (эти два условия достаточны, но НЕ необходимы) для единственности корня на искомом отрезке).
      3. f”(x) сохраняет постоянный знак, т.е. функция выпукла вверх, либо – вниз.
    2. Уточнение приближенных корней, то есть доведение их до заданной точности.

    Геометрическая интерпретация метода Ньютона (метод касательных)

    Критерий завершения итерационного процесса имеет вид

    Метод Ньютона онлайн

    Данный онлайн калькулятор находит корень уравнения приближённо. В основе алгоритма его работы лежит метод Ньютона. Чтобы начать работу, необходимо ввести исходные данные своей задачи.

    Методом Ньютона, найти корень (

    максимальное кол-во итераций:

    критерий останова вычислений:

    Метод Ньютона является численным, т.е. корень уравнения находится приближенно. При этом можно заранее задать точность его нахождения.

    Пусть нам дано уравнение

    Формула для поиска корня уравнения выглядит следующим образом:

    и — приближённые значения корня уравнения на -ой и ( )-ой итерациях соответственно, — значение функции в точке , — значение производной функции в точке .

    Как видно, для того чтобы начать работу необходимо задать точку — начальное приближение для корня уравнения . От выбора точки зависит сойдётся ли алгоритм к решению или нет. Сходимость метода квадратичная, но она резко ухудшается если мы ищем кратный корень уравнения, т.е. если и одновременно , где — кратный корень уравнения .

    Вычисления по приведённой выше формуле можно продолжать до бесконечности, соответственно на практике необходим некоторый критерий, который будет определять нужно ли нам продолжать вычисления или нет. Как правило, используется критерий останова вычислений на основе приращения или же на основе близости функции к нулю в некоторой точке .

    Критерий останова вычислений на основе приращения задаётся следующей формулой:

    т.е. различие (по модулю) между двумя последовательными приближениями к корню уравнения ( и ) должны быть меньше, некоторой наперёд заданной величины .

    Критерий останова вычислений на основе близости функции к нулю определяется следующей формулой:

    т.е. отличие (по модулю) между функцией в некоторой точке и нулём меньше .

    В тоже время, если последовательность к корню не сходится, то критерии останова не сработают и процесс поиска корня будет продолжаться бесконечно. Чтобы предотвратить такую ситуацию, на практике вычисления прекращают после некоторого, заданного количества итераций.

    На рисунке ниже приведена геометрическая интерпретация процесса поиска корня уравнения методом Ньютона.

    В точке мы строим касательную к графику функции . Уравнение касательной в этой точке имеет вид:

    Находим точку пересечения полученной касательной с осью абсцисс, т.е. рассматриваем точку с координатами . Подставляя координаты указанной точки в уравнение касательной, получаем следующее соотношение:

    Из данного уравнения находим :

    Продолжая данный процесс, получим формулу метода Ньютона, приведенную выше. Из-за того, что на каждой итерации фактически происходит построение касательной, метод Ньютона также иногда называют методом касательных.

    Другие полезные разделы:

    Оставить свой комментарий:

    Мы в социальных сетях:
    Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме

    Метод Ньютона

    Единственные требования, накладываемые на функцию $f$ — что у неё есть хотя бы один корень и что она непрерывна и дифференцируема на интервале поиска.

    #Описание алгоритма

    Алгоритм начинает с какого-то изначального приближения $x_0$ и затем итеративно строит лучшее решение, строя касательную к графику в точке $x = x_i$ и присваивая в качестве следующего приближения $x_$ координату пересечения касательной с осью $x$. Интуиция в том, что если функция $f$ «хорошая», и $x_i$ уже достаточно близок к корню, то $x_$ будет ещё ближе.

    Чтобы получить точку пересечения для $x_i$, нужно приравнять уравнение касательной к нулю:

    $$ 0 = f(x_i) + (x_ — x_i) f'(x_i) $$ откуда можно выразить $$ x_ = x_i — \frac $$

    Метод Ньютона крайне важен в вычислительной математике: в большинстве случаев именно он используется для нахождения численных решений уравнений.

    #Поиск квадратных корней

    В качестве конкретного примера рассмотрим задачу нахождения квадратных корней, которую можно переформулировать как решение следующего уравнения:

    $$ x = \sqrt n \iff x^2 = n \iff f(x) = x^2 — n = 0 $$ Если в методе Ньютона подставим $f(x) = x^2 — n$, мы получим следующее правило: $$ x_ = x_i — \frac <2 x_i>= \frac <2>$$

    Если нам нужно посчитать корень с некоторой заданной точностью $\epsilon$, можно на каждой итерации делать соответствующую проверку:

    Алгоритм успешно сходится к правильному ответу для многих функций, однако это происходит надежно и доказуемо только для определенного множества функций (например, выпуклых). Другой вопрос — как быстра эта сходимость, если она происходит.

    #Скорость сходимости

    Запустим метод Ньютона для поиска квадратного корня $2$, начиная с $x_0 = 1$, и посмотрим, сколько первых цифр оказались правильными после каждой итерации:

    Можно заметить, что число корректных цифр примерно удваивается после каждой итерации. Такая прекрасная скорость сходимости не просто совпадение.

    Чтобы оценить скорость сходимости численно, рассмотрим небольшую относительную ошибку $\delta_i$ на $i$-ой итерации и посмотрим, насколько меньше станет ошибка $\delta_$ на следующей итерации.

    $$ |\delta_i| = \frac<|x_n - x|> $$ В терминах относительных ошибок, мы можем выразить $x_i$ как $x \cdot (1 + \delta_i)$. Подставляя это выражение в формулу для следующей итерации и деля обе стороны на $x$ получаем $$ 1 + \delta_ = \frac<1> <2>(1 + \delta_i + \frac<1><1 + \delta_i>) = \frac<1> <2>(1 + \delta_i + 1 — \delta_i + \delta_i^2 + o(\delta_i^2)) = 1 + \frac<\delta_i^2> <2>+ o(\delta_i^2) $$

    Здесь мы разложили $(1 + \delta_i)^<-1>$ в ряд Тейлора в точке $0$, используя предположение что ошибка $d_i$ мала: так как последовательность $x_i$ сходится к $x$, то $d_i \ll 1$ для достаточно больших $n$.

    Наконец, выражая $\delta_$, получаем

    что означает, что относительная ошибка примерно возводится в квадрат и делится пополам на каждой итерации, когда мы уже близки к решению. Так как логарифм $(- \log_ <10>\delta_i)$ примерно равен числу правильных значимых цифр числа $x_i$, возведение ошибки в квадрат соответствует удвоению значимых цифр ответа, что мы и наблюдали ранее.

    Это свойство называется квадратичной сходимостью, и оно относится не только к нахождению квадратных корней. Оставляя формальное доказательство в качестве упражнения, можно показать, что в общем случае

    $$ |\delta_| = \frac<|f''(x_i)|> <2 \cdot |f'(x_n)|>\cdot \delta_i^2 $$ что означает хотя бы квадратичную сходимость при нескольких дополнительных предположениях, а именно что $f'(x)$ не равна нулю и $f»(x)$ непрерывна.


    источники:

    http://mathforyou.net/online/numerical/newton/

    http://ru.algorithmica.org/cs/numerical/newton/

© 2023 Русский язык. Привила написания. Наш первый проект тут и тут