Вычислить координаты вершин ромба если известны уравнения

Электронная библиотека

Пример 1. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон: и и уравнение одной из его диагоналей: . Решение. Выясним взаимное расположение известных сторон ромба. Угловой коэффициент k прямой определяется по формуле:

Стороны параллельны, так как имеют одинаковый угловой коэффициент:

Для построения рисунка (рис. 4.1) запишем уравнения в отрезках для данных прямых:

Наметим план решения: 1) находим вершины ромба P и Q ; 2) находим точку пересечения диагоналей ромба N ; 3) через точку N проводим диагональ D 2 ; 4) находим оставшиеся вершины ромба R и S .1) Так как точка P является точкой пересечения прямых L 2 и D 1 , то ее координаты находим из системы уравнений:

Из рис. 4.1 сразу находим координаты точки Q (- 2, 0) . 2) Так как диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, то точка является серединой отрезка PQ , поэтому ее координаты — полусумма соответствующих координат точек P и Q :

3) Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны, то прямая D 2 перпендикулярна вектору . Найдем его координаты:

По формуле (3.1) находим уравнение диагонали D 2 как уравнение прямой, проходящей через точку N (- 3, 1) перпендикулярно вектору = <2; — 2>:

2( x — (- 3)) + (- 2)( y — 1) = 0, x — y + 4 = 0.

4) Вершины ромба R и S — точки пересечения прямых L 2 и D 2 , L 1 и D 2 , соответственно, находим из уравнений:

Ответ: P (- 4, 2) R (- 6, — 2), Q (- 2, 0), S (0, 4).

Пример 2. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину P (2, — 7), уравнения высоты 3 x + y + 11 = 0 и медианы x + 2 y + 7 = 0, проведенных из разных вершин. Решение. Для построения рисунка (рис. 4.2) приведем уравнения данных прямых к уравнениям в отрезках:

h : 3 x + y + 11 = 0, m : x + 2 y + 7 = 0 ,

План решения:1) находим уравнение прямой PQ ;2) находим координаты точки R ;3) находим уравнения прямых RP и RQ .1) Находим нормальный вектор прямой h : . Уравнение стороны PQ , проходящей через точку P (2, — 7) параллельно вектору , запишем в виде:

Находим координаты точки Q — точки пересечения прямых PQ и m :

2) По свойству медианы треугольника PQR точка S ( x S , y S ) является серединой отрезка RP . Следовательно:

Точка S лежит на медиане m , значит,

Точка R лежит на высоте h , значит,

Из последних двух уравнений определяем координаты точки R , решая систему: 3) Используя формулу (3.4), составим уравнение прямой RP , проходящей через две заданные точки R и P : Аналогично, составим уравнение прямой RQ : Ответ: x — 3 y — 23 = 0, ,

Указания к решению заданий по алгебре 1 часть

Алгебра и аналитическая геометрия. Математический анализ

Индивидуальные задания и методические указания

для студентов ФДПО ИНО специальности 220100

Вычислительные машины, комплексы, системы и сети

УДК 519.24.001.5

Кандидат техн. наук, доцент кафедры высшей математики

Контрольные задания по алгебре и аналитической геометрии и математическому анализу для студентов ФДПО ИНО специальности 220100 Вычислительные машины, комплексы, системы и сети/ Курск. гос. техн. ун-т; Сост. Л.В.Карачевцева. Курск, 2004. 77 с.

В данной работе содержатся индивидуальные задания и методические указания, необходимые для выполнения работы.

Работа предназначена для студентов технических специальностей.

Табл. 2. Библиогр.: 11 назв.

Текст печатается в авторской редакции

ИД №06430 от 10. 12. 2001. ПЛД № 50-25 от 01. 04.97.

Подписано в печать ________ . Формат 60х84 1/16. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 0,56. Уч.-изд. л. 0,52. Тираж 50 экз. Заказ ……….

Курский государственный технический университет.

Издательско-полиграфический центр Курского государственного технического университета. 305040 Курск, ул. 50 лет Октября, 94.

Содержание

1. Индивидуальные задания по алгебре и аналитической геометрии.……..5

2. Указания к решению заданий по алгебре и аналитической

2.1. Пример выполнения задания 1……………………………………….15

2.2. Пример выполнения задания 2……………………………………….20

2.3. Пример выполнения задания 4……………………………………….22

2.4. Пример выполнения задания 5……………………………………….27

3. Индивидуальные задания по математическому анализу……….……..33

4. Указания к выполнению заданий по математическому анализу………55

4.1. Указания к заданию 1…………..……………………………………55

4.1.1. Основные теоретические положения…………………………55

4.1.2. Пример выполнения задания 1………………………………..57

4.2. Указания к заданию 2……..…………………………………………61

4.2.1. Основные теоретические положения…………………………61

4.2.2. Пример выполнения задания 2………………………………..62

4.3. Указания к заданиям 3 и 4……..…………………………………….64

4.3.1. Основные теоретические положения…………………………64

4.3.2. Пример выполнения задания 3………………………………..66

4.3.3. Пример выполнения задания 4………………………………..67

4.4. Указания к заданию 5……..……………………………………….. 68

4.4.1. Основные теоретические положения…………………………68

4.4.2. Пример выполнения задания 5………………………………. 69

4.5. Указания к заданию 6…………..……………………………………71

4.5.1. Основные теоретические положения…………………………71

4.5.2. Пример выполнения задания 6………………………………. 73

Список рекомендуемой литературы ………………………………………77

Введение

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом, которая состоит из следующих элементов: изучение материала по конспектам лекций и учебникам, решение задач, самопроверка усвоения материала, выполнение контрольных работ. В помощь заочникам университет организует установочные лекции, практические занятия и консультации. Однако студент должен помнить, что только при систематической и упорной самостоятельной работе помощь вуза окажется достаточно эффективной.

В процессе изучения курсов алгебры и аналитической геометрии и математического анализа студент должен выполнить контрольную работу по каждому разделу, главная цель которых — оказать студенту помощь в его работе и подготовке к экзамену. Рецензия на эти работы позволяет студенту судить о степени усвоения им материала, указывает на имеющиеся у него проблемы.

Каждая работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку чернилами синего или черного цветов. Необходимо оставлять поля шириной 4-5 см для замечаний рецензента.

В заголовке работы на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер (шифр), название дисциплины. В конце работы следует поставить дату ее выполнения и подпись студента.

В контрольную работу студента должны быть включены все задания. Работа, содержащая не все задания, а также задания не своего варианта, не рассматривается.

Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие. Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи. Все исправления и дополнения, на которые указал рецензент, должны быть выполнены на чистых листах в той же тетради, что и прорецензированная работа. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.

Контрольные работы вместе со всеми исправлениями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, следует сохранять. Без предъявления прорецензированной контрольной работы студент не допускается к сдаче экзамена.

Индивидуальные задания по алгебре

И аналитической геометрии

Задание 1

Решить систему линейных уравнений тремя способами:

а) методом Гаусса;

б) по формулам Крамера;

в) с помощью обратной матрицы.

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ; 20. ;

21. ; 22. ;

23. ; 24. ;

25. ; 26. .

Задание 2

Решить матричное уравнение .

Ответ проверить подстановкой в уравнение.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .

25. .

26. .

Задание 3

1. На прямой найти точку равноудаленную от двух данных точек А(1; 1), В(3; 0).

2. Найти координаты точки, симметричной точке (2; -4) относительно прямой .

3. Найти уравнение диагонали параллелограмма, проходящей через точку пересечения его сторон и , если известно, что диагонали параллелограмма пересекаются в точке F(-1; 0).

4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(2; 6) и образующей с осями координат треугольник, который находится во второй четверти и имеет площадь 3 кв.ед.

5. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон и и уравнение одной из его диагоналей .

6. Даны уравнения одной из сторон ромба и одной из его диагоналей . Диагонали ромба пересекаются в точке Р(0; 1). Найти уравнение трех остальных сторон ромба.

7. Уравнения двух сторон параллелограмма и , а уравнение одной из диагоналей . Найти координаты вершин.

8. Даны уравнения сторон треугольника: (АВ) 7x-2y+32=0; (АС) x+ +y +2=0; (ВС) 4x+y-1=0. Найти точку пересечения его высот.

9. Даны стороны треугольника: (АС)2x-15y-55=0; (АВ)4x-3y+25=0; (ВС) 14x+3y-61=0. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину С и через точку на стороне АВ, делящую ее (считая от вершины А) в отношении 1:4.

10.Окружность проходит через точки М(1; 0) и N(2; 1). Найти центр этой окружности, если известно, что он лежит на прямой .

11.Точки В(1; 2) и С(3;-6) симметричны относительно некоторой прямой. Составить уравнение этой прямой.

12.Площадь прямоугольного треугольника, катетами которого являются оси координат, равна 8. Составить уравнение гипотенузы, если известно, что она проходит через точку А(-4; 8).

13.Даны две стороны и и диагональ ромба. Найти вершины ромба.

14.Найти координаты вершин параллелограмма, в котором известны две стороны и и диагональ .

15.Две стороны треугольника заданы уравнениями и , а середина третьей стороны — точка (2;3). Составить уравнение третьей стороны.

16.Даны стороны треугольника: (АВ) 4x+3y-10=0; (ВС) 3x+2y-8=0; (АС) 8x+5y-18=0. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С и делящей сторону АВ в отношении 2:3 (считая от вершины А).

17.Даны стороны треугольника: (АВ) 4x-3y+26=0; (АС) х+2y+1=0; (ВС) 7x+3y-37=0. Найти точку пересечения медианы, проведенной из вершины В и высоты, проходящей через вершину С.

18.Точка К отстоит на одинаковых расстояниях от точек Р(7;8) и Q(1;2). Найти координаты точки К, если известно, что она лежит на прямой .

19.Известны уравнения двух сторон ромба и и одной из его диагоналей . Вычислить координаты вершин ромба.

20.Написать уравнение сторон ромба, если известны диагональ , точка ее пересечения с другой диагональю (0; 2) и одна из сторон .

21.Стороны треугольника заданы уравнениями: (АВ) (ВС) 3х-4y=0; (АС) 5х+12y-10=0. Найдите радиус описанной окружности.

22.Найти точку пересечения высот треугольника, стороны которого лежат на прямых , .

23.Даны стороны треугольника: (АС) 9x-2y-51=0; (АВ) 4x+3y+24=0; (ВС) x+2y+1=0. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину С и точку К на стороне АВ, делящую ее в отношении 3:7 (считая от вершины В).

24.Даны уравнения сторон треугольника ; , . Найти точку пересечения высот.

25.Даны вершины А(2;-2) и В(3;-1) и точка Р(1; 0) пересечения медиан треугольника. Составить уравнение высоты треугольника, проведенной через третью вершину С.

26.Диагонали ромба пересекаются в точке К(-2; 4). Составить уравнение диагонали, не проходящей через точку пересечения сторон и .

Задание 4

На плоскости даны точки , , . Сделать чертеж треугольника и найти:

а) длину и уравнение ребра ВС (записать общее, каноническое, параметрические уравнения, а также уравнения в отрезках и с угловым коэффициентом, если это возможно);

б) косинус угла А;

в) уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно стороне ВС;

г) высоту, проведенную к стороне ВС, и ее уравнение;

д) уравнение медианы, проведенной к стороне ВС;

е) координаты центра и радиус описанной окружности;

ж) площадь треугольника;

з) центр тяжести треугольника.

Координаты точек А, В, С

Задание 5

В пространстве даны точки , . Сделать схематично чертеж пирамиды SABC и найти:

а) длину и уравнения ребра АВ;

б) площадь и уравнение грани АВС;

в) высоту, проведенную из вершины S к грани АВС, и ее уравнения;

г) проекцию вершины S на плоскость АВС;

д) уравнения проекции ребра АS на грань АВС;

е) уравнения прямой, проходящей через вершину S параллельно ребру АВ;

ж) уравнение плоскости, проходящей через вершину S парал-

лельно грани АВС;

з) угол между ребрами АВ и AS;

и) угол между ребром AS и гранью АВС;

к) угол между гранями АВС и АВS;

л) координаты центра тяжести пирамиды АВСS;

м) объем пирамиды АВСS.

Значения

Указания к решению заданий по алгебре

И аналитической геометрии

Пример выполнения задания 1

Решить систему линейных уравнений

.

а) методом Гаусса:

— к элементам первой и третьей строк прибавим соответствующие элементы второй строки:

— к элементам второй строки прибавим соответствующие элементы первой строки, умноженные на -4;

— к элементам третьей строки прибавим соответствующие элементы первой строки:

отыскать координаты вершин ромба,если известны уравнения 2-ух его сторон 2x-5y-1=0 и

Найти координаты вершин ромба,если знамениты уравнения двух его сторон 2x-5y-1=0 и 2x-5y-34=0, и уравнение одной из его диагоналей x+3y-6=0.

• Виолетта Нездрюхина
• Математика 2019-06-12 18:24:47 0 1

2x-5y-1=0
y = 2/5x-1/5 (1)

2x-5y-34=0
y = 2/5x-34/5 (2)

Прямые (1) и (2) параллельны, т.к. угловые коэффициенты равны. Значит (1) и (2) — обратные стороны ромба.
Найдём координаты точек пересечения диагонали со сторонами ромба:
1) 2/5x-1/5 = -1/3x+2 15
6x-3 = -5x+30
6x+5x = 30+3
11x = 33
x = 3
y(3) = 2/5*3-1/5 = 6/5-1/5 = 5/5 = 1
A(3; 1)

2) 2/5x-34/5 = -1/3x+2 15
6x-102 = -5x+30
6x+5x = 102+30
11x = 132
x = 12
y(12) = 2/5*12-34/5 = 24/5-34/5 = -10/5 = -2
C(12; -2)

AC — диагональ ромба. Вторая диагональ BD проходит перпендикулярно AC через её середину. Найдём точку O скрещения диагоналей. Это — середина отрезка AC.
O((3+12)/2; (1-2)/2) = (15/2; -1/2) = (7,5; -0,5)
Найдём уравнение диагонали BD. Это ровная, проходящая через точку O перпендикулярно AC. Угловой коэффициент этой прямой k = 1/3.
y-(-0,5) = -1/(-1/3) (x-7,5)
y+0,5 = 3*(x-7,5)
y+0,5 = 3x-22,5
y = 3x-23
Найдём точки скрещения диагонали BD с прямыми (1) и (2). Это и будут координаты вершин B и D.
1) 2/5x-1/5 = 3x-23 5
2x-1 = 15x-115
15x-2x = 115-1
13x = 114
x = 114/13 = 8 10/13
y(114/13) = 2/5*114/13-1/5 = 228/65-13/65 = 215/65 = 43/13 = 3 4/13
B(8 10/13; 3 4/13)

2) 2/5x-34/5 = 3x-23 5
2x-34 = 15x-115
15x-2x = 115-34
13x = 81
x = 81/13 = 6 3/13
y(81/13) = 2/5*81/13-34/5 = 162/65-442/65 = -310/65 = -62/13 = -4 10/13
D(6 3/13; -4 10/13)

Ответ: A(3; 1), B(8 10/13; 3 4/13), C(12; -2), D(6 3/13; -4 10/13)