Вычислить координаты вершины ромба по уравнениям сторон

Электронная библиотека

Пример 1. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон: и и уравнение одной из его диагоналей: . Решение. Выясним взаимное расположение известных сторон ромба. Угловой коэффициент k прямой определяется по формуле:

Стороны параллельны, так как имеют одинаковый угловой коэффициент:

Для построения рисунка (рис. 4.1) запишем уравнения в отрезках для данных прямых:

Наметим план решения: 1) находим вершины ромба P и Q ; 2) находим точку пересечения диагоналей ромба N ; 3) через точку N проводим диагональ D 2 ; 4) находим оставшиеся вершины ромба R и S .1) Так как точка P является точкой пересечения прямых L 2 и D 1 , то ее координаты находим из системы уравнений:

Из рис. 4.1 сразу находим координаты точки Q (- 2, 0) . 2) Так как диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, то точка является серединой отрезка PQ , поэтому ее координаты — полусумма соответствующих координат точек P и Q :

3) Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны, то прямая D 2 перпендикулярна вектору . Найдем его координаты:

По формуле (3.1) находим уравнение диагонали D 2 как уравнение прямой, проходящей через точку N (- 3, 1) перпендикулярно вектору = <2; — 2>:

2( x — (- 3)) + (- 2)( y — 1) = 0, x — y + 4 = 0.

4) Вершины ромба R и S — точки пересечения прямых L 2 и D 2 , L 1 и D 2 , соответственно, находим из уравнений:

Ответ: P (- 4, 2) R (- 6, — 2), Q (- 2, 0), S (0, 4).

Пример 2. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину P (2, — 7), уравнения высоты 3 x + y + 11 = 0 и медианы x + 2 y + 7 = 0, проведенных из разных вершин. Решение. Для построения рисунка (рис. 4.2) приведем уравнения данных прямых к уравнениям в отрезках:

h : 3 x + y + 11 = 0, m : x + 2 y + 7 = 0 ,

План решения:1) находим уравнение прямой PQ ;2) находим координаты точки R ;3) находим уравнения прямых RP и RQ .1) Находим нормальный вектор прямой h : . Уравнение стороны PQ , проходящей через точку P (2, — 7) параллельно вектору , запишем в виде:

Находим координаты точки Q — точки пересечения прямых PQ и m :

2) По свойству медианы треугольника PQR точка S ( x S , y S ) является серединой отрезка RP . Следовательно:

Точка S лежит на медиане m , значит,

Точка R лежит на высоте h , значит,

Из последних двух уравнений определяем координаты точки R , решая систему: 3) Используя формулу (3.4), составим уравнение прямой RP , проходящей через две заданные точки R и P : Аналогично, составим уравнение прямой RQ : Ответ: x — 3 y — 23 = 0, ,

Уравнение ромба в декартовой системе координат

Составление и решение уравнений многоугольников

Скачать:

Вложение	Размер
составление и решение уравнений многоугольников	124.82 КБ

Предварительный просмотр:

Автор работы: Шпакова Маргарита Андреевна, г.о. Тольятти, МБУ СОШ

Научный руководитель: Владимирова Ольга Ивановна, учитель математики первой категории МБУ СОШ № 58.

В школьном курсе математики учащиеся часто встречаются с алгебраическими уравнениями, уравнениями прямых, уравнениями окружностей, квадратными уравнениями и т.д. Что собой представляют уравнения многоугольников, учащиеся не знают.

Как, например, выглядит уравнение треугольника? Можно ли по фигуре на плоскости составить уравнение? Можно ли рассчитать площадь фигуры по заданному уравнению? Можно ли по заданному уравнению определить, что за многоугольник? Решение этих вопросов меня и заинтересовало. В них есть проблема моей исследовательской работы.

Цель работы: изучить и исследовать на примерах методы, которые дают возможность получить уравнение с модулем любого выпуклого многоугольника на плоскости, координаты вершин которого известны. Найти взаимосвязь площади фигуры от ее уравнения.

Основные ЗАДАЧИ исследования:

Познакомиться с некоторыми видами уравнений прямых на плоскости (уравнение прямой в отрезках, уравнение прямой, проходящей через две различные точки на плоскости);
Научиться составлять уравнение прямой через заданную точку и параллельную другой прямой;
Научиться составлять уравнение прямой, проходящей через две заданные точки;
Научиться по уравнению строить многоугольник на плоскости и наоборот, по чертежу составлять уравнение многоугольника;
Изучить метод областей при решении уравнений, содержащих знак модуля.

Как известно из курса геометрии, любая прямая на координатной плоскости может быть задана уравнением вида

Подобное уравнение называют линейным. Уравнение такого вида называют также общим уравнением прямой на плоскости.

Если ax+by+c = 0 – уравнение некоторой прямой m, то уравнение ax+by+c = p, где р ≠ 0, задает прямую m`, параллельную m. Это следует из того, что данные два уравнения не имеют общих решений, а значит, прямые не имеют общих точек.

У параллельных прямых

Пример1 . Составим уравнение прямой, проходящей через точку М (1;-2) и параллельной прямой 3x-4y+5=0

Подставляя координаты точки М в левую часть уравнения, получаем значение 16. Значит, искомым уравнением прямой будет 3x+4y+5=16 или окончательно 3x+4y-11=0.

Пусть известны координаты двух точек М 1 (x 1 ;y 2 ), М 2 (x 2 ;y 2 ), лежащих на данной прямой. Составим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

(x-x 1 )(y 2 -y 1 )-(y-y 1 )(x 2 -x 1 )=0

Пример 2 . Составим уравнение прямой, проходящей через точку М 1 (3;1) и М 2 (2;2).

Получаем такое уравнение (x-3)(2-1)-(y-1)(2-3)=0

после преобразований выходит х+у-4=0.

Если известны координаты (а;0) и (0;b) точек пересечения прямой с осями Ох и Оу, то для этой прямой проще всего записать уравнение в отрезках + = 1.

Рассмотрим на координатной плоскости ху треугольник с вершинами в точках А (х 1 ;у 1 ), В (х 2 ;у 2 ), С (х 3 ;у 3 ). Уравнение прямой, на которой лежит сторона АВ этого треугольника, можно записать в виде

(x-x 1 )(y 2 -y 1 )-(y-y 1 )(x 2 -x 1 )=0.

Подставим координаты третьей вершины С (х 3 ;у 3 ) в левую часть этого уравнения,

получим некоторое значение

q=(x 3 -x 1 )(y 2 -y 1 )-(y 3 -y 1 )(x 2 -x 1 )

Чтобы понять геометрический смысл числа q, заметим, что уравнение

(х-х 1 )(у 2 -у 1 )-(у-у 1 )(х 2 -х 1 )=q задает прямую, параллельную стороне АВ данного треугольника. Поэтому для каждой точки этой прямой результат подстановки ее координат в левую часть уравнения тот же, что и для точки C (х 3 ;у 3 ), и дает число q. Значит, то же значение получится и для точки С 1 (х 4 ;у 1 ) пересечения упомянутой прямой с прямой у=у 1 , параллельной оси абсцисс и проходящей через вершину A треугольника. Но в этой точке

(х-х 1 )(у 2 -у 1 )-(у-у 2 )(х 2 -х 1 ) = (х 4 -х 1 )(у 2 -у 1 ). Геометрический смысл последнего выражения понять уже несложно: |(х 4 -х 1 )(у 2 -у 1 )| площадь параллелограмма со сторонами АВ и АС 1 . Длина стороны АС 1 равна |х 4 -х 1 |, а длина высоты параллелограмма, опущенной из вершины B на эту сторону, есть |у 2 -у 1 |. Поэтому |q| есть площадь ΔАВС 1 , но она такая же, что и у ΔАВС. В результате приходим к следующей формуле для площади треугольника

S = |(x 3 -x 1 )(y 2 -y 1 )-(y 3 -y 1 )(x 2 -x 1 )|. (3, стр. 169).

Если треугольник задан в декартовой системе координат и имеет своими вершинами точки А (х 1 ;у 1 ), В (х 2 ;у 2 ), С (х 3 ;у 3 ), то можно составить уравнение треугольника:

|(x-x 1 )(y 2 -y 1 )-(y-y 1 )(x 2 -x 1 )| + |(x-x 2 )(y 3 -y 2 )-(y-y 2 )(x 3 -x 2 )| +

+ |(x-x 3 )(y 1 -y 3 )–(y-y 3 )(x 1 -x 3 )| = 2S, где

S = |(x 3 -x 1 )(y 2 -y 1 )-(y 3 -y 1 )(x 2 -x 1 )|.

Пример 3 . Составим уравнение треугольника, изображенного на рисунке. Для этого составим уравнения прямых, которые являются его сторонами, по формуле

(x-x 1 )(y 2 -y 1 )-(y-y 1 )(x 2 -x 1 )=0, задающей уравнение прямой по двум ее точкам. При этом допустимым считаем раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых и недопустимым – умножение обеих частей уравнения на некоторое число (за исключением -1) .

Уравнения сторон имеют вид: х-у+1=0, х+у-1=0, 2у=0. Сложив модули левых частей этих уравнений, и приравняв полученное выражение к удвоенной площади ΔАВС, равной в данном случае 1, приходим к искомому уравнению |x-y+1|+|x+y-1|+2|y|=2.

Описанный метод дает возможность получить уравнение любого выпуклого многоугольника на плоскости, координаты вершин которого известны.

Уравнение квадрата, ромба

Пример 4 . Составить уравнение квадрата:

|x-1| + |y-1| + |x| + |y| = 1. Площадь равна 1.

Пример 5 . Составить уравнение ромба:

Через точки с координатами (1;0), (0;1) уравнение прямой: x +y -1 = 0.

Через точки с координатами (-1;0), (0;1) уравнение прямой: x – y + 1 = 0.

Через точки с координатами (-1;0), (0;-1) уравнение прямой: x + y + 1 = 0.

Через точки с координатами (0;-1), (1;0) уравнение прямой: -x + y + 1 = 0.

Получили: | x + y – 1| + | x – y + 1| + | x + y + 1| + | -x + y + 1 | = 4.

Этот же ромб имеет другое уравнение: |х| + |у| = 1, которое лучше решать «методом областей». Площадь ромба равна 2.

Пример 6 . Докажите, что уравнения: |x + y| + |x – y| = 2 и |x + 1| + |y + 1| + |x -1| +|y – 1| =4 относятся к одному квадрату.

Первое уравнение лучше решать «методом областей», где вся плоскость разбивается прямыми у =-х и у=х на четыре области, значит, искомая фигура четырехугольник, стороны которого параллельны осям координат. Из уравнений каждой области у=1, х=1и т.д. понимаем, что это квадрат, площадь которого равна 4.

Второе уравнение наглядно изображено, подтверждая первое.

Пример 7. Определить вид многоугольника по уравнениям:

|х| + 3|у| = 6; |х-3| + |у+3| = 3; |х-1| + 7|у| = 1.

Во всех случаях даны уравнения ромба .

Пример 8 . Изобразить на плоскости многоугольник по данному уравнению: |x|+|y|+|x+y|=4.

Из данного уравнения следует, что х=0, у=0, х= -у –прямые, которые разбивают плоскость на несколько областей.

Найдем уравнение прямой, стороны многоугольника, в каждой из областей:

Проанализируем расположение квадрата на координатной плоскости.

В общем случае уравнение квадрата в декартовой (прямоугольной) системе координат принимает вид:

где точка О`(a;b) – точка пересечения диагоналей квадрата;

d – длина диагонали квадрата.

В частном случае, когда точка О(0;0) – начала координат, является одновременно и точкой пересечения диагоналей квадрата, уравнение квадрата принимает вид:

где d– длина диагонали квадрата.

Одно из уравнений квадрата можно записать так
|x| + |y| = a
обычно так рисуют ромб, но это квадрат

Вопрос:
Как выглядит уравнение квадрата, если его положить на сторону? Иными словами, стороны квадрата должны быть параллельны осям координат.

Указания к решению заданий по алгебре 1 часть

Алгебра и аналитическая геометрия. Математический анализ

Индивидуальные задания и методические указания

для студентов ФДПО ИНО специальности 220100

Вычислительные машины, комплексы, системы и сети

УДК 519.24.001.5

Кандидат техн. наук, доцент кафедры высшей математики

Контрольные задания по алгебре и аналитической геометрии и математическому анализу для студентов ФДПО ИНО специальности 220100 Вычислительные машины, комплексы, системы и сети/ Курск. гос. техн. ун-т; Сост. Л.В.Карачевцева. Курск, 2004. 77 с.

В данной работе содержатся индивидуальные задания и методические указания, необходимые для выполнения работы.

Работа предназначена для студентов технических специальностей.

Табл. 2. Библиогр.: 11 назв.

Текст печатается в авторской редакции

ИД №06430 от 10. 12. 2001. ПЛД № 50-25 от 01. 04.97.

Подписано в печать ________ . Формат 60х84 1/16. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 0,56. Уч.-изд. л. 0,52. Тираж 50 экз. Заказ ……….

Курский государственный технический университет.

Издательско-полиграфический центр Курского государственного технического университета. 305040 Курск, ул. 50 лет Октября, 94.

Содержание

1. Индивидуальные задания по алгебре и аналитической геометрии.……..5

2. Указания к решению заданий по алгебре и аналитической

2.1. Пример выполнения задания 1……………………………………….15

2.2. Пример выполнения задания 2……………………………………….20

2.3. Пример выполнения задания 4……………………………………….22

2.4. Пример выполнения задания 5……………………………………….27

3. Индивидуальные задания по математическому анализу……….……..33

4. Указания к выполнению заданий по математическому анализу………55

4.1. Указания к заданию 1…………..……………………………………55

4.1.1. Основные теоретические положения…………………………55

4.1.2. Пример выполнения задания 1………………………………..57

4.2. Указания к заданию 2……..…………………………………………61

4.2.1. Основные теоретические положения…………………………61

4.2.2. Пример выполнения задания 2………………………………..62

4.3. Указания к заданиям 3 и 4……..…………………………………….64

4.3.1. Основные теоретические положения…………………………64

4.3.2. Пример выполнения задания 3………………………………..66

4.3.3. Пример выполнения задания 4………………………………..67

4.4. Указания к заданию 5……..……………………………………….. 68

4.4.1. Основные теоретические положения…………………………68

4.4.2. Пример выполнения задания 5………………………………. 69

4.5. Указания к заданию 6…………..……………………………………71

4.5.1. Основные теоретические положения…………………………71

4.5.2. Пример выполнения задания 6………………………………. 73

Список рекомендуемой литературы ………………………………………77

Введение

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом, которая состоит из следующих элементов: изучение материала по конспектам лекций и учебникам, решение задач, самопроверка усвоения материала, выполнение контрольных работ. В помощь заочникам университет организует установочные лекции, практические занятия и консультации. Однако студент должен помнить, что только при систематической и упорной самостоятельной работе помощь вуза окажется достаточно эффективной.

В процессе изучения курсов алгебры и аналитической геометрии и математического анализа студент должен выполнить контрольную работу по каждому разделу, главная цель которых — оказать студенту помощь в его работе и подготовке к экзамену. Рецензия на эти работы позволяет студенту судить о степени усвоения им материала, указывает на имеющиеся у него проблемы.

Каждая работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку чернилами синего или черного цветов. Необходимо оставлять поля шириной 4-5 см для замечаний рецензента.

В заголовке работы на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер (шифр), название дисциплины. В конце работы следует поставить дату ее выполнения и подпись студента.

В контрольную работу студента должны быть включены все задания. Работа, содержащая не все задания, а также задания не своего варианта, не рассматривается.

Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие. Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи. Все исправления и дополнения, на которые указал рецензент, должны быть выполнены на чистых листах в той же тетради, что и прорецензированная работа. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.

Контрольные работы вместе со всеми исправлениями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, следует сохранять. Без предъявления прорецензированной контрольной работы студент не допускается к сдаче экзамена.

Индивидуальные задания по алгебре

И аналитической геометрии

Задание 1

Решить систему линейных уравнений тремя способами:

а) методом Гаусса;

б) по формулам Крамера;

в) с помощью обратной матрицы.

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

15. ; 16. ;

17. ; 18. ;

19. ; 20. ;

21. ; 22. ;

23. ; 24. ;

25. ; 26. .

Задание 2

Решить матричное уравнение .

Ответ проверить подстановкой в уравнение.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21. .

22. .

23. .

24. .

25. .

26. .

Задание 3

1. На прямой найти точку равноудаленную от двух данных точек А(1; 1), В(3; 0).

2. Найти координаты точки, симметричной точке (2; -4) относительно прямой .

3. Найти уравнение диагонали параллелограмма, проходящей через точку пересечения его сторон и , если известно, что диагонали параллелограмма пересекаются в точке F(-1; 0).

4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(2; 6) и образующей с осями координат треугольник, который находится во второй четверти и имеет площадь 3 кв.ед.

5. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон и и уравнение одной из его диагоналей .

6. Даны уравнения одной из сторон ромба и одной из его диагоналей . Диагонали ромба пересекаются в точке Р(0; 1). Найти уравнение трех остальных сторон ромба.

7. Уравнения двух сторон параллелограмма и , а уравнение одной из диагоналей . Найти координаты вершин.

8. Даны уравнения сторон треугольника: (АВ) 7x-2y+32=0; (АС) x+ +y +2=0; (ВС) 4x+y-1=0. Найти точку пересечения его высот.

9. Даны стороны треугольника: (АС)2x-15y-55=0; (АВ)4x-3y+25=0; (ВС) 14x+3y-61=0. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину С и через точку на стороне АВ, делящую ее (считая от вершины А) в отношении 1:4.

10.Окружность проходит через точки М(1; 0) и N(2; 1). Найти центр этой окружности, если известно, что он лежит на прямой .

11.Точки В(1; 2) и С(3;-6) симметричны относительно некоторой прямой. Составить уравнение этой прямой.

12.Площадь прямоугольного треугольника, катетами которого являются оси координат, равна 8. Составить уравнение гипотенузы, если известно, что она проходит через точку А(-4; 8).

13.Даны две стороны и и диагональ ромба. Найти вершины ромба.

14.Найти координаты вершин параллелограмма, в котором известны две стороны и и диагональ .

15.Две стороны треугольника заданы уравнениями и , а середина третьей стороны — точка (2;3). Составить уравнение третьей стороны.

16.Даны стороны треугольника: (АВ) 4x+3y-10=0; (ВС) 3x+2y-8=0; (АС) 8x+5y-18=0. Составить уравнение прямой, проходящей через точку С и делящей сторону АВ в отношении 2:3 (считая от вершины А).

17.Даны стороны треугольника: (АВ) 4x-3y+26=0; (АС) х+2y+1=0; (ВС) 7x+3y-37=0. Найти точку пересечения медианы, проведенной из вершины В и высоты, проходящей через вершину С.

18.Точка К отстоит на одинаковых расстояниях от точек Р(7;8) и Q(1;2). Найти координаты точки К, если известно, что она лежит на прямой .

19.Известны уравнения двух сторон ромба и и одной из его диагоналей . Вычислить координаты вершин ромба.

20.Написать уравнение сторон ромба, если известны диагональ , точка ее пересечения с другой диагональю (0; 2) и одна из сторон .

21.Стороны треугольника заданы уравнениями: (АВ) (ВС) 3х-4y=0; (АС) 5х+12y-10=0. Найдите радиус описанной окружности.

22.Найти точку пересечения высот треугольника, стороны которого лежат на прямых , .

23.Даны стороны треугольника: (АС) 9x-2y-51=0; (АВ) 4x+3y+24=0; (ВС) x+2y+1=0. Составить уравнение прямой, проходящей через вершину С и точку К на стороне АВ, делящую ее в отношении 3:7 (считая от вершины В).

24.Даны уравнения сторон треугольника ; , . Найти точку пересечения высот.

25.Даны вершины А(2;-2) и В(3;-1) и точка Р(1; 0) пересечения медиан треугольника. Составить уравнение высоты треугольника, проведенной через третью вершину С.

26.Диагонали ромба пересекаются в точке К(-2; 4). Составить уравнение диагонали, не проходящей через точку пересечения сторон и .

Задание 4

На плоскости даны точки , , . Сделать чертеж треугольника и найти:

а) длину и уравнение ребра ВС (записать общее, каноническое, параметрические уравнения, а также уравнения в отрезках и с угловым коэффициентом, если это возможно);

б) косинус угла А;

в) уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно стороне ВС;

г) высоту, проведенную к стороне ВС, и ее уравнение;

д) уравнение медианы, проведенной к стороне ВС;

е) координаты центра и радиус описанной окружности;

ж) площадь треугольника;

з) центр тяжести треугольника.

Координаты точек А, В, С

n	x₁	y₁	х₂	y₂	x₃	y₃
-2	-2
-3	-11	-3
-7	-7
-4	-3	-3
-1	-7	-1
-1	-3
-9	-11
-5	-14
-3	-1	-9
-5	-3
-9	-9	-5	-5
-7	-3	-7
-6	-2	-2
-2	-4
-1	-1	-8	-1
-7	-7	-4
-6	-14	-6	-8
-7	-2	-2
-5	-1	-1	-1
-5	-4
-3	-1	-3
-1	-6
-9
-3	-7
-9	-3	-1