Вычислить значения коэффициентов b и b уравнения

Как определить a, b и c по графику параболы

Предположим, вам попался график функции \(y=ax^2+bx+c\) и нужно по этому графику определить коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\). В этой статье я расскажу 3 простых способа сделать это.

1 способ – ищем коэффициенты на графике

Данный способ хорош, когда координаты вершины и точка пересечения параболы с осью \(y\) – целые числа. Если это не так, советую использовать способ 2.

Коэффициент \(a\) можно найти с помощью следующих фактов:

— Если \(a>0\), то ветви параболы направленных вверх, если \(a 1\), то график вытянут вверх в \(a\) раз по сравнению с «базовым» графиком (у которого \(a=1\)). Вершина при этом остается на месте. Это наглядно видно по выделенным точкам.

Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе.
Пример:

Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции: \(y=ax^2+bx+c\). Получится система с тремя уравнениями.

Решаем систему.
Пример:

Вычтем из второго уравнения первое:

Подставим \(9a\) вместо \(b\):

Первое и второе уравнения совпали (это нормально для точек, симметричных относительно прямой проходящей через вершину – как точки \(A\) и \(B\) в нашем случае), но нас это не остановит – мы вычтем из второго уравнение третье:

Подставим в первое уравнение \(a\):

Получается квадратичная функция: \(y=-x^2-9x-15\).

Сразу заметим, что по графику можно сразу определить, что \(c=4\). Это сильно облегчит нашу систему – нам хватит 2 точек. Выберем их на параболе: \(C(-1;8)\), \(D(1;2)\) (на самом деле, если присмотреться, то можно заметить, что эти точки выделены жирно на изначальной картинке – это вам подсказка от авторов задачи).

Таким образом имеем систему:

Сложим 2 уравнения:

Подставим во второе уравнение:

Теперь найдем точки пересечения двух функций:

Теперь можно найти ординату второй точки пересечения:

3 способ – используем преобразование графиков функций

Этот способ быстрее первого и более универсальный, в частности он может пригодится и в задачах на другие функции.

Главный недостаток этого способа — вершина должна иметь целые координаты.

Сам способ базируется на следующих идеях:

График \(y=-x^2\) симметричен относительно оси \(x\) графику \(y=x^2\).

– Если \(a>1\) график \(y=ax^2\) получается растяжением графика \(y=x^2\) вдоль оси \(y\) в \(a\) раз.
– Если \(a∈(0;1)\) график \(y=ax^2\) получается сжатием графика \(y=x^2\) вдоль оси \(y\) в \(a\) раз.

– График \(y=a(x+d)^2\) получается сдвигом графика \(y=ax^2\) влево на \(d\) единиц.
— График \(y=a(x-d)^2\) получается сдвигом графика \(y=ax^2\) вправо на \(d\) единиц.

График \(y=a(x+d)^2+e\) получается переносом графика \(y=a(x+d)^2\) на \(e\) единиц вверх.
График \(y=a(x+d)^2-e\) получается переносом графика \(y=a(x+d)^2\) на \(e\) единиц вниз.

У вас наверно остался вопрос — как этим пользоваться? Предположим, мы видим такую параболу:

Сначала смотрим на её форму и направленность её ветвей. Видим, что форма стандартная, базовая и ветви направлены вверх, поэтому \(a=1\). То есть она получена перемещениями графика базовой параболы \(y=x^2\).

А как надо было перемещать зеленый график чтоб получить оранжевый? Надо сдвинуться вправо на пять единиц и вниз на \(4\).

То есть наша функция выглядит так: \(y=(x-5)^2-4\).
После раскрытия скобок и приведения подобных получаем искомую формулу:

Чтобы найти \(f(6)\), надо сначала узнать формулу функции \(f(x)\). Найдем её:

Парабола растянута на \(2\) и ветви направлены вниз, поэтому \(a=-2\). Иными словами, первоначальной, перемещаемой функцией является функция \(y=-2x^2\).

Парабола смещена на 2 клеточки вправо, поэтому \(y=-2(x-2)^2\).

Парабола поднята на 4 клеточки вверх, поэтому \(y=-2(x-2)^2+4\).

Расчет коэффициентов прямой

В физико-химических исследованиях и в расчетных задачах часто возникает необходимость определения коэффициентов прямой y=ax+b. Коэффициенты а и b могут быть найдены разными способами:

1) по графику методом экстраполяции или интерполяции при х = 0 определяют коэффициент b в уравнении прямой, а затем по формуле

,

(16)

используя координаты y_i и x_i любой точки, лежащей на прямой, рассчитывают коэффициент а;

2) по двум точкам на прямой рассчитывают коэффициент а,

,

(17)

а затем по формуле

вычисляют коэффициент b;

3) методом наименьших квадратов.

Первый способ определения коэффициентов прямой используется в том случае, когда точка х = 0 расположена в пределах рисунка (рис. 23). По графику определяем значение коэффициента b, как ординату точки, лежащей на прямой, у которой абсцисса равна 0 (х = 0). b = 1. Далее выбираем любую точку на прямой (например, точку 1), определяем ее координаты и по уравнению (16)рассчитываем значение коэффициента а:

Рис. 23. Вид графика, по которому удобно определять коэффициенты прямой y=ax+b первым способом

В том случае, когда точка х = 0 расположена за пределами рисунка, используют второй способ определения коэффициентов прямой y=ax+b (рис. 24). Вначале выбираем две любые точки, лежащие на прямой (например, точки 1 и 2) и определяем их координаты:

Затем рассчитываем угловой коэффициент по формуле (17):

Далее по уравнению (18) рассчитываем значение коэффициента b:

Рис. 24. Вид графика, по которому удобно определять коэффициенты прямой y=ax+b вторым способом

В расчетах, требующих высокой точности нахождения коэффициентов прямой, следует пользоваться третьим способом – методом наименьших квадратов (МНК).

МНК предназначен для исключения неопределенности рассчитываемых коэффициентов, он позволяет провести единственным образом прямую и рассчитать единственный набор коэффициентов. Данный метод применим как для линейных, так и нелинейных зависимостей. Линия (в частном случае – прямая) проводится по набору экспериментальных точек методом наименьших квадратов таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений ординат экспериментальных точек от расчетных, лежащих на прямой, была минимальной. Теория этого метода позволяет получить для расчета коэффициентов уравнения прямой y_i = a х_i + b:

,	(19)
,	(20)

где n – число экспериментальных точек; х_i и y_i – координаты i-той точки.

Суммы в выражениях (19) и (20) вычисляются по всем значениям от 1 до n. Расчеты проводим, занося промежуточные результаты в таблицу. Рассмотрим пример.

№	хi	yi	хi 2	хi yi
2,0	5,6	4,00	11,20
3,5	7,3	12,25	12,55
4,7	8,3	22,09	39,01
5,4	8,8	29,16	47,52
6,5	9,8	42,25	63,70
8,0	11,2	64,00	89,60
9,2	12,3	84,64	113,16
10,0	13,3	100,00	133,00

Используя табличные данные, по формулам (19) и (20) рассчитаем коэффициенты:

.

Для повышения точности и облегчения расчетов в настоящее время данные расчеты проводят в электронных таблицах Excel, где уже заложен метод наименьших квадратов.

Рассмотрим расчет коэффициентов прямой а и b с помощью электронных таблиц Excel. Вносим в поле таблицы значения х и y (рис. 26). На главной панели окна активируем иконку «мастер диаграмм», выбираем тип диаграммы – точечная (рис. 27). Далее на области построения диаграммы появляются точки, координаты которых заданы в таблице (в условии задания) (рис. 28). Затем предлагается озаглавить полученную графическую зависимость и оси координат (рис. 29). После построения графика, необходимо добавить линию тренда (рис. 30), установив ее формат (рис. 31), и уравнение (рис. 32), в которое и будут входить коэффициенты а и b уравнения прямой (рис. 33). В уравнении прямой можно выбрать форму представления значений коэффициентов (числовой, экспоненциальный), а также число десятичных знаков после запятой (рис. 25).

Рис. 25. Расчет коэффициентов прямой методом наименьших квадратов с использованием таблиц Excel

Рис. 26. Расчет коэффициентов прямой методом МНК: исходные данные

Рис. 27. Расчет коэффициентов прямой методом МНК: мастер диаграмм

Рис. 28. Расчет коэффициентов прямой методом МНК: вывод данных на область построения

Рис. 29. Расчет коэффициентов прямой методом МНК: название диаграммы

Рис. 30. Расчет коэффициентов прямой методом МНК: построение графической зависимости построение линии тренда

Рис. 31. Расчет коэффициентов прямой методом МНК: формат линии тренда

Рис. 32. Расчет коэффициентов прямой методом МНК: вывод уравнения прямой

Рис. 33. Расчет коэффициентов прямой методом МНК: уравнение прямой

Алгоритм нахождения коэффициетов квадратного уравнения

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

нахождения значения коэффициентов a , b , c

по графику квадратичной функции

I .Нахождение коэффициента a :

1) по графику параболы определяем координаты вершины ( m , n )

2) по графику параболы определяем координаты любой точки А (х₁;у₁)

3) подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом виде:

4) решаем полученное уравнение.

Сначала находим значение коэффициента a (шаг I , смотри выше)

В формулу для абсциссы параболы m = — b /2 a подставляем значения m и a

Вычисляем значение коэффициента b .

III . нахождение коэффициента с:

Находим координату у точки пересечения графика параболы с осью Оу, это значение равно коэффициенту с, т.е. точка (0;с)-точка пересечения графика параболы с осью Оу.

Если по графику невозможно найти точку пересечения с осью Оу, то выполняем шаги I , II (находим коэффициенты a , b )

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 924 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 579 808 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 03.02.2016
• 1025
• 10

• 03.02.2016
• 8378
• 5

• 03.02.2016
• 635
• 0

• 03.02.2016
• 803
• 0

• 03.02.2016
• 460
• 0

• 03.02.2016
• 846
• 2

• 03.02.2016
• 3055
• 6

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 03.02.2016 927
• DOCX 34 кбайт
• 1 скачивание
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Григорьева Елена Алексеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 1 месяц
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 11881
• Всего материалов: 10

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В России действуют более 3,5 тысячи студенческих отрядов

Время чтения: 2 минуты

РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

Время чтения: 1 минута

В Курганской области дистанционный режим для школьников продлили до конца февраля

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.