Численные методы решения систем нелинейных уравнений
Введение
Многие прикладные задачи приводят к необходимости нахождения общего решения системы нелинейных уравнений. Общего аналитического решения системы нелинейных уравнений не найдено. Существуют лишь численные методы.
Следует отметить интересный факт о том, что любая система уравнений над действительными числами может быть представлена одним равносильным уравнением, если взять все уравнения в форме , возвести их в квадрат и сложить.
Для численного решения применяются итерационные методы последовательных приближений (простой итерации) и метод Ньютона в различных модификациях. Итерационные процессы естественным образом обобщаются на случай системы нелинейных уравнений вида:
(1)
Обозначим через вектор неизвестных и определим вектор-функцию Тогда система (1) записывается в виде уравнения:
(2)
Теперь вернёмся к всеми любимому Python и отметим его первенство среди языков программирования, которые хотят изучать [1].
Этот факт является дополнительным стимулом рассмотрения числительных методов именно на Python. Однако, среди любителей Python бытует мнение, что специальные библиотечные функции, такие как scipy.optimize.root, spsolve_trianular, newton_krylov, являются самым лучшим выбором для решения задач численными методами.
С этим трудно не согласится хотя бы потому, что в том числе и разнообразие модулей подняло Python на вершину популярности. Однако, существуют случаи, когда даже при поверхностном рассмотрении использование прямых известных методов без применения специальных функций библиотеки SciPy тоже дают неплохие результаты. Иными словами, новое- это хорошо забытое старое.
Так, в публикации [2], на основании проведенных вычислительных экспериментов, доказано, что библиотечная функция newton_krylov, предназначенная для решения больших систем нелинейных уравнений, имеет в два раза меньшее быстродействие, чем алгоритм TSLS+WD (two-step least squares), реализованный средствами библиотеки NumPy.
Целью настоящей публикации является сравнение по числу итераций, быстродействию, а главное, по результату решения модельной задачи в виде системы из ста нелинейных алгебраических уравнений при помощи библиотечной функции scipy.optimize.root и методом Ньютона, реализованного средствами библиотеки NumPy.
Возможности решателя scipy.optimize.root для численного решения систем алгебраических нелинейных уравнений
Библиотечная функция scipy.optimize.root выбрана в качестве базы сравнения, потому что имеет обширную библиотеку методов, пригодных для сравнительного анализа.
scipy.optimize.root(fun, x0, args=(), method=’hybr’, jac=None, tol=None,callback=None, ptions=None) fun — Векторная функция для поиска корня. x0 –Начальные условия поиска корней
method: hybr -используется модификация Пауэлл гибридный метод; lm – решает системы нелинейных уравнений методом наименьших квадратов. Как следует из документации [3] методы broyden1, broyden2, anderson, linearmixing, diagbroyden, excitingmixing, krylov являются точными методами Ньютона. Остальные параметры являются «не обязательными» и с ними можно ознакомится в документации.
Методы решения систем нелинейных уравнений
Приведенный далее материал действительно можно прочитать в литературе, например в [4], но я уважаю своего читателя и для его удобства приведу вывод метода по возможности в сокращенном виде. Те, кто не любит формулы, этот раздел пропускают.
В методе Ньютона новое приближение для решения системы уравнений (2) определяется из решения системы линейных уравнений:
(3)
Определим матрицу Якоби:
(4)
Запишем(3) в виде:
(5)
Многие одношаговые методы для приближенного решения (2) по аналогии с двухслойными итерационными методами для решения систем линейных алгебраических уравнений можно записать в виде:
(6)
где — итерационные параметры, a — квадратная матрица n х n, имеющая обратную.
При использовании записи (6) метод Ньютона (5) соответствует выбору:
Система линейных уравнений (5) для нахождения нового приближения может решаться итерационно. В этом случае мы имеем двухступенчатый итерационный процесс с внешними и внутренними итерациями. Например, внешний итерационный процесс может осуществляться по методу Ньютона, а внутренние итерации — на основе итерационного метода Зейделя
При решении систем нелинейных уравнений можно использовать прямые аналоги стандартных итерационных методов, которые применяются для решения систем линейных уравнений. Нелинейный метод Зейделя применительно к решению (2) дает:
(7)
В этом случае каждую компоненту нового приближения из решения нелинейного уравнения, можно получить на основе метода простой итерации и метода Ньютона в различных модификациях. Тем самым снова приходим к двухступенчатому итерационному методу, в котором внешние итерации проводятся в соответствии с методом Зейделя, а внутренние — с методом Ньютона.
Основные вычислительные сложности применения метода Ньютона для приближенного решения систем нелинейных уравнений связаны с необходимостью решения линейной системы уравнений с матрицей Якоби на каждой итерации, причем от итерации к итерации эта матрица меняется. В модифицированном методе Ньютона матрица Якоби обращается только один раз:
(8)
Выбор модельной функции
Такой выбор не является простой задачей, поскольку при увеличении числа уравнений в системе в соответствии с ростом числа переменных результат решения не должен меняться, поскольку в противном случае невозможно отследить правильность решения системы уравнений при сравнении двух методов. Привожу следующее решение для модельной функции:
Функция f создаёт систему из n нелинейных уравнений, решение которой не зависит от числа уравнений и для каждой из n переменных равно единице.
Программа для тестирования на модельной функции c результатами решения системы алгебраических нелинейных уравнений с помощью библиотечной функции optimize.root для разных методов отыскания корней
Только один из методов, приведенных в документации [3] прошёл тестирование по результату решения модельной функции, это метод ‘krylov’.
Вывод: С увеличением числа уравнений вдвое заметно появление ошибок в решении. При дальнейшем увеличении n решение становится не приемлемым, что возможно из-за автоматической адаптации к шагу, эта же причина резкого падения быстродействия. Но это только моё предположение.
Программа для тестирования на модельной функции c результатами решения системы алгебраических нелинейных уравнений с помощью программы написанной на Python 3 с учётом соотношений (1)-(8) для отыскания корней по модифицированному методу Ньютона
Чтобы убедиться в том, что программа действительно решает систему, перепишем модельную функцию для ухода от корня со значением 1 в виде:
Получим: Solution: [ 0.96472166 0.87777036 0.48175823 -0.26190496 -0.63693762 0.49232062 -1.31649896 0.6865098 0.89609091 0.98509235] Newton iteration = 16 Newton method time 0.046 seconds
Вывод: Программа работает и при изменении модельной функции.
Теперь вернёмся к начальной модельной функции и проверим более широкий диапазон для n, например в 2 и 500. n=2 Solution: [1. 1.] Newton iteration = 6 Newton method time 0.048 seconds n=500
Учебное пособие: Вычислительная математика
Название: Вычислительная математика Раздел: Рефераты по математике Тип: учебное пособие Добавлен 12:41:12 14 февраля 2010 Похожие работы Просмотров: 5951 Комментариев: 16 Оценило: 2 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно Скачать
Содержание
Тема 1. Решение задач вычислительными методами. Основные понятия
1.3 Вычислительные методы
Тема 2. Решение нелинейных уравнений
2.1 Постановка задачи
2.2 Основные этапы отыскания решения
2.3 Метод деления отрезка пополам (метод дихотомии, метод бисекции)
2.4 Метод простых итераций
2.5 Метод Ньютона (метод касательных)
2.6 Метод секущих (метод хорд)
2.7 Метод ложного положения
Тема 3. Решение систем линейных алгебраических уравнений
3.1 Постановка задачи
3.2 Метод исключения Гаусса. Схема единственного деления
3.3 Метод исключения Гаусса с выбором главного элемента по столбцу
3.4 Вычисление определителя методом исключения Гаусса
3.5 Вычисление обратной матрицы методом исключения Гаусса
3.6 Метод простой итерации Якоби
3.7 Метод Зейделя
Тема 4. Приближение функций
4.1 Постановка задачи
4.2 Приближение функции многочленами Тейлора
4.3 Интерполяция функции многочленами Лагранжа
4.4 Аппроксимация функций. Метод наименьших квадратов
Тема 5. Численное интегрирование функций одной переменной
5.1 Постановка задачи численного интегрирования
5.2 Метод средних прямоугольников
5.3 Метод трапеций
5.4 Метод Симпсона (метод парабол)
5.5 Правило Рунге практической оценки погрешности
Тема 6. Численное решение дифференциальных уравнений
6.1 Постановка задачи Коши
6.2 Метод Эйлера
6.3 Модифицированные методы Эйлера
6.4 Метод Рунге – Кутты
Контрольные задания по курсу “Вычислительные методы”
Указания к выполнению лабораторных работ
Указания к выполнению курсовых работ
Краткие сведения о математиках
Исследование различных явлений или процессов математическими методами осуществляется с помощью математической модели. Математическая модель представляет собой формализованное описание на языке математики исследуемого объекта. Таким формализованным описанием может быть система линейных, нелинейных или дифференциальных уравнений, система неравенств, определенный интеграл, многочлен с неизвестными коэффициентами и т. д. Математическая модель должна охватывать важнейшие характеристики исследуемого объекта и отражать связи между ними.
После того, как математическая модель составлена, переходят к постановке вычислительной задачи. При этом устанавливают, какие характеристики математической модели являются исходными (входными) данными, какие – параметрами модели, а какие – выходными данными . Проводится анализ полученной задачи с точки зрения существования и единственности решения.
На следующем этапе выбирается метод решения задачи. Во многих конкретных случаях найти решение задачи в явном виде не представляется возможным, так как оно не выражается через элементарные функции. Такие задачи можно решить лишь приближенно. Под вычислительными (численными) методами подразумеваются приближенные процедуры, позволяющие получать решение в виде конкретных числовых значений. Вычислительные методы, как правило, реализуются на ЭВМ. Для решения одной и той же задачи могут быть использованы различные вычислительные методы, поэтому нужно уметь оценивать качество различных методов и эффективность их применения для данной задачи.
Затем для реализации выбранного вычислительного метода составляется алгоритм и программа для ЭВМ. Современному инженеру важно уметь преобразовать задачу к виду, удобному для реализации на ЭВМ и построить алгоритм решения такой задачи.
В настоящее время на рынке программного обеспечения широко представлены как пакеты, реализующие наиболее общие методы решения широкого круга задач (например, Maple, Mathcad, MatLAB), так и пакеты, реализующие методы решения специальных задач (например, задач газовой динамики).
Результаты расчета анализируются и интерпретируются. При необходимости корректируются параметры метода, а иногда математическая модель, и начинается новый цикл решения задачи.
Тема 1. Решение задач вычислительными методами.
Существуют четыре источника погрешностей, возникающих в результате численного решения задачи.
1. Математическая модель. Погрешность математической модели связана с ее приближенным описанием реального объекта. Например, если при моделировании экономической системы не учитывать инфляции, а считать цены постоянными, трудно рассчитывать на достоверность результатов. Погрешность математической модели называется неустранимой. Будем в дальнейшем предполагать, что математическая модель фиксирована и ее погрешность учитывать не будем.
2. Исходные данные. Исходные данные, как правило, содержат погрешности, так как они либо неточно измерены, либо являются результатом решения некоторых вспомогательных задач. Например, масса снаряда, производительность оборудования, предполагаемая цена товара и др. Во многих физических и технических задачах погрешность измерений составляет 1 – 10%. Погрешность исходных данных так же, как и погрешность математической модели, считается неустранимой и в дальнейшем учитываться не будет.
3. Метод вычислений. Применяемые для решения задачи методы как правило являются приближенными. Например, заменяют интеграл суммой, функцию – многочленом, производную – разностью и т. д. Погрешность метода необходимо определять для конкретного метода. Обычно ее можно оценить и проконтролировать. Следует выбирать погрешность метода так, чтобы она была не более, чем на порядок меньше неустранимой погрешности. Большая погрешность снижает точность решения, а меньшая требует значительного увеличения объема вычислений.
4. Округление в вычислениях. Погрешность округления возникает из-за того, что вычисления производятся с конечным числом значащих цифр (для ЭВМ это 10 – 12 знаков). Округление производят по следующему правилу: если в старшем из отбрасываемых разрядов стоит цифра меньше пяти, то содержимое сохраняемых разрядов не изменяется; в противном случае в младший сохраняемый разряд добавляется единица с тем же знаком, что и у самого числа. При решении больших задач производятся миллиарды вычислений, но так как погрешности имеют разные знаки, то они частично взаимокомпенсируются.
Различают абсолютную и относительную погрешности. Пусть а – точное, вообще говоря неизвестное числовое значение некоторой величины, а а * — известное приближенное значение этой величины, тогда величину
называют абсолютной погрешностью числа а * , а величину
d (а * ) =
– его относительной погрешностью.
При сложении и вычитании складываются абсолютные погрешности, а при делении и умножении – относительные погрешности.
Определим вначале понятие устойчивости решения.
Решение задачи y * называется устойчивым по исходным данным x * , если оно зависит от исходных данных непрерывным образом. Это означает, что малому изменению исходных данных соответствует малое изменение решения. Строго говоря, для любого e > 0 существует d=d (e ) > 0 такое, что всякому исходному данному x * , удовлетворяющему условию |x — x * | * , для которого |y– y * | * (x ) – приближенно заданная функция и I * = . Очевидно, приближенное решение I * существует и единственно. Определим абсолютную погрешность f * с помощью равенства D(f * ) = |f (x ) – f * (x )|. Так как
D(I ) = |I – I * | = || £ (b – a )D(f * ),
то для любого e > 0 неравенство D(I ) * ) * устойчиво. Все три условия корректности задачи выполнены.
Покажем, что задача вычисления производной u (x ) = f ‘ (x ) приближенно заданной функции некорректна.
Пусть f * (x ) – приближенно заданная на отрезке [a , b ] непрерывно дифференцируемая функция и u * (x ) = (f* (x )) ‘ . Определим абсолютные погрешности следующим образом: D(f * ) = |f (x ) – f * (x )|, D(u * ) = |u (x ) – u * (x )|.
Возьмем, например, f * (x ) = f (x ) +asin (x/a 2 ), где 0 * (x ) = u (x ) +a— 1 cos (x/a 2 ), D(u * ) = a— 1 , т. е. погрешность задания функции равна a, а погрешность производной равна a— 1 . Таким образом, сколь угодно малой погрешности задания функции f может отвечать сколь угодно большая погрешность производной f ‘.
1.3 Вычислительные методы
Под вычислительными методами будем понимать методы, которые используются в вычислительной математике для преобразования задач к виду, удобному для реализации на ЭВМ. Подробнее с различными классами вычислительных методов можно познакомиться, например, в [1]. Мы же рассмотрим два класса методов, используемых в нашем курсе.
1. Прямые методы. Метод решения задачи называется прямым, если он позволяет получить решение после выполнения конечного числа элементарных операций. Наименование элементарной операции здесь условно. Это может быть, например, вычисление интеграла, решение системы уравнений, вычисление значений функции и т. д. Важно то, что ее сложность существенно меньше, чем сложность основной задачи. Иногда прямые методы называют точными, имея в виду, что при отсутствии ошибок в исходных данных и при выполнении элементарных операций результат будет точным. Однако, при реализации метода на ЭВМ неизбежны ошибки округления и, как следствие, наличие вычислительной погрешности.
2. Итерационные методы. Суть итерационных методов состоит в построении последовательных приближений к решению задачи. Вначале выбирают одно или несколько начальных приближений, а затем последовательно, используя найденные ранее приближения и однотипную процедуру расчета, строят новые приближения. В результате такого итерационного процесса можно теоретически построить бесконечную последовательность приближений к решению. Если эта последовательность сходится (что бывает не всегда), то говорят, что итерационный метод сходится. Отдельный шаг итерационного процесса называется итерацией.
Практически вычисления не могут продолжаться бесконечно долго. Поэтому необходимо выбрать критерий окончания итерационного процесса. Критерий окончания связан с требуемой точностью вычислений, а именно: вычисления заканчиваются, когда погрешность приближения не превышает заданной величины.
Оценки погрешности приближения, полученные до вычислений, называют априорными оценками (от лат. a’priori – «до опыта»), а соответствующие оценки, полученные в ходе вычислений называют апостериорными оценками (от лат. a’posteriori – «после опыта»).
Важной характеристикой итерационных методов является скорость сходимости метода. Говорят, что метод имеет p -ый порядок сходимости если
где xn и xn+1 – последовательные приближения, полученные в ходе итерационного процесса вычислений, x * – точное решение, C – константа, не зависящая от n . Говорят, что метод сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем q * | £ Cq n .
Итерационный процесс называется одношаговым , если для вычисления очередного приближения xn+1 используется только одно предыдущее приближение xn и k –шаговым, если для вычисления xn+1 используются k предыдущих приближений xn-k+1 , xn-k+2 , …, xn .
Тема 2. Решение нелинейных уравнений
2.1 Постановка задачи
Пусть дана некоторая функция f (x ) и требуется найти все или некоторые значения x , для которых
Значение x * , при котором f (x * ) = 0, называется корнем (или решением ) уравнения (2.1).
Относительно функции f (x ) часто предполагается, что f (x ) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности корня.
Корень x * уравнения (2.1) называется простым , если первая производная функции f (x ) в точке x * не равна нулю, т. е. f ‘(x * ) 0. Если же f ‘(x * ) = 0, то корень x * называется кратным корнем.
Геометрически корень уравнения (2.1) есть точка пересечения графика функции y = f (x ) с осью абсцисс. На рис. 2.1 изображен график функции y = f (x ), имеющей четыре корня: два простых (xи x) и два кратных (xи x).
Большинство методов решения уравнения (2.1) ориентировано на отыскание простых корней уравнения (2.1).
2.2 Основные этапы отыскания решения
В процессе приближенного отыскания корней уравнения (2.1) обычно выделяют два этапа: локализация (или отделение ) корня и уточнение корня .
Локализация корня заключается в определении отрезка [a , b ], содержащего один и только один корень. Не существует универсального алгоритма локализации корня. В некоторых случаях отрезок локализации может быть найден из физических соображений. Иногда удобно бывает локализовать корень с помощью построения графика или таблицы значений функции y = f (x ). На наличие корня на отрезке [a , b ] указывает различие знаков функции на концах отрезка. Основанием для этого служит следующая теорема математического анализа.
Теорема 2.1. Если функция f непрерывна на отрезке [a , b ] и принимает на его концах значения разных знаков, так, что f (a )f (b ) 0. Приближенное значение корня уточняют с помощью различных итерационных методов. Суть этих методов состоит в последовательном вычислении значений x0 , x1 , …, xn , …, которые являются приближениями к корню x * .
2.3 Метод деления отрезка пополам (метод дихотомии, метод бисекции)
Метод деления отрезка пополам является самым простым и надежным способом решения нелинейного уравнения.
Пусть из предварительного анализа известно, что корень уравнения (2.1) находится на отрезке [a0 , b0 ], т. е. x * [a0 , b0 ], так, что f (x * ) = 0.
Пусть функция f (x ) непрерывна на отрезке [a0 , b0 ] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.е.
f (a0 )f (b0 ) 0, либо f (x0 ) * [a1 , b1 ], и длина отрезка [a1 , b1 ] в два раза меньше, чем длина отрезка [a0 , b0 ]. Поступим аналогично с отрезком [a1 , b1 ]. В результате получим либо корень x * , либо новый отрезок [a2 , b2 ], и т.д. (рис. 2.2).
Середина n-го отрезка xn = . Очевидно, что длина отрезка [an , bn ] будет равна , а т. к. x * [an , bn ], то
| xn – x * | £ £ . (2.3)
Погрешность метода. Оценка (2.3) характеризует погрешность метода деления отрезка пополам и указывает на скорость сходимости: метод сходится со скоростью геометрической прогрессии, знаменатель которой q = 1/2. Заметим, что оценка (2.3) является априорной.
Критерий окончания. Из соотношения (2.3) следует, что при заданной точности приближения e вычисления заканчиваются, когда будет выполнено неравенство bn – an log2 ((b0 – a0 )/e ) – 1. Таким образом, количество итераций можно определить заранее. За приближенное значение корня берется величина xn .
Найдем приближенно x = с точностью = 0.01. Эта задача эквивалентна решению уравнения x 5 – 2 = 0, или нахождению нуля функции f (x ) = x 5 – 2. В качестве начального отрезка [a0 , b0 ] возьмем отрезок [1, 2]. На концах этого отрезка функция принимает значения с разными знаками: f (1) 0.
Найдем число n делений отрезка [1, 2], необходимых для достижения требуемой точности. Имеем:
| xn – x * | £ = £ 10 -2 ,
n6.
Следовательно, не позднее 6-го деления найдем с требуемой точностью, » 1.1484. Результаты вычислений представлены в таблице 2.1.
1.0000 1.0000 1.0000 1.1250 1.1250 1.1406 1.1406
Как решать систему уравнений
О чем эта статья:
8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Основные понятия
Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.
Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.
Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.
Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.
Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.
Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.
Линейное уравнение с двумя переменными
Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.
Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.
Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.
Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:
Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.
Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.
Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).
Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Система двух линейных уравнений с двумя переменными
Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.
Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:
Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.
Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.
Можно записать систему иначе:
Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.
Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.
Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.
Метод подстановки
Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:
Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.
Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.
Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.
Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.
Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).
Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.
Пример 1
Решите систему уравнений:
x − y = 4 x + 2y = 10
Выразим x из первого уравнения:
x − y = 4 x = 4 + y
Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:
x + 2y = 10 4 + y + 2y = 10
Решим второе уравнение относительно переменной y:
4 + y + 2y = 10 4 + 3y = 10 3y = 10 − 4 3y = 6 y = 6 : 3 y = 2
Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:
x − y = 4 x − 2 = 4 x = 4 + 2 x = 6
Ответ: (6; 2).
Пример 2
Решите систему линейных уравнений:
x + 5y = 7 3x = 4 + 2y
Сначала выразим переменную x из первого уравнения:
x + 5y = 7 x = 7 − 5y
Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:
Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:
x + 5y = 7 x + 5 = 7 x = 7 − 5 x = 2
Ответ: (2; 1).
Пример 3
Решите систему линейных уравнений:
x − 2y = 3 5x + y = 4
Из первого уравнения выразим x:
x − 2y = 3 x = 3 + 2y
Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:
5x + y = 4 5 (3 + 2y) + y = 4 15 + 10y + y = 4 15 + 11y = 4 11y = 4 − 15 11y = −11 y = −11 : 11 y = −1
Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:
x − 2y = 3 x − 2 (−1) = 3 x + 2 = 3 x = 3 − 2 x = 1
Ответ: (1; −1).
Метод сложения
Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:
При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.
Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.
Решаем получившееся уравнение с одной переменной.
Находим соответствующие значения второй переменной.
Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).
Система линейных уравнений с тремя переменными
Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:
Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).
Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.
Решение задач
Разберем примеры решения систем уравнений.
Задание 1. Как привести уравнение к к стандартному виду ах + by + c = 0?
5x − 8y = 4x − 9y + 3
5x − 8y = 4x − 9y + 3
5x − 8y − 4x + 9y = 3
Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки
Выразить у из первого уравнения:
Подставить полученное выражение во второе уравнение:
Найти соответствующие значения у:
Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения
Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:
Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:
Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:
Ответ: (1; 1), (1; -1).
Задание 4. Решить систему уравнений
Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.
Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными
При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается:
, возвести их в квадрат и сложить.
. Очевидно, приближенное решение I * существует и единственно. Определим абсолютную погрешность f * с помощью равенства D(f * ) = 
|f (x ) – f * (x )|. Так как
| £ (b – a )D(f * ),
0. Если же f ‘(x * ) = 0, то корень x * называется кратным корнем.
и x 
) и два кратных (x 
и x 
).
[a 0 , b 0 ], так, что f (x * ) = 0.
. Очевидно, что длина отрезка [a n , b n ] будет равна 
, а т. к. x * 
£ 
. (2.3)
с точностью = 0.01. Эта задача эквивалентна решению уравнения x 5 – 2 = 0, или нахождению нуля функции f (x ) = x 5 – 2. В качестве начального отрезка [a 0 , b 0 ] возьмем отрезок [1, 2]. На концах этого отрезка функция принимает значения с разными знаками: f (1) 0.
= 
£ 10 -2 ,
6.
» 1.1484. Результаты вычислений представлены в таблице 2.1.