Выход из корня в уравнении

Как вывести уравнение из под корня

• Как решать уравнения с корнями
• Как решать иррациональные уравнения
• Как решать иррациональные уравнение

В отличие от других типов уравнений, например, квадратных или систем линейных уравнений, для решения уравнений с корнями, или точнее, иррациональных уравнений, не существует стандартного алгоритма. В каждом конкретном случае необходимо подобрать наиболее подходящий метод решения, исходя из «внешнего вида» и особенностей уравнения.

Возведение частей уравнения в одинаковую степень.

Чаще всего для решения уравнений с корнями (иррациональных уравнений) применяется возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень. Как правило, в степень, равную степени корня (в квадрат для корня квадратного, в куб для корня кубического). При этом следует иметь ввиду, что при возведении левой и правой части уравнения в четную степень у него могут появиться «лишние» корни. Поэтому, в этом случае следует проверять полученные корни путем подстановки их в уравнение. Особое внимание при решении уравнений с квадратными (четными) корнями следует уделить области допустимых значений переменной (ОДЗ). Иногда одной только оценки ОДЗ достаточно для решения или существенного «упрощения» уравнения.

Пример. Решить уравнение:

Возводим обе части уравнения в квадрат:

(√(5х-16))²=(х-2)², откуда последовательно получаем:

Решая полученное квадратное уравнение, находим его корни:

Подставив оба найденных корня в исходное уравнение, получаем верное равенство. Следовательно оба числа являются решениями уравнения.

Метод введения новой переменной.

Иногда найти корни «уравнения с корнями» (иррационального уравнения) удобнее методом введения новых переменных. Фактически, суть этого метода сводится просто к более компактной записи решения, т.е. вместо того, чтобы каждый раз писать громоздкое выражение, его заменяют условным обозначением.

Пример. Решить уравнение: 2х+√х-3=0

Можно решить данное уравнение и возведением обеих частей в квадрат. Однако, сами вычисления при этом будут выглядеть довольно-таки громоздко. При введении новой переменной процесс решения получится намного элегантнее:

Введем новую переменную: у=√х

После чего получаем обыкновенное квадратное уравнение:

2у²+у-3=0, с переменной у.

Решив полученное уравнение, находим два корня:

подставляя найденные корни в выражение для новой переменной (у), получаем:

Так как значение квадратного корня не может быть отрицательным числом (если не затрагивать область комплексных чисел), то получаем единственное решение:

Эта статья продолжает тему корень из числа. Здесь мы разберемся с извлечением корня. Сначала определим, что называют извлечением корня, и установим, когда корень извлекается. Дальше изучим принципы, на которых основано нахождение значения корня, после чего на примерах рассмотрим основные способы извлечения корней из натуральных чисел, а затем и из дробных чисел.

Навигация по странице.

Что означает «извлечение корня»?

Введем понятие извлечения корня.

Извлечением корня называется нахождение значения корня.

Итак, извлечение корня n -ой степени из числа a – это нахождение числа b , n-ая степень которого равна a . Когда такое число b найдено, то можно утверждать, что мы извлекли корень.

Заметим, что выражения «извлечение корня» и «нахождение значения корня» одинаково употребимы.

Когда корень извлекается?

Говорят, что корень n -ой степени из числа a извлекается точно, когда подкоренное число a возможно представить в виде n -ой степени некоторого числа b . Например, из числа 8 извлекается кубический корень, так как число 8 можно представить как куб числа 2 . Аналогично, из десятичной дроби 1,21 извлекается квадратный корень, так как 1,21=(1,1) 2 .

Если же подкоренное число a не представляется в виде n -ой степени некоторого числа b , то говорят, что корень n -ой степени из числа a не извлекается. В этом случае либо записанное выражение со знаком корня не имеет смысла на множестве действительных чисел (например, или ), либо записанное выражение имеет смысл, но может быть получено лишь приближенное значение такого корня с точностью до любого десятичного разряда. В качестве примера приведем . Квадратный корень из числа 2 не извлекается, однако может быть найдено его приближенное значение с точностью до любого десятичного разряда, например, (способ нахождения значений подобных корней мы рассмотрим в последнем пункте этой статьи).

Способы и примеры извлечения корней

Пришло время разобрать способы извлечения корней. Они базируются на свойствах корней, в частности, на равенстве , которое справедливо для любого неотрицательного числа b.

Ниже мы по очереди рассмотрим основные способы извлечения корней.

Начнем с самого простого случая – с извлечения корней из натуральных чисел с использованием таблицы квадратов, таблицы кубов и т.п. Ознакомиться…

Если же таблицы квадратов, кубов и т.п. нет под руками, то логично воспользоваться способом извлечения корня, который подразумевает разложение подкоренного числа на простые множители. Перейти к изучению этого способа…

Отдельно стоит остановиться на извлечении корня из отрицательного числа, что возможно для корней с нечетными показателями.

Дальше мы разберем извлечение корня из дробного числа, в частности, из обыкновенной дроби, десятичной дроби и смешанного числа. Перейти к этому разделу…

Наконец, рассмотрим способ, позволяющий последовательно находить разряды значения корня. Изучить…

Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д.

В самых простых случаях извлекать корни позволяют таблицы квадратов, кубов и т.д. Что же представляют собой эти таблицы?

Таблица квадратов целых чисел от 0 до 99 включительно (она показана ниже) состоит из двух зон. Первая зона таблицы располагается на сером фоне, она с помощью выбора определенной строки и определенного столбца позволяет составить число от 0 до 99 . Для примера выберем строку 8 десятков и столбец 3 единицы, этим мы зафиксировали число 83 . Вторая зона занимает оставшуюся часть таблицы. Каждая ее ячейка находится на пересечении определенной строки и определенного столбца, и содержит квадрат соответствующего числа от 0 до 99 . На пересечении выбранной нами строки 8 десятков и столбца 3 единицы находится ячейка с числом 6 889 , которое является квадратом числа 83 .

Таблицы кубов, таблицы четвертых степеней чисел от 0 до 99 и так далее аналогичны таблице квадратов, только они во второй зоне содержат кубы, четвертые степени и т.д. соответствующих чисел.

Таблицы квадратов, кубов, четвертых степеней и т.д. позволяют извлекать квадратные корни, кубические корни, корни четвертой степени и т.д. соответственно из чисел, находящихся в этих таблицах. Объясним принцип их применения при извлечении корней.

Допустим, нам нужно извлечь корень n -ой степени из числа a , при этом число a содержится в таблице n -ых степеней. По этой таблице находим число b такое, что a=b n . Тогда , следовательно, число b будет искомым корнем n -ой степени.

В качестве примера покажем, как с помощью таблицы кубов извлекается кубический корень из 19 683 . Находим число 19 683 в таблице кубов, из нее находим, что это число является кубом числа 27 , следовательно, .

Понятно, что таблицы n -ых степеней очень удобны при извлечении корней. Однако их частенько не оказывается под руками, а их составление требует определенного времени. Более того, часто приходится извлекать корни из чисел, которые не содержатся в соответствующих таблицах. В этих случаях приходится прибегать к другим методам извлечения корней.

Разложение подкоренного числа на простые множители

Достаточно удобным способом, позволяющим провести извлечение корня из натурального числа (если конечно корень извлекается), является разложение подкоренного числа на простые множители. Его суть заключается в следующем: после разложения числа на простые множители его достаточно легко представить в виде степени с нужным показателем, что позволяет получить значение корня. Поясним этот момент.

Пусть из натурального числа a извлекается корень n -ой степени, и его значение равно b . В этом случае верно равенство a=b n . Число b как любое натуральное число можно представить в виде произведения всех своих простых множителей p₁, p₂, …, p_m в виде p₁·p₂·…·p_m , а подкоренное число a в этом случае представляется как (p₁·p₂·…·p_m) n . Так как разложение числа на простые множители единственно, то разложение подкоренного числа a на простые множители будет иметь вид (p₁·p₂·…·p_m) n , что дает возможность вычислить значение корня как .

Заметим, что если разложение на простые множители подкоренного числа a не может быть представлено в виде (p₁·p₂·…·p_m) n , то корень n -ой степени из такого числа a нацело не извлекается.

Разберемся с этим при решении примеров.

Извлеките квадратный корень из 144 .

Если обратиться к таблице квадратов, данной в предыдущем пункте, то хорошо видно, что 144=12 2 , откуда понятно, что квадратный корень из 144 равен 12 .

Но в свете данного пункта нас интересует, как извлекается корень с помощью разложения подкоренного числа 144 на простые множители. Разберем этот способ решения.

Разложим 144 на простые множители:

То есть, 144=2·2·2·2·3·3 . На основании свойств степени с натуральным показателем с полученным разложением можно провести такие преобразования: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2 ·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2 . Следовательно, .

Используя свойства степени и свойства корней, решение можно было оформить и немного иначе: .

.

Для закрепления материала рассмотрим решения еще двух примеров.

Вычислите значение корня .

Разложение на простые множители подкоренного числа 243 имеет вид 243=3 5 . Таким образом, .

.

Является ли значение корня целым числом?

Чтобы ответить на этот вопрос, разложим подкоренное число на простые множители и посмотрим, представимо ли оно в виде куба целого числа.

Имеем 285 768=2 3 ·3 6 ·7 2 . Полученное разложение не представляется в виде куба целого числа, так как степень простого множителя 7 не кратна трем. Следовательно, кубический корень из числа 285 768 не извлекается нацело.

Извлечение корней из дробных чисел

Пришло время разобраться, как извлекается корень из дробного числа. Пусть дробное подкоренное число записано в виде обыкновенной дроби как p/q . Согласно свойству корня из частного справедливо следующее равенство . Из этого равенства следует правило извлечения корня из дроби: корень из дроби равен частному от деления корня из числителя на корень из знаменателя.

Разберем пример извлечения корня из дроби.

Чему равен квадратный корень из обыкновенной дроби 25/169 .

По таблице квадратов находим, что квадратный корень из числителя исходной дроби равен 5 , а квадратный корень из знаменателя равен 13 . Тогда . На этом извлечение корня из обыкновенной дроби 25/169 завершено.

.

Корень из десятичной дроби или смешанного числа извлекается после замены подкоренных чисел обыкновенными дробями.

Извлеките кубический корень из десятичной дроби 474,552 .

Представим исходную десятичную дробь в виде обыкновенной дроби: 474,552=474552/1000 . Тогда . Осталось извлечь кубические корни, находящиеся в числителе и знаменателе полученной дроби. Так как 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13= (2·3·13) 3 =78 3 и 1 000=10 3 , то и . Осталось лишь завершить вычисления .

.

Извлечение корня из отрицательного числа

Отдельно стоит остановиться на извлечении корней из отрицательных чисел. При изучении корней мы сказали, что когда показатель корня является нечетным числом, то под знаком корня может находиться отрицательное число. Таким записям мы придали следующий смысл: для отрицательного числа −a и нечетного показателя корня 2·n−1 справедливо . Это равенство дает правило извлечения корней нечетной степени из отрицательных чисел: чтобы извлечь корень из отрицательного числа нужно извлечь корень из противоположного ему положительного числа, и перед полученным результатом поставить знак минус.

Рассмотрим решение примера.

Найдите значение корня .

Преобразуем исходное выражение, чтобы под знаком корня оказалось положительное число: . Теперь смешанное число заменим обыкновенной дробью: . Применяем правило извлечения корня из обыкновенной дроби: . Осталось вычислить корни в числителе и знаменателе полученной дроби: .

Приведем краткую запись решения: .

.

Порязрядное нахождение значения корня

В общем случае под корнем находится число, которое при помощи разобранных выше приемов не удается представить в виде n -ой степени какого-либо числа. Но при этом бывает необходимость знать значение данного корня, хотя бы с точностью до некоторого знака. В этом случае для извлечения корня можно воспользоваться алгоритмом, который позволяет последовательно получить достаточное количество значений разрядов искомого числа.

На первом шаге данного алгоритма нужно выяснить, каков старший разряд значения корня. Для этого последовательно возводятся в степень n числа 0, 10, 100, … до того момента, когда будет получено число, превосходящее подкоренное число. Тогда число, которое мы возводили в степень n на предыдущем этапе, укажет соответствующий старший разряд.

Для примера рассмотрим этот шаг алгоритма при извлечении квадратного корня из пяти. Берем числа 0, 10, 100, … и возводим их в квадрат, пока не получим число, превосходящее 5 . Имеем 0 2 =0 , 10 2 =100>5 , значит, старшим разрядом будет разряд единиц. Значение этого разряда, а также более младших, будет найдено на следующих шагах алгоритма извлечения корня.

Все следующие шаги алгоритма имеют целью последовательное уточнение значения корня за счет того, что находятся значения следующих разрядов искомого значения корня, начиная со старшего и продвигаясь к младшим. К примеру, значение корня на первом шаге получается 2 , на втором – 2,2 , на третьем – 2,23 , и так далее 2,236067977… . Опишем, как происходит нахождение значений разрядов.

Нахождение разрядов проводится за счет перебора их возможных значений 0, 1, 2, …, 9 . При этом параллельно вычисляются n -ые степени соответствующих чисел, и они сравниваются с подкоренным числом. Если на каком-то этапе значение степени превзойдет подкоренное число, то значение разряда, соответствующее предыдущему значению, считается найденным, и производится переход к следующему шагу алгоритма извлечения корня, если же этого не происходит, то значение этого разряда равно 9 .

Поясним эти моменты все на том же примере извлечения квадратного корня из пяти.

Сначала находим значение разряда единиц. Будем перебирать значения 0, 1, 2, …, 9 , вычисляя соответственно 0 2 , 1 2 , …, 9 2 до того момента, пока не получим значение, большее подкоренного числа 5 . Все эти вычисления удобно представлять в виде таблицы:

Так значение разряда единиц равно 2 (так как 2 2 , а 2 3 >5 ). Переходим к нахождению значения разряда десятых. При этом будем возводить в квадрат числа 2,0, 2,1, 2,2, …, 2,9 , сравнивая полученные значения с подкоренным числом 5 :

Так как 2,2 2 , а 2,3 2 >5 , то значение разряда десятых равно 2 . Можно переходить к нахождению значения разряда сотых:

Так найдено следующее значение корня из пяти, оно равно 2,23 . И так можно продолжать дальше находить значения : 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Для закрепления материала разберем извлечение корня с точностью до сотых при помощи рассмотренного алгоритма.

Сначала определяем старший разряд. Для этого возводим в куб числа 0, 10, 100 и т.д. пока не получим число, превосходящее 2 151,186 . Имеем 0 3 =0 , 10 3 =1 000 , 100 3 =1 000 000>2 151,186 , таким образом, старшим разрядом является разряд десятков.

Определим его значение.

Так как 10 3 , а 20 3 >2 151,186 , то значение разряда десятков равно 1 . Переходим к единицам.

Таким образом, значение разряда единиц равно 2 . Переходим к десятым.

Так как даже 12,9 3 меньше подкоренного числа 2 151,186 , то значение разряда десятых равно 9 . Осталось выполнить последний шаг алгоритма, он нам даст значение корня с требуемой точностью.

На этом этапе найдено значение корня с точностью до сотых: .

В заключение этой статьи хочется сказать, что существует масса других способов извлечения корней. Но для большинства задач достаточно тех, которые мы изучили выше.

Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называт иррациональными.

Методы решения иррациональных уравнений, как правило, основаны на возможности замены (с помощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональным уравнением, которое либо эквивалентно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. Чаще всего обе части уравнения возводят в одну и ту же степень. При этом получается уравнение, являющееся следствием исходного.

При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:

1) если показатель корня — четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательно; при этом значение корня также является неотрицательным (опредедение корня с четным показателем степени);

2) если показатель корня — нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом; в этом случае знак корня совпадает со знаком подкоренного выражения.

Пример 1. Решить уравнение

Возведем обе части уравнения в квадрат.
x 2 — 3 = 1;
Перенесем -3 из левой части уравнения в правую и выполним приведение подобных слагаемых.
x 2 = 4;
Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня -2 и 2.

Произведем проверку полученных корней, для этого произведем подстановку значений переменной x в исходное уравнение.
Проверка.
При x₁ = -2 — истинно:
При x₂ = -2— истинно.
Отсюда следует, что исходное иррациональное уравнение имеет два корня -2 и 2.

Пример 2. Решить уравнение .

Это уравнение можно решить по такой же методике как и в первом примере, но мы поступим иначе.

Найдем ОДЗ данного уравнения. Из определения квадратного корня следует, что в данном уравнении одновременно должны выполнятся два условия:

а) x — 90;

x9;

б) 1 — x0;

-x-1 ;

x1.

ОДЗ данного уранения: x.

Ответ: корней нет.

Пример 3. Решить уравнение=+ 2.

Нахождение ОДЗ в этом уравнении представляет собой достаточно трудную задачу. Возведем обе части уравнения в квадрат:
x 3 + 4x — 1 — 8= x 3 — 1 + 4+ 4x;
=0;
x₁=1; x₂=0.
Произведя проверку устанавливаем, что x₂=0 лишний корень.
Ответ: x₁=1.

Пример 4. Решить уравнение x =.

В этом примере ОДЗ найти легко. ОДЗ этого уравнения: x[-1;).

Возведем обе части этого уравнения в квадрат, в результате получим уравнение x 2 = x + 1. Корни этого уравнения:

x₁ =

x₂ =

Произвести проверку найденных корней трудно. Но, несмотря на то, что оба корня принадлежат ОДЗ утверждать, что оба корня являются корнями исходного уравнения нельзя. Это приведет к ошибке. В данном случае иррациональное уравнение равносильно совокупности двух неравенств и одного уравнения:

x + 10 и x0 и x 2 = x + 1, из которой следует, что отрицательный корень для иррационального уравнения является посторонним и его нужно отбросить.

Ответ:

Пример 5 . Решить уравнение+= 7.

Возведем обе части уравнения в квадрат и выполним приведение подобных членов, перенес слагаемых из одной части равенства в другую и умножение обеих частей на 0,5. В результате мы получим уравнение
= 12, (*) являющееся следствием исходного. Снова возведем обе части уравнения в квадрат. Получим уравнение (х + 5)(20 — х) = 144, являющееся следствием исходного. Полученное уравнение приводится к виду x 2 — 15x + 44 =0.

Это уравнение (также являющееся следствием исходного) имеет корни x₁ = 4, х₂ = 11. Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.

Замечание. При возведении уравнений в квадрат учащиеся нередко в уравнениях типа (*) производят перемножение подкоренных выражений, т. е. вместо уравнения•= 12, пишут уравнение = 12. Это не приводит к ошибкам, поскольку уравнения являются следствиями уравнений. Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае такое перемножение подкоренных выражений дает неравносильные уравнения.

В рассмотренных выше примерах можно было сначала перенести один из радикалов в правую часть уравнения. Тогда в левой части уравнения останется один радикал и после возведения обеих частей уравнения в квадрат в левой части уравнения получится рациональная функция. Такой прием (уединение радикала) довольно часто применяется при решении иррациональных уравнений.

Пример 6. Решить уравнение—= 3.

Уединив первый радикал, получаем уравнение
=+ 3, равносильное исходному.

Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение

x 2 + 5x + 2 = x 2 — 3x + 3 + 6, равносильное уравнению

4x — 5 = 3(*). Это уравнение является следствием исходного уравнения. Возводя обе части уравнения в квадрат, приходим к уравнению
16x 2 — 40x + 25 = 9(x 2 — Зх + 3), или

7x 2 — 13x — 2 = 0.

Это уравнение является следствием уравнения (*) (а значит, и исходного уравнения) и имеет корни. Первый корень x₁ = 2 удовлетворяет исходному уравнению, а второй x₂ =— не удовлетворяет.

Заметим, что если бы мы сразу, не уединив один из радикалов, возводили обе части исходного уравнения в квадрат нам бы пришлось выполнить довольно громозкие преобразования.

При решении иррациональных уравнений, кроме уединения радикалов используют и другие методы. Рассмотрим пример использования метода замены неизвестного (метод введения вспомогательной переменной).

Пример 7. Решить уравнение 2x 2 — 6x ++ 2 = 0.

Введем вспомогательную переменную. Пусть y =, где y0, тогда получим уравнение 2y 2 + y — 10 = 0;
y₁ = 2; y₂ = —. Второй корень не удовлетворяет условию y0.
Возвращаемся к x:
= 2;
x 2 — 3x + 6 = 4;
x 2 -3x + 2 = 0;
x₁ = 1; x₂ = 2. Проверкой устанавливаем, что оба корня являются корнями иисходного уравнения.
Ответ: x₁ = 1; x₂ = 2.

Пример 8. Решить уравнение+=

Положим= t, Тогда уравнение примет вид t +=откуда получаем следствие: 2t 2 — 5t + 2 = 0 Решая это квадратное уравнение, находим два корня: t₁ = 2 t₂ =. Задача сводится теперь к решению следующих двух уравнений:
= 2,(*)=(**)

Возводя обе части уравнения (*) в куб, получаем 12 — 2x = 8x — 8; x₁ = 2.

Аналогично, решив (**), находим x₂ =.

Оба найденных корня удовлетворяют исходному уравнению, так как в процессе решения мы использовали (кроме замены неизвестного) только преобразование вида [f(x) = g(x)][f n (x) = g n (x)], а при таком преобразовании, как было отмечено выше, получается равносильное уравнение.

Ответ: х₁ = 2, x₂ =.

Квадратное уравнение

Загляни сюда, – вдруг узнаешь себя!

Надеюсь, вы внимательно изучили таблицу, приведенную выше. Если все еще есть вопросы, – давайте разбираться.

Во первых, почему рассматриваются только случаи при ? Просто потому, что при у нас уже будет не квадратное уравнение, а линейное.

Формулу дискриминанта знают практически все, но почему же тогда возникают все же сложности с решением уравнений?

Начнем с того, что иногда происходит путаница с коэффициентами , и . Ни в коем случае мы не считаем, что – это тот коэффициент, что стоит на первом месте! Но – тот, что при . Давайте договоримся, что будем приводить всякое квадратное уравнение к стандартному виду, ставя на первое место слагаемое, содержащее , на последнее – свободный от член (если таковой имеется). Например, уравнение будем переписывать так .

Далее, некоторых может сбить с толку минусовой коэффициент при старшем члене (то есть ). В этом случае советую домножать обе части уравнения на -1. Например, встречая уравнение , переписывать его в таком виде , и только потом высчитывать дискриминант, находить корни.

И, наконец, замечу, находятся и такие товарищи, которые, встречая, например, уравнение , спешат выносить за скобку, путая это уравнение с неполным. Нет, это обычное полное квадратное уравнение, которое после переноса влево примет вид , – решаем мы его через дискриминант.

Поэтому, давайте договоримся всякое уравнение приводить к такому виду, чтобы справа стоял только ноль и ничего больше.

Плавно перешли к неполным квадратным уравнениям. Если мы будем придерживаться последного совета, то мы не сможем спутать неполное уравнение с полным уж это точно. Справа будет два слагаемых (вырожденный случай – одно), а не три как у полного уравнения. Можно, конечно, и такие уравнения решать через дискриминант,но проще поступить иначе.

У нас в случае неполного уравнения будет всегда получаться либо уравнение с двумя , либо с одним . Что делать, в случае, если у нас оба слагаемых содержат (например, )? Ну, конечно, выносить его за скобку (), в этом случае будем всегда получать, что произведение двух множителей равно . Когда такое возможно? Конечно, когда один из множителей равен нулю (либо , либо ). В этом случае у нас всегда один из корней будет нулевым.

Во втором же случае, неполное уравнение будет содержать лишь одно слагаемое с (например, или ). Если свободный член отрицательный (как в первом случае, ), то мы всегда сможем разложить левую часть на множители по формуле разность квадратов ( для уравнения имеем , далее ). Если же свободный член положителен, то уравнение не имеет корней (действительно, в уравнении первое слагаемое должно бы быть равным -3, чтобы в сумме с 3 дать 0, но такое невозможно).

В общем, каждое отдельно взятое квадратное уравнение мы решам одним из трех способов, – выбор не велик.

Заметим, также, что в случае полного квадратного уравнения в зависимости от того, какой дискриминант мы получаем, – на выходе разное количество корней. Если 0″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»14″ width=»54″ style=»vertical-align: 0px;»/>, то будем иметь два корня, если , то имеем один корень (или два совпавших), наконец, если , то корней нет.

Вынесение из под знака корня

В данной публикации мы рассмотрим, как выносить числа (множители) и буквы из-под знака корня второй и более старших степеней. Информация сопровождается практическими примерами для лучшего понимания.

Правило вынесения из-под корня

Квадратный корень

Вынести число (множитель) из-под знака корня – это значит извлечь корень из подкоренного выражения (т.е. того, что находится под знаком корня).

Если a 2 = b, то √ b = a.

• √ 4 = 2, т.к. 2 2 = 4;
• √ 36 = 6, т.к. 6 2 = 36.

Примечание: чтобы было проще выносить числа и множители из-под знака квадратного корня, рекомендуется выучить квадраты натуральных чисел, хотя бы до 20.

Корень n-ой степени

Для вынесения подкоренного выражения из-под корня третьей и более старших степеней, извлекаем корень в соответствующей степени.

Пример 1
Вынесем множитель из-под корня .

Решение:
В данном случае извлечь квадратный корень можно только из числа двадцать пять, что мы и сделаем.

Пример 2
Вынесем множитель из √ 45 .

Решение:
1. Сперва разложим подкоренное выражение (число 45) на множители. В нашем случае – это 9 и 5.
2. Из полученных чисел извлечь квадратный корень можно только из девяти. Таким образом получаем:

Допустимые действия под корнем

Если требуется вынести из-под корня выражение, то это можно сделать только в отношении произведения.

• √ 16 · 5 = √ 16 · √ 5 (правильно)
• √ 25 + 11 ≠ √ 25 + √ 11 (неправильно)
• √ 47 – 38 ≠ √ 47 – √ 38 (неправильно)
• √ 8 : 2 ≠ √ 8 : √ 2 (неправильно)

За исключением первого варианта, в остальных случаях сперва необходимо выполнить действия под корнем, а потом уже извлечь его.

• √ 25 + 11 = √ 36 = 6
• √ 47 – 38 = √ 9 = 3
• √ 8 : 2 = √ 4 = 2

Вынесение буквы

Вынести букву из-под корня – это то же самое, что и возвести ее в дробь, где в числителе – степень подкоренного выражения, в знаменателе – самого корня.

Примечание: этой же формулой можно пользоваться, подставляя вместо буквы конкретные числа.