Вынесение общего множителя за скобки уравнения

Вынесение общего множителя за скобки

Продолжаем разбираться с основами алгебры. Сегодня мы поработаем с распределительным законом умножения, а именно рассмотрим такое действие как вынесение общего множителя за скобки .

Основной принцип

Распределительный закон умножения позволяет умножить число на сумму (или сумму на число). Например, чтобы найти значение выражения 3 × (4 + 5) можно умножить число 3 на каждое слагаемое в скобках и сложить полученные результаты:

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15

Число 3 и выражение в скобках можно поменять местами (это следует из переместительного закона умножения). Тогда каждое слагаемое, которое в скобках, будет умножено на число 3

(4 + 5) × 3 = 4 × 3 + 5 × 3 = 12 + 15

Пока не будем вычислять конструкцию 3 × 4 + 3 × 5 и складывать полученные результаты 12 и 15 . Оставим выражение в виде 3 (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 . Ниже оно нам потребуется именно в таком виде, чтобы понять суть вынесения общего множителя за скобки.

Распределительный закон умножения иногда называют внесением множителя во внутрь скобок. В выражении 3 × (4 + 5) множитель 3 был за скобками. Умножив его на каждое слагаемое в скобках, мы по сути внесли его во внутрь скобок. Для наглядности можно так и записать, хоть и не принято так записывать:

3 (4 + 5) = ( 3 × 4 + 3 × 5)

Поскольку в выражении 3 × (4 + 5) число 3 умножается на каждое слагаемое в скобках, это число является общим множителем для слагаемых 4 и 5

Как говорилось ранее, умножив этот общий множитель на каждое слагаемое в скобках, мы вносим его во внутрь скобок. Но возможен и обратный процесс — общий множитель можно обратно вынести за скобки. В данном случае в выражении 3 × 4 + 3 × 5 общий множитель виден как на ладони — это множитель 3 . Его и нужно вынести за скобки. Для этого сначала записывается сам множитель 3

и рядом в скобках записывается выражение 3 × 4 + 3 × 5 но уже без общего множителя 3 , поскольку он вынесен за скобки

В результате вынесения общего множителя за скобки получается выражение 3 (4 + 5) . Это выражение тождественно равно предыдущему выражению 3 × 4 + 3 × 5

3 (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Если вычислить обе части полученного равенства, то получим тождество:

3 (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Как происходит вынесение общего множителя за скобки

Вынесение общего множителя за скобки по сути является обратной операцией внесению общего множителя во внутрь скобок.

Если при внесении общего множителя внутрь скобок, мы умножаем этот множитель на каждое слагаемое в скобках, то при вынесении этого множителя обратно за скобки, мы должны разделить каждое слагаемое в скобках на этот множитель.

В выражении 3 × 4 + 3 × 5 , которое было рассмотрено выше, так и происходило. Каждое слагаемое было разделено на общий множитель 3 . Произведения 3 × 4 и 3 × 5 и являются слагаемыми, поскольку если их вычислить, мы получим сумму 12 + 15

Теперь мы можем детально увидеть, как происходит вынесение общего множителя за скобки:

Видно, что общий множитель 3 сначала вынесен за скобки, затем в скобках происходит деление каждого слагаемого на этот общий множитель.

Деление каждого слагаемого на общий множитель можно выполнять не только разделяя числитель на знаменатель, как это было показано выше, но и сокращая эти дроби. В обоих случаях получится один и тот же результат:

Мы рассмотрели простейший пример вынесения общего множителя за скобки, чтобы понять основной принцип.

Но не всё так просто, как кажется на первый взгляд. После того, как число умножено на каждое слагаемое в скобках, полученные результаты складывают, и общий множитель пропадает из виду.

Вернёмся к нашему примеру 3 (4 + 5) . Применим распределительный закон умножения, то есть умножим число 3 на каждое слагаемое в скобках и сложим полученные результаты:

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15

После того, как вычислена конструкция 3 × 4 + 3 × 5 , мы получаем новое выражение 12 + 15 . Видим, что общий множитель 3 пропал из виду. Теперь в полученном выражении 12 + 15 попробуем обратно вынести общий множитель за скобки, но чтобы вынести этот общий множитель его сначала нужно найти.

Обычно при решении задач встречаются именно такие выражения, в которых общий множитель сначала нужно найти, прежде чем его выносить.

Чтобы в выражении 12 + 15 вынести общий множитель за скобки, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) слагаемых 12 и 15. Найденный НОД и будет общим множителем.

Итак, найдём НОД слагаемых 12 и 15. Напомним, что для нахождения НОД необходимо разложить исходные числа на простые множители, затем выписать первое разложение и убрать из него множители, которые не входят в разложение второго числа. Оставшиеся множители нужно перемножить и получить искомый НОД. Если испытываете затруднения на этом моменте, обязательно повторите этот урок.

НОД слагаемых 12 и 15 это число 3. Данное число является общим множителем слагаемых 12 и 15. Его и нужно выносить за скобки. Для этого сначала записываем сам множитель 3 и рядом в скобках записываем новое выражение, в котором каждое слагаемое выражения 12 + 15 разделено на общий множитель 3

Ну и дальнейшее вычисление не составляет особого труда. Выражение в скобках легко вычисляется — двенадцать разделить на три будет четыре, а пятнадцать разделить на три будет пять:

Таким образом, при вынесении общего множителя за скобки в выражении 12 + 15 получается выражение 3(4 + 5) . Подробное решение выглядит следующим образом:

В коротком решении пропускают запись в которой показано, как каждое слагаемое разделено на общий множитель:

Пример 2. Вынести общий множитель за скобки в выражении 15 + 20

Наибольший общий делитель слагаемых 15 и 20 это число 5. Данное число является общим множителем слагаемых 15 и 20. Его и вынесем за скобки:

Получили выражение 5(3 + 4).

Получившееся выражение 5(3 + 4) можно проверить. Для этого достаточно умножить пятёрку на каждое слагаемое в скобках. Если мы всё сделали правильно, то должны получить выражение 15 + 20

Пример 3. Вынести общий множитель за скобки в выражении 18 + 24 + 36

Найдём НОД слагаемых 18, 24 и 36. Чтобы найти НОД нескольких чисел, нужно разложить эти числа на простые множители, затем найти произведение общих множителей:

НОД слагаемых 18, 24 и 36 это число 6. Данное число является общим множителем слагаемых 18, 24 и 36. Его и вынесем за скобки:

Проверим получившееся выражение. Для этого умножим число 6 на каждое слагаемое в скобках. Если мы всё сделали правильно, то должны получить выражение 18 + 24 + 36

Пример 4. Вынести общий множитель за скобки в выражении 13 + 5

Слагаемые 13 и 5 являются простыми числами. Они раскладываются только на единицу и самих себя:

Это значит, что у слагаемых 13 и 5 нет общих множителей, кроме единицы. Соответственно, нет смысла выносить эту единицу за скобки, поскольку это ничего не даст. Покажем это:

Пример 5. Вынести общий множитель за скобки в выражении 195 + 156 + 260

Найдём НОД слагаемых 195, 156 и 260

НОД слагаемых 195, 156 и 260 это число 13. Данное число является общим множителем для слагаемых 195, 156 и 260. Его и вынесем за скобки:

Проверим получившееся выражение. Для этого умножим 13 на каждое слагаемое в скобках. Если мы всё сделали правильно, то должны получить выражение 195 + 156 + 260

Выражение, в котором требуется вынести общий множитель за скобки, может быть не только суммой чисел, но и разностью. Например, вынесем общий множитель за скобки в выражении 16 − 12 − 4. Наибольшим общим делителем чисел 16, 12 и 4 это число 4. Данное число и вынесем за скобки:

Проверим получившееся выражение. Для этого умножим четвёрку на каждое число в скобках. Если мы всё сделали правильно, то должны получить выражение 16 − 12 − 4

Пример 6. Вынести общий множитель за скобки в выражении 72 + 96 − 120

Найдём НОД чисел 72, 96 и 120

НОД для 72, 96 и 120 это число 24. Данное число является общим множителем слагаемых 195, 156 и 260. Его и вынесем за скобки:

Проверим получившееся выражение. Для этого умножим 24 на каждое число в скобках. Если мы всё сделали правильно, то должны получить выражение 72+96−120

Общий множитель, выносимый за скобки, может быть и отрицательным. Например, вынесем общий множитель за скобки в выражении −6 − 3. Вынести общий множитель за скобки в таком выражении можно двумя способами. Рассмотрим каждый из них.

Способ 1.

Заменим вычитание сложением:

Теперь находим общий множитель. Общим множителем данного выражения будет наибольший общий делитель модулей слагаемых −6 и −3.

Модуль первого слагаемого это 6. А модуль второго слагаемого это 3. НОД(6 и 3) равен 3. Данное число является общим множителем слагаемых 6 и 3. Его и вынесем за скобки:

Выражение полученное таким способом получилось не очень аккуратным. Много скобок и отрицательных чисел не придают выражению простоту. Поэтому можно воспользоваться вторым способом, суть которого заключается в том, чтобы вынести за скобки не 3, а −3.

Способ 2.

Как и в прошлый раз заменяем вычитание сложением

В этот раз мы вынесем за скобки не 3, а −3

Выражение полученное в этот раз выглядит намного проще. Запишем решение покороче, чтобы сделать его ещё проще:

Разрешать выносить отрицательный множитель за скобки связано с тем, что разложение чисел −6 и (−3) можно записать двумя видами: сначала сделать множимое отрицательным, а множитель положительным:

во втором случае множимое можно сделать положительным, а множитель отрицательным:

А значит мы вольны выносить за скобки тот сомножитель, который захотим.

Пример 8. Вынести общий множитель за скобки в выражении −20 − 16 − 2

Заменим вычитание сложением

−20 − 16 − 2 = −20 + (−16) + (−2)

Наибольшим общим делителем слагаемых −20, −16 и −2 является число 2. Это число является общим множителем этих слагаемых. Посмотрим, как это выглядит:

Но приведенные разложения можно заменить на тождественно равные разложения. Различие будет в том, что общим множителем будет не 2 , а −2

Поэтому для удобства за скобки можно вынести не 2 , а −2

Запишем приведенное решение покороче:

А если бы мы вынесли за скобки 2 , то получилось бы не совсем аккуратное выражение:

Пример 9. Вынести общий множитель за скобки в выражении −30 − 36 − 42

Заменим вычитание сложением:

Наибольшим общим делителем слагаемых −30, −36 и −42 это число 6. Данное число является общим множителем для этих слагаемых. Но за скобки мы вынесем не 6, а −6 поскольку числа −30, −36 и −42 можно представить так:

Вынесение минуса за скобки

При решении задач иногда может быть полезным вынесение минуса за скобки. Это позволяет упростить выражение и сделать его проще.

Рассмотрим следующий пример. Вынести минус за скобки в выражении −15 + (−5) + (−3)

Для наглядности заключим данное выражение в скобки, ведь речь идёт о том, чтобы вынести минус за эти скобки

Итак, чтобы вынести минус за скобки, нужно записать перед скобками минус и в скобках записать все слагаемые, но с противоположными знаками. Знаки операций (то есть плюсы) оставляем без изменений:

Мы вынесли минус за скобки в выражении −15 + (−5) + (−3) и получили −(15 + 5 + 3) . Оба выражения равны одному и тому же значению −23

−(15 + 5 + 3) = −(23) = −23

Поэтому между выражениями −15 + (−5) + (−3) и −(15 + 5 + 3) можно поставить знак равенства, потому что они равны одному и тому же значению:

−15 + (−5) + (−3) = −(15 + 5 + 3)

На самом деле при вынесении минуса за скобки опять же срабатывает распределительный закон умножения:

Если поменять местами левую и правую часть этого тождества, то получится, что сомножитель a вынесен за скобки

Тоже самое происходит, когда мы выносим общий множитель в других выражениях и когда выносим минус за скобки.

Очевидно, что при вынесении минуса за скобки, выносится не минус, а минус единица. Ранее мы говорили, что коэффициент 1 принято не записывать.

Поэтому и образуется перед скобками минус, а знаки слагаемых которые были в скобках меняют свой знак на противоположный, поскольку каждое слагаемое разделено на минус единицу.

Вернёмся к предыдущему примеру и детально увидим, как на самом деле выносился минус за скобки

Пример 2. Вынести минус за скобки в выражении −3 + 5 + 11

Ставим минус и рядом в скобках записываем выражение −3 + 5 + 11 с противоположным знаком у каждого слагаемого:

−3 + 5 + 11 = −(3 − 5 − 11)

Как и в прошлом примере, здесь за скобки вынесен не минус, а минус единица. Подробное решение выглядит следующим образом:

Сначала получилось выражение −1(3 + (−5) + (−11)) , но мы раскрыли в нём внутренние скобки и получили выражение −(3 − 5 − 11) . Раскрытие скобок это тема следующего урока, поэтому если данный пример вызывает у вас затруднения, можете пока пропустить его.

Вынесение общего множителя за скобки в буквенном выражении

Выносить общий множитель за скобки в буквенном выражении намного интереснее.

Для начала рассмотрим простейший пример. Пусть имеется выражение 3 a + 2 a . Вынесем общий множитель за скобки.

В данном случае, общий множитель виден невооруженным глазом — это множитель a . Его и вынесем за скобки. Для этого записываем сам множитель a и рядом в скобках записываем выражение 3 a + 2 a , но уже без множителя a поскольку он вынесен за скобки:

Как и в случае с числовым выражением, здесь происходит деление каждого слагаемого на вынесенный общий множитель. Выглядит это так:

В обеих дробях переменные a были сокращены на a . Вместо них в числителе и в знаменателе получились единицы. Единицы получились по причине того, что вместо переменной a может стоять любое число. Эта переменная располагалась и в числителе и в знаменателе. А если в числителе и в знаменателе располагаются одинаковые числа, то наибольший общий делитель для них будет само это число.

Например, если вместо переменной a подставить число 4, то конструкция примет следующий вид: . Тогда четвёрки в обеих дробях можно будет сократить на 4:

Получается то же самое, что и раньше, когда вместо четвёрок стояла переменная a .

Поэтому не следует пугаться при виде сокращения переменных. Переменная это полноправный множитель, пусть даже выраженный буквой. Такой множитель можно выносить за скобки, сокращать и выполнять другие действия, которые допустимы к обычным числам.

Буквенное выражение содержит не только числа, но и буквы (переменные). Поэтому общий множитель, который выносится за скобки часто бывает буквенным множителем, состоящим из числа и буквы (коэффициента и переменной). К примеру, следующие выражения являются буквенными множителями:

Прежде чем выносить такой множитель за скобки, нужно определиться, какое число будет в числовой части общего множителя и какая переменная будет в буквенной части общего множителя. Другими словами, нужно узнать какой коэффициент будет у общего множителя и какая переменная будет в него входить.

Рассмотрим выражение 10a + 15a . Попробуем вынести в нём общий множитель за скобки. Сначала определимся из чего будет состоять общий множитель, то есть узнаем его коэффициент и какая переменная будет в него входить.

Коэффициентом общего множителя должен быть наибольший общий делитель коэффициентов буквенного выражения 10a + 15a . Коэффициентами данного выражения являются числа 10 и 15 , а их наибольший общий делитель это число 5 . Значит число 5 будет коэффициентом общего множителя, выносимого за скобки.

Теперь определимся какая переменная будет входить в общий множитель. Для этого нужно посмотреть на выражение 10a + 15a и найти буквенный сомножитель, который входит во все слагаемые. В данном случае, это сомножитель a . Этот сомножитель входит в каждое слагаемое выражения 10a + 15a . Значит переменная a будет входить в буквенную часть общего множителя, выносимого за скобки:

Теперь осталось вынести общий множитель 5a за скобки. Для этого разделим каждое слагаемое выражения 10a + 15a на 5a . Для наглядности коэффициенты и числа будем отделять знаком умножения (×)

Проверим получившееся выражение. Для этого умножим 5a на каждое слагаемое в скобках. Если мы всё сделали правильно, то получим выражение 10a + 15a

Буквенный множитель не всегда можно вынести за скобки. Иногда общий множитель состоит только из числа, поскольку ничего подходящего для буквенной части в выражении не находится.

Например, вынесем общий множитель за скобки в выражении 2a − 2b . Здесь общим множителем будет только число 2, а среди буквенных сомножителей общих множителей в выражении нет. Поэтому в данном случае будет вынесен только множитель 2

Пример 2. Вынести общий множитель выражении 3x + 9y + 12

Коэффициентами данного выражения являются числа 3, 9 и 12, их НОД равен 3. Значит коэффициентом общего множителя, выносимого за скобки, будет число 3. А среди буквенных сомножителей (переменных) нет общего множителя. Поэтому окончательный общий множитель это 3

Пример 3. Вынести общий множитель за скобки в выражении 8x + 6y + 4z + 10 + 2

Коэффициентами данного выражения являются числа 8, 6, 4, 10 и 2, их НОД равен 2. Значит коэффициентом общего множителя, выносимого за скобки, будет число 2. А среди буквенных сомножителей нет общего множителя. Поэтому окончательный общий множитель это 2

Пример 4. Вынести общий множитель 6ab + 18ab + 3abc

Коэффициентами данного выражения являются числа 6, 18 и 3, их НОД равен 3. Значит коэффициентом общего множителя, выносимого за скобки, будет число 3. В буквенную часть общего множителя будут входить переменные a и b, поскольку в выражении 6ab + 18ab + 3abc эти две переменные входят в каждое слагаемое. Поэтому окончательный общий множитель это 3ab

При подробном решении выражение становится громоздким и даже непонятным. В данном примере это более чем заметно. Это связано с тем, что мы сокращаем множители в числителе и в знаменателе. Лучше всего делать это в уме и сразу записывать результаты деления. Тогда выражение станет коротким и аккуратным:

Как и в случае с числовым выражением в буквенном выражении общий множитель может быть и отрицательным.

Например, вынесем общий множитель за скобки в выражении −3 a − 2 a .

Для удобства заменим вычитание сложением

−3 a − 2 a = −3 a + (−2 a )

Общим множителем в данном выражении является множитель a . Но за скобки можно вынести не только a , но и −a . Его и вынесем за скобки:

Получилось аккуратное выражение −a (3+2). Не следует забывать, что множитель −a на самом деле выглядел как −1a и после сокращения в обеих дробях переменных a , в знаменателях остались минус единицы. Поэтому в итоге и получаются положительные ответы в скобках

Пример 6. Вынести общий множитель за скобки в выражении −6x − 6y

Заменим вычитание сложением

Вынесем за скобки −6

Запишем решение покороче:

Пример 7. Вынести общий множитель за скобки в выражении −2a − 4b − 6c

Заменим вычитание сложением

Вынесем за скобки −2

Запишем решение покороче:

−2a − 4b − 6c = −2(a + 2b + 3c)

Вынесение общего множителя за скобки это очень важная тема. В данном уроке рассмотрены только азы и простейшие примеры. Мы ещё вернемся к этой теме, когда будем изучать многочлены.

Обязательно изучите данный урок, поскольку при изучении многочленов потребуется выносить за скобки сложный множитель, состоящий из степеней.

Вынесение за скобки общего множителя: правило, примеры

В рамках изучений тождественных преобразований очень важна тема вынесения общего множителя за скобки. В данной статье мы поясним, в чем именно заключается такое преобразование, выведем основное правило и разберем характерные примеры задач.

Понятие вынесения множителя за скобки

Чтобы успешно применять данное преобразование, нужно знать, для каких выражений оно используется и какой результат надо получить в итоге. Поясним эти моменты.

Вынести общий множитель за скобки можно в выражениях, представляющих собой суммы, в которых каждое слагаемое является произведением, причем в каждом произведении есть один множитель, общий (одинаковый) для всех. Он так и называется – общим множителем. Именно его мы будем выносить за скобки. Так, если у нас есть произведения 5 · 3 и 5 · 4 , то мы можем вынести за скобки общий множитель 5 .

В чем состоит данное преобразование? В ходе него мы представляем исходное выражение как произведение общего множителя и выражения в скобках, содержащего сумму всех исходных слагаемых, кроме общего множителя.

Возьмем пример, приведенный выше. Вынесем общий множитель 5 в 5 · 3 и 5 · 4 и получим 5 ( 3 + 4 ) . Итоговое выражение – это произведение общего множителя 5 на выражение в скобках, которое является суммой исходных слагаемых без 5 .

Данное преобразование базируется на распределительном свойстве умножения, которое мы уже изучали до этого. В буквенном виде его можно записать как a · ( b + c ) = a · b + a · c . Поменяв правую часть с левой, мы увидим схему вынесения общего множителя за скобки.

Правило вынесения общего множителя за скобки

Используя все сказанное выше, выведем основное правило такого преобразования:

Чтобы вынести за скобки общий множитель, надо записать исходное выражение в виде произведения общего множителя и скобок, которые включают в себя исходную сумму без общего множителя.

Возьмем простой пример вынесения. У нас есть числовое выражение 3 · 7 + 3 · 2 − 3 · 5 , которое является суммой трех слагаемых 3 · 7 , 3 · 2 и общего множителя 3 . Взяв за основу выведенное нами правило, запишем произведение как 3 · ( 7 + 2 − 5 ) . Это и есть итог нашего преобразования. Запись всего решения выглядит так: 3 · 7 + 3 · 2 − 3 · 5 = 3 · ( 7 + 2 − 5 ) .

Мы можем выносить множитель за скобки не только в числовых, но и в буквенных выражениях. Например, в 3 · x − 7 · x + 2 можно вынести переменную x и получить 3 · x − 7 · x + 2 = x · ( 3 − 7 ) + 2 , в выражении ( x 2 + y ) · x · y − ( x 2 + y ) · x 3 – общий множитель ( x 2 + y ) и получить в итоге ( x 2 + y ) · ( x · y − x 3 ) .

Определить сразу, какой множитель является общим, возможно не всегда. Иногда выражение нужно предварительно преобразовать, заменив числа и выражения тождественно равными им произведениями.

Так, к примеру, в выражении 6 · x + 4 · y можно вынести общий множитель 2 , не записанный в явном виде. Чтобы его найти, нам нужно преобразовать исходное выражение, представив шесть как 2 · 3 , а четыре как 2 · 2 . То есть 6 · x + 4 · y = 2 · 3 · x + 2 · 2 · y = 2 · ( 3 · x + 2 · y ) . Или в выражении x 3 + x 2 + 3 · x можно вынести за скобки общий множитель x , который обнаруживается после замены x 3 на x · x 2 . Такое преобразование возможно благодаря основным свойствам степени. В итоге мы получим выражение x · ( x 2 + x + 3 ) .

Еще один случай, на котором следует остановиться отдельно, – это вынесение за скобки минуса. Тогда мы выносим не сам знак, а минус единицу. Например, преобразуем таким образом выражение − 5 − 12 · x + 4 · x · y . Перепишем выражение как ( − 1 ) · 5 + ( − 1 ) · 12 · x − ( − 1 ) · 4 · x · y , чтобы общий множитель был виден более отчетливо. Вынесем его за скобки и получим − ( 5 + 12 · x − 4 · x · y ) . На этом примере видно, что в скобках получилась та же сумма, но с противоположными знаками.

В выводах отметим, что преобразование путем вынесения общего множителя за скобки очень часто применяется на практике, например, для вычисления значения рациональных выражений. Также этот способ полезен, когда нужно представить выражение в виде произведения, например, разложить многочлен на отдельные множители.

Как правильно выносить общий множитель за скобки в алгебре

Понятие вынесения общего множителя за скобки

Разложить многочлен на множители — значит, преобразовать многочлен в произведение, которое равно этому многочлену.

Существует несколько методов в алгебре, позволяющих разложить многочлен на отдельные множители. Одним из наиболее распространенных способов является вынесение общего множителя за скобки. Такая методика часто встречается на уроках в средних классах.

Вынесение общего множителя за скобки представляет собой применение распределительного правила умножения с целью преобразования многочлена и получения в результате произведения.

В процессе вынесения множителя за скобки двучлен (ab + ac) примет вид произведения: a*(b + c)

Как происходит вынесение общего множителя за скобки

Определить общий множитель для каждого из членов, которые входят в состав многочлена, достаточно просто. Нужно следовать следующему алгоритму действий:

1. При наличии у членов многочлена коэффициентов нужно определить число, на которое можно поделить коэффициент каждого члена. Данное число необходимо оставить за скобками.
2. Найти встречающиеся в каждом из членов многочлена переменные. Эти переменные требуется вынести за скобки в минимальной имеющейся степени.
3. Определить многочлен, который должен быть заключен в скобки. При этом такой многочлен обладает аналогичным количеством членов, как и начальный член. Составить уравнение.

В качестве показательного примера можно разобрать порядок разложения многочлена на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки:

20 a 2 b c 2 — 10 a 3 c + 15 a 2 b 2 c

В первую очередь обратим внимание на коэффициенты 20, 10 и 15 для определения наибольшего общего делителя. Таковым является число 5. Значит, 5 является общим множителем для каждого из коэффициентов.

Заметим, что буквенная часть а присутствует в каждом из трех членов. Возведем а во вторую степень, которая представляет собой наименьшую степень из всех встречающихся в данном выражении. Получим a 2 .

Аналогично поступим в случае множителя с. Множитель b записан не во всех членах многочлена, поэтому его нельзя включить в состав общего множителя. Таким образом, общим множителем является 5 a 2 c , который требуется оставить за скобками:

Далее можно приступить к вычислению многочлена, который остался в скобках. При группировке требуется разделить каждый из членов начального многочлена на определенный ранее общий множитель с учетом его знака:

20 a 2 b c 2 5 a 2 c = 4 b c

10 a 3 c 5 a 2 c = 2 a

15 a 2 b 2 c 5 a 2 c = 3 b 2

В результате проделанной работы получим:

20 a 2 b c 2 — 10 a 3 c + 15 a 2 b 2 c = 5 a 2 c ( 4 b c — 2 a + 3 b 2 )

При вынесении общего множителя за скобки совершается действие, которое является обратным умножению одночлена на многочлен:

5 a 2 c ( 4 b c — 2 a + 3 b 2 ) = 20 a 2 b c 2 — 10 a 3 c + 15 a 2 b 2 c

Основное правило

Основное правило, которое применимо при вынесении общего множителя за скобки: вынесение общего множителя за скобки заключается в записи начального выражения, как произведения общего множителя и скобок, содержащих начальную сумму за исключением общего множителя.

• найти максимально возможный общий делитель коэффициентов всех одночленов, составляющих многочлен;
• после определения общего числового множителя определить общую буквенную часть для всех многочленов путем выбора минимального показателя степени;
• общий множитель, который является произведением коэффициента и общей буквенной части, следует вынести за скобки;
• в конце каждый из членов, входящих в состав многочлена, нужно разделить на вынесенный множитель и заключить полученный результат в скобки.

Примечание

В результате вынесения общего множителя за скобки в них остается такое же количество одночленов, которое содержалось в исходном многочлене.

Например, имеется некое выражение:

4 × 7 + 4 × 3 — 4 × 5

Заметим, что это сумма из трех слагаемых и общего множителя в виде числа 4. Руководствуясь правилом вынесения общего множителя за скобки, преобразуем выражение:

Преобразование выполнено, запишем итоговый результат:

4 × 7 + 4 × 3 — 4 × 5 = 4 × ( 7 + 3 — 5 )

Не во всех случаях получается определить общий множитель. Например, перед вынесением общего множителя может потребоваться замена чисел и выражений на произведения, которые тождественно им равны.

Попробуем разложить на множители многочлен:

12 m — 6 m — 3 m = 3 m ( 12 m 3 m — 6 m 3 m — 3 m 3 m ) = 3 m ( 4 – 2 – 1 ) = 3 m

Пояснение на примерах

В числовом выражении требуется вынести общий множитель за скобки:

В первую очередь следует определить максимально возможный общий множитель для двух слагаемых 15 и 20. Таковым будет являться число 5. Исключим его из скобок:

15 + 20 = 5 ( 15 5 + 20 5 ) = 5 * ( 3 + 4 )

Выполним проверку. В процессе необходимо выполнить умножение общего множителя в виде числа 5 на каждое из слагаемых. В том случае, когда ответ верный, выражение примет вид 15 + 20:

5 * ( 3 + 4 ) = 5 × 3 + 5 × 4 = 15 + 20

Вынести за скобки общий множитель в выражении:

Заметим, что в условии задания записана сумма простых чисел 13 и 5. В связи с этим, такие числа можно разложить на единицу и самих себя:

Такие слагаемые не имеют общих множителей, за исключением единицы. С другой стороны, число 1 бессмысленно выносить за скобки. Выполним преобразования:

13 + 5 = 1 ( 13 1 + 5 1 ) = 1 ( 13 + 5 )

Ответ: 1 * ( 13 + 5 )

Дано выражение, в котором требуется вынести общий множитель за скобки:

Выполним замену вычитания на сложение:

−20 − 16 − 2 = −20 + (−16) + (−2)

Слагаемые -20, -16 и -2 обладают общим делителем, равным числу 2. Таким образом, 2 — общий множитель для этих слагаемых. За скобки же следует выносить не 2, а число -2, в связи с тем, что слагаемые допустимо записать в следующей форме:

Удобно, если за скобками будет записан общий самостоятельный множитель -2:

— 20 – 16 – 2 = — 20 + ( — 16 ) + ( — 2 ) = — 2 ( — 20 — 2 + — 16 — 2 + — 2 — 2 ) = — 2 ( 10 + 8 + 1 )

Ответ можно записать в сокращенном виде:

-20 – 16 – 2 = -2 (10 + 8 + 1)

Заметим, что если бы мы вынесли за скобки общий множитель в виде числа 2 без минуса, то получили бы ответ правильный, но не аккуратный:

— 20 – 16 – 2 = — 20 + ( — 16 ) + ( — 2 ) = 2 ( — 20 2 + — 16 2 + — 2 2 ) = 2 ( — 10 + ( — 8 ) + ( — 1 ) )

Ответ: -2 (10 + 8 + 1)

Дано выражение, в котором требуется вынести за скобки общий множитель:

Выполним замену вычитания на сложение:

Заметим, что для слагаемых -30, -36, -42 общим делителем является число -6. Это общий множитель для таких слагаемых. Выполним преобразования:

Выполним преобразования согласно правилу вынесения общего множителя за скобки:

— 30 – 36 – 42 = — 30 + ( — 36 ) + ( — 42 ) = — 6 ( — 30 — 6 + — 36 — 6 + — 42 — 6 ) = — 6 ( 5 + 6 + 7 )