Вынести за скобки общий множитель в уравнении

Вынесение общего множителя за скобки

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие вынесения множителя за скобки

Разложение многочлена на множители — это преобразование многочлена в произведение, которое равно данному многочлену.

Есть несколько способов разложения многочлена на множители. Один из них — вынесение общего множителя за скобки.

Вынести общий множитель за скобки можно в выражениях, которые представляют из себя суммы, в которых каждое слагаемое является произведением, причем в каждом произведении есть один одинаковый для всех множитель. Он так и называется — общий множитель.

Вынесение общего множителя за скобки — это преобразование многочлена в произведение с помощью распределительного свойства умножения. Только в случае вынесения множителя за скобки это свойство применяется справа налево.

Формула вынесения общего множителя за скобки:

Покажем метод вынесения общего множителя за скобки на примере с цифрами:

Определение общего множителя для всех членов многочлена производится пошагово:

1. Если у каждого члена есть коэффициент — находим число, на которое делится коэффициент каждого члена, и выносим его за скобки.
2. Находим переменные, которые встречаются в каждом члене. Переменные выносятся за скобки в наименьшей встречающейся степени.
3. Определяем многочлен, который должен остаться в скобках. При этом многочлен должен иметь столько же членов, сколько было в исходном многочлене.

Если нам дано произведение 6 * 2 и 6 * 5, то мы можем вынести за скобки общий множитель 5. В чем состоит данное преобразование? Мы представляем исходное выражение как произведение общего множителя и выражения в скобках, которое содержит сумму всех исходных слагаемых, кроме общего множителя.

Итак, вынесем общий множитель 5 в 6 * 2 и 6 * 5 и получим 6 * (2 + 5).

Итоговое выражение — это произведение общего множителя 6 на выражение в скобках, которое является суммой исходных слагаемых без 6.

Так и получается: 6 * 2 + 6 * 5 = 6 * (2 + 5).

Правило вынесения общего множителя за скобки

Основное правило вынесения общего множителя за скобки

Чтобы вынести за скобки общий множитель, нужно записать исходное выражение в виде произведения общего множителя и скобок, которые включают в себя исходную сумму без общего множителя.

Алгоритм вынесения общего множителя за скобки:

1. Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, которые входят в многочлен. Он и будет общим числовым множителем.
2. Найти общую буквенную часть для всех членов многочлена. При этом выбрать наименьший показатель степени.
3. Произведение коэффициента и общей буквенной части, которые мы нашли на первом и втором шагах, является общим множителем, который выносим за скобки.
4. Делим каждый член многочлена на вынесенный множитель и полученный результат записываем в скобках.

Важно! В скобках должно быть столько одночленов, сколько их было в многочлене.

Рассмотрим простой пример вынесения. Дано числовое выражение 4 * 7 + 4 * 3 — 4 * 5, которое является суммой трех слагаемых и общего множителя 4. Возьмем за основу выведенное правило и запишем произведение иначе: 4 * (7 + 3 — 5).

Это и есть итог нашего преобразования. Запись всего решения выглядит так:

4 * 7 + 4 * 3 — 4 * 5 = 4 * (7 + 3 — 5).

Определить сразу, какой множитель является общим, получается не всегда. Иногда выражение нужно предварительно преобразовать, заменив числа и выражения тождественно равными им произведениями.

Рассмотрим разложение многочлена на множители методом вынесения за скобки общего множителя на примере многочлена: 12m — 6m — 3m. Ход решения:

Курсы ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Вынесение минуса за скобки

Еще один случай, на котором следует обратить внимание — это вынесение за скобки минуса. Только мы выносим не сам знак, а минус единицу. Часто это помогает упростить выражение и сделать его проще.

Пример 1. Вынести минус за скобки в выражении: -10 + (-1) + (-3)

Чтобы вынести минус за скобки, нужно записать перед скобками минус и в скобках записать все слагаемые с противоположными знаками:

Найдем решение для каждого выражения:

-(10 + 1 + 3) = -(14) = -14

Поэтому между выражениями можно поставить знак равенства, потому что они равны одному и тому же значению:

-10 + (-1) + (-3) = -(10 + 1 + 3)

Пример 2. Вынести минус за скобки в выражении: -3 + 5 + 11

Ставим минус и рядом в скобках записываем выражение с противоположным знаком у каждого слагаемого:

-3 + 5 + 11 = -(3 — 5 — 11)

Как и в прошлом примере, здесь за скобки вынесен не минус, а минус единица.

Вынесение за скобки общего множителя: правило, примеры

В рамках изучений тождественных преобразований очень важна тема вынесения общего множителя за скобки. В данной статье мы поясним, в чем именно заключается такое преобразование, выведем основное правило и разберем характерные примеры задач.

Понятие вынесения множителя за скобки

Чтобы успешно применять данное преобразование, нужно знать, для каких выражений оно используется и какой результат надо получить в итоге. Поясним эти моменты.

Вынести общий множитель за скобки можно в выражениях, представляющих собой суммы, в которых каждое слагаемое является произведением, причем в каждом произведении есть один множитель, общий (одинаковый) для всех. Он так и называется – общим множителем. Именно его мы будем выносить за скобки. Так, если у нас есть произведения 5 · 3 и 5 · 4 , то мы можем вынести за скобки общий множитель 5 .

В чем состоит данное преобразование? В ходе него мы представляем исходное выражение как произведение общего множителя и выражения в скобках, содержащего сумму всех исходных слагаемых, кроме общего множителя.

Возьмем пример, приведенный выше. Вынесем общий множитель 5 в 5 · 3 и 5 · 4 и получим 5 ( 3 + 4 ) . Итоговое выражение – это произведение общего множителя 5 на выражение в скобках, которое является суммой исходных слагаемых без 5 .

Данное преобразование базируется на распределительном свойстве умножения, которое мы уже изучали до этого. В буквенном виде его можно записать как a · ( b + c ) = a · b + a · c . Поменяв правую часть с левой, мы увидим схему вынесения общего множителя за скобки.

Правило вынесения общего множителя за скобки

Используя все сказанное выше, выведем основное правило такого преобразования:

Чтобы вынести за скобки общий множитель, надо записать исходное выражение в виде произведения общего множителя и скобок, которые включают в себя исходную сумму без общего множителя.

Возьмем простой пример вынесения. У нас есть числовое выражение 3 · 7 + 3 · 2 − 3 · 5 , которое является суммой трех слагаемых 3 · 7 , 3 · 2 и общего множителя 3 . Взяв за основу выведенное нами правило, запишем произведение как 3 · ( 7 + 2 − 5 ) . Это и есть итог нашего преобразования. Запись всего решения выглядит так: 3 · 7 + 3 · 2 − 3 · 5 = 3 · ( 7 + 2 − 5 ) .

Мы можем выносить множитель за скобки не только в числовых, но и в буквенных выражениях. Например, в 3 · x − 7 · x + 2 можно вынести переменную x и получить 3 · x − 7 · x + 2 = x · ( 3 − 7 ) + 2 , в выражении ( x 2 + y ) · x · y − ( x 2 + y ) · x 3 – общий множитель ( x 2 + y ) и получить в итоге ( x 2 + y ) · ( x · y − x 3 ) .

Определить сразу, какой множитель является общим, возможно не всегда. Иногда выражение нужно предварительно преобразовать, заменив числа и выражения тождественно равными им произведениями.

Так, к примеру, в выражении 6 · x + 4 · y можно вынести общий множитель 2 , не записанный в явном виде. Чтобы его найти, нам нужно преобразовать исходное выражение, представив шесть как 2 · 3 , а четыре как 2 · 2 . То есть 6 · x + 4 · y = 2 · 3 · x + 2 · 2 · y = 2 · ( 3 · x + 2 · y ) . Или в выражении x 3 + x 2 + 3 · x можно вынести за скобки общий множитель x , который обнаруживается после замены x 3 на x · x 2 . Такое преобразование возможно благодаря основным свойствам степени. В итоге мы получим выражение x · ( x 2 + x + 3 ) .

Еще один случай, на котором следует остановиться отдельно, – это вынесение за скобки минуса. Тогда мы выносим не сам знак, а минус единицу. Например, преобразуем таким образом выражение − 5 − 12 · x + 4 · x · y . Перепишем выражение как ( − 1 ) · 5 + ( − 1 ) · 12 · x − ( − 1 ) · 4 · x · y , чтобы общий множитель был виден более отчетливо. Вынесем его за скобки и получим − ( 5 + 12 · x − 4 · x · y ) . На этом примере видно, что в скобках получилась та же сумма, но с противоположными знаками.

В выводах отметим, что преобразование путем вынесения общего множителя за скобки очень часто применяется на практике, например, для вычисления значения рациональных выражений. Также этот способ полезен, когда нужно представить выражение в виде произведения, например, разложить многочлен на отдельные множители.

Как правильно выносить общий множитель за скобки в алгебре

Понятие вынесения общего множителя за скобки

Разложить многочлен на множители — значит, преобразовать многочлен в произведение, которое равно этому многочлену.

Существует несколько методов в алгебре, позволяющих разложить многочлен на отдельные множители. Одним из наиболее распространенных способов является вынесение общего множителя за скобки. Такая методика часто встречается на уроках в средних классах.

Вынесение общего множителя за скобки представляет собой применение распределительного правила умножения с целью преобразования многочлена и получения в результате произведения.

В процессе вынесения множителя за скобки двучлен (ab + ac) примет вид произведения: a*(b + c)

Как происходит вынесение общего множителя за скобки

Определить общий множитель для каждого из членов, которые входят в состав многочлена, достаточно просто. Нужно следовать следующему алгоритму действий:

1. При наличии у членов многочлена коэффициентов нужно определить число, на которое можно поделить коэффициент каждого члена. Данное число необходимо оставить за скобками.
2. Найти встречающиеся в каждом из членов многочлена переменные. Эти переменные требуется вынести за скобки в минимальной имеющейся степени.
3. Определить многочлен, который должен быть заключен в скобки. При этом такой многочлен обладает аналогичным количеством членов, как и начальный член. Составить уравнение.

В качестве показательного примера можно разобрать порядок разложения многочлена на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки:

20 a 2 b c 2 — 10 a 3 c + 15 a 2 b 2 c

В первую очередь обратим внимание на коэффициенты 20, 10 и 15 для определения наибольшего общего делителя. Таковым является число 5. Значит, 5 является общим множителем для каждого из коэффициентов.

Заметим, что буквенная часть а присутствует в каждом из трех членов. Возведем а во вторую степень, которая представляет собой наименьшую степень из всех встречающихся в данном выражении. Получим a 2 .

Аналогично поступим в случае множителя с. Множитель b записан не во всех членах многочлена, поэтому его нельзя включить в состав общего множителя. Таким образом, общим множителем является 5 a 2 c , который требуется оставить за скобками:

Далее можно приступить к вычислению многочлена, который остался в скобках. При группировке требуется разделить каждый из членов начального многочлена на определенный ранее общий множитель с учетом его знака:

20 a 2 b c 2 5 a 2 c = 4 b c

10 a 3 c 5 a 2 c = 2 a

15 a 2 b 2 c 5 a 2 c = 3 b 2

В результате проделанной работы получим:

20 a 2 b c 2 — 10 a 3 c + 15 a 2 b 2 c = 5 a 2 c ( 4 b c — 2 a + 3 b 2 )

При вынесении общего множителя за скобки совершается действие, которое является обратным умножению одночлена на многочлен:

5 a 2 c ( 4 b c — 2 a + 3 b 2 ) = 20 a 2 b c 2 — 10 a 3 c + 15 a 2 b 2 c

Основное правило

Основное правило, которое применимо при вынесении общего множителя за скобки: вынесение общего множителя за скобки заключается в записи начального выражения, как произведения общего множителя и скобок, содержащих начальную сумму за исключением общего множителя.

• найти максимально возможный общий делитель коэффициентов всех одночленов, составляющих многочлен;
• после определения общего числового множителя определить общую буквенную часть для всех многочленов путем выбора минимального показателя степени;
• общий множитель, который является произведением коэффициента и общей буквенной части, следует вынести за скобки;
• в конце каждый из членов, входящих в состав многочлена, нужно разделить на вынесенный множитель и заключить полученный результат в скобки.

Примечание

В результате вынесения общего множителя за скобки в них остается такое же количество одночленов, которое содержалось в исходном многочлене.

Например, имеется некое выражение:

4 × 7 + 4 × 3 — 4 × 5

Заметим, что это сумма из трех слагаемых и общего множителя в виде числа 4. Руководствуясь правилом вынесения общего множителя за скобки, преобразуем выражение:

Преобразование выполнено, запишем итоговый результат:

4 × 7 + 4 × 3 — 4 × 5 = 4 × ( 7 + 3 — 5 )

Не во всех случаях получается определить общий множитель. Например, перед вынесением общего множителя может потребоваться замена чисел и выражений на произведения, которые тождественно им равны.

Попробуем разложить на множители многочлен:

12 m — 6 m — 3 m = 3 m ( 12 m 3 m — 6 m 3 m — 3 m 3 m ) = 3 m ( 4 – 2 – 1 ) = 3 m

Пояснение на примерах

В числовом выражении требуется вынести общий множитель за скобки:

В первую очередь следует определить максимально возможный общий множитель для двух слагаемых 15 и 20. Таковым будет являться число 5. Исключим его из скобок:

15 + 20 = 5 ( 15 5 + 20 5 ) = 5 * ( 3 + 4 )

Выполним проверку. В процессе необходимо выполнить умножение общего множителя в виде числа 5 на каждое из слагаемых. В том случае, когда ответ верный, выражение примет вид 15 + 20:

5 * ( 3 + 4 ) = 5 × 3 + 5 × 4 = 15 + 20

Вынести за скобки общий множитель в выражении:

Заметим, что в условии задания записана сумма простых чисел 13 и 5. В связи с этим, такие числа можно разложить на единицу и самих себя:

Такие слагаемые не имеют общих множителей, за исключением единицы. С другой стороны, число 1 бессмысленно выносить за скобки. Выполним преобразования:

13 + 5 = 1 ( 13 1 + 5 1 ) = 1 ( 13 + 5 )

Ответ: 1 * ( 13 + 5 )

Дано выражение, в котором требуется вынести общий множитель за скобки:

Выполним замену вычитания на сложение:

−20 − 16 − 2 = −20 + (−16) + (−2)

Слагаемые -20, -16 и -2 обладают общим делителем, равным числу 2. Таким образом, 2 — общий множитель для этих слагаемых. За скобки же следует выносить не 2, а число -2, в связи с тем, что слагаемые допустимо записать в следующей форме:

Удобно, если за скобками будет записан общий самостоятельный множитель -2:

— 20 – 16 – 2 = — 20 + ( — 16 ) + ( — 2 ) = — 2 ( — 20 — 2 + — 16 — 2 + — 2 — 2 ) = — 2 ( 10 + 8 + 1 )

Ответ можно записать в сокращенном виде:

-20 – 16 – 2 = -2 (10 + 8 + 1)

Заметим, что если бы мы вынесли за скобки общий множитель в виде числа 2 без минуса, то получили бы ответ правильный, но не аккуратный:

— 20 – 16 – 2 = — 20 + ( — 16 ) + ( — 2 ) = 2 ( — 20 2 + — 16 2 + — 2 2 ) = 2 ( — 10 + ( — 8 ) + ( — 1 ) )

Ответ: -2 (10 + 8 + 1)

Дано выражение, в котором требуется вынести за скобки общий множитель:

Выполним замену вычитания на сложение:

Заметим, что для слагаемых -30, -36, -42 общим делителем является число -6. Это общий множитель для таких слагаемых. Выполним преобразования:

Выполним преобразования согласно правилу вынесения общего множителя за скобки:

— 30 – 36 – 42 = — 30 + ( — 36 ) + ( — 42 ) = — 6 ( — 30 — 6 + — 36 — 6 + — 42 — 6 ) = — 6 ( 5 + 6 + 7 )