Вынужденные колебания дифференциальное уравнение его решение резонанс

Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания

Если колебания совершаются под воздействием внешней силы, они называются вынужденными. Работа внешней силы, которая обеспечивает колебательную систему энергией, при этом является положительной. Благодаря ей колебания не затухают и могут противодействовать силам трения.

Внешняя сила не обязательно должна быть постоянной. С течением времени она может изменяться по разным законам. Особый случай – воздействие на колебательную систему внешней силы, которая изменяется по гармоническому закону с частотой, равной ω , в то время как сама система совершает собственные колебания с той же самой частотой.

Установившиеся вынужденные колебания всегда происходят с частотой внешней силы. Частоту свободных колебаний определяют параметры системы.

Когда внешняя сила начинает воздействовать на колебательную систему, должно пройти некоторое время Δ t , прежде чем вынужденные колебания установятся. Это время будет равно тому времени τ , за которое затухают свободные колебания в данной системе.

В момент начала воздействия в системе начинают происходить два процесса одновременно – свободные колебания с собственной частотой ω 0 и вынужденные с частотой ω . Однако из-за сил трения свободные колебания в определенный момент затухают, поэтому по прошествии времени в системе сохраняются лишь стационарные колебания с той частотой, которая соответствует внешней (вынуждающей) силе.

Разберем пример. У нас есть тело на пружине, совершающее вынужденные колебания (см. иллюстрацию ниже). Приложим внешнюю силу, обозначенную F → в н , к свободному концу пружины, после чего этот конец начнет перемещаться по закону, выражаемому формулой:

Здесь буквой ω обозначена круговая частота, а y m – амплитуда колебаний.

Перемещения такого рода обеспечиваются шатунным механизмом, который преобразует круговые движения в возвратно-поступательные.

Рисунок 2 . 5 . 1 . Груз на пружине, совершающий вынужденные колебания. Перемещение свободного конца выражено формулой y = y m cos ω t , где l означает длину недеформированной пружины, а k –ее жесткость.

При смещении левого конца пружины на некоторое расстояние y и правого – на x по сравнению с первоначальным положением недеформированной пружины будет происходить ее удлинение. Найти величину этого удлинения можно по следующей формуле:

∆ l = x — y = x — y m cos ω t .

В таком случае мы можем переформулировать второй закон Ньютона для этого случая следующим образом:

m a = — k ( x — y ) = — k x + k y m cos ω t .

Здесь сила, которая действует на тело, показана как сумма двух слагаемых, первым из которых является упругость, стремящаяся к равновесию тела, а вторым – внешнее воздействие, совершающееся с определенными интервалами. Внешнюю силу также называют вынуждающей.

Теперь выразим эту зависимость в строгой математической формуле, учитывающей связь между координатой тела a = x ¨ и его ускорением. У нас получится следующее:

x ¨ + ω 0 2 x = A cos ω t .

Эта зависимость называется уравнением внешних колебаний. Здесь ω 0 = k m является собственной круговой частотой свободного колебания, а ω – циклической частотой внешней (вынуждающей) силы.

Чтобы найти величину A для вынужденного колебания груза на пружине, нужно воспользоваться следующей формулой:

A = k m y m — ω 0 2 y m .

То уравнение, что мы записали перед этим, не учитывает, что на тело действуют также и силы трения. В уравнении вынужденных колебаний, в отличие от уравнения свободных, учитываются сразу обе частоты – частота вынуждающей силы и частота свободных колебаний.

Вынужденные колебания груза на пружине, которые устанавливаются со временем, имеют частоту внешнего воздействия. Это определяется следующим законом:

x ( t ) = x m cos ( ω t + θ ) .

Здесь x m обозначает амплитуду вынужденного колебания, а буква θ – его начальную фазу. Значения обоих этих показателей будут зависеть от амплитуды внешней силы и соотношения частот.

Если частоты очень низкие, т.е. ω ≪ ω 0 , то тело, прикрепленное к правому концу пружины, движется точно так же, как и левый конец этой пружины. Тогда получается, что x ( t ) = y ( t ) . Сама пружина при этом практически не деформируется, а модуль внешней силы F → в н , приложенной к ее левому концу, стремится к нулю. Работа при этом не совершается.

Понятие резонанса

Резонанс – это резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при сближении частоты внешней силы с собственной частотой колебания тела.

С помощью резонансной кривой (резонансной характеристики) можно описать зависимость, существующую между амплитудой внешних колебаний x m и частотой вынуждающей силы ω .

Когда происходит резонанс, амплитуда x m может оказаться значительно больше, чем амплитуда колебаний левого (свободного) конца пружины.. Если мы не будем учитывать силы трения, то получится, что при резонансной частоте амплитуда вынужденных колебаний будет возрастать неограниченно. В реальности она будет зависеть от следующего условия: работа внешней силы в течение всего времени колебаний должна совпадать с потерями механической энергии, происходящими из-за трения. При уменьшении трения (и, соответственно, повышении добротности Q колебательной системы) амплитуда вынужденных колебаний при резонансе возрастет.

Рисунок 2 . 5 . 2 . Моделирование вынужденных колебаний.

Если добротность колебательной системы невысока (менее 10 ), то частота резонанса будет находиться ближе к низким частотам. Это показано на иллюстрации 2 . 5 . 2 .

Явление резонанса имеет большое практическое значение. Именно из-за него зачастую разрушаются здания, мосты и другие сооружения. Это происходит в тот момент, когда их собственные частоты совпадают с частотой внешней силы, например, колебаниями мотора.

Рисунок 2 . 5 . 3 . Изображение затухания различных колебаний при помощи резонансных кривых: 1 — условная система без учета трения (бесконечное возрастание амплитуды вынужденных колебаний), 2 , 3 , 4 – резонансные колебания в реальных условиях, происходящих в системах разной степени добротности ( Q 2 > Q 3 > Q 4 ) . Если частоты низкие, то ( ω ≪ ω 0 ) x m ≈ y m , а если высокие, то ( ω ≫ ω 0 ) x m → 0 .

Вынужденные колебания являются незатухающими. При трении неизбежно теряется часть энергии, однако воздействие внешних периодически действующих сил компенсирует ее.

Что такое автоколебательные системы

Автоколебательные системы – это системы, в которых могут возникать незатухающие колебания безотносительно внешнего воздействия, а лишь за счет способности самостоятельно регулировать подвод энергии от внешнего источника. Процесс колебаний в таких системах называют автоколебаниями.

Внутри этой системы можно выделить три составляющих – саму систему, источник внешней постоянной энергии и обратную связь между ними. Первым элементом выступает любая механическая система, которая может совершать затухающие колебания, например, часовой маятник. В качестве источника можно использовать потенциальную энергию груза в поле тяжести или энергию деформации пружины. Система обратной связи – это, как правило, особый механизм, функцией которого является регулирование поступлений энергии. На иллюстрации показано, как эти компоненты взаимодействуют между собой.

Рисунок 2 . 5 . 4 . Автоколебательная система со всеми основными составляющими.

Какие можно привести примеры таких систем? Ярким примером является часовой механизм с так называемым анкерным ходом. В нем есть ходовое колесо с косыми зубчиками, прочно сцепленное с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с грузом. В верхней части маятника закреплен якорек (анкер), состоящий из двух твердых пластинок, дугообразно изогнутых по окружности с центром на основной оси. В механизме ручных часов вместо гири используется пружина, а вместо маятника – маховичок-балансир, соединенный со спиральной пружиной, который совершает круговые колебания вокруг своей оси. В качестве источника внешней энергии выступает заведенная пружина или поднятая гиря. Обратная связь осуществляется с помощью анкера: он позволяет ходовому колесу совершать поворот только на один зубец за полупериод. Когда анкер взаимодействует с ходовым колесом, происходит передача энергии. Когда маятник колеблется, зубец ходового колеса передает анкерной вилке энергию по направлению движения маятника, и именно этим компенсируются силы трения. Таким образом, энергия поднятой гири или заведенной пружины поступает маленькими порциями к маятнику.

Существует также много других автоколебательных систем, которые широко применяются в технике. Автоколебания происходят внутри двигателей внутреннего сгорания, паровых машин, электрических звонков, музыкальных инструментов, голосовых связок и т.д.

Рисунок 2 . 5 . 5 . Схема маятникового часового механизма.

Вынужденные колебания

Определение вынужденных колебаний

Для того чтобы в реально существующей колебательной системе получать незатухающие колебания, следует каким-либо образом компенсировать потери энергии, которые происходят в результате существования сил сопротивления. Самым простым способом реализации незатухающих колебаний является воздействие на систему при помощи внешней периодической силы. Работа внешней силы обеспечить приток энергии в систему извне. Эта энергия не даст колебаниям затухнуть, при действии сил трения.

Колебания, которые возникают под действием периодически меняющейся силы (периодически изменяющейся ЭДС), называют вынужденными механическими (электромагнитными) колебаниями.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

Допустим, на механическую колебательную систему действует гармонически изменяющаяся внешняя сила:

Рассмотрим колебания груза на пружине (пружинный маятник). Уравнение незатухающих гармонических колебаний для этой системы можно записать как:

где $x$ — координата; $\delta $ — коэффициент затухания; $<\omega >_0$ — циклическая частота свободных незатухающих колебаний (если $\delta $=0, то $<\omega >_<0\ >$называют собственной частотой колебаний).

Если рассматривается, например, электрический колебательный контур, то роль периодически действующей силы может играть внешняя ЭДС или переменное напряжение. Их подводят к контуру извне и изменяются они по гармоническому закону. Уравнение колебаний в электрическом контуре можно представить как:

где $q$ — заряд; $\delta =\frac<2L>$ — коэффициент затухания; $<\omega >_0=\frac<1><\sqrt>$; $U=U_m<\cos \left(\omega t\right)\ >$ — внешнее переменное напряжение.

Уравнения (2) и (3) можно свести к линейному неоднородному дифференциальному уравнению вида:

где $s$ — колеблющийся параметр; $x_0=\frac$ если колебания механические ($x_0=\frac-\ в\ случае\ электрических\ колебаний$).

Решением уравнения (4) является сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Однородное уравнение при этом имеет вид:

Его общее решение:

где $A_0$ — начальная амплитуда колебаний.

Частное решение уравнения (4) в представлено выражением:

Слагаемое $s_1$ в решении уравнения (5) играет значительную роль в начальной стадии установления колебаний, пока амплитуда вынужденных колебаний не будет определяться выражением (8).

Установившись, вынужденные колебания происходят с частотой $\omega $ и являются гармоническими. Амплитуда и фаза этих колебаний определяются равенствами (8) и (9), и они зависят от частоты $\omega $.

Резонанс вынужденных колебаний

Если частота вынуждающей силы приближается к собственной частоте колебаний, то возникает резкое увеличение амплитуды колебаний. Такое явление называют резонансом.

Из выражения (8) видно, что амплитуда имеет максимум. Для нахождения резонансной частоты (частоты при которой $A=max$), следует найти максимум функции $A(\omega )$. Взяв производную $\frac$ и приравняв ее к нулю получим:

Равенство (10) справедливо при:

Получается, что резонансная частота ($<\omega >_r$) равна:

При $<\delta >^2\ll <\omega >^2_0$ резонансная частота совпадает с собственной частотой колебаний $<\omega >_0.$ Подставим вместо частоты правую часть выражения (11) в формулу (8), получим выражение для резонансной амплитуды вынужденных колебаний:

При небольшом затухании колебаний (если $<\delta >^2\ll <\omega >^2_0$) амплитуда при резонансе равна:

где $Q=\frac<<\omega >_0><2\delta >$ — добротность колебательной системы, величина, характеризующая резонансные свойства колебательной системы. С увеличением добротности увеличивается амплитуда резонанса.

Примеры задач с решением

Задание. Какова добротность колебательного контура, представленного на рис.1?

Решение. Добротность электрического колебательного контура найдем как:

При этом собственная частота колебаний в таком контуре равна:

коэффициент затухания находим как:

Подставляет правые части выражений (1.2) (1.3) вместо соответствующих величин в (1.1), в результате, добротность представленного на рис. 1 контура найдем при помощи формулы:

Ответ. $Q=10$

Задание. Пружинный маятник выполняет вынужденные колебания в вязком веществе. Масса груза на пружине равна $m$, коэффициент упругости пружины $k$. Коэффициент сопротивления среды равен $r$. Систему заставляет совершать колебания сила $F=<\cos \left(\omega t\right)(Н).\ \ \ >$Чему равна резонансная амплитуда заданных колебаний ($A_r$)?

Решение. Допустим, что груз совершает колебания вдоль прямой X, тогда уравнением данных механических колебаний будет выражение:

где коэффициент затухания равен $\delta =\frac<2m>$. Из функции, которая задает вынуждающую силу:

мы видим, что амплитуда силы равна единице:

Собственная частота колебаний груза на пружине:

Амплитуда при резонансе таких колебаний равна:

Вынужденные колебания. Резонанс. Резонансные кривые

Вынужденные колебания. Резонанс.

До сих пор мы рассматривали собственные колебания, колебания, происходящие в отсутствие внешних воздействий. Внешнее воздействие было нужно лишь для того, чтобы вывести систему из состояния равновесия, после чего она предоставлялась самой себе. Дифференциальное уравнение собственных колебаний вообще не содержит следов внешнего воздействия на систему: это воздействие отражается лишь в начальных условиях.

Установление колебаний.

Но очень часто приходится сталкиваться с колебаниями, которые происходят при постоянно присутствующем внешнем воздействии. Особенно важен и в то же время достаточно прост для изучения случай, когда внешняя сила имеет периодический характер. Общей чертой вынужденных колебаний, происходящих под действием периодической внешней силы, является то, что спустя некоторое время после начала действия внешней силы система полностью «забывает» свое начальное состояние, колебания приобретают стационарный характер и не зависят от начальных условий. Начальные условия проявляются только в период установления колебаний, который обычно называют переходным процессом.

Синусоидальное воздействие.

Рассмотрим вначале наиболее простой случай вынужденных колебаний осциллятора под действием внешней силы, изменяющейся по синусоидальному закону.

Такое внешнее воздействие на систему можно осуществить различными способами. Например, можно взять маятник в виде шарика на длинном стержне и длинную пружину с малой жесткостью и прикрепить ее к стержню маятника недалеко от точки подвеса, как показано на рис. 178.

Другой конец горизонтально расположенной пружины следует заставить двигаться по закону В с помошью кривошипно-шатунного механизма, приводимого в движение электромотором. Действующая на маятник со стороны пружины вынуждающая сила будет практически синусоидальна, если размах движения левого конца пружины В будет много больше амплитуды колебаний стержня маятника в точке закрепления пружины.

Уравнение движения.

Уравнение движения для этой и других подобных систем, в которых наряду с возвращающей силой и силой сопротивления на осциллятор действует вынуждающая внешняя сила, синусоидально изменяющаяся со временем, можно записать в видеЗдесь левая часть в соответствии со вторым законом Ньютона, является произведением массы на ускорение. Первый член в правой части представляет собой возвращающую силу, пропорциональную смещению из положения равновесия.

Для подвешенного на пружине груза это упругая сила, а во всех других случаях, когда ее физическая природа иная, эту силу называют квазиупругой. Второе слагаемое есть сила трения, пропорциональная скорости, например сила сопротивления воздуха или сила трения в оси. Амплитуду и частоту со раскачивающей систему вынуждающей силы будем считать постоянными.Разделим обе части уравнения на массу и введем обозначенияВ отсутствие вынуждающей силы правая часть уравнения обращается в нуль и оно, как и следовало ожидать, сводится к уравнению собственных затухающих колебаний.

Опыт показывает, что во всех системах под действием синусоидальной внешней силы в конце концов устанавливаются колебания, которые также происходят по синусоидальному закону с частотой вынуждающей силы со и с постоянной амплитудой а, но с некоторым сдвигом по фазе относительно вынуждающей силы. Такие колебания называются установившимися вынужденными колебаниями.Установившиеся колебания. Рассмотрим вначале именно установившиеся вынужденные колебания, причем для простоты пренебрежем трением. В этом случае в уравнении не будет члена, содержащего скорость.

Попробуем искать решение, соответствующее установившимся вынужденным колебаниям, в видеВычислим вторую производную и подставим ее вместе в уравнениеЧтобы это равенство было справедливо в любой момент времени, коэффициенты при слева и справа должны быть одинаковы. Из этого условия находим амплитуду колебаний. Исследуем зависимость амплитуды а от частоты со вынуждающей силы. График этой зависимости показан на рис. 179. Подставив сюда значения, видим, что постоянная во времени сила просто смещает осциллятор в новое положение равновесия, сдвинутое от старого.

Из следует, что при смещениеФазовые соотношения.

По мере роста частоты со вынуждающей силы от установившиеся коле- рис. 179. график зависимости происходят в фазе с вынуждающей силой, а их амплитуда постоянно увеличивается, сначала медленно, а по мере приближения к все быстрее и быстрее при амплитуда колебаний неограниченно возрастает .При значениях, превосходящих частоту собственных колебаний, формула дает для а отрицательное значение (рис. 179). Из формулы ясно, что при колебания происходят в противофазе с вынуждающей силой: когда сила действует в одну сторону, осциллятор смещен в противоположную. При неограниченном увеличении частоты вынуждающей силы амплитуда колебаний стремится к нулю.

Амплитуду колебаний во всех случаях удобно считать положительной, чего легко добиться, вводя сдвиг фаз между вынуждающей Здесь а по-прежнему дается формулой , а сдвиг фазы равен нулю при. Графики зависимости от частоты вынуждающей силы показаны на рис. 180.

Резонанс.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы имеет немонотонный характер. Резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты со вынуждающей силы к собственной частоте со0 осциллятора называется резонансом.Формула дает выражение для амплитуды вынужденных колебаний в пренебрежении трением. Именно с этим пренебрежением связано обращение амплитуды колебаний в бесконечность при точном совпадении частот.

Реально амплитуда колебаний в бесконечность, конечно же, обращаться не может.Это означает, что при описании вынужденных колебаний вблизи резонанса учет трения принципиально необходим. При учете трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе получается конечной. Она будет тем меньше, чем больше трение в системе. Вдали от резонанса формулой можно пользоваться для нахождения амплитуды колебаний и при наличии трения, если оно не слишком сильное. Более того, эта формула, полученная без учета трения, имеет физический смысл только тогда, когда трение все же есть. Дело в том, что само понятие установившихся вынужденных колебаний применимо только к системам, в которых есть трение.

Если бы трения совсем не было, то процесс установления колебаний продолжался бы бесконечно долго. Реально это означает, что полученное без учета трения выражение для амплитуды вынужденных колебаний будет правильно описывать колебания в системе только спустя достаточно большой промежуток времени после начала действия вынуждающей силы. Слова «достаточно большой промежуток времени» означают здесь, что уже закончился переходный процесс, длительность которого совпадает с характерным временем затухания собственных колебаний в системе.

При малом трении установившиеся вынужденные колебания происходят в фазе с вынуждающей силой при со и в противофазе при, как и в отсутствие трения. Однако вблизи резонанса фаза меняется не скачком, а непрерывно, причем при точном совпадении частот смещение отстает по фазе от вынуждающей силы на (на четверть периода). Скорость изменяется при этом в фазе с вынуждающей силой, что обеспечивает наиболее благоприятные условия для передачи энергии от источника внешней вынуждающей силы к осциллятору.

• Какой физический смысл имеет каждый из членов в уравнении, описывающем вынужденные колебания осциллятора?

• Что такое установившиеся вынужденные колебания?

• При каких условиях можно использовать формулу для амплитуды установившихся вынужденных колебаний, полученную без учета трения?

• Что такое резонанс? Приведите известные вам примеры проявления и использования явления резонанса.

• Опишите сдвиг по фазе между вынуждающей силой и смешением при разных соотношениях между частотой в вынуждающей силы и собственной частотой осциллятора.

• Чем определяется длительность процесса установления вынужденных колебаний? Дайте обоснование ответа.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Векторные диаграммы.

Убедиться в справедливости приведенных выше утверждений можно, если получить решение уравнения, описывающее установившиеся вынужденные колебания при наличии трения. Поскольку установившиеся колебания происходят с частотой вынуждающей силы со и некоторым сдвигом по фазе, то решение уравнения, соответствующее таким колебаниям, следует искать в видеПри этом скорость и ускорение, очевидно, тоже будут изменяться со временем по гармоническому закону.Амплитуду а установившихся вынужденных колебаний и сдвиг фазы удобно определять с помощью векторных диаграмм.

Воспользуемся тем обстоятельством, что мгновенное значение любой изменяющейся по гармоническому закону величины можно представить как проекцию вектора на некоторое заранее выбранное направление, причем сам вектор равномерно вращается в плоскости с частотой со, а его неизменная длина равна амплитудному значению этой осциллирующей величины. В соответствии с этим сопоставим каждому члену уравнения вращающийся с угловой скоростью вектор, длина которого равна амплитудному значению этого члена.

Поскольку проекция суммы нескольких векторов равна сумме проекций этих векторов, то уравнение означает, что сумма векторов, сопоставляемых членам, стоящим в левой части, равна вектору, сопоставляемому величине, стоящей в правой части. Чтобы построить эти векторы, выпишем мгновенные значения всех членов левой части уравнения, учитывая соотношения.Из формул видно, что вектор длины, сопоставляемый величине, опережает на угол вектор, сопоставляемый величине. Вектор длины , сопоставляемый члену, опережает на вектор длины . эти векторы направлены в противоположные стороны.

Взаимное расположение этих векторов для произвольного момента времени показано на рис. 181. Вся система векторов вращается как целое с угловой скоростью со против часовой стрелки вокруг точки . Мгновенные значения всех величинполучаются проецированием соответствующих векторов на заранее выбранное направление. Вектор, сопоставляемый правой части уравнения, равен сумме векторов, изображенных на рис. 181. Это сложение показано на рис. 182.

Применяя теорему Пифагора, получаем откуда находим амплитуду установившихся вынужденных колебаний.Сдвиг фазы между вынуждающей силой и смещением, как видно из векторной диаграммы на рис. 182, отрицателен, так как вектор длины отстает от вектора. ПоэтомуИтак, установившиеся вынужденные колебания происходят по гармоническому закону, где определяются формулами.

Резонансные кривые.

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы. Исследуем зависимость амплитуды колебаний от частоты со вынуждающей силы. При малом затухании у эта зависимость имеет очень резкий характер. Если, то при стремлении со к частоте свободных колебаний амплитуда вынужденных колебаний а стремится к бесконечности, что совпадает с полученным ранее результатом.

При наличии затухания амплитуда колебаний в резонансе уже не обращается в бесконечность, хотя и значительно превышает амплитуду колебаний под действием внешней силы той же величины, но имеющей частоту, далекую от резонансной. Резонансные кривые при разных значениях постоянной затухания у приведены на рис. 183.

Для нахождения частоты резонанса сорез, нужно найти, при каком со подкоренное выражение в формуле имеет минимум. Приравнивая производную этого выражения по со нулю или дополняя его до полного квадрата, убеждаемся, что максимум амплитуды вынужденных колебаний имеет место при Резонансная частота оказывается меньше частоты свободных колебаний системы. При малых у резонансная частота практически совпадает. При стремлении частоты вынуждающей силы к бесконечности при , амплитуда а, как видно, стремится к нулю при действии постоянной внешней силы.

из положения равновесия под действием постоянной силы.Максимальная амплитуда. Амплитуду вынужденных колебаний в резонансе находим, подставляя частоту из в выражение.Амплитуда колебаний в резонансе тем больше, чем меньше постоянная затухания. При изучении вынужденных колебаний вблизи резонанса трением пренебрегать нельзя, как бы мало оно ни было: только при учете затухания амплитуда в резонансе яре, получается конечной.Интересно сравнить значение со статическим смещением под действием силы.

Составляя отношение, получаем при малом затуханииПодставляя сюда и учитывая, что есть время жизни собственных затухающих колебаний для той же системы в отсутствие внешних сил, находимНо есть число колебаний, совершаемых затухающим осциллятором за время жизни колебаний. Таким образом, резонансные свойства системы характеризуются тем же параметром, что и собственные затухающие колебания.Фазовые соотношения. Формула дает возможность проанализировать изменение сдвига фазы между внешней силой и смещением, при вынужденных колебаниях.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

При значение д близко к нулю. Это означает, что при низких частотах смещение осциллятора происходит в фазе с внешней силой. При медленном вращении кривошипа на рис. 178 маятник движется в такт с правым концом шатуна.Если стремится к нулю со стороны отрицательных значений,сдвиг фазы равен и смещение осциллятора происходит в противофазе с вынуждающей силой. В резонансе, как видно из, смещение отстает по фазе от внешней силы.

Вторая из формул показывает, что при этом внешняя сила изменяется в фазе со скоростью все время действует в направлении движения. Что именно так и должно быть, ясно из интуитивных соображений.Резонанс скорости. Из формулы видно, что амплитуда колебаний скорости при установившихся вынужденных колебаниях равна. С помощью получаемЗависимость амплитуды скорости от частоты внешней силы показана на рис. 184.

Резонансная кривая для скорости хотя и похожа на резонансную кривую для смещения, но отличается от нее в некоторых отношениях. Так, при при действии постоянной силы, осциллятор испытывает статическое смещение из положенияравновесия и скорость его после того, как закончится переходный процесс, равна нулю. Из формулы видно, что амплитуда скорости при обращается в нуль. Резонанс скорости имеет место при точном совпадении частоты внешней силы с частотой свободных колебаний.

Рис. 184. Амплитуда скорости при установившихся вынужденных колебаниях

• Как строятся векторные диаграммы для установившихся вынужденных колебаний при синусоидальном внешнем воздействии?

• Чем определяется частота, амплитуда и фаза установившихся вынужденных гармонических колебаний?

• Опишите различия резонансных кривых для амплитуды смещения и амплитуды скорости. Какими характеристиками колебательной системы определяется острота резонансных кривых?

• Как связан характер резонансной кривой с параметрами системы, определяющими затухание ее собственных колебаний?

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.