Вынужденные колебания уравнение характеристики резонанс примеры

Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания

Если колебания совершаются под воздействием внешней силы, они называются вынужденными. Работа внешней силы, которая обеспечивает колебательную систему энергией, при этом является положительной. Благодаря ей колебания не затухают и могут противодействовать силам трения.

Внешняя сила не обязательно должна быть постоянной. С течением времени она может изменяться по разным законам. Особый случай – воздействие на колебательную систему внешней силы, которая изменяется по гармоническому закону с частотой, равной ω , в то время как сама система совершает собственные колебания с той же самой частотой.

Установившиеся вынужденные колебания всегда происходят с частотой внешней силы. Частоту свободных колебаний определяют параметры системы.

Когда внешняя сила начинает воздействовать на колебательную систему, должно пройти некоторое время Δ t , прежде чем вынужденные колебания установятся. Это время будет равно тому времени τ , за которое затухают свободные колебания в данной системе.

В момент начала воздействия в системе начинают происходить два процесса одновременно – свободные колебания с собственной частотой ω 0 и вынужденные с частотой ω . Однако из-за сил трения свободные колебания в определенный момент затухают, поэтому по прошествии времени в системе сохраняются лишь стационарные колебания с той частотой, которая соответствует внешней (вынуждающей) силе.

Разберем пример. У нас есть тело на пружине, совершающее вынужденные колебания (см. иллюстрацию ниже). Приложим внешнюю силу, обозначенную F → в н , к свободному концу пружины, после чего этот конец начнет перемещаться по закону, выражаемому формулой:

Здесь буквой ω обозначена круговая частота, а y m – амплитуда колебаний.

Перемещения такого рода обеспечиваются шатунным механизмом, который преобразует круговые движения в возвратно-поступательные.

Рисунок 2 . 5 . 1 . Груз на пружине, совершающий вынужденные колебания. Перемещение свободного конца выражено формулой y = y m cos ω t , где l означает длину недеформированной пружины, а k –ее жесткость.

При смещении левого конца пружины на некоторое расстояние y и правого – на x по сравнению с первоначальным положением недеформированной пружины будет происходить ее удлинение. Найти величину этого удлинения можно по следующей формуле:

∆ l = x — y = x — y m cos ω t .

В таком случае мы можем переформулировать второй закон Ньютона для этого случая следующим образом:

m a = — k ( x — y ) = — k x + k y m cos ω t .

Здесь сила, которая действует на тело, показана как сумма двух слагаемых, первым из которых является упругость, стремящаяся к равновесию тела, а вторым – внешнее воздействие, совершающееся с определенными интервалами. Внешнюю силу также называют вынуждающей.

Теперь выразим эту зависимость в строгой математической формуле, учитывающей связь между координатой тела a = x ¨ и его ускорением. У нас получится следующее:

x ¨ + ω 0 2 x = A cos ω t .

Эта зависимость называется уравнением внешних колебаний. Здесь ω 0 = k m является собственной круговой частотой свободного колебания, а ω – циклической частотой внешней (вынуждающей) силы.

Чтобы найти величину A для вынужденного колебания груза на пружине, нужно воспользоваться следующей формулой:

A = k m y m — ω 0 2 y m .

То уравнение, что мы записали перед этим, не учитывает, что на тело действуют также и силы трения. В уравнении вынужденных колебаний, в отличие от уравнения свободных, учитываются сразу обе частоты – частота вынуждающей силы и частота свободных колебаний.

Вынужденные колебания груза на пружине, которые устанавливаются со временем, имеют частоту внешнего воздействия. Это определяется следующим законом:

x ( t ) = x m cos ( ω t + θ ) .

Здесь x m обозначает амплитуду вынужденного колебания, а буква θ – его начальную фазу. Значения обоих этих показателей будут зависеть от амплитуды внешней силы и соотношения частот.

Если частоты очень низкие, т.е. ω ≪ ω 0 , то тело, прикрепленное к правому концу пружины, движется точно так же, как и левый конец этой пружины. Тогда получается, что x ( t ) = y ( t ) . Сама пружина при этом практически не деформируется, а модуль внешней силы F → в н , приложенной к ее левому концу, стремится к нулю. Работа при этом не совершается.

Понятие резонанса

Резонанс – это резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при сближении частоты внешней силы с собственной частотой колебания тела.

С помощью резонансной кривой (резонансной характеристики) можно описать зависимость, существующую между амплитудой внешних колебаний x m и частотой вынуждающей силы ω .

Когда происходит резонанс, амплитуда x m может оказаться значительно больше, чем амплитуда колебаний левого (свободного) конца пружины.. Если мы не будем учитывать силы трения, то получится, что при резонансной частоте амплитуда вынужденных колебаний будет возрастать неограниченно. В реальности она будет зависеть от следующего условия: работа внешней силы в течение всего времени колебаний должна совпадать с потерями механической энергии, происходящими из-за трения. При уменьшении трения (и, соответственно, повышении добротности Q колебательной системы) амплитуда вынужденных колебаний при резонансе возрастет.

Рисунок 2 . 5 . 2 . Моделирование вынужденных колебаний.

Если добротность колебательной системы невысока (менее 10 ), то частота резонанса будет находиться ближе к низким частотам. Это показано на иллюстрации 2 . 5 . 2 .

Явление резонанса имеет большое практическое значение. Именно из-за него зачастую разрушаются здания, мосты и другие сооружения. Это происходит в тот момент, когда их собственные частоты совпадают с частотой внешней силы, например, колебаниями мотора.

Рисунок 2 . 5 . 3 . Изображение затухания различных колебаний при помощи резонансных кривых: 1 — условная система без учета трения (бесконечное возрастание амплитуды вынужденных колебаний), 2 , 3 , 4 – резонансные колебания в реальных условиях, происходящих в системах разной степени добротности ( Q 2 > Q 3 > Q 4 ) . Если частоты низкие, то ( ω ≪ ω 0 ) x m ≈ y m , а если высокие, то ( ω ≫ ω 0 ) x m → 0 .

Вынужденные колебания являются незатухающими. При трении неизбежно теряется часть энергии, однако воздействие внешних периодически действующих сил компенсирует ее.

Что такое автоколебательные системы

Автоколебательные системы – это системы, в которых могут возникать незатухающие колебания безотносительно внешнего воздействия, а лишь за счет способности самостоятельно регулировать подвод энергии от внешнего источника. Процесс колебаний в таких системах называют автоколебаниями.

Внутри этой системы можно выделить три составляющих – саму систему, источник внешней постоянной энергии и обратную связь между ними. Первым элементом выступает любая механическая система, которая может совершать затухающие колебания, например, часовой маятник. В качестве источника можно использовать потенциальную энергию груза в поле тяжести или энергию деформации пружины. Система обратной связи – это, как правило, особый механизм, функцией которого является регулирование поступлений энергии. На иллюстрации показано, как эти компоненты взаимодействуют между собой.

Рисунок 2 . 5 . 4 . Автоколебательная система со всеми основными составляющими.

Какие можно привести примеры таких систем? Ярким примером является часовой механизм с так называемым анкерным ходом. В нем есть ходовое колесо с косыми зубчиками, прочно сцепленное с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с грузом. В верхней части маятника закреплен якорек (анкер), состоящий из двух твердых пластинок, дугообразно изогнутых по окружности с центром на основной оси. В механизме ручных часов вместо гири используется пружина, а вместо маятника – маховичок-балансир, соединенный со спиральной пружиной, который совершает круговые колебания вокруг своей оси. В качестве источника внешней энергии выступает заведенная пружина или поднятая гиря. Обратная связь осуществляется с помощью анкера: он позволяет ходовому колесу совершать поворот только на один зубец за полупериод. Когда анкер взаимодействует с ходовым колесом, происходит передача энергии. Когда маятник колеблется, зубец ходового колеса передает анкерной вилке энергию по направлению движения маятника, и именно этим компенсируются силы трения. Таким образом, энергия поднятой гири или заведенной пружины поступает маленькими порциями к маятнику.

Существует также много других автоколебательных систем, которые широко применяются в технике. Автоколебания происходят внутри двигателей внутреннего сгорания, паровых машин, электрических звонков, музыкальных инструментов, голосовых связок и т.д.

Рисунок 2 . 5 . 5 . Схема маятникового часового механизма.

Вынужденные колебания в физике — формулы и определения с примерами

Содержание:

Вынужденные колебания:

Происходящие в какой-либо среде свободные колебания являются затухающими (рис. 5.5), потому что колеблющееся тело в период колебания встречает сопротивление со стороны среды в результате трения.

По этой причине свободными колебаниями на практике не пользуются.

Чтобы колебания не затухали, требуется периодически пополнять использованную энергию. Для этого на колеблющую систему нужно периодически воздействовать с помощью внешних сил. Простой макет такого оборудования, где со стороны действует внешняя сила, приводится на рисунке 5.6. Если груз, подвешенный на пружине, потянуть и отпустить, то он будет колебаться. Если в это время крутить ручку железной оси, к которой подвешена пружина, то колебания не угаснут. Колебания системы, которые происходят под периодическим воздействием внешних сил, называются вынужденными колебаниями.

Периодически меняющаяся внешняя сила, которая создает эти вынужденные колебания, называется вынуждающей силой.

Можно привести множество примеров вынужденных колебаний из повседневной жизни. Мембраны радиодинамиков ваших любимых радиоприемников, магнитофонов, телевизоров колеблются под воздействием проходящего через них вынуждающего тока. Когда рядом с домом или классом проезжают большегрузные автомобили, то вы слышите, как дребезжат стекла. Пневматические молотки (отбойные молотки), с помощью которых ломают бетонные конструкции (фундамент, столбы), рушат горные породы, тоже работают под воздействием периодических внешних сил.

Чтобы воспользоваться вынужденными колебаниями или избавиться от них, нужно изучить это явление. С помощью оборудования, приведенного на рисунке 5.6, рассмотрим воздействие внешних вынуждающих сил на колебания, происходящие в колебательной системе.

Пружина (3) с подвешенным грузом (4) висит на крючке (2). Кончик крючка имеет форму кольца, и может скользить по металлической оси (1), согнутой в виде дуги. Когда ось начинает вращаться под воздействием внешней силы, колебания груза сначала немножко отстают, а затем совпадают с вращением оси. Колебание становится устойчивым.
Сколько раз за единицу времени будет вращаться ось, столько же раз будет колебаться пружина с грузом.

Значит, частота вынужденных колебаний, происходящих в колебательных системах, равна частоте вынуждающих сил.

Вынужденные колебания – это колебания, которые не затухают.

Явление резонанса

Теперь посмотрим, каким образом влияет амплитуда колебаний, происходящих в колебательной системе, на вынуждающую силу. Для этого проведем простой опыт. Веревку длиной 4–5 метров протянем из одного конца комнаты в другой с небольшим провисанием.

К этой веревке подвесим 3–4 груза на лентах разной длины (рис. 5.7).
Выберем для первого и четвертого груза ленты одинаковой длины. Если первый маятник вывести из равновесного состояния и отпустить, то он начинает колебаться. Его колебания, передаваясь по общей веревке, приводят в движение остальные маятники. После установления устойчивых колебаний второго, третьего и четвертого маятников, можно убедиться, что амплитуда четвертого маятника окажется самой большой. Из-за того, что длина четвертого и первого маятников одинаковы, их периоды свободного колебания (частота) получаются
взаимно равными.

Значит, в вынужденных колебаниях в случае, когда частота вынуждающей силы равна частоте собственного колебания колебательной системы, амплитуда колебаний будет самой большой, т.е. происходит резонанс.

Явление резкого увеличения амплитуды колебания в случае, когда частота внешней вынуждающей силы равняется собственной частоте колебательной системы, называется резонансом.

Причиной резкого увеличения амплитуды во время резонанса является взаимное совпадение направления вынуждающей силы и направления движения колеблющегося тела.

Резонанс широко используется в технике и в быту. В часах, во всех видах звонков, сиренах, пневматических молотках используют явление резонанса.
Однако явления резонанса не всегда полезны.

Например, когда человек проходит по висячему мосту через реку, он качается. В зависимости от скорости, с которой человек проходит по мосту (быстро или медленно), колебания моста могут увеличиваться или уменьшаться. Если частота шага совпадает с собственной частотой моста, его опоры могут не выдержать и трос или канат может оборваться.

В тех случаях, когда резонанс наносит вред, в целях уменьшения воздействия предпринимают соответствующие меры. Фундаменты производственных помещений строят тяжелыми и большими, чтобы в результате вращения деталей оборудования не возникал резонанс. Для быстрого погашения колебаний в автомобилях устанавливаются амортизаторы.

Автоколебания

Для того, чтобы вынужденные колебания не затухали, нужна внешняя периодическая сила. Но колебания системы могут быть негаснущими и без воздействия внешних периодических сил. Если внутри свободно колеблющейся системы будет иметься источник энергии, и система сможет направлять необходимую энергию из этого источника к колеблющемуся телу, чтобы восполнять затраченную энергию, то в такой системе появляются негаснущие колебания.

Самым простым примером системы такого типа являются обычные часы с маятником. Эта система имеет определенный запас энергии, т.е. потенциальную энергию поднятого на определенную высоту груза или энергию сжатой пружины.

Системы, которые создают негаснущие колебания за счет снабжения из источника энергии, называются автоколебательными системами. Электрический звонок, сердце и легкие человека тоже можно рассматривать как автоколебательные системы.

Негаснущие колебания, которые могут осуществляться в системе под воздействием внутреннего источника и без воздействия внешней периодической силы, называются автоколебаниями.

Частота вынужденного колебания будет совпадать с частотой внешних сил. Частота и амплитуда автоколебаний определяются собственными особенностями системы. Амплитуда автоколебаний не зависит от величины кратковременного воздействия (удара), которое привело к этим колебаниям.

Вынужденные колебания, резонанс

Под действием изменяющейся по гармоническому закону внешней силы (например, в колебательной системе создаются вынужденные колебания.

Частота вынужденных колебаний всегда совпадает с частотой изменения вынуждающей силы — с какой частотой изменяется внешняя сила, с такой же частотой колеблется система.

Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. При приближении значения частоты вынуждающей силы к значению частоты свободных колебаний системы амплитуда колебаний увеличивается (d). При равенстве этих частот наблюдается:

Резонанс — резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний системы.

Форма резонансной кривой зависит от значения силы трения в системе. Так, при малых значениях силы трения резонансная кривая выше (1-я кривая), а при больших значениях силы трения, наоборот, резонансная кривая ниже (3-я кривая).

Исследуем это теоретически с помощью горизонтального пружинного маятника: предположим, что шарик массой совершает вынужденные колебания под действием внешней силы, изменяющейся по закону

(е).

Уравнение вынужденных колебаний маятника с учетом II закона Ньютона можно записать так:

Если в этом уравнении принять во внимание формулы смещения и ускорения, изменяющихся по периодическому закону и

то:

или

Если же принять во внимание

то:

Или

Где — циклическая частота свободных колебаний колебательной системы, — циклическая частота вынужденных колебаний, — амплитуда вынужденных колебаний.

Из формулы (4.33) зависимости амплитуды колебаний от циклической частоты видно, что при явлении резонанса, если амплитуда колебания увеличивается до бесконечности:

Резонанс вынужденных колебаний колебательной системы создает большую разрушительную силу, которая может быть причиной катастрофы. Например, если частота действия вынуждающей силы, создаваемая марширующей через мост войсковой частью, совпадает с частотой свободных колебаний моста, то амплитуда вынужденных колебаний моста резко увеличивается, что может привести к его разрушению. По этой причине при переходе через мосты солдатам приказывают идти вольным шагом.

Распространение колебаний в упругой среде: механическая волна

Как вы знаете, во время землетрясения скорость распространения продольных волн Р-типа, возникающих внутри Земли, больше скорости распространения поперечных волн L-типа, возникающих на поверхности Земли. На основании разности между этими скоростями ученые-сейсмологи определяют расстояние от точки расположения сейсмографа до эпицентра землетрясения.

Волна

Механические колебания были изучены в разных замкнутых колебательных системах — пружинном и математическом маятниках. Однако в природе наиболее часто встречающимися колебаниями являются колебания в связных колебательных системах. В связанных колебательных системах колебания передаются от одной части системы к другой. Например, при падении камня на поверхность стоячей воды наблюдается возникновение концентрических водяных кругов, которые расходятся из точки падения камня во все стороны. Кажется, что вода перемещается в пространстве в форме чередования выпуклостей и впадин. Однако, если расположить около точки падения камня поплавок или теннисный мячик, то наблюдается только его колебательное движение вверх-вниз на одном месте. Таким образом, возникающие в определенной точке колебательные движения частичек воды, передаваясь соседним частичкам воды вызывают колебательные движения все новых и новых частичек воды, и создают распространяющиеся во все стороны, колебательные движения системы связанных частичек. При таком распространении, называемом волной, перенос воды не происходит, а переносится только форма ее. движения

Волна — это процесс распространения колебаний в пространстве с течением времени.

В это время в среде происходят следующие явления: а) колебательные движения частичек среды, в которой распространяется волна — частички среды совершают колебательные движения только вокруг положения своего равновесия, и в волне не происходит перенос вещества; b) взаимодействия частичек среды с соседними частичками — в результате взаимодействия между частичками происходит перенос энергии. По этой причине волне можно дать следующее определение:

Волна — это процесс переноса энергии без переноса вещества.

Механическая волна

В природе наиболее часто встречается механическая волна.

Механическая волна — это процесс распространения механических колебаний в среде (механическая волна в вакууме не распространяется). Механические волны распространяются только в упругих средах (твердых телах, жидкостях и газах).

Упругие волны — это процесс распространения механических колебаний в упругой среде. Этот процесс происходит с частотой, соответствующей частоте колебания источника, создающего эту волну. За пределами среды упругие волны не существуют. Волны бывают двух видов: поперечные и продольные.

Поперечная волна — это волна, распространяющаяся перпендикулярно направлению колебательного движения частиц среды. Поперечные волны могут распространяться только в твердых телах и по поверхности жидкостей. Поперечные волны распространяются в среде в форме сменяющих друг друга выпуклостей и впадин (d).

Продольная волна — это волна, распространяющаяся вдоль направления колебательного движения частиц среды. Продольные волны могут распространяться во всех средах (твердых телах, жидкостях и газах). Продольные волны распространяются в среде в форме сменяющих друг друга зон сгущения и разрежения среды. Например, пропустив через длинную пружину пластмассовую нить, закрепите горизонтально оба конца нити и один из концов пружины к опорам, затем, периодически двигая свободный конец пружины вправо-влево, можно наблюдать чередование зон сгущения и рассеивания колец пружины (е).

Характеристика волны

Колебания, происходящие в какой-либо точке среды, передаются в другие точки не мгновенно, а с определенной конечной скоростью, которая определяет скорость волны.

Скорость волны — это скорость распространения колебаний в среде.

Так как волна в однородной среде распространяется равномерно, скорость волны будет равна:

Где — расстояние, на которое распространяется волна за время

Другими характеристиками волны являются частота, период и длина волны.

Частота волны (период)—это частота (период) колебаний источника, создающего волну.

Длина волны — это расстояние на которое волна распространяется за время, равное одному периоду колебания

Приняв во внимание это определение в (4.34), получим выражение для скорости распространения волны:

или

Где (лямбда) — длина волны, в СИ единица ее измерения — метр. Из последних двух формул можно определить длину волны:

Скорость волны не зависит от ее частоты и периода. Скорость волны зависит от свойств и агрегатного состояния среды. Длина волны в однородной среде прямо пропорциональна периоду колебаний и обратно пропорциональна частоте колебаний.

При переходе из одной среды в другую частота и период волны не меняются, однако так как скорость волны в разных средах разная, то длина волны меняется.

Длина волны —это расстояние между двумя ближайшими точками, колеблющимися в одинаковых фазах. Длина волны в поперечных волнах равна расстоянию между двумя соседними точками вершин выпуклостей (или впадин) (cм: d), в продольных же волнах, — расстоянию между двумя соседними точками зон сгущения (или разрежения) (см: е).

Уравнение волны

Предположим, что источник волны колеблется по гармоническому закону колебательное движение распространяется со скоростью в окружающей источник среде, тогда в результате возникает волна, которая через определенный промежуток времени достигнет точки, находящейся на расстоянии от источника:

Это значит, что колебания в точке, находящейся на расстоянии от источника, происходят по тому же закону и возникнут с опозданием на секунд. Поэтому уравнение волны, достигшей произвольной точки на расстоянии от источника колебания, можно записать так:

График волны по форме схож с графиком гармонических колебаний, однако это не одно и то же. Так, если график гармонических колебаний показывает изменение по гармоническому закону одной из характеристик колеблющейся точки, например, смещения от времени (f), то график волны—это картина расположения связанных точек среды в данный момент времени, то есть гармоничность этой волны в среде (g).

• Электромагнитные колебания
• Свободные и вынужденные колебания в физике
• Вынужденные электромагнитные колебания
• Резонанс в физике
• Движение жидкостей
• Уравнение Бернулли
• Механические колебания и волны в физике
• Гармонические колебания в физике

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Вынужденные колебания — характеристика, условия возникновения и примеры

Общие сведения

Одним из состояний тела может быть нахождение его в точке равновесия. Вывести физический объект из него возможно путём воздействия определённого направления. Другими словами, приложив силу. В итоге тело может не только изменить своё положение, но и стремится вернуться к исходному. Например, часовой маятник. Сила сжатия пружины или электромагнитное поле заставляет отклоняться его от вертикального положения в 2 стороны.

Процесс, при котором изменение состояния относительно точки равновесия повторяется во времени, называют колебательным. Он всегда связан с превращением энергии из одной формы в другую. По своей сути они напоминают распространение волн в природе, поэтому их изучением занимается волновая и колебательная теория. Единственное различие между ними, что при возникновении волны происходит перенос энергии.

Существует 3 вида основных колебаний:

1. Свободные — созданные напряжением внутренних сил после вывода из состояния равновесия произошедшего каким-либо путём. Это явление всегда затухающее, то есть с течением времени система возвращается в начальное положение. Например, грузик, подвешенный на нити, сжимание и разжимание пружины.
2. Вынужденные — поддерживающиеся колебания определённой силой периодического воздействия. Например, положение рук при ходьбе.
3. Автоколебания — движения системы, которая обладает запасом потенциальной энергии. Например, механические часы. Отличительной чертой является уход от положения равновесия из-за свойств системы, а не исходных условий.

Практически 95% периодического движения составляют свободные и вынужденные колебания. Как и любое явление, они характеризуются рядом параметров. Основные — амплитуда и частота. Первый определяет наибольшее отклонение от начального положения, а второй обозначает число колебаний за единицу времени. Обратной величиной частоты является период. Он показывает, через какое время показатели системы будут повторяться.

Колебания разделяют на гармонические и релаксационные. Первые можно описать с помощью тригонометрических функций — косинуса или синуса, то есть они являются плавными в отличие от релаксационных, сопровождающихся ускорением или замедлением.

Изображение и описание

Самым наглядным способом отображения колебаний является график функций, описывающий изменение. Для поддержания периодичности нужна внешняя сила. Подчиняется она различным законам. В простейшем случае правило имеет гармонический вид. Например, изменение силы можно описать функцией: f = F0 * cos (wt).

Чтобы составить уравнение движение, кроме вынуждающего действия, нужно учитывать 2 другие силы: квазиупругую и сопротивления. Первая направлена к центру и пропорциональна расстоянию от середины до места приложения: F = c * r, где c — постоянная составляющая. При этом тело получает потенциальную энергию: Ep = 1 / (2 *c * r 2 ). Вторая же характеризуется физической плотностью среды, где происходит колебание.

Если принять отклонения от равновесия за небольшое, сила сопротивления будет прямо пропорциональна скорости. Уравнение можно переписать: mx = -kx — rx + F0 * cos (wt). Сократив обе части равенства на cx, можно получить неоднородное уравнение линейного вида: x + 2bx + w 2 x = f*cos (wt), где f = F/m — частота; b = r/2m — коэффициент затухания; w = √‎(k/m) — частота колебаний. Решение равенства будет иметь вид: x = a*cos (wt — φ).

Изобразить гармоническое колебание, описываемое по формуле x (T) = A * cos (wt+φ) удобно, используя векторную диаграмму. Для этого нужно выполнить следующее:

1. Построить ось игрек и икс.
2. Изобразить вектор, длина которого будет равняться A. При этом он должен образовывать с осью икс угол фи.
3. Положительный угол отложить против движения часовой стрелки.
4. Определить проекции вектора на оси абсциссы и ординаты. Ими будут функции: y = A * sin (φ) и x = A * cos (φ).

Вращение вектора определяется двумя функциями: y (t) = A * sin (wt*φ) и x (t) = A * cos (wt + φ). Вынужденное колебание можно представить в виде изменения проекции на координатные линии некого вектора A. Причём модуль равняется амплитуде и вращается со скоростью φ, образуя в исходный момент времени с осью игреков φ0.

Кроме векторного способа, для описания колебаний применяют метод, называемый фазовой плоскостью. Его суть заключается в использовании величины x (t) и её первой производной. В этом случае движения представляют в виде системы: x (t) = A*cos (wt + φ); x'(t) = -A w 0*sin (wt + φ). По своему смыслу эти 2 уравнения описывают параметрическое движение по эллипсу. Точка будет двигаться по нему и полуосям: a = A; b = Aw.

Явление резонанса

При колебаниях может наступить момент приближения частоты вынуждающего воздействия к собственной частоте движения системы. В этом случае физики говорят, что установился резонанс. Другими словами, происходит амплитудное возрастание вынужденных колебаний при равенстве циклической частоты, которую называют резонансной. На графике зависимостей A от w кривая, описывающая явление, имеет наибольшую величину.

Амплитуду можно вычислить по формуле: A = F/2 gm √(‎ w 2 — g), где g — коэффициент затухания, то есть чем больше g, тем более будет сдвинут максимум к нулевой отметке на графике. Лучше проявляется резонанс в системах, характеризующихся малым затуханием. В ином случае циклическая частота будет мнимой, а амплитуда — монотонно уменьшаться.

Описывать колебательную систему можно через добротность (Q). Эта величина определяется из отношения энергии, которую удалось накопить, к значению её расхода за один период. С помощью этого параметра определяют качество, так как чем добротность больше, тем меньше система теряет энергию. Для любого механического периодичного движения её можно вычислить так: Q = √ (m * k) / r = (w * m) / r, где: m — масса системы, k — жёсткость, r — сопротивление.

В качестве нежелательного примера резонанса при вынужденных колебаниях можно привести работу двигателя внутреннего сгорания. В нём имеется коленчатый вал, на который оказывает воздействие шатун. При этом период изменения сил зависит от угловой скорости вращения вала. Вызываются колебания, которые при резонансе приводят к повышению напряжения оси и в дальнейшем вызывают её поломку, поэтому для борьбы с резонансом используют различные поглощающие материалы.

При помощи явления можно выделить или даже усилить довольно слабые периодические колебания. В радиотехнике его используют для получения полезного сигнала, усиления звука. Что интересно, впервые о резонансе заговорил Галилео Галилей в 1602 году, исследуя движения маятников и музыкальных струн. Он предположил, что резонанс — это отклик на силу извне, при котором происходит синхронизация частот колебаний с воздействующей на неё внешней силы. Это явление приводит к росту амплитуды движения всей системы.

Ширина кривой

При резонансе амплитуда колебаний максимальная. Следовательно, и энергия, запасённая системой, будет наибольшей. Она может быть равной: E = (½) * (mw 2 A 2 ). Отсюда следует, что резонансную энергию возможно вычислить по формуле: E = (½) * (mw 2 * A рез 2 ), причём Арез = F / (m * 2w). Стоит только изменить частоту вынуждающей силы, то есть её уменьшить или увеличить, амплитуда колебаний резко упадёт. Если система будет высокодобротной, при небольшом смещении энергия уменьшится.

Пусть w1 и w2 частоты, на которых E будет составлять половину от значения, присущего резонансу. Можно составить систему из двух уравнений: E (w1) = (1 / 2) * (m * w1 2 * A 2 (w1)) и E (w2) = (1 / 2) * (m * w2 2 * A 2 (w2)).

Выражения A 2 (w1) и A 2 (w2) являются амплитудами при отстройке от резонанса. Связь их с A (w) будет следующей: (1 / 2) * (m * w12 2 * A 2 (w12) = (1 / 2) * (1 / 2) * (m * w0 2 * A 2 рез). В полученном равенстве можно сократить массы, число ½ и учитывая, что при высокой добротности w1 ≈ w 2 ≈ w0, убрать из формулы частоты. В итоге получится уравнение: A 2 (w12) = (½) * Aрез. После извлечения корня зависимость примет вид:

• A (w1) = (1 / √ 2) * Aрез;
• A (w1) = (1 / √ 2) * Aрез.

Разность w1 и w2 будет называться половинчатой шириной резонансной кривой, то есть коэффициент затуханий можно найти как a = Δw/2. Измерив ширину кривой, можно узнать фундаментальную характеристику колебательной системы — коэффициент затухания.

Через это определение легко вычислить и добротность. Она равняется: Q = w0 / 2a. Чтобы её найти, необходимо центральную частоту разделить на ширину резонансной кривой: Q = w0 / Δw. Получается, что чем выше будет добротность колебательной системы, тем уже резонансная кривая.

В качестве примера вынужденных колебаний механического типа можно привести язычковый частотомер. Это прибор, работа которого основана на использовании резонанса. Устройство его состоит из электромагнита, над которым располагаются металлические пластины, разные по длине. Под действием поля они начинают колебаться. В сети частота тока 50 Гц, если создаётся вынуждающая сила на 100 Гц, язычок, настроенный на это значение, начинает резонировать.

Электромагнитный резонанс позволяет выделять радиостанцию. Ещё из ярких примеров вынужденных колебаний можно отметить: движение мембраны телефона, ход иглы швейной машинки и поршня в цилиндре автомобиля, компенсацию возмущений едущего по неровной дороге авто за счёт рессоры, океанические приливы под действием Луны.