Вынужденные колебания в физике — формулы и определения с примерами
Содержание:
Вынужденные колебания:
Происходящие в какой-либо среде свободные колебания являются затухающими (рис. 5.5), потому что колеблющееся тело в период колебания встречает сопротивление со стороны среды в результате трения.
По этой причине свободными колебаниями на практике не пользуются.
Чтобы колебания не затухали, требуется периодически пополнять использованную энергию. Для этого на колеблющую систему нужно периодически воздействовать с помощью внешних сил. Простой макет такого оборудования, где со стороны действует внешняя сила, приводится на рисунке 5.6. Если груз, подвешенный на пружине, потянуть и отпустить, то он будет колебаться. Если в это время крутить ручку железной оси, к которой подвешена пружина, то колебания не угаснут. Колебания системы, которые происходят под периодическим воздействием внешних сил, называются вынужденными колебаниями.
Периодически меняющаяся внешняя сила, которая создает эти вынужденные колебания, называется вынуждающей силой.
Можно привести множество примеров вынужденных колебаний из повседневной жизни. Мембраны радиодинамиков ваших любимых радиоприемников, магнитофонов, телевизоров колеблются под воздействием проходящего через них вынуждающего тока. Когда рядом с домом или классом проезжают большегрузные автомобили, то вы слышите, как дребезжат стекла. Пневматические молотки (отбойные молотки), с помощью которых ломают бетонные конструкции (фундамент, столбы), рушат горные породы, тоже работают под воздействием периодических внешних сил.
Чтобы воспользоваться вынужденными колебаниями или избавиться от них, нужно изучить это явление. С помощью оборудования, приведенного на рисунке 5.6, рассмотрим воздействие внешних вынуждающих сил на колебания, происходящие в колебательной системе.
Пружина (3) с подвешенным грузом (4) висит на крючке (2). Кончик крючка имеет форму кольца, и может скользить по металлической оси (1), согнутой в виде дуги. Когда ось начинает вращаться под воздействием внешней силы, колебания груза сначала немножко отстают, а затем совпадают с вращением оси. Колебание становится устойчивым.
Сколько раз за единицу времени будет вращаться ось, столько же раз будет колебаться пружина с грузом.
Значит, частота вынужденных колебаний, происходящих в колебательных системах, равна частоте вынуждающих сил.
Вынужденные колебания – это колебания, которые не затухают.
Явление резонанса
Теперь посмотрим, каким образом влияет амплитуда колебаний, происходящих в колебательной системе, на вынуждающую силу. Для этого проведем простой опыт. Веревку длиной 4–5 метров протянем из одного конца комнаты в другой с небольшим провисанием.
К этой веревке подвесим 3–4 груза на лентах разной длины (рис. 5.7).
Выберем для первого и четвертого груза ленты одинаковой длины. Если первый маятник вывести из равновесного состояния и отпустить, то он начинает колебаться. Его колебания, передаваясь по общей веревке, приводят в движение остальные маятники. После установления устойчивых колебаний второго, третьего и четвертого маятников, можно убедиться, что амплитуда четвертого маятника окажется самой большой. Из-за того, что длина четвертого и первого маятников одинаковы, их периоды свободного колебания (частота) получаются
взаимно равными.
Значит, в вынужденных колебаниях в случае, когда частота вынуждающей силы равна частоте собственного колебания колебательной системы, амплитуда колебаний будет самой большой, т.е. происходит резонанс.
Явление резкого увеличения амплитуды колебания в случае, когда частота внешней вынуждающей силы равняется собственной частоте колебательной системы, называется резонансом.
Причиной резкого увеличения амплитуды во время резонанса является взаимное совпадение направления вынуждающей силы и направления движения колеблющегося тела.
Резонанс широко используется в технике и в быту. В часах, во всех видах звонков, сиренах, пневматических молотках используют явление резонанса.
Однако явления резонанса не всегда полезны.
Например, когда человек проходит по висячему мосту через реку, он качается. В зависимости от скорости, с которой человек проходит по мосту (быстро или медленно), колебания моста могут увеличиваться или уменьшаться. Если частота шага совпадает с собственной частотой моста, его опоры могут не выдержать и трос или канат может оборваться.
В тех случаях, когда резонанс наносит вред, в целях уменьшения воздействия предпринимают соответствующие меры. Фундаменты производственных помещений строят тяжелыми и большими, чтобы в результате вращения деталей оборудования не возникал резонанс. Для быстрого погашения колебаний в автомобилях устанавливаются амортизаторы.
Автоколебания
Для того, чтобы вынужденные колебания не затухали, нужна внешняя периодическая сила. Но колебания системы могут быть негаснущими и без воздействия внешних периодических сил. Если внутри свободно колеблющейся системы будет иметься источник энергии, и система сможет направлять необходимую энергию из этого источника к колеблющемуся телу, чтобы восполнять затраченную энергию, то в такой системе появляются негаснущие колебания.
Самым простым примером системы такого типа являются обычные часы с маятником. Эта система имеет определенный запас энергии, т.е. потенциальную энергию поднятого на определенную высоту груза или энергию сжатой пружины.
Системы, которые создают негаснущие колебания за счет снабжения из источника энергии, называются автоколебательными системами. Электрический звонок, сердце и легкие человека тоже можно рассматривать как автоколебательные системы.
Негаснущие колебания, которые могут осуществляться в системе под воздействием внутреннего источника и без воздействия внешней периодической силы, называются автоколебаниями.
Частота вынужденного колебания будет совпадать с частотой внешних сил. Частота и амплитуда автоколебаний определяются собственными особенностями системы. Амплитуда автоколебаний не зависит от величины кратковременного воздействия (удара), которое привело к этим колебаниям.
Вынужденные колебания, резонанс
Под действием изменяющейся по гармоническому закону внешней силы (например, 
в колебательной системе создаются вынужденные колебания.
Частота вынужденных колебаний всегда совпадает с частотой изменения вынуждающей силы — с какой частотой изменяется внешняя сила, с такой же частотой колеблется система.
Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. При приближении значения частоты вынуждающей силы к значению частоты свободных колебаний системы амплитуда колебаний увеличивается (d). При равенстве этих частот 
наблюдается:
Резонанс — резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний системы.
Форма резонансной кривой зависит от значения силы трения в системе. Так, при малых значениях силы трения резонансная кривая выше (1-я кривая), а при больших значениях силы трения, наоборот, резонансная кривая ниже (3-я кривая).
Исследуем это теоретически с помощью горизонтального пружинного маятника: предположим, что шарик массой 
совершает вынужденные колебания под действием внешней силы, изменяющейся по закону
(е).
Уравнение вынужденных колебаний маятника с учетом II закона Ньютона можно записать так:
Если в этом уравнении принять во внимание формулы смещения и ускорения, изменяющихся по периодическому закону 
и 
то: 
или 
Если же принять во внимание 
то: 
Или 
Где 
— циклическая частота свободных колебаний колебательной системы, 
— циклическая частота вынужденных колебаний, 
— амплитуда вынужденных колебаний.
Из формулы (4.33) зависимости амплитуды колебаний от циклической частоты видно, что при явлении резонанса, если 
амплитуда колебания увеличивается до бесконечности: 
Резонанс вынужденных колебаний колебательной системы создает большую разрушительную силу, которая может быть причиной катастрофы. Например, если частота действия вынуждающей силы, создаваемая марширующей через мост войсковой частью, совпадает с частотой свободных колебаний моста, то амплитуда вынужденных колебаний моста резко увеличивается, что может привести к его разрушению. По этой причине при переходе через мосты солдатам приказывают идти вольным шагом.
Распространение колебаний в упругой среде: механическая волна
Как вы знаете, во время землетрясения скорость распространения продольных волн Р-типа, возникающих внутри Земли, больше скорости распространения поперечных волн L-типа, возникающих на поверхности Земли. На основании разности между этими скоростями ученые-сейсмологи определяют расстояние от точки расположения сейсмографа до эпицентра землетрясения.
Волна
Механические колебания были изучены в разных замкнутых колебательных системах — пружинном и математическом маятниках. Однако в природе наиболее часто встречающимися колебаниями являются колебания в связных колебательных системах. В связанных колебательных системах колебания передаются от одной части системы к другой. Например, при падении камня на поверхность стоячей воды наблюдается возникновение концентрических водяных кругов, которые расходятся из точки падения камня во все стороны. Кажется, что вода перемещается в пространстве в форме чередования выпуклостей и впадин. Однако, если расположить около точки падения камня поплавок или теннисный мячик, то наблюдается только его колебательное движение вверх-вниз на одном месте. Таким образом, возникающие в определенной точке колебательные движения частичек воды, передаваясь соседним частичкам воды вызывают колебательные движения все новых и новых частичек воды, и создают распространяющиеся во все стороны, колебательные движения системы связанных частичек. При таком распространении, называемом волной, перенос воды не происходит, а переносится только форма ее. движения
Волна — это процесс распространения колебаний в пространстве с течением времени.
В это время в среде происходят следующие явления: а) колебательные движения частичек среды, в которой распространяется волна — частички среды совершают колебательные движения только вокруг положения своего равновесия, и в волне не происходит перенос вещества; b) взаимодействия частичек среды с соседними частичками — в результате взаимодействия между частичками происходит перенос энергии. По этой причине волне можно дать следующее определение:
Волна — это процесс переноса энергии без переноса вещества.
Механическая волна
В природе наиболее часто встречается механическая волна.
Механическая волна — это процесс распространения механических колебаний в среде (механическая волна в вакууме не распространяется). Механические волны распространяются только в упругих средах (твердых телах, жидкостях и газах).
Упругие волны — это процесс распространения механических колебаний в упругой среде. Этот процесс происходит с частотой, соответствующей частоте колебания источника, создающего эту волну. За пределами среды упругие волны не существуют. Волны бывают двух видов: поперечные и продольные.
Поперечная волна — это волна, распространяющаяся перпендикулярно направлению колебательного движения частиц среды. Поперечные волны могут распространяться только в твердых телах и по поверхности жидкостей. Поперечные волны распространяются в среде в форме сменяющих друг друга выпуклостей и впадин (d).
Продольная волна — это волна, распространяющаяся вдоль направления колебательного движения частиц среды. Продольные волны могут распространяться во всех средах (твердых телах, жидкостях и газах). Продольные волны распространяются в среде в форме сменяющих друг друга зон сгущения и разрежения среды. Например, пропустив через длинную пружину пластмассовую нить, закрепите горизонтально оба конца нити и один из концов пружины к опорам, затем, периодически двигая свободный конец пружины вправо-влево, можно наблюдать чередование зон сгущения и рассеивания колец пружины (е).
Характеристика волны
Колебания, происходящие в какой-либо точке среды, передаются в другие точки не мгновенно, а с определенной конечной скоростью, которая определяет скорость волны.
Скорость волны — это скорость распространения колебаний в среде.
Так как волна в однородной среде распространяется равномерно, скорость волны будет равна:
Где 
— расстояние, на которое распространяется волна за время 
Другими характеристиками волны являются частота, период и длина волны.
Частота волны (период)—это частота (период) колебаний источника, создающего волну.
Длина волны — это расстояние 
на которое волна распространяется за время, равное одному периоду колебания 
Приняв во внимание это определение в (4.34), получим выражение для скорости распространения волны:
или 
Где 
(лямбда) — длина волны, в СИ единица ее измерения — метр. Из последних двух формул можно определить длину волны:
Скорость волны не зависит от ее частоты и периода. Скорость волны зависит от свойств и агрегатного состояния среды. Длина волны в однородной среде 
прямо пропорциональна периоду колебаний и обратно пропорциональна частоте колебаний.
При переходе из одной среды в другую частота и период волны не меняются, однако так как скорость волны в разных средах разная, то длина волны меняется.
Длина волны —это расстояние между двумя ближайшими точками, колеблющимися в одинаковых фазах. Длина волны в поперечных волнах равна расстоянию между двумя соседними точками вершин выпуклостей (или впадин) (cм: d), в продольных же волнах, — расстоянию между двумя соседними точками зон сгущения (или разрежения) (см: е).
Уравнение волны
Предположим, что источник волны колеблется по гармоническому закону 
колебательное движение распространяется со скоростью 
в окружающей источник среде, тогда в результате возникает волна, которая через определенный промежуток времени 
достигнет точки, находящейся на расстоянии 
от источника:
Это значит, что колебания в точке, находящейся на расстоянии 
от источника, происходят по тому же закону и возникнут с опозданием на 
секунд. Поэтому уравнение волны, достигшей произвольной точки на расстоянии от источника колебания, можно записать так:
График волны по форме схож с графиком гармонических колебаний, однако это не одно и то же. Так, если график гармонических колебаний показывает изменение по гармоническому закону одной из характеристик колеблющейся точки, например, смещения от времени (f), то график волны—это картина расположения связанных точек среды в данный момент времени, то есть гармоничность этой волны в среде (g).
| Рекомендую подробно изучить предметы: |
|
| Ещё лекции с примерами решения и объяснением: |
- Электромагнитные колебания
- Свободные и вынужденные колебания в физике
- Вынужденные электромагнитные колебания
- Резонанс в физике
- Движение жидкостей
- Уравнение Бернулли
- Механические колебания и волны в физике
- Гармонические колебания в физике
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания
Если колебания совершаются под воздействием внешней силы, они называются вынужденными. Работа внешней силы, которая обеспечивает колебательную систему энергией, при этом является положительной. Благодаря ей колебания не затухают и могут противодействовать силам трения.
Внешняя сила не обязательно должна быть постоянной. С течением времени она может изменяться по разным законам. Особый случай – воздействие на колебательную систему внешней силы, которая изменяется по гармоническому закону с частотой, равной ω , в то время как сама система совершает собственные колебания с той же самой частотой.
Установившиеся вынужденные колебания всегда происходят с частотой внешней силы. Частоту свободных колебаний определяют параметры системы.
Когда внешняя сила начинает воздействовать на колебательную систему, должно пройти некоторое время Δ t , прежде чем вынужденные колебания установятся. Это время будет равно тому времени τ , за которое затухают свободные колебания в данной системе.
В момент начала воздействия в системе начинают происходить два процесса одновременно – свободные колебания с собственной частотой ω 0 и вынужденные с частотой ω . Однако из-за сил трения свободные колебания в определенный момент затухают, поэтому по прошествии времени в системе сохраняются лишь стационарные колебания с той частотой, которая соответствует внешней (вынуждающей) силе.
Разберем пример. У нас есть тело на пружине, совершающее вынужденные колебания (см. иллюстрацию ниже). Приложим внешнюю силу, обозначенную F → в н , к свободному концу пружины, после чего этот конец начнет перемещаться по закону, выражаемому формулой:
Здесь буквой ω обозначена круговая частота, а y m – амплитуда колебаний.
Перемещения такого рода обеспечиваются шатунным механизмом, который преобразует круговые движения в возвратно-поступательные.
Рисунок 2 . 5 . 1 . Груз на пружине, совершающий вынужденные колебания. Перемещение свободного конца выражено формулой y = y m cos ω t , где l означает длину недеформированной пружины, а k –ее жесткость.
При смещении левого конца пружины на некоторое расстояние y и правого – на x по сравнению с первоначальным положением недеформированной пружины будет происходить ее удлинение. Найти величину этого удлинения можно по следующей формуле:
∆ l = x — y = x — y m cos ω t .
В таком случае мы можем переформулировать второй закон Ньютона для этого случая следующим образом:
m a = — k ( x — y ) = — k x + k y m cos ω t .
Здесь сила, которая действует на тело, показана как сумма двух слагаемых, первым из которых является упругость, стремящаяся к равновесию тела, а вторым – внешнее воздействие, совершающееся с определенными интервалами. Внешнюю силу также называют вынуждающей.
Теперь выразим эту зависимость в строгой математической формуле, учитывающей связь между координатой тела a = x ¨ и его ускорением. У нас получится следующее:
x ¨ + ω 0 2 x = A cos ω t .
Эта зависимость называется уравнением внешних колебаний. Здесь ω 0 = k m является собственной круговой частотой свободного колебания, а ω – циклической частотой внешней (вынуждающей) силы.
Чтобы найти величину A для вынужденного колебания груза на пружине, нужно воспользоваться следующей формулой:
A = k m y m — ω 0 2 y m .
То уравнение, что мы записали перед этим, не учитывает, что на тело действуют также и силы трения. В уравнении вынужденных колебаний, в отличие от уравнения свободных, учитываются сразу обе частоты – частота вынуждающей силы и частота свободных колебаний.
Вынужденные колебания груза на пружине, которые устанавливаются со временем, имеют частоту внешнего воздействия. Это определяется следующим законом:
x ( t ) = x m cos ( ω t + θ ) .
Здесь x m обозначает амплитуду вынужденного колебания, а буква θ – его начальную фазу. Значения обоих этих показателей будут зависеть от амплитуды внешней силы и соотношения частот.
Если частоты очень низкие, т.е. ω ≪ ω 0 , то тело, прикрепленное к правому концу пружины, движется точно так же, как и левый конец этой пружины. Тогда получается, что x ( t ) = y ( t ) . Сама пружина при этом практически не деформируется, а модуль внешней силы F → в н , приложенной к ее левому концу, стремится к нулю. Работа при этом не совершается.
Понятие резонанса
Резонанс – это резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при сближении частоты внешней силы с собственной частотой колебания тела.
С помощью резонансной кривой (резонансной характеристики) можно описать зависимость, существующую между амплитудой внешних колебаний x m и частотой вынуждающей силы ω .
Когда происходит резонанс, амплитуда x m может оказаться значительно больше, чем амплитуда колебаний левого (свободного) конца пружины.. Если мы не будем учитывать силы трения, то получится, что при резонансной частоте амплитуда вынужденных колебаний будет возрастать неограниченно. В реальности она будет зависеть от следующего условия: работа внешней силы в течение всего времени колебаний должна совпадать с потерями механической энергии, происходящими из-за трения. При уменьшении трения (и, соответственно, повышении добротности Q колебательной системы) амплитуда вынужденных колебаний при резонансе возрастет.
Рисунок 2 . 5 . 2 . Моделирование вынужденных колебаний.
Если добротность колебательной системы невысока (менее 10 ), то частота резонанса будет находиться ближе к низким частотам. Это показано на иллюстрации 2 . 5 . 2 .
Явление резонанса имеет большое практическое значение. Именно из-за него зачастую разрушаются здания, мосты и другие сооружения. Это происходит в тот момент, когда их собственные частоты совпадают с частотой внешней силы, например, колебаниями мотора.
Рисунок 2 . 5 . 3 . Изображение затухания различных колебаний при помощи резонансных кривых: 1 — условная система без учета трения (бесконечное возрастание амплитуды вынужденных колебаний), 2 , 3 , 4 – резонансные колебания в реальных условиях, происходящих в системах разной степени добротности ( Q 2 > Q 3 > Q 4 ) . Если частоты низкие, то ( ω ≪ ω 0 ) x m ≈ y m , а если высокие, то ( ω ≫ ω 0 ) x m → 0 .
Вынужденные колебания являются незатухающими. При трении неизбежно теряется часть энергии, однако воздействие внешних периодически действующих сил компенсирует ее.
Что такое автоколебательные системы
Автоколебательные системы – это системы, в которых могут возникать незатухающие колебания безотносительно внешнего воздействия, а лишь за счет способности самостоятельно регулировать подвод энергии от внешнего источника. Процесс колебаний в таких системах называют автоколебаниями.
Внутри этой системы можно выделить три составляющих – саму систему, источник внешней постоянной энергии и обратную связь между ними. Первым элементом выступает любая механическая система, которая может совершать затухающие колебания, например, часовой маятник. В качестве источника можно использовать потенциальную энергию груза в поле тяжести или энергию деформации пружины. Система обратной связи – это, как правило, особый механизм, функцией которого является регулирование поступлений энергии. На иллюстрации показано, как эти компоненты взаимодействуют между собой.
Рисунок 2 . 5 . 4 . Автоколебательная система со всеми основными составляющими.
Какие можно привести примеры таких систем? Ярким примером является часовой механизм с так называемым анкерным ходом. В нем есть ходовое колесо с косыми зубчиками, прочно сцепленное с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с грузом. В верхней части маятника закреплен якорек (анкер), состоящий из двух твердых пластинок, дугообразно изогнутых по окружности с центром на основной оси. В механизме ручных часов вместо гири используется пружина, а вместо маятника – маховичок-балансир, соединенный со спиральной пружиной, который совершает круговые колебания вокруг своей оси. В качестве источника внешней энергии выступает заведенная пружина или поднятая гиря. Обратная связь осуществляется с помощью анкера: он позволяет ходовому колесу совершать поворот только на один зубец за полупериод. Когда анкер взаимодействует с ходовым колесом, происходит передача энергии. Когда маятник колеблется, зубец ходового колеса передает анкерной вилке энергию по направлению движения маятника, и именно этим компенсируются силы трения. Таким образом, энергия поднятой гири или заведенной пружины поступает маленькими порциями к маятнику.
Существует также много других автоколебательных систем, которые широко применяются в технике. Автоколебания происходят внутри двигателей внутреннего сгорания, паровых машин, электрических звонков, музыкальных инструментов, голосовых связок и т.д.
Рисунок 2 . 5 . 5 . Схема маятникового часового механизма.
Вынужденные колебания уравнение колебаний резонанс
Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными .
В этом случае внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.
Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой , воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте .
Если свободные колебания происходят на частоте , которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте внешней силы .
После начала воздействия внешней силы на колебательную систему необходимо некоторое время для установления вынужденных колебаний. Время установления по порядку величины равно времени затухания свободных колебаний в колебательной системе.
В начальный момент в колебательной системе возбуждаются оба процесса – вынужденные колебания на частоте и свободные колебания на собственной частоте . Но свободные колебания затухают из-за неизбежного наличия сил трения. Поэтому через некоторое время в колебательной системе остаются только стационарные колебания на частоте внешней вынуждающей силы.
Рассмотрим в качестве примера вынужденные колебания тела на пружине (рис. 2.5.1). Внешняя сила 
приложена к свободному концу пружины. Она заставляет свободный (левый на рис. 2.5.1) конец пружины перемещаться по закону
| m cos . |
где m – амплитуда колебаний, – круговая частота.
Такой закон перемещения можно обеспечить с помощью шатунного механизма, преобразующего движение по окружности в поступательно-возвратное движение (рис. 2.5.1).
 | ||||||||||||
| Рисунок 2.5.1. Если левый конец пружины смещен на расстояние , а правый – на расстояние от их первоначального положения, когда пружина была недеформирована, то удлинение пружины равно:
Второй закон Ньютона для тела массой принимает вид :
В этом уравнении сила, действующая на тело, представлена в виде двух слагаемых. Первое слагаемое в правой части – это упругая сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия (). Второе слагаемое – внешнее периодическое воздействие на тело. Это слагаемое и называют вынуждающей силой . Уравнению, выражающему второй закон Ньютона для тела на пружине при наличии внешнего периодического воздействия, можно придать строгую математическую форму, если учесть связь между ускорением тела и его координатой:
где
Уравнение (**) не учитывает действия сил трения. В отличие от уравнения свободных колебаний (*) (см. §2.2) уравнение вынужденных колебаний (**) содержит две частоты – частоту свободных колебаний и частоту вынуждающей силы. Установившиеся вынужденные колебания груза на пружине происходят на частоте внешнего воздействия по закону
Амплитуда вынужденных колебаний m и начальная фаза зависят от соотношения частот и и от амплитуды ym внешней силы. На очень низких частотах, когда , движение тела массой , прикрепленного к правому концу пружины, повторяет движение левого конца пружины. При этом , и пружина остается практически недеформированной. Внешняя сила Если частота внешней силы приближается к собственной частоте , возникает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Это явление называется резонансом . Зависимость амплитуды m вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой (рис. 2.5.2). При резонансе амплитуда m колебания груза может во много раз превосходить амплитуду m колебаний свободного (левого) конца пружины, вызванного внешним воздействием. В отсутствие трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать. В реальных условиях амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется условием: работа внешней силы в течение периода колебаний должна равняться потерям механической энергии за то же время из-за трения. Чем меньше трение (т. е. чем выше добротность колебательной системы), тем больше амплитуда вынужденных колебаний при резонансе. У колебательных систем с не очень высокой добротностью () резонансная частота несколько смещается в сторону низких частот. Это хорошо заметно на рис. 2.5.2. Явление резонанса может явиться причиной разрушения мостов, зданий и других сооружений, если собственные частоты их колебаний совпадут с частотой периодически действующей силы, возникшей, например, из-за вращения несбалансированного мотора.
|
Тогда уравнение вынужденных колебаний запишется в виде
– собственная круговая частота свободных колебаний, – циклическая частота вынуждающей силы. В случае вынужденных колебаний груза на пружине (рис. 2.5.1) величина определяется выражением:
приложенная к левому концу пружины, работы не совершает, т. к. модуль этой силы при стремится к нулю.
