Выравнивание данных по уравнению прямой статистика

Аналитическое выравнивание ряда по прямой

Решение находим с помощью калькулятора.
Линейное уравнение тренда имеет вид y = at + b
1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений

Для наших данных система уравнений имеет вид

Из первого уравнения выражаем а 0 и подставим во второе уравнение
Получаем a₀ = -2.89, a₁ = 63.27
Уравнение тренда
y = -2.89 t + 63.27
Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда
Средние значения

т.е. в 39.75 % случаев влияет на изменение данных. Другими словами — точность подбора уравнения тренда — средняя

2. Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда.

Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда

По таблице Стьюдента находим Tтабл
T_табл (n-m-1;a) = (17;0.05) = 1.74
Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и t = 10
63.27 + -2.89*10 — 1.74*20.55 ; 63.27 + -2.89*10 — 1.74*20.55
(-1.39;70.14)
Интервальный прогноз.
Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.

где L — период упреждения; у_n+L — точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n — количество наблюдений во временном ряду; Sy — стандартная ошибка прогнозируемого показателя; T_табл — табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости а и для числа степеней свободы, равного n — 2.
Точечный прогноз, t = 20: y(20) = -2.89*20 + 63.27 = 5.48
K₁ = 49.73
5.48 — 49.73 = -44.25 ; 5.48 + 49.73 = 55.21
t = 20: (-44.25;55.21)
3. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения тренда.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.

Статистическая значимость коэффициента уравнения подтверждается.

Статистическая значимость коэффициента тренда подтверждается.
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения тренда
Определим доверительные интервалы коэффициентов тренда, которые с надежность 95% будут следующими (t_табл=1.74):
(a — t_табл·S_a; a + t_табл·S a)
(-4.3484;-1.4306)
(b — t_табл·S b ; b + t_табл·S b)
(47.898;78.6389)
2) F-статистика. Критерий Фишера.

Fkp = 4.41
Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим
4. Тест Дарбина-Уотсона на наличие автокорреляции остатков для временного ряда.

Критические значения d₁ и d₂ определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости a, числа наблюдений n и количества объясняющих переменных m.
Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5

Аналитическое выравнивание ряда динамики.

Поможем написать любую работу на аналогичную тему

Наиболее точным и эффективным способом выявления основной тенденции развития является аналитическое выравнивание. При этом фактические уровни ряда динамики заменяются теоретическими уровнями, вычисленными на основе определенной кривой, описываемой аналитическим выражением. Предполагается, что теоретическая кривая свободна от всевозможных колебаний и поэтому наиболее точно отображает общую тенденцию изменения во времени изучаемого показателя.

При аналитическом выравнивании ряда динамики, его уровни выражаются в виде функции времени.

(12.1)

где – теоретический уровень ряда динамики, вычисленный по определенному

аналитическом выражению на момент времени .

Чаще всего при аналитическом выравнивании используются следующие математические зависимости:

— линейная (уравнение прямой):

(12.2)

— параболическая (уравнение параболы):

(12.3)

— экспоненциальная (уравнение экспоненты):

(12.4)

— гиперболическая (уравнение гиперболы):

(12.5)

Выбор формы кривой во многом определяет результаты выявления тренда. Основанием для выбора формы кривой может использоваться содержательный анализ сущности развития данного явления. Можно опираться на результаты предыдущих исследований в данной области.

На практике для этих целей прибегают к анализу графического изображения уровней ряда динамики (линейной диаграммы). Однако из графического представления эмпирических данных не всегда удается произвести однозначный выбор формы кривой (вида уравнения). Поэтому целесообразно воспользоваться графическим изображением сглаженных уровней, в которых случайные и периодические колебания в некоторой степени оказываются сглаженными.

При выборе вида аналитической кривой для выравнивания ряда динамики можно воспользоваться следующими рекомендациями.

1. Линейная зависимость используется в том случае, когда в исходном ряде динамики наблюдается более или менее постоянные абсолютные цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.

2. Параболическая зависимость выбирается в тех случаях, когда абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют.

3. Экспоненциальные зависимости, если в исходном динамическом ряде наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста, коэффициентов роста), либо, при отсутствии точного постоянства, – устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста цепных же темпов роста).

Для решения уравнений аналитических кривых (формулы 12.2 – 12.5) в большинстве случаев используют метод наименьших квадратов, который обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических уровней от выровненных (теоретических).

(12.6)

Рассмотрим технику аналитического выравнивания ряда динамики с использованием уравнения прямой, имеющей наиболее простое выражение, на следующем примере.

Пример. Имеются данные за последние 10 лет по заводу, где производятся запасные части для тракторов. Эти данные приведены в табл. 12.3.

1. Для того, чтобы выдвинуть гипотезу о предполагаемом законе распределения уровней ряда динамики, построим график зависимости выпуска продукции от времени. Такой график для нашего примера представлен на рис. 12.1.

Выпуск продукции на заводе (тыс. шт.)

Выпуск продукции, ()

Аналитическое выравнивания ряда динамики по прямой

2. Аналитическое выравнивания ряда динамики по прямой.

Рассмотрим применение метода на следующих данных о производстве продукции предприятием ОАО «Технополис»:

Примем за точку отсчета 1995г. Тогда условные годы:

Определим параметры уравнения прямой с использованием программы Excel:

Т.к. прямая имеет вид y1 = a₀ + а1t , то

а₀ = 123,6/9 = 13,74 тыс. ед.;

а1 = 66,5/ 60 = 1,11 тыс. ед;

уравнение прямой имеет вид:

Подставив в это уравнение значение t, получим выровненные теоретические значения.

На рис. представлены графики фактических и теоретических уровней ряда.

Штриховая линия, построенная по значениям y1, показывает тенденцию роста объема производства на данном предприятии.

рис. Графики рядов динамики: 1 – фактического, 2 – выровненного.