Выравнивание динамического ряда по уравнению параболы

Аналитическое выравнивание ряда динамики.

Поможем написать любую работу на аналогичную тему

Наиболее точным и эффективным способом выявления основной тенденции развития является аналитическое выравнивание. При этом фактические уровни ряда динамики заменяются теоретическими уровнями, вычисленными на основе определенной кривой, описываемой аналитическим выражением. Предполагается, что теоретическая кривая свободна от всевозможных колебаний и поэтому наиболее точно отображает общую тенденцию изменения во времени изучаемого показателя.

При аналитическом выравнивании ряда динамики, его уровни выражаются в виде функции времени.

(12.1)

где – теоретический уровень ряда динамики, вычисленный по определенному

аналитическом выражению на момент времени .

Чаще всего при аналитическом выравнивании используются следующие математические зависимости:

— линейная (уравнение прямой):

(12.2)

— параболическая (уравнение параболы):

(12.3)

— экспоненциальная (уравнение экспоненты):

(12.4)

— гиперболическая (уравнение гиперболы):

(12.5)

Выбор формы кривой во многом определяет результаты выявления тренда. Основанием для выбора формы кривой может использоваться содержательный анализ сущности развития данного явления. Можно опираться на результаты предыдущих исследований в данной области.

На практике для этих целей прибегают к анализу графического изображения уровней ряда динамики (линейной диаграммы). Однако из графического представления эмпирических данных не всегда удается произвести однозначный выбор формы кривой (вида уравнения). Поэтому целесообразно воспользоваться графическим изображением сглаженных уровней, в которых случайные и периодические колебания в некоторой степени оказываются сглаженными.

При выборе вида аналитической кривой для выравнивания ряда динамики можно воспользоваться следующими рекомендациями.

1. Линейная зависимость используется в том случае, когда в исходном ряде динамики наблюдается более или менее постоянные абсолютные цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению.

2. Параболическая зависимость выбирается в тех случаях, когда абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют.

3. Экспоненциальные зависимости, если в исходном динамическом ряде наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста, коэффициентов роста), либо, при отсутствии точного постоянства, – устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста цепных же темпов роста).

Для решения уравнений аналитических кривых (формулы 12.2 – 12.5) в большинстве случаев используют метод наименьших квадратов, который обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических уровней от выровненных (теоретических).

(12.6)

Рассмотрим технику аналитического выравнивания ряда динамики с использованием уравнения прямой, имеющей наиболее простое выражение, на следующем примере.

Пример. Имеются данные за последние 10 лет по заводу, где производятся запасные части для тракторов. Эти данные приведены в табл. 12.3.

1. Для того, чтобы выдвинуть гипотезу о предполагаемом законе распределения уровней ряда динамики, построим график зависимости выпуска продукции от времени. Такой график для нашего примера представлен на рис. 12.1.

Выпуск продукции на заводе (тыс. шт.)

Выпуск продукции, ()

Аналитическое выравнивание ряда по параболе

Пример . 1. Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов с помощью калькулятора Аналитическое выравнивание .
Система уравнений

Для наших данных система уравнений имеет вид

Получаем a₀ = 0.38, a₁ = -11.36, a₂ = 102.76
Уравнение тренда: y = 0.38t 2 -11.36t+102.76
Оценим качество уравнения тренда с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

Поскольку ошибка больше 15%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве тренда
Средние значения

Дисперсия параболической функции

т.е. в 92.61 % случаев влияет на изменение данных. Другими словами — точность подбора уравнения тренда — высокая

t	y	t 2	y 2	t·y	y(t)	(y- y ) 2	(y-y(t)) 2	(t-t p ) 2	(y-y(t)) : y	t 3	t 4	t 2 y
1	80	1	6400	80	91.78	1653.78	138.77	72.25	942.4	1	1	80
2	79	4	6241	158	81.56	1573.44	6.55	56.25	202.24	8	16	316
3	75	9	5625	225	72.1	1272.11	8.41	42.25	217.5	27	81	675
4	70	16	4900	280	63.4	940.44	43.56	30.25	462	64	256	1120
5	65	25	4225	325	55.46	658.78	91.01	20.25	620.1	125	625	1625
6	60	36	3600	360	48.28	427.11	137.36	12.25	703.2	216	1296	2160
7	39	49	1521	273	41.86	0.11	8.18	6.25	111.54	343	2401	1911
8	35	64	1225	280	36.2	18.78	1.44	2.25	42	512	4096	2240
9	30	81	900	270	31.3	87.11	1.69	0.25	39	729	6561	2430
10	25	100	625	250	27.16	205.44	4.67	0.25	54	1000	10000	2500
11	20	121	400	220	23.78	373.78	14.29	2.25	75.6	1331	14641	2420
12	10	144	100	120	21.16	860.44	124.55	6.25	111.6	1728	20736	1440
13	13	169	169	169	19.3	693.44	39.69	12.25	81.9	2197	28561	2197
14	19	196	361	266	18.2	413.44	0.64	20.25	15.2	2744	38416	3724
15	29	225	841	435	17.86	106.78	124.1	30.25	323.06	3375	50625	6525
16	14	256	196	224	18.28	641.78	18.32	42.25	59.92	4096	65536	3584
17	20	289	400	340	19.46	373.78	0.29	56.25	10.8	4913	83521	5780
18	25	324	625	450	21.4	205.44	12.96	72.25	90	5832	104976	8100
171	708	2109	38354	4725	708.54	10506	776.47	484.5	4162.06	58482	864690	97654

2. Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда.

Анализ точности определения оценок параметров уравнения тренда

S a = 0.307
Доверительные интервалы для зависимой переменной

По таблице Стьюдента находим Tтабл
T_табл (n-m-1; a ) = (16;0.05) = 1.746
Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и t = 10
102.76 + -11.36*10 + 0.38*10 2 — 1.746*12.13 ; 102.76 + -11.36*10 + 0.38*10 2 + 1.746*12.13
(15.03;39.29)

Интервальный прогноз.
Определим среднеквадратическую ошибку прогнозируемого показателя.

где L — период упреждения; у_n₊ _L — точечный прогноз по модели на (n + L)-й момент времени; n — количество наблюдений во временном ряду; Sy — стандартная ошибка прогнозируемого показателя; T_табл — табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости а и для числа степеней свободы, равного n — 2.
Точечный прогноз, t = 19: y(19) = 0.38*19 2 + -11.36*19 + 102.76 = 24.1
K₁ = 48.37
24.1 — 48.37 = -24.27 ; 24.1 + 48.37 = 72.47
Интервальный прогноз:
t = 19: (-24.27;72.47)
3. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения тренда.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.

Статистическая значимость коэффициента уравнения не подтверждается

Статистическая значимость коэффициента тренда подтверждается
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения тренда
Определим доверительные интервалы коэффициентов тренда, которые с надежность 95% будут следующими (t_табл=1.746):
(a — t_табл·S_a; a + t_табл·S_a)
(-0.1561;0.9161)
(b — t_табл·S_b; b + t_табл·S_b)
(-17.1628;-5.5572)
2) F-статистика. Критерий Фишера.

Fkp = 4.45
Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим
4. Тест Дарбина-Уотсона на наличие автокорреляции остатков для временного ряда.

y	y(x)	e i = y-y(x)	e 2	(e i -e i-1 ) 2
80	91.78	-11.78	138.77	0
79	81.56	-2.56	6.55	85.01
75	72.1	2.9	8.41	29.81
70	63.4	6.6	43.56	13.69
65	55.46	9.54	91.01	8.64
60	48.28	11.72	137.36	4.75
39	41.86	-2.86	8.18	212.58
35	36.2	-1.2	1.44	2.76
30	31.3	-1.3	1.69	0.01
25	27.16	-2.16	4.67	0.74
20	23.78	-3.78	14.29	2.62
10	21.16	-11.16	124.55	54.46
13	19.3	-6.3	39.69	23.62
19	18.2	0.8	0.64	50.41
29	17.86	11.14	124.1	106.92
14	18.28	-4.28	18.32	237.78
20	19.46	0.54	0.29	23.23
25	21.4	3.6	12.96	9.36
776.47	866.39

Критические значения d₁ и d₂ определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости a, числа наблюдений n и количества объясняющих переменных m.
Не обращаясь к таблицам, можно пользоваться приблизительным правилом и считать, что автокорреляция остатков отсутствует, если 1.5 DW

Тенденции развития и колебания

Методические основы изучения основной тенденции развития

Уровни ряда динамики формируются под совокупным влиянием множества долговременных и краткосрочных факторов, и, в том числе, различного рода случайных обстоятельств. В связи с чем, при статистическом изучении динамики необходимо четко разделить ее на два основных элемента – тенденцию и колеблемость.

Тенденция развития динамического ряда к увеличению либо снижению его уровней – основная закономерность изменения уровней ряда. В отдельные же годы уровни испытывают колебания, отклоняясь от основной тенденции.

Тенденция динамики связана с действием долговременно существующих причин и условий развития. Однако после какого-то периода времени эти причины и условия тоже могут измениться и породить уже другую тенденцию развития изучаемого явления. Основная тенденция развития ряда динамики выражается в форме уравнения, называемого трендом.

Колебания, напротив, связаны с действием краткосрочных или циклических (конъюнктурных) факторов, влияющих на отдельные уровни динамического ряда, и отклоняющих уровни от тенденции то в одну, то в другую сторону. Например, положительная тенденция динамики урожайности связана с прогрессом агротехники, с укреплением экономического положения определенной совокупности хозяйств, совершенствованием организации производства. Колеблемость урожайности может быть вызвана, например, чередованием благоприятных по погоде и неблагоприятных лет, колебаниями в развитии вредных насекомых и болезней растений, и т.п.

Тенденцию и колебания наглядно показывает график (рис. 10.1). По оси абсцисс на графике всегда отражается время, по оси ординат – уровни ряда динамики. По обеим осям строго соблюдается масштаб, иначе характер динамики будет искажен.

Изучение основной тенденции развития осуществляется в два этапа (рис. 10.2):

на первом этапе ряд динамики проверяется на наличие тренда;
на втором этапе проводится выравнивание временного ряда и непосредственное выделение тренда с экстраполяцией полученных результатов.

Проверка на наличие тренда в ряду динамики может быть осуществлена различными методами, в частности, приведенными на рис. 10.2.

Суть фазочастотного критерия знаков первой разности (Валлиса и Мура) заключается в том, что наличие тренда в динамическом ряду утверждается в том случае, если этот ряд не содержит или содержит в приемлемом количестве фазы – изменения знака разности первого порядка.

Суть критерия Кокса и Стюарта сводится к тому, что весь анализируемый ряд динамики разбивается на три равные по числу уровней группы и сравнивают между собой суммарные или средние уровни первой и последней групп. Существенное различие между ними позволяет сделать вывод о наличии тренда. Если количество уровней ряда динамики не делится на три, то недостающие уровни можно добавить, например, используя для этого условные уровни, повторив значения стоящие крайними в ряду, или фактические уровни смежных с крайними периодов.

В соответствии с методом серий каждый конкретный уровень временного ряда считается принадлежащим к одному из двух типов: например, если, уровень ряда меньше медианного значения, то считается, что он имеет тип А, в противном случае – тип В. После замены числовых значений уровней ряда буквами А и В последовательность уровней временного ряда выступает как последовательность типов. В образовавшейся последовательности типов определяется число серий (R). Серией называется любая последовательность элементов одинакового типа, граничащая с элементами другого типа. Если во временном ряду общая тенденция к росту или снижению отсутствует, то количество серий является случайной величиной (для n >10) и оказывается в доверительном интервале, характеризуемом неравенством:

где R – среднее число серий, определяемое по формуле:

n – число уровней ряда; t – нормированное отклонение – параметр, назначаемый в соответствии с принятым уровнем доверительной вероятности Р (вероятности, с которой число серий может оказаться в доверительном интервале). Значения t приводятся в таблицах нормального распределения вероятностей.

Наиболее часто используемые сочетания t и Р приведены в таблице 6.3; σ_R – среднее квадратическое отклонение числа серий, которое рассчитывается по формуле:

Полученные границы доверительного интервала округляют до целых чисел, уменьшая нижнюю границу и увеличивая верхнюю.

При графическом методе тип тренда устанавливают путем размещения на поле графика эмпирических уровней. Концентрированное вокруг определенной кривой или хаотическое размещение эмпирических уровней ряда позволяет сделать вывод о наличии или отсутствии основной тенденции развития.

Пример проверки ряда динамики на наличие тренда

По данным таблицы 10.1 необходимо определить наличие тренда в ряду динамики числа браков на 1000 человек населения Российской Федерации в 2005-2018 гг.

Число браков на 1000 человек населения Российской Федерации в 2005-2018 гг., ‰

Годы	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018
Браки	7,4	7,8	8,8	8,3	8,4	8,5	9,2	8,5	8,5	8,4	7,9	6,7	7,1	6,1

Для применения фазочастотного критерия знаков первой разности необходимо определить наличие роста или уменьшение рассматриваемого показателя от года к году рассматриваемого периода, т.е. знак «+» или «-» цепного абсолютного прироста (формула 9.2, с. 154), для наглядности представив результаты в таблице 10.2.

Знаки первой разности числа браков на 1000 человек населения Российской Федерации в 2005-2018 гг.

Годы	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018
Знак	…	+	+	—	+	+	+	—	0	—	—	—	+	—

Количество «+» и « — « оказалось одинаковым, что, на первый взгляд, однозначно свидетельствует об отсутствии какой-либо закономерности динамики браков в России в рассматриваемом периоде.

Для применения критерия Кокса и Стюарта необходимо представленный ряд динамики разбить на три равные части, для чего к нему добавим имеющиеся на период исследования в официальной статистике данные о числе браков на 1000 человек населения в 2004 году – 6,8‰.

Первая треть добавленного ряда будет охватывать данные 2004-2008 гг., а последняя – 2014- 2018 гг., соответственно: (6,8+7,4+7,8+8,8+8,3=39,1) и (8,4+7,9+6,7+7,1+6,1=36,2). Средний уровень числа браков на 1000 человек населения страны в 2004-2008 гг. и 2014-2018 гг. составил, соответственно: 39,1:5=7,82‰ и 36,2:5=7,24‰.

Численные различия рассматриваемого показателя по выделенным периодам не велики, что также не позволяет утверждать наличие определенного тренда заключения браков в Российской Федерации.

Для применения метода серий рассчитаем медианное значение числа браков на 1000 человек населения страны в 2005-2018 гг.

Упорядоченная по возрастанию последовательность числа браков на 1000 человек населения в 2005-2018 гг. приведена в таблице 10.3.

Число браков на 1000 человек населения Российской Федерации в 2005-2018 гг. в порядке возрастания, ‰

№ п./п.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Браки	6,1	6,7	7,1	7,4	7,8	7,9	8,3	8,4	8,4	8,5	8,5	8,5	8,8	9,2

Так как ряд имеет четырнадцать значений уровней, то медиана будет равна половине суммы значений уровней седьмого и восьмого элемента упорядоченного ряда: Ме = 8,35 ‰.

К типу А относятся значения уровней рассматриваемого ряда динамики которые меньше медианного значения, к типу В – больше и ряд типов выглядит как ААВАВВВВВВАААА, отсюда число серий R = 5.

С вероятностью 0,954 найдем доверительный интервал, в котором может оказаться R, если количество серий является случайной величиной. Для этого предварительно найдем следующие показатели:

– с вероятностью 0,954 нормированное отклонение: t = 2 (см. табл. 10.1);

– среднее число серий: 7,5 (формула 10.2);

– среднее квадратическое отклонение числа серий: 1,803 (формула 10.3).

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что количество серий случайная величина, если оно попадает в доверительный интервал 3 Исходный и выровненные методом скользящей средней ряды динамики выпуска продукции в течение месяца

Рабочие дни месяцаВыпуск продукции, млн. руб.Скользящая сумма, млн. руб.Скользящая средняя, млн. руб.ИнтервалыИнтервалытрехдневныепятидневныетрехдневныепятидневные123456137––––242112–37,3–333120215404344513623345,346,655815824752,749,465516928456,356,875618130860,361,68701953246564,89692133407164,8107421437071,36811712313707774128622739375,774137024838782,778,6149223040976,777,4156825340484,380,8169324242380,784,6178126342587,7851889264460889219942864769595,22010330649410298,821109311516103,7103,22299319–106,3–23111––––

Результаты расчетов скользящих сумм и скользящих средних приведены в 3-6 колонках таблицы 10.4.

Данные колонок 5 и 6 таблицы 10.4 показывают устойчивую тенденцию роста ежедневного выпуска продукции в течение месяца.

Аналитическое выравнивание рядов динамики

Под аналитическим выравниванием понимают определение основной проявляющейся во времени тенденции развития изучаемого явления, выраженной соответствующим уравнением регрессии. При этом развитие предстает как бы в зависимости только от течения времени, т.е. одного фактора — времени. В итоге выравнивания временного ряда получают наиболее общий, суммарный, проявляющий во времени результат действия всех причинных факторов. Отклонение конкретных уровней ряда от уровней, соответствующих общей тенденции, объясняют действием факторов, проявляющихся случайно или циклически.

На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t), а затем анализируют поведение отклонений от тенденции.

Функцию f(t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса. Чаще всего при выравнивании используются следующие зависимости:

– линейная, выраженная уравнением:

f(t) = y = a + b×t; (10.4)

– параболическая, выраженная уравнением:

f(t) = y = a + b×t + c×t 2 ; (10.5)

– экспоненциальная, выраженная уравнением:

f(t) = y = a×k t ; (10.4)

где y – уровни, освобожденные от колебаний;
а – начальный уровень тренда в момент или период, принятый за начало отсчета времени t (t = 0);
t – номер периода;
b – среднегодовой абсолютный прирост; константа линейного тренда (параметр, показывающий, на сколько изменится результат при изменении времени на единицу);
с – квадратический параметр, равный половине ускорения; константа параболического тренда. Ускорение (Δ’_i) как разность между абсолютным приростом за данный период и абсолютным приростом за предыдущий период одинаковой длительности рассчитывается по формуле:

Δ’_i = Δ_i — Δ’_i-1. (10.7)
k – коэффициент роста; константа экспоненциального тренда.

Выравнивать динамические ряды по уравнению прямой линии целесообразно тогда, когда более или менее постоянны цепные абсолютные приросты, т.е. тогда, когда уровни ряда изменяются приблизительно в арифметической прогрессии.

Выравнивание динамических рядов по уравнению квадратической параболы необходимо применять в тех случаях, когда изменение уровней ряда происходит с приблизительно равномерным ускорением или замедлением цепных абсолютных приростов.

Выравнивание по экспоненциальной функции целесообразно использовать тогда, когда уровни ряда динамики выявляют тенденцию постоянства цепных темпов роста, т.е. в случае изменения уровней ряда динамики в геометрической прогрессии.

Кроме выше рассмотренных существуют логарифмическая, гиперболическая, логистическая и др. формы тренда.

Для расчета параметров уравнения тренда обычно используют метод наименьших квадратов.

Для каждого типа тренда МНК дает систему нормальных уравнений, решая которую вычисляют параметры тренда.

Для линейного тренда нормальные уравнения МНК имеют вид:

где y_i – уровни исходного ряда динамики;
t_i – номера периодов или моментов времени;
n – число уровней ряда.

Систему можно упростить, перенеся начало отсчета времени t_i в середину ряда. Тогда Σt_i будет равна 0 и система приобретет вид:

Отметим, что значение Σt 2 при четном числе n можно определить по формуле:

Для того, чтобы выйти на значение Σt 2 , полученное по формуле, при четном числе n шаг между t_i и t_i-1 или t_i+1 принимается равным 2 года.

Для тренда, выраженного квадратической параболой, нормальные уравнения МНК имеют вид:

После переноса начала отсчета ti в середину ряда получим:

Для экспоненциального тренда нормальные уравнения МНК имеют вид:

После переноса начала отсчета ti в середину ряда получим:

Построив уравнение регрессии, проводят оценку его надежности. Это делается посредством F-критерия Фишера, рассчитываемого по формуле 8.15. Если Fфакт > Fтеор, то уравнение регрессии значимо, т.е. построенная модель адекватна фактической временной тенденции.

Пример аналитического выравнивания ряда динамики

По данным таблицы 9.11 необходимо провести аналитическое выравнивание ряда динамики среднемесячной номинальной начисленной заработной платы работников организаций по экономике Российской Федерации в целом за 2000-2018 гг.

Проверку ряда динамики среднемесячной номинальной начисленной заработной платы работников организаций по экономике Российской Федерации за 2000-2018 гг. на наличие тренда проведем с помощью фазочастотного критерия знаков первой разности.

Данные таблицы 9.12 свидетельствуют о неуклонном росте среднемесячной заработной платы в стране и, соответственно, о положительных значениях знаков первой разности на протяжении всего исследованного периода.

Тенденция к росту уровней рассматриваемого ряда динамики очевидна.

Для определения тренда, наиболее точно отражающего закономерность изменения среднего уровня месячной заработной платы работников организаций по экономике Российской Федерации во времени, рассчитаем параметры уравнений линейной, параболической и экспоненциальной зависимостей, оценив их надежность с помощью F-критерия Фишера.

Результаты вспомогательных действий для расчета параметров уравнений регрессии приведены в таблице 10.5. Для упрощения расчетов начало отсчета времени ti перенесено в середину ряда.

Данные для расчета параметров уравнений регрессии, характеризующих динамику среднемесячной номинальной начисленной заработной платы работников организаций по экономике Российской Федерации в целом за 2000-2018 гг.

Годы	Среднемесячная зарплата, тыс. руб., у_i,	Условное время, годы, t_i	у_it_i	t_i 2	у_it_i 2	t_i 4	Ln у_it_i	(Ln у_it_i)×t_i	линейного	параболы II порядка	экспоненциального
Годы	Среднемесячная зарплата, тыс. руб., у_i,	Условное время, годы, t_i	у_it_i	t_i 2	у_it_i 2	t_i 4	Ln у_it_i	(Ln у_it_i)×t_i	Уровни трендов
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2000	2,2	-9	-19,8	81	178,2	6561	0,8	-7,1	-1,3	-2,0	3,5
2001	3,2	-8	-25,6	64	204,8	4096	1,2	-9,3	1,0	0,5	4,1
2002	4,4	-7	-30,8	49	215,6	2401	1,5	-10,4	3,4	3,1	4,8
2003	5,5	-6	-33,0	36	198,0	1296	1,7	-10,2	5,7	5,6	5,7
2004	6,7	-5	-33,5	25	167,5	625	1,9	-9,5	8,1	8,2	6,6
2005	8,6	-4	-34,4	16	137,6	256	2,2	-8,6	10,4	10,6	7,8
2006	10,6	-3	-31,8	9	95,4	81	2,4	-7,1	12,8	13,1	9,1
2007	13,6	-2	-27,2	4	54,4	16	2,6	-5,2	15,2	15,5	10,6
2008	17,3	-1	-17,3	1	17,3	1	2,9	-2,9	17,5	17,9	12,4
2009	18,6	0	0	0	0	0	2,9	0,0	19,9	20,3	14,5
2010	21,0	1	21,0	1	21,0	1	3,0	3,0	22,2	22,6	17,0
2011	23,4	2	46,8	4	93,6	16	3,2	6,3	24,6	24,9	19,9
2012	26,6	3	79,8	9	239,4	81	3,3	9,8	26,9	27,2	23,3
2013	29,8	4	119,2	16	476,8	256	3,4	13,6	29,3	29,5	27,3
2014	32,5	5	162,5	25	812,5	625	3,5	17,4	31,7	31,7	31,9
2015	34,0	6	204,0	36	1224,0	1296	3,5	21,2	34,0	33,9	37,4
2016	36,7	7	256,9	49	1798,3	2401	3,6	25,2	36,4	36,1	43,7
2017	39,2	8	313,6	64	2508,8	4096	3,7	29,3	38,7	38,3	51,2
2018	43,7	9	393,3	81	3539,7	6561	3,8	34,0	41,1	40,4	59,9
Всего	377,6	0	1343,7	570	11982,9	30666	50,9	89,6	377,6	377,6	390,8

Рассчитаем параметры линейного тренда:

– начальный уровень тренда а в момент, принятый за начало отсчета времени (t = 0), по формуле 10.10 равен: 19,874 тыс. руб.;

– константа линейного тренда b по формуле 10.11 равна: 2,357 тыс. руб.

Уравнение линейного тренда имеет вид (формула 10.4): y = 19,874 + 2,357×t.

Параметры линейного уравнения означают, что среднемесячный уровень номинальной начисленной заработной платы работников организаций по экономике Российской Федерации в целом и его выровненный уровень, отнесенный к середине периода, т.е. к 2009 г., равняются 19,874 тыс. руб., а среднегодовой абсолютный прирост среднемесячной заработной платы за рассмотренный период составил 2,357 тыс. руб.

Рассчитаем параметры параболического тренда с помощью системы уравнений 10.14, установив начало отсчета времени (t = 0) в середине ряда, и осуществив соответствующую подстановку данных из столбцов 2-7 таблицы 10.5.

Полученная система имеет уравнений вид:

19a + 570c = 377,6;
570b = 1343,7;
570a + 30666c = 11982,9.

Решив эту систему уравнений имеем: a = 20,285, b = 2,357, c = -0,014.

Уравнение параболического тренда имеет вид (формула 10.5):

y = 20,285 + 2,357t + 0,014t 2 .

Значение параметра с (константы параболического тренда, равной половине ускорения изменения абсолютного цепного прироста) означает, что абсолютный прирост среднемесячной номинальной начисленной заработной работников организаций по экономике страны в рассматриваемом периоде замедлялся в среднем на 28 рубля (2×0,014×1000) в год. Сам же абсолютный прирост уже не является константой параболического тренда, а является средней величиной за период. В год, принятый за начало отсчета, т.е. 2009 г., тренд проходит через точку с ординатой 20,285 тыс. руб. Свободный член параболического тренда не является средним уровнем за период.

Рассчитаем параметры экспоненциального тренда, используя данные колонок 8 и 9 таблицы 10.5:

по формуле 10.17 ln a = 2,679, отсюда, а = 14,543;
по формуле 10.18 ln k = 0,157, отсюда k = 1,170.

Уравнение экспоненциального тренда имеет вид (формула 10.6): y = 14,543×1,17 t .

Значение параметра k (константы экспоненциального тренда) означает, что среднегодовой темп роста среднемесячной номинальной начисленной зарплаты работников организаций по экономике Российской Федерации в целом в 2000-2018 гг. составлял 117,0 %. В точке, принятой за начало отчета, тренд проходит точку с ординатой 14,543 тыс. руб.

Отметим, что суммы теоретических уровней линейного и параболического трендов (колонки 10 и 11 таблицы 10.5) совпадают с суммой фактических уровней среднемесячной заработной платы за 2000-2018 гг. (колонка 2 таблицы 10.5). Это свидетельствует не только о том, что параметры трендов рассчитаны правильно, но и позволяет предположить, что полученные уравнения регрессии адекватно характеризуют сложившуюся тенденцию.

Для составления прогнозов на будущее, рассмотренные тренды неравнозначны по степени адекватности отражения формы прогрессии уровней ряда динамики, поэтому проведем оценку надежности уравнений регрессии с помощью критерия Фишера при α = 0,05 (с вероятностью 0,95).

Рассчитаем теоретические и фактические значения F-критерия для линейного, параболического и экспоненциального трендов.

Для расчета общей и факторных дисперсий для всех видов трендов среднемесячной номинальной начисленной заработной платы работников организаций по экономике Российской Федерации в целом за 2000-2018 гг. построим вспомогательную таблицу 10.6.

Данные для расчета дисперсий среднемесячной номинальной начисленной заработной платы работников организаций по экономике Российской Федерации в целом за 2000-2018 гг.

Годы	Среднемесячная зарплата, тыс. руб., уi,	у_i 2	Линейный тренд		Параболический тренд		Экспоненциальный тренд
Годы	Среднемесячная зарплата, тыс. руб., уi,	у_i 2	y’_i	(y’_i— y ) 2	y’_i	(y’_i— y ) 2	y’_i	(y’_i— y ) 2
1	2	3	4	5	6	7	8	9
2000	2,2	4,84	-1,3	450,13	-2,0	480,29	3,5	267,04
2001	3,2	10,24	1,0	355,66	0,5	373,46	4,1	247,74
2002	4,4	19,36	3,4	272,30	3,1	280,97	4,8	226,08
2003	5,5	30,25	5,7	200,06	5,6	202,39	5,7	201,99
2004	6,7	44,89	8,1	138,93	8,2	137,32	6,6	175,51
2005	8,6	73,96	10,4	88,91	10,6	85,33	7,8	146,89
2006	10,6	112,36	12,8	50,01	13,1	46,03	9,1	116,63
2007	13,6	184,96	15,2	22,23	15,5	18,99	10,6	85,65
2008	17,3	299,29	17,5	5,56	17,9	3,84	12,4	55,45
2009	18,6	345,96	19,9	0,00	20,3	0,17	14,5	28,41
2010	21,0	441,00	22,2	5,56	22,6	7,59	17,0	8,14
2011	23,4	547,56	24,6	22,23	24,9	25,72	19,9	0,00
2012	26,6	707,56	26,9	50,01	27,2	54,17	23,3	11,81
2013	29,8	888,04	29,3	88,91	29,5	92,57	27,3	54,84
2014	32,5	1056,25	31,7	138,93	31,7	140,55	31,9	145,20
2015	34,0	1156,00	34,0	200,06	33,9	197,74	37,4	305,76
2016	36,7	1346,89	36,4	272,30	36,1	263,77	43,7	568,71
2017	39,2	1536,64	38,7	355,66	38,3	338,29	51,2	979,22
2018	43,7	1909,69	41,1	450,13	40,4	420,95	59,9	1600,40
Всего	377,6	10715,74	377,6	3167,60	377,6	3170,15	390,8	5225,47

Общую дисперсию рассчитываем по данным колонок 2 и 3 таблицы 10.6, используя способ разности (формула 5.12),

169,0. Факторную дисперсию по теоретическим значениям рассчитываем по формуле 8.9, а остаточную дисперсию – по формуле 8.11. Напомним, что у = 19,874 тыс. руб.

Для линейного тренда:

факторная дисперсия по данным столбца 5 таблицы 10.6 равна: 166,7;
остаточная дисперсия: = 169,0 – 166,7 = 2,3.

Для тренда, характеризуемого параболой второго порядка:

факторная дисперсия по данным столбца 7 таблицы 10.6 равна: 166,9;
остаточная дисперсия: = 169,0 – 166,9 = 2,1.

Для экспоненциального тренда:

факторная дисперсия по данным столбца 9 таблицы 10.6 равна: 275,0;
остаточная дисперсия: 169,0 – 275,0 = -106,0.

Фактическое значение критерия Фишера для каждого типа тренда определим по формуле 8.15, а значения степеней свободы k1 и k2 дисперсий – по формулам 8.16 и 8.17.

Итак, для линейного тренда при k1 = 2 – 1 = 1 и k2 = 19 – 2 = 17 фактическое значение критерия Фишера равно: 1232,1; теоретическое значение критерия Фишера по данным таблицы 7.10 равно: Fт ≈ 4,4. Так как Fф > Fт (1232,1 > 4,4), то с вероятностью 0,95 можно утверждать, что линейная регрессия адекватно отражает динамику среднемесячной номинальной начисленной заработной платы работников организаций по экономике Российской Федерации в целом в 2000-2018 гг.

Для тренда, характеризуемого параболой второго порядка, при k1 = 3 – 1 = 2 и k2 = 19 – 3 = 16 фактическое значение критерия Фишера равно: 635,8; теоретическое значение критерия Фишера по данным таблицы 7.10 равно: Fт = 3,6. Так как Fф > Fт (635,8 > 3,6), то с вероятностью 0,95 можно утверждать, что и параболическая регрессия адекватно отражает динамику номинальной среднемесячной заработной платы работников организаций России в 2000-2018 гг.

Для экспоненциального тренда фактическое значение критерия Фишера равно отрицательной величине, что не позволяет рассматривать данный тренд на предмет адекватности.

Наиболее адекватно сложившуюся в исследуемом ряду динамики тенденцию отражает линейный тренд (рис. 10.4).

Понятие о колеблемости

При изучении и измерении тенденции динамики колебания уровней играли лишь роль помех, «информационного шума», от которого следовало по возможности абстрагироваться. Однако факторы, обусловливающие колебания уровней временного ряда, как правило, объективны, что предопределяет самостоятельное исследование колеблемости.

Значение изучения колебаний уровней динамического ряда определяется, в первую очередь, тем, что регулирование рыночной экономики, как со стороны государства, так и производителей в значительной мере состоит в регулировании колебаний экономических процессов. Например, колебания урожайности, продуктивности скота, производства сельхозпродукции экономически нежелательны, так как потребность в продукции агрокомплекса постоянна. Эти колебания следует уменьшать, применяя прогрессивную технологию и другие меры. Напротив, сезонные колебания объемов производства зимней и летней одежды, обуви, мороженного, прохладительных напитков и т.п. – необходимы и закономерны, так как спрос на эти товары тоже колеблется по сезонам и равномерное производство требует лишних затрат на хранение запасов.

Типы колебаний статистических показателей весьма разнообразны. Три основных типа колебаний: пилообразная или маятниковая колеблемость, циклическая долгопериодическая колеблемость и случайно распределенная во времени колеблемость показаны на рис. 10.5, на котором хорошо видны их свойства и отличия друг от друга.

Пилообразная или маятниковая колеблемость состоит в попеременных отклонениях уровней ряда от тренда то в одну, то в другую сторону. Такие колебания можно наблюдать в динамике урожайности при невысоком уровне агротехники: высокий урожай при благоприятных условиях погоды выносит из почвы больше питательных веществ, чем их образуется естественным путем за год, следовательно, почва обедняется, что вызывает снижение следующего урожая ниже тренда, который выносит меньше питательных веществ, чем образуется за год и плодородие возрастает, и т.д.

Циклическая долгопериодическая колеблемость свойственна, например, солнечной активности (10-летние циклы), а, значит, и связанным с ней на Земле процессами – урожайности отдельных культур в ряде районов, некоторым заболеваниям людей, растений и т.п. Для этого типа колеблемости характерны редкая смена знаков отклонений от тренда и кумулятивный эффект отклонений одного знака, который может тяжело отражаться на экономике. Зато эти колебания хорошо прогнозируются.

Случайно распределенная во времени колеблемость – нерегулярная, хаотическая. Она может возникнуть при наложении множества колебаний с разными по длительности циклами. Но может возникать и в результате столь же хаотической колеблемости главной причины существования колебаний, например суммы осадков за летний период, температуры воздуха в среднем за месяц в разные годы.

На предположении, что параметры тренда и колебаний сохраняются до прогнозируемого периода, т.е. на экстраполяции, основана методика статистического прогноза по тренду и колеблемости. Экстраполяция справедлива, если система развивается эволюционно в достаточно стабильных условиях.

Сезонные колебания

Особого внимания при изучении колеблемости заслуживают сезонные колебания. Сезонные колебания строго цикличны – повторяются через каждый год.

Сезонными колебаниями называют периодические колебания уровней, возникающие под влиянием смены времени года.

Роль сезонных колебаний велика в агропромышленном комплексе, торговле многими товарами, заболеваемости, строительстве, деятельности рекреационных учреждений, на транспорте.

Сезонность наносит большой ущерб народному хозяйству, связанный с неравномерным использованием оборудования и рабочей силы, с неравномерной загрузкой транспорта и т.д.

Для изучения сезонных колебаний необходимо иметь уровни за каждый месяц (квартал) года, а, чтобы сгладить случайные колебания и точнее измерить сезонные, их изучают за несколько лет.

Уровень сезонности и форма «сезонной волны» изучаются с помощью индексов сезонности.

Способы определения индексов сезонности зависят от наличия или отсутствия основной тенденции.

Индивидуальные индексы сезонности показывают, во сколько раз фактический уровень ряда в момент (интервал) времени t больше или меньше среднего уровня, соответствующего данному моменту (интервалу) времени, либо уровня, вычисляемого по уравнению тенденции f(t).

Индекс сезонности (I_t,сез), если тренда нет или он незначителен, рассчитывают по формуле:

где y _t – средний уровень показателя по одноименным месяцам (кварталам) за ряд лет;
t – номер месяца (квартала);
y _o – общий средний уровень показателя за период исследования.

При наличии тренда индекс сезонности определяется на основе методов, исключающих влияние тенденции. Порядок расчета индекса сезонности при наличии тренда следующий:

1) для каждого уровня (y_t,i) определяются выровненные значения по тренду f(t) = y_t,i;

2) рассчитываются индивидуальные индексы уровней исследуемых показателей для каждого месяца (квартала) каждого года по формуле:

3) индексы сезонности определяются по формуле:

где n – число лет (i = 1, …, n).

Совокупность исчисленных для каждого месяца годового цикла индексов сезонности характеризует «сезонную волну» развития изучаемого явления во внутригодовой динамике.

Пример расчета индексов сезонности при условии отсутствия четко выраженной тенденции изменения уровней ряда динамики

По данным таблицы 10.7 необходимо проанализировать внутригодовую динамику потерь рабочего времени на предприятиях города N по причине неявок персонала на работу в 2016-2018 гг.

Данные о потерях рабочего времени на предприятиях города N по причине неявок персонала на работу в 2016-2018 гг., чел.-дн. (данные условные)

Годы	Месяцы
Годы	январь	февраль	март	апрель	май	июнь	июль	август	сентябрь	октябрь	ноябрь	декабрь
2016	186	165	192	80	48	54	52	78	35	64	221	175
2017	174	180	204	123	50	46	68	84	43	58	179	198
2018	182	174	165	126	68	42	47	65	54	74	187	170

Проверим ряд динамики потерь рабочего времени на предприятиях города N в 2016-2018 гг. на наличие тренда. Для этого рассчитаем годовые потери рабочего времени, т.е. проведем укрупнение месячных уровней в годовые, и определим темпы роста. Расчет базисных темпов роста в данном примере соответствует методике проверки ряда динамики на наличие тренда с помощью критерия Кокса и Стюарта.

Просуммировав месячные уровни, получили потери рабочего времени в 2016 г. – 1350 чел.- дн.; в 2017 г. – 1407 чел.-дн.; в 2018 г. – 1354 чел.-дн.

Базисные темпы роста потерь рабочего времени на предприятиях города N в 2016-2018 гг., рассчитанные по формуле 9.5, составили 100,3 % (1354 : 1350 × 100); цепные темпы роста потерь рабочего времени внутри этого периода, рассчитанные по формуле 9.6, составили в 2017 г. по сравнению с 2016 г. 104,2 % (1407 : 1350 × 100), а в 2018 г. по сравнению с 2017 г. – 96,2 % (1354 : 1407 × 100).

Рассчитанные значения темпов роста годовых уровней ряда динамики потерь рабочего времени на предприятиях города N в 2016-2018 гг., позволяют сделать вывод, что изучаемое явление не имеет четко выраженной тенденции к росту, поэтому индексы сезонности рассчитываются по формуле 10.19.

Средние уровни потерь рабочего времени по одноименным месяцам за три года ( y _t) и их общий среднемесячный уровень за период исследования ( y _o) найдем по формуле 4.21.

Результаты расчетов соответствующих индексов сезонности представим в таблице 10.8.

Результаты расчета индексов сезонности внутригодовой динамики потерь рабочего времени на предприятиях города N по причине неявок персонала на работу в 2016-2018 гг.

Годы	Месяцы												Всего, чел.-дн.
Годы	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII	Всего, чел.-дн.
2016	186	165	192	80	48	54	52	78	35	64	221	175	1350
2017	174	180	204	123	50	46	68	84	43	58	179	198	1407
2018	182	174	165	126	68	42	47	65	54	74	187	170	1354
Итого, чел.-дн.	542	519	561	329	166	142	167	227	132	196	587	543	4111
y _t, чел.-дн.	180,7	173,0	187,0	109,7	55,3	47,3	55,7	75,7	44,0	65,3	195,3	181,0	х
I_t,сез, %	158,2	151,5	163,8	96,0	48,5	41,4	48,7	66,3	38,5	57,2	171,3	158,5	х

Расчеты y _t проводились следующим образом: y _I = 542 : 3 = 180,7 чел.-дн.; y _II = 519 : 3 = 151,5 чел.-дн.; и т.д.; y _o = 4111 : 36 = 114,2 чел.-дн.

Наглядное представление о сезонной волне потерь рабочего времени на предприятиях города N дает график на рис. 10.4.

На рис. 10.4 четко видно, что наибольшие потери рабочего времени на предприятиях города N по причине неявок персонала на работу в 2016-2018 гг. приходились на март и ноябрь – пик сезонной заболеваемости острыми респираторными заболеваниями. Ярко выраженный спад потерь рабочего времени по причине неявок работников на предприятия города N приходился на период с мая по октябрь, что соответствует общей тенденции динамики потерь рабочего времени в экономике страны.

Пример расчета индексов сезонности при условии наличия тренда

По данным таблицы 10.9 необходимо проанализировать внутригодовую динамику потерь рабочего времени на предприятиях города К по причине неявок персонала на работу в 2016- 2018 гг.

Просуммировав внутригодовые уровни потерь рабочего времени на предприятиях города К по годам (2016 г. – 3010 чел.-дн.; 2017 г. – 2760 чел.-дн.; 2018 г. – 2510 чел.-дн.), видим наличие ярко выраженной тенденции их снижениях их уровня.

Данные о потерях рабочего времени на предприятиях города К по причине неявок персонала на работу в 2016-2018 гг., чел.-дн. (данные условные)

Годы	Месяцы
Годы	январь	февраль	март	апрель	май	июнь	июль	август	сентябрь	октябрь	ноябрь	декабрь
2016	420	560	300	270	110	20	50	240	180	180	380	300
2017	340	480	250	260	180	70	40	170	130	220	370	250
2018	400	290	360	240	90	30	40	110	150	210	350	240

Для исключения влияния выявленной тенденции при анализе внутригодовой динамики потерь рабочего времени на предприятиях города К используем метод, основанный на аналитическом выравнивании уровней ряда.

Выравнивание уровней рассматриваемого ряда динамики по месяцам 2016-2018 гг. проведем, используя уравнение прямой (формула 10.4). Параметры линейного тренда рассчитаем по данным таблицы 10.10 упрощенным способом, выбрав начало отсчета t таким образом, чтобы было выполнено условие Σt = 0.

Данные для расчета параметров линейного тренда потерь рабочего времени на предприятиях города К по причине неявок персонала на работу по месяцам 2016-2018 гг.

Период	y_t,i, чел.-дн.	t	y_t,i×t	t 2	y’_t,i, чел.-дн.	i_t,i, %
1	2	3	4	5	6	7
Январь 2016 г.	420	-35	-14700	…	279	150,5
Февраль 2016 г.	560	-33	-18480	…	276	202,8
Март 2016 г.	300	-31	-9300	…	273	109,7
Апрель 2016 г.	270	-29	-7830	…	271	99,8
Май 2016 г.	110	-27	-2970	…	268	41,1
Июнь 2016 г.	20	-25	-500	…	265	7,5
Июль 2016 г.	50	-23	-1150	…	262	19,1
Август 2016 г.	240	-21	-5040	…	259	92,5
Сентябрь 2016 г.	180	-19	-3420	…	257	70,1
Октябрь 2016 г.	180	-17	-3060	…	254	70,9
Ноябрь 2016 г.	380	-15	-5700	…	251	151,4
Декабрь 2016 г.	300	-13	-3900	…	248	120,9
Январь 2017 г.	340	-11	-3740	…	245	138,5
Февраль 2017 г.	480	-9	-4320	…	243	197,9
Март 2017 г.	250	-7	-1750	…	240	104,3
Апрель 2017 г.	260	-5	-1300	…	237	109,7
Май 2017 г.	180	-3	-540	…	234	76,9
Июнь 2017 г.	70	-1	-70	…	231	30,3
Июль 2017 г.	40	1	40	…	229	17,5
Август 2017 г.	170	3	510	…	226	75,3
Сентябрь 2017 г.	130	5	650	…	223	58,3
Октябрь 2017 г.	220	7	1540	…	220	100,0
Ноябрь 2017 г.	370	9	3330	…	217	170,2
Декабрь 2017 г.	250	11	2750	…	215	116,5
Январь 2018 г.	400	13	5200	…	212	188,9
Февраль 2018 г.	290	15	4350	…	209	138,8
Март 2018 г.	360	17	6120	…	206	174,6
Апрель 2018 г.	240	19	4560	…	203	118,0
Май 2018 г.	90	21	1890	…	201	44,9
Июнь 2018 г.	30	23	690	…	198	15,2
Июль 2018 г.	40	25	1000	…	195	20,5
Август 2018 г.	110	27	2970	…	192	57,2
Сентябрь 2018 г.	150	29	4350	…	189	79,2
Октябрь 2018 г.	210	31	6510	…	187	112,5
Ноябрь 2018 г.	350	33	11550	…	184	190,4
Декабрь 2018 г.	240	35	8400	…	181	132,6
Всего	8280	0	-21360	15540	8280	х

По формуле 10.10 и данным столбца 2 таблицы 10.10: а = 8280 : 36 = 230 чел.-дн.

По формуле 10.11 и данным столбцов 3 и 4 таблицы 10.10: b = -21360 : 15540 = -1,4 чел.-дн.

В соответствии с формулой 10.4 уравнение прямой выровненного ряда динамики потерь рабочего времени на предприятиях города К по причине неявок персонала на работу за 2016-2018 гг. имеет вид: y’_t = 230 — 1,4×t.

На основании этого уравнения рассчитаем значения уровней выровненного ряда динамики y’_t,i (см. столбец 6 табл. 10.10) и сопоставим с ними исходные уровни ряда y_t,i, т. е. найдем индивидуальные индексы уровней исследуемых показателей для каждого квартала каждого года i_t,i, (см. столбец 7 табл. 10.10).

Индексы сезонности для каждого квартала определяем по формуле 10.21.

Так, для января индекс сезонности равен: 1,593 (159,3%); для февраля – 1,798 (179,8%); и т.д. Результаты расчетов индексов сезонности сведены в таблице 10.11.

Результаты расчета индексов сезонности внутригодовой динамики потерь рабочего времени на предприятиях города К по причине неявок персонала на работу в 2016-2018 гг.

Месяцы	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII
I_t,сез, %	159,3	179,8	129,5	109,2	54,3	17,7	19,0	75,0	69,2	94,5	170,7	123,3

Наглядное представление о внутригодовой динамике потерь рабочего времени на предприятиях города К по месяцам рассмотренного периода дает графическое изображение «сезонной волны» (рис. 10.4), отражающее наиболее высокие уровни потерь рабочего времени в феврале и ноябре.

источники:

http://math.semestr.ru/trend/prim5.php

http://be5.biz/ekonomika/s015/10.html