Выражения симметрические относительно корней квадратного уравнения презентация

С в о й с т в а к о р н е й к в а д р а т н о г о у р а в н е н и я. — презентация

Презентация была опубликована 7 лет назад пользователемАнтонина Сазонова

Похожие презентации

Презентация на тему: » С в о й с т в а к о р н е й к в а д р а т н о г о у р а в н е н и я.» — Транскрипт:

2 С в о й с т в а к о р н е й к в а д р а т н о г о у р а в н е н и я

3 Теорема Виета Теорема Виета Выражения, симметрические относительно корней квадратного уравнения Выражения, симметрические относительно корней квадратного уравнения Разложение квадратного трехчлена на множители Разложение квадратного трехчлена на множители Exit

4 Приведённые квадратные уравнения Приведённые квадратные уравнения Теорема Виета Теорема Виета Теорема обратная теореме Виета Теорема обратная теореме Виета Франсуа Виет( ) Франсуа Виет( )

5 Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно равно свободному члену. Доказательство

6 Особого внимания заслуживают квадратные уравнения в которых первый коэффициент равен единице. Такие уравнения называются приведёнными. Если в приведенном квадратном уравнении обозначить второй коэффициент буквой p, а свободный член буквой q, то уравнение будет иметь вид

7 Рассмотрим приведённое квадратное уравнение x 2 +px+q=0 Если дискриминант этого уравнения больше нуля, то уравнение имеет два корня: Далее

8 Найдём сумму корней: Сумма корней –p, т.е. второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком: x 1 +x 2 =-p Найдём прозведение корней: Произведение корней равно q, т.е. свободному члену: x 1 x 2 =p Далее

9 Если дискриминант квадратного уравнения равен нулю, то уравнение имеет один корень. Его можно найти по формуле корней В дальнейшем в некоторых случаях целесообразно считать, что такое уравнение имеет не один, а два разных корня: и Тогда и в этом случае теорема Виета останется верной. Сложив x 1 и x 2, получим-p: Далее

10 Перемножив x 1 и x 2, получим P 2 /4. Но так как D=p 2 -4q=0, то P 2 =4q, а поэтому: Теорема доказана.

11 Франсуа Виет ( ), французский математик, по профессии юрист; ввел бук­ венные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнения «(Введение в аналитическое искусство», 1591). Ему принадлежит установление единообразного приема решения уравнений 2, 3 и 4-й степеней. Виет получил существенные результаты в тригонометрии, астрономии, криптографии; с появлением его работ в научных кругах Европы стали использоваться десятичные дроби. Среди своих открытий Виет особенно высоко ценил установленную им зависимость между корнями и коэффициентами уравнений.

12 Для приведенного квадратного уравнения справедлива тео рема, обратная теореме Виета: если числа т и п таковы, что их сумма равна -р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х 2 + рх + q = О. Доказательство

13 Пусть х 2 + рх + q = о – приведенное квадратное уравнение, а числа m и n такие, что m+n=-p и mn=q. Подставив в это уравнение вместо p равное ему число –(m+n), вместо q равное ему число mn, получим равносильное ему уравнение: x 2 -(m+n)x+mn=0 Преобразуем левую часть уравнения: x 2 -mx-nx+mn=0; x(x-m)-n(x-m)=0; (x-m)(x-n)=0.

14 Отсюда получаем: x-m=0 или x-n=0, x 1 =m, x 2 =n. Значит, числа m и n являются корнями уравнения: x 2 +px+q=0. —Для не приведенного квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 теорема, обратная теореме Виета, формулируется так: -если числа m и n таковы, что и, то эти числа являются корнями уравнения ax 2 +bx+c=0.

15 Выражение с двумя переменными называется симметрическим относительно этих переменных, если при перестановки этих переменных получается тождественно равное ему выражение. Пример

16 Рассмотрим выражения с двумя переменными: а b и b а, Если в каждом из них переставим переменные, т.е. всюду вместо а поставим b и вместо и вместо b поставим а, то получим тождественно равные им выражения:

17 1) Определение Определение 2) Теорема Теорема 3) Доказательство Доказательство

18 Корнем квадратного трёхчлена называется значение переменной, при котором значение квадратного трехчлена равно нулю. х = 2 При х = 2 квадратный трехчлен 3x 2 -7x+2 обращается в нуль.

19 Если x 1 и x 2 – корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то ax 2 + bx + c = a(x — x 1 )(x — x 2 ). Доказательство

20 Корни x 1 и x 2 квадратного трехчлена ax 2 +bx+c являются корнями квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0. Применяя теорему Виета, получим: Отсюда

21 Подставим получившиеся выражения вместо b и c в квадратный трехчлен и выполним преобразования: Значит Доказанная теорема позволяет, найдя корни квадратного трехчлена, записать его в виде произведения первого коэффициента, разности переменной и одного корня и разности переменной и другого коня. Теорема доказана

Урок алгебры в 8-м классе «Выражения, симметрические относительно корней квадратного уравнения»

Разделы: Математика

• Систематизация знаний, закрепление умений и навыков решения квадратных уравнений;
• Развитие познавательной активности учащихся, навыков самостоятельной деятельности учащихся, самоконтроля;
• Воспитание культуры умственного труда, умения критически относиться к результатам своей деятельности.

ХОД УРОКА

I. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ ЭТАП

Учащимся предлагаются несколько уравнений и вопросы к ним:

2) ТВОРЧЕСКОЕ «ПОГРУЖЕНИЕ»:

Учащимся предлагается творческое задание:

– При каких значениях a,сумма корней уравнения х 2 – 2а(х – 1) – 1 =0 равна сумме квадратов его корней?

II.ОСНОВНОЙ ЭТАП УРОКА

Ребятам предстоит пройти 3 тура «математических испытаний».

1 тур:

Класс делится на 4-5 групп. Каждой группе предлагается выбрать карточки с разноуровневыми заданиями, имеющими разную балльную оценку за выполнение задания.

Жёлтые: (стандартные задания)

При каком значении q сумма квадратов корней уравнения х 2 — 8х + q = 0 равна 40?

При каком значении q квадрат разности корней уравнения х 2 – 3х + q = 0 равен 169?

Известно, что х₁ и х₂ – корни уравнения х 2 + pх + q = 0. Выразите через p и q сумму х₁х₂ 3 + х₁ 3 х₂.

Пусть х₁ и х₂ – корни уравнения х 2 + pх + q = 0. Выразите через p и q сумму х₁ 2 х₂ 4 + х₁ 4 х₂².

Зелёные: (задания средней сложности)

Найдите корни уравнения и коэффициент p, если известно, что квадрат разности корней уравнения х 2 + pх + 119 = 0 равен 100.

Найдите корни уравнения и коэффициент p, если известно, что квадрат разности корней уравнения х 2 + pх + 117 = 0 равен 16.

Известно, что сумма квадратов корней уравнения 6х 2 – 5х + с = 0 равна 13/36. Найдите корни уравнения и коэффициент с.

Известно, что х₁ и х₂ – корни уравнения х 2 +pх +q = 0. Выразите через p и q сумму √х₁ + √х₂.

Известно, что уравнение х 2 + pх + q = 0 имеет корни х₁ и х₂ . Составьте квадратное уравнение, имеющее корни х₁ 2 и х₂ 2 .

Красные: (сложные задания)

Найдите значение m, при котором сумма квадратов корней уравнения х 2 +(m – 2)х – m – 3 = 0 равна 18. Сделай проверку.

Докажите, что при любом m ≠ 1 уравнение х 2 – (m + 1)х + m = 0 имеет два корня. Выразите через m сумму четвёртых степеней корней.

Найдите p и q, зная, что уравнение х 2 – p2х + pq = 0 имеет корни х₁ + 1 и х₂ + 1, где х₁ и х₂ – корни уравнения х 2 + pх + q = 0.

2 тур:

Каждая группа выдвигает по одному учащемуся для выполнения индивидуального задания:

Один из корней уравнения 5х 2 – 11х + m= 0 на 1 больше другого. Найдите m.

Разность корней уравнения 10х 2 – 6х + с = 0 равна 3. Найдите с.

Один из корней уравнения 4х 2 +bх +c = 0 равен 0,5, а другой свободному члену. Найдите b и с.

Известно, что х₁ и х₂ – корни уравнения 3х 2 + 2х + k = 0, причём 2х₁ = -3х₂ . Найдите k.

Известно, что х₁ и х₂ – корни уравнения х 2 – 8х + k = 0, причём 3х₁ + 4х₂ = 29. Найдите k.

3 тур: творческий (работа в группах)

Найди ошибку
3х 2 – 8х + 5 = 0
Д/4 = 16 – 15 = 1 > 0
х₁ = 3; х₂ = 7/3

Составь уравнение, если его корнями являются числа -2 и 3.

III. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП УРОКА:

Рефлексия: Анализ в группах деятельности её участников. Выступление «спикеров» от каждой группы с оценкой своих достижений, трудностей. Что учащиеся узнали сегодня на уроке, какое задание вызвало затруднения?

Презентация по математике на тему:»Симметрические уравнения и системы уравнений в подготовке к ОГЭ по математике»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

«Симметрические уравнения и системы уравнений в подготовке к ОГЭ по математике» Выполнил: Мрыхина Маргарита Владимировна, учитель математики 1 категории МОУ «Лицей № 3 им. П.А.Столыпина г. Ртищево Саратовской области»

«Симметрия, как бы широко или узко мы не понимали это слово, есть идея, с помощью которой человек пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство». Герман Вейль

Проблема: выяснить, как проявляется симметрия в алгебраических выражениях, уравнениях и системах уравнений Цели : ―Рассмотреть, какие выражения, уравнения и системы уравнений являются симметричными и каковы их способы решения. ―потренироваться в решении симметрических уравнений и систем уравнений Актуальность моего исследования состоит в том, что те знания, которые я получил, я могу применять для решения более сложных задач в математике при подготовке к ОГЭ Задачи: ―изучить необходимую литературу по выбранной теме ―ввести понятие симметрических многочленов, уравнений и систем уравнений ―рассмотреть решение практических заданий с симметрическими многочленами, рассмотреть решение симметрических уравнений и систем уравнений ― подготовить презентацию и поделиться ею с одноклассниками

Многочлен от x и y называют симметрическим, если он не изменяется при замене x на y, а y на x. Многочлен х2у+ху2— симметрический. А многочлен x3 + 3y2 не является симметрическим: при замене x на y, а y на x он превращается в многочлен y3 + 3×2, который не совпадает с первоначальным. x + y = y + x xy = yx (а+b)1= a+b (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

Треугольник Паскаля — арифметический треугольник, образованный биномиальными коэффициентами. Назван в честь Блеза Паскаля.

Простейшие симметрические выражения относительно корней квадратного уравнения встречаются в теореме Виета. Это позволяет использовать их при решении некоторых задач, относящихся к квадратным уравнениям. Рассмотрим пример: Квадратное уравнение х2+рх+q=0 имеет корни х1 и х2. Не решая этого уравнения, выразить через р и q сумму х12+х22. Выражение х12+х22 ― симметрическое относительно х1 и х2. (х1+х2)2= х12+ 2х1х2+ х22 х12+х22= (х1+х2)2―2х1х2 По теореме Виета х1+х2=―р, х1х2=q, тогда получим х12+х22=р2―2q

Симметрические уравнения и способы их решения Уравнение вида (х+а)(х+b)(х+с)(х+d)=А, где а+d=с+b называется симметрическим, например (х+1)(х+2)(х+4)(х+5)=40. Решение такого уравнения заключается в следующем: надо перемножить скобки, для которых выполняется условие а+d=c+b, т.е. (х+1) умножим на (х+5), а (х+2) умножим на (х+4), тогда уравнение примет вид: (х2+6х+5)(х2+6х+8)=40 Пусть у=х2+6х, тогда получим (у+5)(у+8)=40, у2+9у+40−40=0, у2+9у=0 у(у+9)=0, откуда у=0 и у=−9 Произведя обратную замену, получим два уравнения х2+6х=0 и х2+6х=−9, решая которые получим что х1=0, х2=−6, х3=−3. Таким образом, корнями исходного уравнения являются числа: −6; −3; 0.

Уравнения вида ах3+bх2+bх+а=0, где а≠0 также называется симметрическим . Часто решение таких уравнений сводится к преобразованию левой части этого уравнения в произведение. Рассмотрим решение уравнения х3+2х2+2х+1=0 (х3+1)+(2х2+2х)=0, (х+1)(х2−х+1)+2х(х+1)=0, (х+1)(х2−х+1+2х)=0 (х+1)(х2+х+1)=0, откуда получим, что корнем уравнения является число −1. При решении симметрических уравнений полезно знать следующее: У любого симметрического уравнения нечетной степени всегда есть корень равный ―1. У симметрических уравнений корней, равных нулю нет.

Симметрические системы уравнений Система называется симметрической, если f(x, y) и g(x, y) — симметрические многочлены. Для решения симметрических систем пользуются заменой u = x + y, v = xy. Решим систему уравнений: Введем замену х+у=u, ху=v, получим 2u=12, u=6, тогда v=5. Выполним обратную замену: x=6―у, тогда ( 6―у )·у=5, решая это уравнение, получим у=5 и у=1, тогда соответственно х=1, у=5. Ответ: (1;5), (5;1)

Рассмотрим решение системы : Заменим х+у = u, ху = v, получим Решая первое уравнение системы, получим v= ―4 и v=―3, тогда соответственно u= ―1 и u= ―2. Выполняя обратную замену, получим совокупность систем и Ответ: (1;―3), (―3; 1), ( ; ), ( ; )

Рассмотрим следующую систему: Введем замену х+у=u, ху=v (х+у)2=х2+2ху+у2 х2+у2= (х+у)2−2ху=u2−2v, тогда получим U2+u-72=0, откуда u=8 u= -9, тогда соответственно v=15, u=32. Делая обратную замену, получим совокупность систем и Ответ: (3 ; 5 ), ( 5; 3 )

Выполняя данную работу, я узнал, что такое симметрические многочлены, уравнения, системы уравнений, остановился на решении некоторых симметрических уравнений и систем уравнений. Укрепил свои знания в решении симметрических уравнений и систем уравнений. Это позволит мне более качественно подготовится к выполнению заданий 2 части ОГЭ по математике. Практическая значимость данной работы заключается в следующем: я, изучив данный вопрос, получил дополнительные знания в области математики, укрепил свой интерес к этой науке. Работа по данной теме оказалась интересной и полезной.

Литература Болтянский В.Г. и др. Симметрия в алгебре. — М.: Наука, 1967. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. — М.: Наука, 1971. Черкасов О.Ю. и др. Математика: Справочник для старшеклассников и поступающих в вузы. — М.: АСТ-Пресс, 2001.