Выразить переменную из уравнения sin

Выразить переменную из уравнения

При решении систем линейных уравнений с многими переменными возникает частая необходимость выражения из уравнения той или иной переменной.

Как это делается? Возьмем для примера уравнение 2x+10y+3z=10. В нем наличествуют три переменных X, Y, Z. При помощи онлайнового калькулятора в зависимости от потребности выражения той или иной переменной уравнение 2x+10y+3z=10 преобразуется:
— через z в уравнение вида z = (-2x-10y+10)/(+3);
— через y в уравнение вида y = (-2x-3z+10)/(+10);
— через x в уравнение вида x= (-10y-3z+10)/(+2).

Полученное значение переменной X, Y или Z можно подставлять в следующее уравнение системы. В результате в нем будет на одну неизвестную переменную меньше. Выражение переменной из уравнений требуется при решении задач линейного программирования, направленных на выяснение значений показателей эффективности (целевой функции) в самых различных направлениях.

Решение систем линейных уравнений требуется для целей определения важных показателей сложных практических производственных и иных задач:
— загрузки оборудования,
— планирования производств,
— составления пищевого рациона откармливаемых животных,
— использования сырья и пр.

Выразить переменную из уравнения sin

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению.

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = — 1, y ₂ = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла.

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

Универсальная тригонометрическая подстановка, вывод формул, примеры

Данная статья посвящена разбору такой темы, как универсальная тригонометрическая подстановка. Суть данного термина состоит в том, что мы находим значение любой тригонометрической функции ( sin α , cos α , t g α , c t g α ) через формулу тангенса половинного угла. Этот вариант намного проще и рациональнее, так как выполнять дальнейшие вычисления легче без корней, а с целыми числами.

Мы подробно рассмотрим этот раздел. Для начала мы расскажем вам о формулах тангенса половинного угла, которой мы будем часто пользоваться. После мы перейдем к практическому применении формул, рассмотрим несколько примеров использования универсальной тригонометрической подстановки.

Универсальная тригонометрическая подстановка для sin α , cos α , t g α , c t g α

Во введении мы рассказали, что основной темой этого раздела станет основная тригонометрическая подстановка. Для начала запишем и разберем формулы, с помощью которых можно выразить sin α , cos α , t g α , c t g α через тангенс половинного угла α 2 .

sin α = 2 · t g α 2 1 + t g 2 α 2 , cos α = 1 — t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 · t g α 2 1 — t g 2 α 2 , c t g = 1 — t g 2 α 2 2 · t g α 2

Указанные формулы будут правильны для всех углов α . Для работы в задаче должен быть определен входящие тангенсы и котангенсы.

Формулы для sin α и cos α , sin α = 2 · t g α 2 1 + t g 2 α 2 и cos α = 1 — t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 имеют место для a ≠ π + 2 π · z , где z – любое целое число, так как при a = π + 2 π · z , t g α 2 не определен.

Формула t g α = 2 · t g α 2 1 — t g 2 α 2 справедлива для α ≠ π 2 + π · z и a ≠ π + 2 π · z , так как при a = π 2 + π · z не определен t g α Знаменатель дроби обращается в нуль, а при α = π + 2 π · z не определен t g α 2 .

Формула c t g = 1 — t g 2 α 2 2 · t g α 2 , выражающая c t g через t g α 2 , справедлива для a ≠ π · z , так как при a = π · z не определен c t g , при a = π + 2 π · z не определен t g α 2 , а при α = 2 π · z знаменатель дроби обращается в нуль.

Вывод формул

Разберем вывод формул, выражающих sin α , cos α , t g α , c t g α через тангенс половинного угла. Начнем с формул для синуса и косинуса. Представим синус и косинус по формулам двойного угла как sin α = 2 · sin α 2 · cos α 2 и cos α = cos 2 α 2 — sin 2 α 2 соответственно. Теперь выражения 2 · sin α 2 · cos α 2 и cos 2 α 2 — sin 2 α 2 запишем в виде дробей со знаменателем 1 как 2 · sin α 2 · cos α 2 1 и cos 2 α 2 — sin 2 α 2 1 . Воспользуемся основным тождеством из тригонометрии и заменим единицы в знаменателе на сумму квадратов sin и cos , после чего получаем 2 · sin α 2 · cos α 2 sin 2 α 2 + cos 2 α 2 и cos 2 α 2 — sin 2 α 2 sin 2 α 2 + cos 2 α 2

Для решения данного выражения необходимо числитель и знаменатель полученных дробей разделить на cos 2 α 2 (его значение не равно нулю при условии α ≠ π + 2 π · z ). Вся формула будет выглядеть так sin α = 2 · sin α 2 · cos α 2 = 2 · sin α 2 · cos α 2 sin 2 α 2 + cos 2 α 2 = 2 · sin α 2 · cos α 2 cos 2 α 2 sin 2 α 2 + cos 2 α 2 cos 2 α 2 = 2 · sin α 2 cos α 2 sin 2 α 2 с os 2 α 2 + cos 2 α 2 с os 2 α 2 = 2 · t g α 2 t g 2 α 2 + 1

и cos α = cos 2 α 2 — sin 2 α 2 = c os 2 α 2 — sin 2 α 2 1 = c os 2 α 2 — sin 2 α 2 sin 2 α 2 + c os 2 α 2 = = cos 2 α 2 — sin 2 α 2 c os 2 α 2 sin 2 α 2 + c os 2 α 2 c os 2 α 2 = cos 2 α 2 cos 2 α 2 — sin 2 α 2 cos 2 α 2 sin 2 α 2 c os 2 α 2 + cos 2 α 2 c os 2 α 2 = 1 — t g 2 α 2 t g 2 α 2 + 1

Мы закончили вывод формул для sin и cos , завершив все вычислительные действия.

Следующий шаг – это вывод определенных формул для нахождения t g и c t g .

Взяв за основу описанные выше примеры t g α = sin α cos α и c t g α = cos α sin α , мы сразу получаем формулы, которые выражают тангенс и котангенс через тангенс половинного угла:

t g α = sin α cos α = 2 · t g α 2 1 + t g 2 α 2 1 — t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 = 2 · t g α 2 1 — t g 2 α 2 ;

c t g α = cos α sin α = 1 — t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 2 · t g α 2 1 + t g 2 α 2 = 1 — t g 2 α 2 2 · t g α 2 ;

В этом разделе мы нашли все формулы, которые нам потребуются для выражения основных тригонометрических функций.

Примеры использования в задачах и упражнениях

Для начала рассмотрим пример применения универсальной тригонометрической подстановки при преобразовании выражений.

Необходимо привести 2 + 3 · cos 4 α sin 4 α — 5 к примеру, который содержит только одну функцию t g 2 α .

В данном упражнении мы также воспользуемся универсальной подстановкой, которая является одним из важных правил тригонометрии. Применим к косинусу и синусу 4 α те самые формулировки, которые выражают основные функции через тангенс половинного угла. Получив сложное выражение, нам остается только его упростить.

2 + 3 · cos 4 α sin 4 α — 5 = 2 + t g 2 2 α t g 2 2 α + 1 2 · t g 2 α t g 2 2 α + 1 — 5 = 2 · t g 2 2 α + 2 + 3 — 3 · t g 2 2 α t g 2 2 α + 1 2 · t g 2 α — 5 · 2 · t g 2 2 α — 5 t g 2 2 α + 1 = t g 2 2 α — 5 5 · t g 2 2 α — 2 · t g 2 α + 5

2 + 3 · cos 4 α sin 4 α — 5 = t g 2 2 α — 5 5 · t g 2 2 α — 2 · t g 2 α + 5 .

Вспомним, что во введении мы подробно рассказали, как менять sin α , cos α , t g α , c t g α в частных случаях. Она заключается в том, чтобы преобразовать первоначальное рациональное выражение, содержащее sin , cos , t g и c t g , к выражению с одной функцией благодаря формуле. Это намного проще и понятнее. Мы выражаем все формулы через t g половинного угла. Данное преобразование обязательно пригодится при решении разнообразных уравнений и задач, интегрировании основных функций sin α , cos α , t g α , c t g α .