Вытекание жидкости из сосуда дифференциальные уравнения

Вытекание жидкости из сосуда дифференциальные уравнения

Рассмотрим различные случаи истечения жидкости из резервуаров, баков, котлов через отверстия и насадки (коротки трубки различной формы) в атмосферу или пространство, заполненное газом или той же жидкость. В процессе такого истечения запас потенциальной энергии, которым обладает жидкость, находящаяся в резервуаре, превращается в кинетическую энергию свободной струи.

Основным вопросом, который интересует в данном случае, является определение скорости истечения и расхода жидкости для различных форм отверстий и насадков.

Рассмотрим большой резервуар с жидкостью под давлением Р₀, имеющий малое круглое отверстие в стенке на достаточно большой глубине Н₀ от свободной поверхности (рис.5.1).

Степень сжатия оценивается коэффициентом сжатия.

где S_с и S_о — площади поперечного сечения струи и отверстия соответственно; d_с и d_о — диаметры струи и отверстия соответственно.

Скорость истечения жидкости через отверстие такое отверстие

где Н — напор жидкости, определяется как

φ- коэффициент скорости

где α — коэффициент Кориолиса;
ζ- коэффициент сопротивления отверстия.

Расход жидкости определяется как произведение действительной скорости истечения на фактическую площадь сечения:

Произведение ε и φ принято обозначать буквой и называть коэффициентом расхода, т.е. μ = εφ.

В итоге получаем расход

где ΔР — расчетная разность давлений, под действием которой происходит истечение.

При помощи этого выражения решается основная задача — определяется расход.

Значение коэффициента сжатия ε, сопротивления ζ, скорости φ и расхода μ для круглого отверстия можно определить по эмпирически построенным зависимостям. На рис.5.3 показаны зависимости коэффициентов ε, ζ и μ от числа Рейнольдса, подсчитанного для идеальной скорости

При истечении струи в атмосферу из малого отверстия в тонкой стенке происходит изменение формы струи по ее длине, называемое инверсией струи (рис.5.4). Обуславливается это явление в основном действием сил поверхностного натяжения на вытекающие криволинейные струйки и различными условиями сжатия по периметру отверстия. Инверсия больше всего проявляется при истечении из некруглых отверстий.

Несовершенное сжатие наблюдается в том случае, когда на истечение жидкости через отверстие и на формирование струи оказывает влияние близость боковых стенок резервуара (рис.5.5).

Так как боковые стенки частично направляют движение жидкости при подходе к отверстию, то струя по выходе из отверстия сжимается в меньшей степени, чем из резервуара неограниченных размеров, как это было описано в п.5.1.

При истечении жидкостей из цилиндрического резервуара круглого сечения через круглое отверстие, расположенное в центре торцевой стенки, при больших числах Re коэффициент сжатия для идеальной жидкости можно найти по формуле, представленной Н.Е. Жуковским:

где n — отношение площади отверстия S_о к площади поперечного сечения резервуара S₁

Часто приходится иметь дело с истечением жидкости не в атмосферу, а в пространство, заполненное этой же жидкостью (рис.5.6). такой случай называется истечением под уровень, или истечением через затопленное отверстие.

В этом случае вся кинетическая энергия струи теряется на вихреобразование, как при внезапном расширении.

Скорость истечения в сжатом сечении струи

где φ — коэффициент скорости;
Н — расчетный напор,

Таким образом, имеем те же расчетные формулы, что и при истечении в воздух (газ), только расчетный напор Н в данном случае представляет собой разность гидростатических напоров по обе стенки, т.е. скорость и расход жидкости в данном случае не зависят от высот расположения отверстия.

Коэффициенты сжатия и расхода при истечении под уровень можно принимать те же, что и при истечении в воздушную среду.

Внешним цилиндрическим насадком называется короткая трубка длиной, равной нескольким диаметрам без закругления входной кромки (рис. 5.7). На практике такой насадок часто получается в тех случаях, когда выполняют сверление в толстой стенке и не обрабатывают входную кромку. Истечение через такой насадок в газовую среду может происходить в двух режимах.

Первый режим — безотрывный режим. При истечении струя, после входа в насадок сжимается примерно так же, как и при истечении через отверстие в тонкой стенке. Затем струя постепенно расширяется до размеров отверстия из насадка выходит полным сечением (рис.5.7).

Коэффициент расхода μ, зависящий от относительной длины насадка l / d и числа Рейнольдса, определяется по эмпирической формуле:

Так как на выходе из насадка диаметр струи равен диаметру отверстия, то коэффициент сжатия ε = 1 и, следовательно, μ = φ , а коэффициент сопротивления ζ = 0,5.

Если составить уравнение Бернулли для сжатого сечения 1-1 и сечения за насадком 2-2 и преобразовать его, то можно получить падение давления внутри насадка

При некотором критическом напоре Н_кр абсолютное давление внутри насадка (сечение 1-1) становится равным нулю (P₁ = 0), и поэтому

Следовательно, при Н > Н_кр давление P₁ должно было бы стать отрицательным, но так как в жидкостях отрицательных давлений не бывает, то первый режим движения становится невозможным. Поэтому при Н Нкр происходит изменение режима истечения, переход от первого режима ко второму (рис.5.8).

Второй режим характеризуется тем, что струя после сжатия уже не расширяется, а сохраняет цилиндрическую форму и перемещается внутри насадка, не соприкасаясь с его стенками. Истечение становится точно таким же, как и из отверстия в тонкой стенке, с теми же значениями коэффициентов. Следовательно, при переходе от первого режима ко второму скорость возрастает, а расход уменьшается благодаря сжатию струи.

При истечении через цилиндрический насадок под уровень первый режим истечения не будет отличаться от описанного выше. Но при Н > Н_кр перехода ко второму режиму не происходит, а начинается кавитационный режим.

Таким образом, внешний цилиндрический насадок имеет существенные недостатки: на первом режиме — большое сопротивление и недостаточно высокий коэффициент расхода, а на втором — очень низкий коэффициент расхода. Недостатком также является возможность кавитации при истечении под уровень.

Внешний цилиндрический насадок может быть значительно улучшен путем закругления входной кромки или устройства конического входа. На рис.5.9 даны различные типы насадков и указаны значения соответствующих коэффициентов.

Конически сходящиеся и коноидальные насадки применяют там, где необходимо получить хорошую компактную струю сравнительно большой длины при малых потерях энергии (в напорных брандспойтах, гидромониторах и т.д.). Конически сходящиеся насадки используют для увеличения расхода истечения при малых выходных скоростях.

Рассмотрим случай опорожнения открытого в атмосферу сосуда при постоянно уменьшающемся напоре, при котором течение является неустановившемся (рис.5.10).

Однако если напор, а следовательно, и скорость истечения изменяются медленно, то движение в каждый момент времени можно рассматривать как установившееся, и для решения задачи применить уравнение Бернулли.

Обозначим переменную высоту уровня жидкости в сосуде за h, площадь сечения резервуара на этом уровнеS, площадь отверстия S_о, и взяв бесконечно малый отрезок времени dt, можно записать следующее уравнение объемов:

где dh — изменение уровня жидкости за время dt.

Отсюда время полного опорожнения сосуда высотой Н

Если будет известен закон изменения площади S по высоте h, то интеграл можно подсчитать. Для призматического сосуда S = const (рис.5.11), следовательно, время его полного опорожнения

Из этого выражения следует, что время полного опорожнения призматического сосуда в два раза больше времени истечения того же объема жидкости при постоянном напоре, равном первоначальному.

Рис. 5.11. Опорожнение призматического резервуара	Рис. 5.12. Опорожнение непризматического резервуара

Для определения времени истечения жидкости из горизонтального цилиндрического сосуда (цистерны) (рис. 5.12) выразим зависимость переменной площади S от h:

где l — длина цистерны; D — диаметр цистерны.

Тогда время полного опорожнения такой цистерны, т.е. время изменения напора от h₁ = D до h₂ = 0, получится равным

Во многих водозаборных и водопропускных гидротехнических сооружениях расходы воды проходят через отверстия, перекрываемые затворами. Затворы поднимают на определенную высоту над дном и пропускают через отверстия необходимые расходы. Чаще всего на гидромелиоративных сооружениях устраивают отверстия прямоугольного сечения, истечение из которых и рассмотрим.

Отверстия могут быть незатопленными (истечение свободное) и затопленными, когда уровень воды за затвором влияет на истечение.

Если отверстие незатопленное, то вытекающая из-под затвора струя находится под атмосферным давлением (рис. 5.13). При истечении через затопленное отверстие струя за затвором находится под некоторым слоем воды (рис. 5.14).

Когда затвор приподнят над дном, вытекающая из-под него струя испытывает сжатие в вертикальной плоскости. На расстоянии, примерно равном высоте отверстия а (высоте поднятия затвора), наблюдается наиболее сжатое сечение. Глубина в сжатом сечении h_c связана с высотой отверстия а следующей зависимостью:

где ε’ — коэффициент вертикального сжатия струи.

Коэффициент вертикального сжатия ε’ зависит от отношения высоты отверстия а к напору (глубине воды перед затвором) Н. Для ориентировочных расчетов можно принимать ε’ = 0,64.

Если составить уравнение Бернулли для сечений, проведенных перед затвором и в сжатом сечении, после преобразований получим:

Глубина h_z определяется из зависимости

а h_б — глубина в отводящем канале (бытовая глубина).

Если вытекающая из отверстия или насадка струя попадает на неподвижную стенку, то она с определенным давлением воздействует на нее. Основное уравнение, по которому вычисляется давление струи на площадку, имеет вид

На рис. 5.15 приведены наиболее часто встречающиеся в практике ограждающие поверхности (преграды) и уравнения, по которым вычисляется давление струи на соответствующую поверхность.

Величина давления струи, естественно, зависит от расстояния насадка до преграды. С увеличением расстояния струя рассеивается и давление уменьшается. Соответствующие исследования показывают, что в данном случае струя может быть разбита на три характерные части: компактную, раздробленную и распыленную (рис.5.16).

В пределах компактной части сохраняется цилиндрическая форма струи без нарушения сплошности движения. В пределах раздробленной части сплошность потока нарушается, причем струя постепенно расширяется. Наконец, в пределах распыленной части струи происходит окончательный распад потока на отдельные капли.

Глава 6. Механика жидкости и газа

Глава 6. Механика жидкости и газа

Пример 1

Сообщающиеся сосуды

1) Что необходимо определить?

В сообщающиеся сосуды налиты две разные жидкости. Давления p1, p2 на поверхностях жидкостей также разные. Надо выяснить, каковы уровни жидкостей.

2) Выбор системы координат.

Принимаем, что ось z прямоугольной системы координат направлена вертикально вверх. Направление двух других осей нас не интересует. Точку начала системы координат совместим с начальным уровнем столбов жидкости.

3) Какие механические величины надо найти?

Плотности жидкостей r1, r2 разные. Надо выяснить высоту столбов жидкости h1, h2.

4) Какую модель выбираем?

Жидкости практически несжимаемые (r=const) и жидкости неподвижны (задача гидростатики). Поэтому не важно, какова вязкость жидкости, и можем использовать модель напрерывной среды – идеальной жидости. Система уравнений для нее выведена в Части 1 &7.6.

Уравнения движения

; i=x, y, z;

Закон сохранения массы

5) Применение модели к задаче.

В случае гидростатики жидкости неподвижны, т. е. все скорости равны 0. Система координат выбрана так, что ускорение свободного падения g направлен вдоль оси z. Тогда из системы уравнений модели получаем систему уравнений гидростатики:

; ; ; (P6-1-1)

Для этой системы существует простое решение p=-rgz+C (P6-1-2)

Так как у нас есть два столба разных жидкостей, то решение (P6-1-2) надо записать для каждой жидкости отдельно: p1=-r1gz+C1, p2=-r2gz+C2

6) Граничные условия.

Константы интегрирования находим из граничных условий на поверхностях жидкостей:

Для первого столба жидкости

Для второго столба жидкости

Выводы

Отношение между высотами столбов жидкости можно получить, зная что на нулевом уровне оба давления должны быть одинаковы

(P6-1-3)

Чтобы на основании этих соотношений определить высоты h1, h2, надо также вспомнить, что жидкости несжимаемые и нам известен весь объем обеих жидкостей.

Пример 2

Истечение жидкости из сосуда

1) Что необходимо определить?

Надо определить, сколько воды вытекает за 1 сек. из сосуда.

2) Выбор системы координат.

Ось y выбираем в вертикальном направлении, ось x — в направлении истечения жидкости.

3)Какие механические величины надо найти?

Зная скорость истечения жидкости из трубы vC и площадь поперечного сечения трубы SC количество вытекшей воды Q определяется как

4) Какую модель выбираем?

Вода — несжимаемая жидкость. Вязкость не учитываем. Поэтому используем модель непрерывной среды для идеальной жидкости (см. Часть 1 &7.6.)

5) Применение модели к задаче.

Разделим задачу на две части. В первой части рассмотрим сосуд с водой, а во второй истечение по трубе.

Первая часть – движение воды в сосуде.

Жидкость из сосуда вытекает под влиянием собственного веса и давления среды (воздуха) pa. Объем сосуда большой, т. е. показатель изменения объема с течением времени мал. Это позволяет движение воды в сосуде считать квазистационарным, т. е. неизменным по времени. Из трех уравнений движения остается только одно. Так как вода движется только в направлении оси y.

Уравнения движения составлены в системе отсчета Эйлера (системе, в которой наблюдатель фиксирует, с какой скоростью среда движется через определенную плоскость или точку). В этой системе полная производная скорости записывается так (см. Часть 1 & 7.1.):

В нашем случае задача квазистационарная (производная по времени равна нулю), вода двигается только в вертикальном направлении (vx=vz=0) и вертикальная скорость – функция только от координаты y. Поэтому уравнение движения принимает достаточно простой вид:

Умножим все уравнение на dy и проинтегрируем

Закон сохранения массы определяет, что , т. е. vy=const

Вторая часть – истечение воды по трубе.

При описании движения воды по трубе из трех уравнений движения остается только одно, так как вода двиется только в направлении оси .

Также как и для сосуда, при описании движения воды по трубе надо записать полную производную скорости:

После интегрирования получаем

Закон сохраниея массы определяет, что , т. е. vx=const

6) Граничные условия.

a) Давление воды на дне сосуда p (y= — H) равен давлению в трубке:

b) Количество воды, вытекшее из сосуда Q1 должно быть равно количеству воды. Вытекшему из трубы Q2

Оба условия создают систему двух уравнений для определения двух скоростей:

Так как SC 0). Конечно, остается в силе и обратное соотношение. Т. е. если dS>0, то dv 1, т. е. скорость потока больше скорости звука, то при уменьшении поперечного сечения (dS 0, то dv>0.

4) Если скорость потока равна скорости звука, то dS=0, т. е. там где S(L) экстримальное значение.

5) Основываясь на вышеупомянутых выводах, было построено сопло Лаваля. Это труба, в которой поток с дозвуковой скоростью преобразуется в поток с сверхзвуковой скоростью. В начале сопло имеет непрерывно сужающуюся площадь поперечного сечения. В этой части скорость возрастает до скорости звука. Затем поперечное сечение трубы расширяется и скорость еще возрастает.

6)В несжимаемой среде . В этой среде изменение давления мгновенно передается на все точки среды.

Пример 5

Гидравлический удар

1) Что необходимо определить?

Надо определить, какую силу должна выдержать задвижка (клапан) при закрытии трубы, по которой течет жидкость.

2) Выбор системы координат

Нас интересует только движение по трубе, т. е. только одна ось, которая совпадает с осью трубы. Чтобы найти ответ на интересующий нас вопрос, можем принять, что труба прямая. Итак, движение происходит только в направлении оси x.

3) Какие механические величины надо найти? Надо найти давление p на задвижку.

4) Какую модель выбираем? Используем модель непрерывной среды – идеальную жидкость.

5) Применение модели к задаче.

Чтобы оценить величину давления, рассмотрим численный пример По трубе длиной в один метр течет жидкость со скоростью v0. Площадь поперечного сечения трубы S . Опишем, что

произойдет, если на конце трубы будет задвижка и мы эту задвижку закроем за очень короткое время, за 0,01 сек. Задача одномерная, так как одну из координатных осей мы можем считать совпадающей с направлением трубы. В этом случае система уравнений (см. Часть 1 &7.6.) преобразуется следующм образом:

Из второго уравнения следует, что закрывая задвижку, скорость по всей длине трубы будет одинаковой, то есть она будет изменятся по времени, но не будет разной в разных сечения трубы,v не является функцией от x. Так как длительность времени, в течении которого закрывается задвижка очень мала 0,01 сек, то можем не искать точную запись этой функции, а принять, что скорость меняется от начальной скорости v0 до нуля за 0,01 сек (см. рис.), и тогда изменение скорости можно записать следующим образом:

Если нам известна функция v как функция времени t, то в перевом уравнении поместим вместо производной функции v по времени и уравнение принимает вид . Умножим обе части уравнения на dx и проинтегрируем. В левой части переменная x, которая может изменятся от 0 до100 см, а давление изменяется от начального p до конечного значения pb:

— r =

Интегрируя, получаем возрастание давления на задвижке pb-p, которое равно

Чтобы предположить насколько велико давление, подставим v0= 200 cm/ sek. Тогда для такой жидкости как вода (r= 1 ) изменение давления на заслонку . Это действительно огромное давление.

1) Если трубопровод абсолютно жесткий и в нем нет дополнительных возможностей для вытекания жидкости, то при быстром закрытии задвижки мы получаем огромный скачок давления, который называется гидравлическим ударом.

2) Чтобы уменьшить (предотвратить) появление гидравлического удара,

a) трубу надо сделать упругой, в этом случае удар самортизируют упругие стенки,

b) трубопровод надо делать короче,

c) надо закрывать медленнее.

Сущность гидравлического удара можно понять, используя энергетический баланс (см. уравнение Бернулли (P6-3-1)). В трубе метровой длины движется жидкость со скоростью v0 и ее кинетическая энергия (V — объем столба жидкости метровой длины). При закрытии заслонки вся эта энергия переходит в потенциальную U=pV, т. е. давление должно быстро возрастать.

Пример 6

Течение жидкости по каналу.

1) Что необходимо определить?

Масло течет по желобу, наклон которого к горизонту составляет a градусов. Поток жидкости стационарный, т. е. скорости по времени неизменны. Надо определить какое количество масла стекает в единицу времени по желобу.

2) Выбораем систему координат так, чтобы ось x совадала с продольной осью желоба и ось y — с нижней поверхностью желоба

3) Какие механические величины надо найти?

Расход масла Q(м3/сек) – произведение скорости истечения на площадь поперечного сечения. Так как скорость истечения в разных поперечных сечениях желоба может быть разной, то расход надо расчитывать, суммируя расход на бесконечно малых площадях dS

4) Какую модель выбираем?

Масло – вязкая, практически несжимаемая жидкость. Поэтому надо использовать модель непрерывной жидкой вязкой несжимаемой (r=const) среды (см. Часть 1 &7.8.2.).

5) Применение модели к задаче.

Задача стационарная. Примем, что желоб достаточно широкий и поэтому трение жидкости вдоль вертикальных стенок желоба учитывать не будем. Это дает возможность принять, что единственная неизвестная функция vx=vx(z) и vyºvzº0.

Собственный вес дает проекции на оси x и z. Запишем соответствующие уравнения движения:

Соотношения свойств материала

Учитывая, что vx=vx(z) и vyºvzº0, остается только одно соотношение , и syxºsyzº0.

Решение системы уравнений

Поместив уравнения свойств материала в уравнения движения и приняв, что давление также как скорость функция только от z , получим:

;

:

6) Граничные условия.

Для определения трех констант интегрирования необходимо три граничных условия:

a) Вязкая жидкость прилипает к дну желоба v(0)=0

b) На поверхности жидкости давление p(h)= -pa, где h— высота жидкости в желобе и pa — атмосферное давление.

c) Также касательные напряжения на поверхности равны нулю sxz(h)=0.

Пример 7

Движение тела в жидкости (газе)?

1) Что необходимо определить?

Выясним, как надо записать граничные условия если твердое тело движется в потоке жидкости (газа).

2) Выбор системы координат. Описываемая проблема существует в любой системе координат.

3) Какие механические величины надо найти? Граничные условия в скоростях.

4) Какую модель выбираем?Модель непрерывной среды для жидкости и газа.

5) Применение модели к задаче.

В этом примере рассмотрим как записать граничные условия, не записывая сами уравнения модели.

6) Граничные условия.

a) Граничные условия на поверхности преграды в потоке.

На поверхности преграды составляющая скорости жидкости (газа), направление которой совпадает с нормалью к поверхности преграды (на рис. n) должна быть равна скорости движения преграды в этом направлении. Если бы это было не так, то:

— если скорость жидкости была бы больше, то жидкость проникла бы внутрь преграды;

— если скорость жидкости была бы меньше, то появились бы пустоты между преградой и потоком.

Компонента скорости жидкости в направлении касательной к поверхности для жидкости без вязкости равна скорости потока.

b) Движение тела в жидкости (газе).

Для сформулированных граничных условий кроме пункта а) можем сформулировать условие – скорость «на бесконечности», т. е. на достаточном расстоянии (обычно соизмеримым с размерами тела) жидкость не чувствует движущееся тело. Поэтому здесь скорость потока равна нулю v(¥)=0.

c) Граничные условия на поверхности жидкости. На поверхности жидкости известно давление, оно равно атмосферному давлению.

— d) Граничные условия на поверхности соприкосновения двух жидкостей (газов) или на поверхности соприкосновения жидкости и газа — условия состоят в том, что на поверхности раздела должны быть равны давления и составляющие скоростей, перепендикулярных к поверхности раздела

Пример 8

Как появляется турбулентность?

Попробуем понять, почему в природе (в реках и т. п.) в потоке жидкости появляются завихрения, которые в механике называются турбулентным потоком.

Если поток жидкости является однородным (в механике – ламинарным), то можем исследовать устойчив ли он. Поместив в этот поток какое-нибудь препядствие (камни в реке), можем заметить, что при малой скорости течения линии потока обтекают преграду, но завихрения не появляются. Увеличивая скорость всегда можем найти такую скорость потока, при которой появляются завихрения. Это значит, что была достигнута критическая скорость, при которой однородный поток теряет устойчивость.

Вопросы для проверки

1) Какие функции являются неизвестными в механике жидкостей? Почему?

2) Какие функции являются неизвестными в механике газов? Почему?

3) Что такое гидростатика и каковы ее уравнения?

4) Как определить уровни двух разных жидкостей в сообщающихся сосудах?

5) Как определить скорость истечения жидкости из сосуда?

6) Как можно рассчитать движение жидкости по трубопороводу?

7) Как можно рассчитать движение газа по трубопороводу?

8) Что такое число Маха?

9) Как поток жидкости с дозвуковой скоростью превратить в поток со сверхзвуковой скоростью?

10) Как появляется гидравлический удар? Почему?

11) Как можно оценить появление гидрвлического удара?

12) Как объяснить гидравлический удар с точки зрения закона сохранения энергии (уравнение Бернулли)?

13) Что такое стационарный и нестационарный поток?

14) Дайте пример расчета скорости стационарного потока вязкой жидкости.

15) Как найти распределение скоростей вязкой жидкости по высоте желоба?

16) Как найти касательные напряжения для вязкой жидкости, текущей по желобу?

17) Как записать граничные условия на поверхности тела, движущегося в потоке?

18) Как записать граничные условия для тела, движущегося в жидкости (корабль)?

19) Как записать граничные условия для тела, движущегося в газе (самолет)?

20) Как записать граничные условия на поверхности соприкосновения двух жидкостей?

21) Как записать граничные условия на поверхности соприкосновения двух газов?

22) Как записать ганичные условия на поверхности соприкосновения жидкости и газа?

23) Что обозначает понятие – скорость на бесконечности и когда его используют?