Выведите дифференциальное уравнение гармонического колебания маятника

Лекция №7. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

5.1. Свободные гармонические колебания и их характеристики.

Колебания − это движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебания, повторяются через равные промежутки времени. Наиболее важными характеристиками колебания являются: смещение, амплитуда, период, частота, циклическая частота, фаза.

Простейший вид периодических колебаний − это гармонические колебания. Гармонические колебания − это периодическое изменение во времени физической величины, происходящее по закону косинуса или синуса. Уравнение гармонических колебаний имеет вид

1) Смещение x − это величина, характеризующая колебания и равная отклонению тела от положения равновесия в данный момент времени.

2) Амплитуда колебаний А − это величина, равная максимальному отклонению тела от положения равновесия.

3) Период колебаний T − это наименьший промежуток времени, через который система, совершающая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент, выбранный произвольно. Единица измерения [T] = 1 с .

За период система совершает одно полное колебание.

4) Частота колебаний ν − это величина, равная числу колебаний, совершаемых в единицу времени (за 1 секунду). Единица измерения [ν]= 1 Гц . Частота определяется по формуле

5) Циклическая частота ω − это величина, равная числу полных колебаний, совершающихся за 2π секунд. За единицу циклической частоты принята угловая частота, при которой за время 1 с совершается 2π циклов колебаний, [ω]= с -1 . Циклическая частота связана с периодом и частотой колебаний соотношением

6) Фаза колебаний ωt + φ₀ − фаза указывает местоположение колеблющейся точки в данный момент времени.

7) Начальная фаза φ₀ − указывает местоположение колеблющейся точки в момент времени t = 0 .

5.2. Сложение одинаково направленных и взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.

Сложение нескольких колебаний одинакового направления можно изображать графически с помощью метода векторной диаграммы.

Гармоническое колебание может быть представлено графически с помощью вращающегося вектора амплитуды А . Для этого из произвольной точки O , выбранной на оси Ox , под углом φ₀ , равным начальной фазе колебания, откладывается вектор амплитуды А . Модуль этого вектора равен амплитуде рассматриваемого колебания. Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью ω , равной циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора амплитуды будет перемещаться по оси Ox и принимать значения от -A до +A , а колеблющаяся величина изменяться со временем по закону x = Acos(ωt + φ₀)

1. Сложение одинаково направленных гармонических колебаний.

Сложим два гармонических колебания одинакового направления и одинаковой частоты. Смещение x колеблющегося тела будет суммой смещений x₁ и x₂ , которые запишутся следующим образом:

Представим оба колебания на векторной диаграмме. Построим по правилу сложения векторов результирующий вектор А . Проекция этого вектора на ось Ox равна сумме проекций слагаемых векторов x=x₂+x₂ , следовательно, вектор А представляет собой результирующее колебание. Определим результирующий вектор амплитуды А потеореме косинусов

Так как угол между векторами А ₁ и А ₂ равен φ=π-(φ₂-φ₁) , то cos[π-(φ₂-φ₁)]=-cos(φ₂-φ₁) , следовательно, результирующая амплитуда колебания будет равна

Определим начальную фазу результирующего колебания.

Из рисунка видно, что начальная фаза результирующего колебания

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, также совершает гармонические колебания в том же направлении и с той же частотой.

2. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.

Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях. Допустим, что материальная точка совершает колебания как вдоль оси X , так и вдоль оси Y . Выберем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю. Тогда уравнения колебаний примут вид

где φ − разность фаз обоих колебаний.

Уравнение траектории получим, исключив из уравнений (5.2.6) параметр времени t: cosωt= $$x\over A_1$$ , а sinωt= $$\sqrt<1-cos^2 ωt>=\sqrt<1-x^2\over A_1^2>$$ Разложим косинус во втором из уравнений (5.2.6)

Перепишем это уравнение в следующем виде

После преобразования, получим

Используя тригонометрическое тождество cos 2 φ+sin 2 φ=1 , окончательно получим

Это есть уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей произвольно. Ориентация эллипса и величина его полуосей зависят от амплитуд колебаний и разности фаз.

Рассмотрим несколько частных случаев и определим форму траектории для них:

a) разность фаз равна нулю [φ=0]

В этом случае $$( < x\over A_1 >— < y\over A_2 >)^2=0$$ , откуда получается уравнение прямой

Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой ω и амплитудой $$A= \sqrt+A_2<^2>>$$ .

2) разность фаз равна ±π[φ=±π] .

В этом случае $$( < x\over A_1 >— < y\over A_2 >)^2=0$$ , откуда получается уравнение прямой

3) Разность фаз равна ± $$π\over 2$$ [φ=± $$π \over2$$ ] . Тогда

Уравнение эллипса, причем полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. При равенстве амплитуд колебаний эллипс вырождается в окружность. Случаи φ=+ $$π\over 2$$ и φ=- $$π\over 2$$ отличаются направлением движения. Если φ=+ $$π\over 2$$ , то уравнения колебаний имеют следующий вид: x=A₁cosωt , и y=-A₂sinωt и движение совершается по часовой стрелке. Если φ=- $$π\over 2$$ , , то уравнения колебаний имеют следующий вид: x=A₁cosωt , и y=A₂sinωt и движение совершается против часовой стрелке.

Рассмотренные три частных случая представлены на рис. 5.2.3, а, б, в. Рис

4) Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то траектория результирующего движения имеет вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу . Форма этих кривых определяется соотношением амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний.

На рис. 5.2.4 показаны фигуры Лиссажу, которые получаются при соотношении частот 1:2 и различной разности фаз колебаний.

По виду фигур можно определить неизвестную частоту по известной частоте или определить соотношение частот складываемых колебаний.

5.3. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение.

Продифференцируем по времени уравнение гармонических колебаний

и получим выражение для скорости

Из сравнения уравнений (5.3.1) и (5.3.2) следует, что скорость опережает смещение по фазе на π/2 . Амплитуда скорости равна Аω .

Продифференцировав уравнение (2) еще раз по времени, получим выражение для ускорения

Как следует из уравнения (5.3.3), ускорение и смещение находятся в противофазе. Это означает, что в тот момент времени, когда смещение достигает наибольшего, положительного значения, ускорение достигает наибольшего по величине отрицательного значения, и наоборот. Амплитуда ускорения равна Аω 2 (рис. 5.3.1).

Из выражения (5.3.3) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Результирующая сила, действующая на материальную точку массой m , определяется с помощью второго закона Ньютона. Проекция этой силы

Эта сила пропорциональна смещению точки из положения равновесия и направлена в сторону противоположную этому смещению, т. е. она стремится вернуть точку в положение равновесия, и поэтому называется возвращающей силой . Таким образом, гармонические колебания происходят под действием силы F , пропорциональной смещению x и направленной к положению равновесия,

где k=mω 2 − постоянный коэффициент. Возвращающая сила подобна упругим силам, возникающим в телах при их деформации. Такая зависимость силы от смещения характерна для упругой силы, поэтому силы иной физической природы, удовлетворяющие зависимости (5.3.6) называются квазиупругими силами .

Материальная точка, совершающая колебания под действием квазиупругой силы, называется линейным осциллятором . Ее динамическое поведение описывается дифференциальным уравнением

ω₀ − собственная частота осциллятора.

Решение этого уравнения дает закон движения линейного осциллятора x=Acos(ωt+φ₀) .

5.4. Энергия гармонических колебаний.

В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную энергию и обратно (рис. 5.4.1). В момент наибольшего отклонения от положения равновесия полная энергия состоит только из потенциальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения. Далее при движении к положению равновесия потенциальная энергия уменьшается, при этом кинетическая энергия возрастает. При прохождении через положение равновесия полная энергия состоит лишь из кинетической энергии, которая в этот момент достигает своего наибольшего значения. Далее при движении к точке наибольшего отклонения происходит уменьшение кинетической и увеличение потенциальной энергии. И при наибольшем отклонении потенциальная опять максимальная, а кинетическая энергия рана нулю. И т. д.

Потенциальная энергия тела, совершающего гармонические колебания равна

Кинетическая энергия тела, совершающего гармонические колебания равна

Таким образом, полная энергия гармонического колебания, состоящая из суммы кинетической и потенциальной энергий, определяется следующим образом

Следовательно, полная энергия гармонического колебания

оказывается постоянной в случае гармонических колебаний.

Найдем среднее значение потенциальной энергии за период колебания

Аналогично получается для среднего значение кинетической энергии

Таким образом, и потенциальная, и кинетическая энергии изменяются относительно своих средних значений по гармоническому закону с частотой 2ω и амплитудой ωt kA 2

5.5. Пружинный, математический и физический маятники.

Рассмотрим несколько простейших систем, совершающих свободные гармонические колебания.

1) Пружинный маятник − это материальная точка массой m , подвешенная (или расположенная горизонтально) на абсолютно упругой пружине жесткостью k и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы. Пусть шайба массой m , прикрепленная к пружине, совершает колебания. Для составления дифференциального уравнения колебаний запишем второй закон Ньютона в проекции на ось Ox F_упр=ma . Упругая сила F_упр=-kx . Приравнивая последние два уравнения и, используя определение ускорения тела, получим

Сравнивая уравнения (5.3.7) и (5.5.2) получаем, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с частотой

Так как период колебаний определяется по формуле T= $$2π\over ω_0$$ , то период колебаний пружинного маятника

2) Математический маятник − это идеализированная система, состоящая из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена материальная точка массой m . Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом φ , образованным нитью с вертикалью.

При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент M , равный по величине mqlsinφ .Он имее акое же направление, что стремится вернуть маятник в положение равновесия. Следовательно, выражение для вращательного момента имеет вид: M=-mqlsinφ . Применим основно ательного движения

где L=ml 2 − момент инерции материальной точки. Тогда, учитывая, что угловое ускорение ε= $$d^2φ\over dt^2$$ , получим

Если рассматривать малые колебания, то sinφ≈φ . Получим

То есть при малых колебаниях угловое отклонение математического маятника изменяется по гармоническому закону с частотой

Период колебаний математического маятника

3) Физический маятник − это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной оси, проходящей через точку, не совпадающую с центром масс тела. При отклонении маятника от положения равновесия на угол φ возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен M=-mglsinφ .

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения получаем

где I − момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса.

Если рассматривать малые колебания, то sinφ≈φ . Получим

Период колебаний математического маятника

Из сопоставления формул периодов колебаний математического и физического маятников T=2π $$\sqrt$$ и T=2π $$\sqrt$$ получается, что математический маятник с длиной

будет иметь такой же период колебаний, что и данный физический маятник.

Величина l_пр (отрезок OO′) называется приведенной длиной физического маятника − это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника. Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром масс, и лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания (О′) физического маятника. Точка подвеса О и центр качания обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса становится новым центром качания.

Свободные колебания пружинного маятника. Общие сведения

Цель работы. Ознакомиться с основными характеристиками незатухающих и затухающих свободных механических колебаний.

Задача. Определить период собственных колебаний пружинного маятника; проверить линейность зависимости квадрата периода от массы; определить жесткость пружины; определить период затухающих колебаний и логарифмический декремент затухания пружинного маятника.

Приборы и принадлежности. Штатив со шкалой, пружина, набор грузов различной массы, сосуд с водой, секундомер.

1. Свободные колебания пружинного маятника. Общие сведения

Колебаниями называются процессы, в которых периодически изменяется одна или несколько физических величин, описывающих эти процессы. Колебания могут быть описаны различными периодическими функциями времени. Простейшими колебаниями являются гармонические колебания – такие колебания, при которых колеблющаяся величина (например, смещение груза на пружине) изменяется со временем по закону косинуса или синуса. Колебания, возникающие после действия на систему внешней кратковременной силы, называются свободными.

Рассмотрим одну из простейших колебательных систем – пружинный маятник, представляющий собой груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине с коэффициентом жесткости k
(рис. 1). Пусть l0 – длина пружины без подвешенного к ней груза. При подвешивании груза под действием силы тяжести пружина растянется на x1 так, что маятник будет находиться в положении равновесия вследствие равенства модулей силы тяжести mg и упругой силы Fупр: mg = kx1, стремящейся вернуть груз в положение равновесия (полагается, что деформации пружины идеально упругие и подчиняются закону Гука).

Если груз вывести из положения равновесия, отклонив на величину x, то сила упругости возрастает: Fупр = – kx2= – k(x1 + x). Дойдя до положения равновесия, груз будет обладать отличной от нуля скоростью и пройдет положение равновесия по инерции. По мере дальнейшего движения будет увеличиваться отклонение от положения равновесия, что приведет к возрастанию силы упругости, и процесс повторится в обратном направлении. Таким образом, колебательное движение системы обусловлено двумя причинами: 1) стремлением тела вернуться в положении равновесия и 2) инерцией, не позволяющей телу мгновенно остановиться в положении равновесия. В отсутствии сил трения колебания продолжались бы сколь угодно долго. Наличие силы трения приводит к тому, что часть энергии колебаний переходит во внутреннюю энергию и колебания постепенно затухают. Такие колебания называются затухающими.

Незатухающие свободные колебания

Сначала рассмотрим колебания пружинного маятника, на который не действуют силы трения – незатухающие свободные колебания. Согласно второму закону Ньютона c учетом знаков проекций на ось X

(1)

Из условия равновесия смещение, вызываемое силой тяжести: . Подставляя в уравнение (1), получим: . Разделив правую и левую часть этого уравнения на m и принимая, что a = d2x/dt2, получим дифференциальное уравнение

. (2)

Это уравнение называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний пружинного маятника. Из этого уравнения следует, что после прекращения внешнего воздействия, приводящего к первоначальному отклонению системы от положения равновесия, движение груза обусловлено только действием упругой силы (сила тяжести вызывает постоянное смещение).

Общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка (2) имеет вид

. (3)

Данное уравнение называется уравнением гармонических колебаний. Наибольшее отклонение груза от положения равновесия А0 называется амплитудой колебаний. Величина , стоящая в аргументе косинуса, называется фазой колебания. Постоянная φ0 представляет собой значение фазы в начальный момент времени (t = 0) и называется начальной фазой колебаний. Величина

(4)

есть круговая или циклическая частота собственных колебаний, связанная с периодом колебаний Т соотношением . Период колебаний определяется

. (5)

Рассмотрим свободные колебания пружинного маятника при наличии силы трения (затухающие колебания). В простейшем и вместе с тем наиболее часто встречающемся случае сила трения пропорциональна скорости υ движения:

где r – постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Знак минус показывает, что сила трения и скорость имеют противоположные направления. Уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось Х при наличии упругой силы и силы трения

Данное дифференциальное уравнение с учетом υ = dx/dt можно записать

, (8)

где – коэффициент затухания; – циклическая частота свободных незатухающих колебаний данной колебательной системы, т. е. при отсутствии потерь энергии (β = 0). Уравнение (8) называют дифференциальным уравнением затухающих колебаний.

Чтобы получить зависимость смещения x от времени t, необходимо решить дифференциальное уравнение (8). В случае малых затуханий () решение уравнения можно записать следующим образом:

, (9)

где А0 и φ0 – начальная амплитуда и начальная фаза колебаний;
– циклическая частота затухающих колебаний при ω >> ω ≈ ω0.

Движение груза в этом случае можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой ω и переменной амплитудой, меняющейся по закону:

. (10)

На графике функции (9), рис. 2, пунктирными линиями показано изменение амплитуды (10) затухающих колебаний.

Рис. 2. Зависимость смещения х груза от времени t при наличии силы трения

Для количественной характеристики степени затухания колебаний вводят величину, равную отношению амплитуд, отличающихся на период, и называемую декрементом затухания:

. (11)

Часто используют натуральный логарифм этой величины. Такой параметр называется логарифмическим декрементом затухания:

. (12)

Если за время t‘ амплитуда уменьшается в n раз, то из уравнения (10) следует, что

. (13)

Отсюда для логарифмического декремента получаем выражение

. (14)

Если за время t‘ амплитуда уменьшается в е раз (е = 2,71 – основание натурального логарифма), то система успеет совершить число колебаний

. (15)

Следовательно, логарифмический декремент затухания – величина, обратная числу колебаний, совершаемых за то время, за которое амплитуда уменьшается в е раз. Чем больше θ, тем быстрее происходит затухание колебаний.

2. Методика эксперимента и экспериментальная установка

Рис. 3. Схема установки

Установка состоит из штатива 1 с измерительной шкалой 2. К штативу на пружине 3 подвешиваются грузы 4 различной массы. При изучении затухающих колебаний в задании 2 для усиления затухания используется кольцо 5, которое помещается в прозрачный сосуд 6 с водой.

В задании 1 (выполняется без сосуда с водой и кольца) в первом приближении затуханием колебаний можно пренебречь и считать гармоническими. Как следует из формулы (5) для гармонических колебаний зависимость T 2 = f (m) – линейная, из которой можно определить коэффициент жесткости пружины k по формуле

, (16)

где – угловой коэффициент наклона прямой T 2 от m.

Задание 1. Определение зависимости периода собственных колебаний пружинного маятника от массы груза.

1. Определить период колебаний пружинного маятника при различных значениях массы груза m. Для этого с помощью секундомера для каждого значения m трижды измерить время t полных n колебаний (n ≥10) и по среднему значению времени вычислить период . Результаты занести в табл. 1.

2. По результатам измерений построить график зависимости квадрата периода T2 от массы m. Из углового коэффициента графика определить жесткость пружины k по формуле (16).

Результаты измерений для определения периода собственных колебаний

, с

Выведите формулу для периода колебаний физического маятника

43. Дайте определение и выведите формулу периода колебаний физического маятника.

В физике под маятником понимают твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной точки или оси. Принято различать математический и физический маятники.

Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной точке.

Если колеблющееся тело нельзя представить как материальную точку, маятник называется физическим. При отклонении от положения равновесия на угол возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен:

где m – масса маятника, l – расстояние между точкой подвеса О и центром инерции C маятника. Знак “ – ” имеет тоже значение, что и в случае квазиупругой силы . Обозначив момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса, буквой I, можно написать основной закон динамики:

В случае малых колебаний это уравнение переходит в уже известное нам уравнение незатухающих гармонических колебаний:

где через обозначена в данном случае следующая величина:

Из этого уравнения следует, что при малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания. При этом период колебаний физического маятника определяется выражением:

Проведенное выше рассмотрение имеет место и для математического маятника. В этом случае маятник представляет собой материальную точку, момент инерции которой относительно оси, проходящей через точку подвеса, равен . С учетом этого, получаем формулу для периода колебаний математического маятника:

Для физического маятника вводится понятие приведенной длины . Приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника, т.е. .

Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром инерции, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника (см. точку на рисунке). Можно показать, что при подвешивании маятника в центре качания приведенная длина, а значит, и период колебаний будут теми же, что и вначале. Следовательно, точка подвеса и центр качания обладают свойством взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания точка подвеса становится новым центром качания.

Получите дифференциальное уравнение затухающих гармонических колебаний.

45. По какому закону изменяется колеблющаяся величина при затухающих гармонических колебаниях? Приведите график зависимости

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Папиллярные узоры пальцев рук — маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

43. Дайте определение и выведите формулу периода колебаний физического маятника.

где через обозначена в данном случае следующая величина:

Получите дифференциальное уравнение затухающих гармонических колебаний.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Все Формулы по Физике здесь

Давай те выведем формулу для периода физического маятника.

При небольших углах отклонения

физический маятник так же совершает гармонические колебания. Будем считать, что вес физического маятника приложен к его центру тяжести в точке С. Силой, которая возвращает маятник в положение равновесия, в данном случае будет составляющая силы тяжести – сила F.