Выведите уравнение адиабатного процесса уравнение пуассона

Адиабатический процесс и уравнения адиабаты для идеального газа. Пример задачи

Адиабатический переход между двумя состояниями в газах не относится к числу изопроцессов, тем не менее, он играет важную роль не только в различных технологических процессах, но и в природе. В данной статье рассмотрим, что представляет собой этот процесс, а также приведем уравнения адиабаты идеального газа.

Кратко об идеальном газе

Идеальным называется такой газ, в котором нет взаимодействий между его частицами, и их размеры равны нулю. В природе, конечно же, не существует идеальных на сто процентов газов, поскольку все они состоят из имеющих размеры молекул и атомов, которые взаимодействуют друг с другом всегда как минимум с помощью ван-дер-ваальсовых сил. Тем не менее, описанная модель часто выполняется с достаточной для решения практических задач точностью для многих реальных газов.

Вам будет интересно: Атеизм и антиклерикализм — это. В чем отличие понятий

Главным уравнением идеального газа является закон Клапейрона-Менделеева. Он записывается в следующей форме:

Это уравнение устанавливает прямую пропорциональность между произведением давления P на объем V и количества вещества n на абсолютную температуру T. Величина R — газовая константа, которая играет роль коэффициента пропорциональности.

Что это адиабатический процесс?

Адиабатический процесс — это такой переход между состояниями газовой системы, при котором обмена энергией с внешней средой не происходит. При этом изменяются все три термодинамических характеристики системы (P, V, T), а количество вещества n остается постоянным.

Различают адиабатическое расширение и сжатие. Оба процесса происходят только за счет внутренней энергии системы. Так, в результате расширения давление и особенно температура системы сильно падают. Наоборот, адиабатическое сжатие приводит к положительному скачку температуры и давления.

Чтобы не происходил обмен теплом между окружающей средой и системой, последняя должна обладать теплоизолированными стенками. Кроме того, сокращение длительности протекания процесса значительно уменьшает тепловой поток от и к системе.

Уравнения Пуассона для адиабатического процесса

Первый закон термодинамики записывается в таком виде:

Иными словами, сообщенная системе теплота Q идет на выполнение системой работы A и на повышение ее энергии внутренней ΔU. Чтобы написать уравнение адиабаты, следует положить Q=0, что соответствует определению изучаемого процесса. Получаем:

При изохорном процессе в идеальном газе все тепло идет на повышение внутренней энергии. Этот факт позволяет записать равенство:

Где CV — изохорная теплоемкость. Работа A, в свою очередь, вычисляется так:

Где dV — малое изменение объема.

Помимо уравнения Клапейрона-Менделеева, для идеального газа справедливо следующее равенство:

Где CP — изобарная теплоемкость, которая всегда больше изохорной, так как она учитывает потери газа на расширение.

Анализируя записанные выше равенства и проводя интегрирование по температуре и объему, приходим к следующему уравнению адиабаты:

Здесь γ — это показатель адиабаты. Он равен отношению изобарной теплоемкости к изохорной. Это равенство называется уравнением Пуассона для процесса адиабатического. Применяя закон Клапейрона-Менделеева, можно записать еще два аналогичных выражения, только уже через параметры P-T и P-V:

График адиабаты можно привести в различных осях. Ниже он показан в осях P-V.

Цветные линии на графике соответствуют изотермам, черная кривая — это адиабата. Как видно, адиабата ведет себя более резко, чем любая из изотерм. Этот факт просто объяснить: для изотермы давление меняется обратно пропорционально объему, для изобаты же давление изменяется быстрее, поскольку показатель γ>1 для любой газовой системы.

Пример задачи

В природе в горной местности, когда воздушная масса движется вверх по склону, то ее давление падает, она увеличивается в объеме и охлаждается. Этот адиабатический процесс приводит к снижению точки росы и к образованию жидких и твердых осадков.

Предлагается решить следующую задачу: в процессе подъема воздушной массы по склону горы давление упало на 30 % по сравнению с давлением у подножия. Чему стала равна ее температура, если у подножия она составляла 25 oC?

Для решения задачи следует использовать следующее уравнение адиабаты:

Его лучше записать в таком виде:

Если P1 принять за 1 атмосферу, то P2 будет равно 0,7 атмосферы. Для воздуха показатель адиабаты равен 1,4, поскольку его можно считать двухатомным идеальным газом. Значение температуры T1 равно 298,15 К. Подставляя все эти числа в выражение выше, получаем T2 = 269,26 К, что соответствует -3,9 oC.

Уравнение Пуассона

Определение и формула уравнения Пуассона

Уравнение Пуассона описывает адиабатический процесс, происходящий в идеальном газе. Адиабатический процесс — это процесс, в котором нет теплообмена между рассматриваемой системой и окружающей средой:

Уравнение Пуассона имеет вид:

Здесь V — объем, занимаемый газом, P — его давление, а значение k называется адиабатическим индексом.

Адиабатический индекс в уравнении Пуассона

Адиабатический индекс можно рассчитать как отношение изобарной теплоемкости газа к его изохорной теплоемкости:

В практических расчетах удобно помнить, что для идеального газа адиабатический индекс равен для двухатомного и для трехатомного .

Что относительно реальных газов, когда силы взаимодействия между молекулами начинают играть важную роль? В этом случае адиабатический индекс для каждого испытательного газа может быть получен экспериментально. Один из таких методов был предложен в 1819 году Климентом и Дезормом. Мы наполняем цилиндр холодным газом, пока давление в нем не достигнет Р1. Затем мы открываем клапан, газ начинает адиабатически расширяться, а давление в цилиндре падает до атмосферного ПА. После того, как изохорный газ нагрелся до температуры окружающей среды, давление в цилиндре повысится до P2. Тогда адиабатический индекс можно вычислить по формуле:

Адиабатический индекс всегда больше 1, поэтому при адиабатическом сжатии газа — как идеального, так и реального — температура газа всегда поднимается до меньшего объема, а при расширении газ охлаждается. Это свойство адиабатического процесса, называемого пневматическим кремнем, используется в дизельных двигателях, где горючая смесь сжимается в цилиндре и воспламеняется теплом. Напомним первый закон термодинамики: , где — внутренняя энергия системы, а А — выполненная на ней работа. Поскольку работа, выполняемая газом, идет только для изменения ее внутренней энергии — и, следовательно, температуры. Из уравнения Пуассона можно получить формулу для расчета газовой операции в адиабатическом процессе:

Здесь n — количество газа в молях, R — универсальная газовая постоянная, T — абсолютная температура газа.

Уравнение Пуассона для адиабатического процесса используется не только при расчетах двигателей внутреннего сгорания, но и при проектировании холодильных машин.

Стоит вспомнить, что уравнение Пуассона точно описывает только равновесный адиабатический процесс, состоящий из непрерывно меняющихся состояний равновесия. Если на самом деле мы открываем клапан в цилиндре так, чтобы газ расширялся адиабатически, то возникнет нестационарный переходный процесс с газовой турбулентностью, который будет испаряться из-за макроскопического трения.

Примеры решения проблем

Одноатомный идеальный газ был адиабатически сжат, так что его объем увеличился в 2 раза. Как изменится давление газа?

Адиабатический индекс для одноатомного газа равен . Однако его можно вычислить по формуле:

где R — универсальная газовая постоянная, а і — степень свободы молекулы газа. Для одноатомного газа степень свободы равна 3: это означает, что центр молекулы может выполнять поступательное движение вдоль трех координатных осей.

Поэтому адиабатический индекс:

Представьте себе состояние газа в начале и конце адиабатического процесса через уравнение Пуассона:

Давление уменьшится в 3.175 раз.

100 молей двухатомного идеального газа было адиабатически сжато при 300 К. В то же время давление газа увеличилось в 3 раза. Как изменился газ?

Степень свободы двухатомной молекулы равна i = 5, так как молекула может двигаться постепенно вдоль трех координатных осей и вращаться вокруг двух осей.

Рассчитайте диатомический адиабатический индекс:

Определите, как изменяется объем газа при адиабатическом сжатии, из уравнения Пуассона:

Это означает, что объем газа уменьшился в 2,19 раза.

Вычислите работу газа, используя следующую формулу:

Экспериментальное определение постоянной адиабаты

Лабораторная работа 4

Экспериментальное определение постоянной адиабаты

Изучить закономерности адиабатного процесса. Освоить метод определения отношения удельных теплоемкостей воздуха.

Приборы и принадлежности

Закрытый стеклянный сосуд с краном. Манометр. Поршневой насос. Зажим.

Любые процессы, протекающие в газах, подчиняются первому закону (началу) термодинамики, являющемуся по — существу законом сохранения и превращения энергии:

, (1)

где – элементарное количество теплоты, получаемое газом;

– приращение внутренней энергии газа;

– элементарная работа, совершаемая газом.

Совершаемая газом работа определяется выражением:

, (2)

где p – давление газа;

dV – приращение объема, занимаемого газом.

Внутренняя энергия идеального газа — это суммарная кинетическая энергия поступательного и вращательного движения всех его молекул. Изменение внутренней энергии однозначно связано с изменением температуры:

, (3)

где м и m – соответственно молярная масса и масса вещества;

R= 8.31 — универсальная газовая постоянная;

dT – изменение температуры газа;

i – число степеней свободы молекул (число независимых координат, задающих изменение положения молекулы в пространстве при поступательном движении и вращении). Поскольку вращение атома вокруг собственной оси не изменяет его положения в пространстве, то для одноатомных молекул i = 3, для двухатомных i = 5, для трехатомных и более i = 6.

Количество теплоты получаемое (дQ > 0) или отдаваемое (дQ 0), а при быстром расширении – охлаждаются;

2) работа при адиабатном расширении газа (дA>0) совершается за счет уменьшения его внутренней энергии (dU CV, поэтому г >1.

На рисунке 1 приведен график адиабатного процесса (адиабата) и для сравнения – график изотермического процесса (изотерма). Поскольку в уравнении изотермы объем в 1-й степени, то и давление изменяется менее резко.

Как и сами теплоемкости, их отношение для чистых газов может быть рассчитано теоретически:

. (21)

В других случаях величину г определяют опытным путем.

III. Теория эксперимента

Возьмем стеклянный сосуд, оборудованный манометром и соединяющийся посредством крана с атмосферой или насосом. Пусть первоначально в сосуде было атмосферное давление Ро. Если с помощью насоса быстро накачать в сосуд некоторое количество воздуха и закрыть кран, то в результате адиабатного сжатия температура воздуха в сосуде повысится, и устойчивая разность уровней воды в манометре h1 установится тогда, когда в результате теплообмена температура воздуха в сосуде сравняется с температурой окружающей среды Т0.

Это состояние газа назовем первым и будем характеризовать давлением Р1 и температурой Т1. Из предыдущего ясно, что

Если теперь открыть кран, то воздух будет быстро выходить из сосуда, пока его давление не сравняется с атмосферным Р0 . Поскольку расширение газа можно считать адиабатным, то температура снизится до Т2. Назовем это вторым состоянием с параметрами Р2 и Т2. При этом Р2 = Р0.

Если сразу, как только давление воздуха в сосуде сравняется с атмосферным, снова закрыть кран, то давление газа в сосуде будет возрастать в результате нагрева от окружающего воздуха. Окончательная разность уровней жидкости в манометре h2 установится при температуре в сосуде, равной температуре окружающего воздуха Т0. Это будет третьим состоянием газа в сосуде:

К процессу адиабатного расширения, т. е. к переходу из состояния 1 в состояние 2, может быть применен закон Пуассона (20), который для двух состояний записывается в следующей формуле:

. (24)

Так как переход из состояния 2 в состояние 3 происходит без изменения объема (изохорический процесс), то, применяя закон Шарля, получим:

. (25)

Из уравнений (24,25) с учетом условий (22,23)получаем:

.

Так как и — величины малые по сравнению с единицей, то разлагая оба двучлена по биному Ньютона, получим в первом порядке приближения:

, откуда

и . (26)

Прибор состоит из стеклянного герметически закупоренного баллона А (рис. 2). Сквозь пробку баллона проходят три трубки. Они соединяются с водяным манометром М. Вторая – с краном К1 для быстрого выпуска и впуска воздуха. Третья подведена к насосу. Кроме того, имеется зажим К на трубе, ведущий к насосу.

Рис. 2. Прибор для определения постоянной адиабаты

Результаты измерений разностей уровней в коленах манометра

Обработка результатов измерений

Вычислить г для каждого измерения по формуле Определить среднее значение абсолютной погрешности . Подсчитать относительную погрешность:

.

Записать окончательный результат в виде:

.

Вопросы для подготовки к отчету по работе

Какой процесс называется адиабатным? Каким путем осуществляются адиабатные процессы? Запишите уравнение первого начала термодинамики для адиабатного процесса. Почему Ср больше ? Что такое внутренняя энергия газа? Изобразите графически изотермический и адиабатный процессы. Что происходит с температурой газа при адиабатном сжатии? Где на практике осуществляются адиабатные процессы? Какой процесс называется круговым? Чему равна работа при адиабатном изменении объема газа?

В каком случае и почему адиабатный процесс нужно проводить быстро? Дайте определение удельной теплоемкости при постоянном давлении. В каких единицах измеряется молярная теплоемкость при постоянном объеме? Что происходит с температурой газа при адиабатном расширении? Какой газ называют идеальным? Чему равна внутренняя энергия одного моля газа? Почему отношение теплоемкостей больше единицы? Сравните полученный Вами результат с табличным и объясните, почему они не совпадают? Как уравнение Пуассона связывает давление и объем при адиабатном процессе? Дайте описание установки для определения отношения теплоемкостей.

Можно ли считать расширение и сжатие горючей смеси в двигателях внутреннего сгорания адиабатным процессом? Пояснить. Как уравнение Пуассона связывает температуру и давление при адиабатном процессе? Как связаны между собой молярная и удельная теплоемкости при постоянном объеме? Что называется числом степеней свободы? Вычислите внутреннюю энергию 1 моля воздуха при 270 С. Вычислите теоретически отношение теплоемкостей воздуха. Запишите первое начало термодинамики для адиабатного сжатия. Вычислите молярную теплоемкость воздуха при постоянном объеме. Изобразите графически адиабатный процесс. Почему при адиабатном расширении газа его температура понижается?