Выведите уравнение линии доход потребление

Кривая «доход-потребление»: понятие, график, пример

Кривая «доход-потребление» представляет собой график комбинаций двух товаров, которые максимизируют удовлетворенность потребителя при разных уровнях дохода.

Он строится путем соединения точек, в которых бюджетная линия, соответствующая каждому уровню дохода, касается соответствующей кривой наибольшего безразличия.

Взаимодействие бюджетных ограничений потребителя и его кривых безразличия определяет его комбинацию товаров, максимизирующую полезность.

Точка, в которой его бюджетное ограничение (которое определяется его доходом и ценами на соответствующие товары) касается наивысшей кривой безразличия, является точкой, в которой потребительская полезность максимизируется.

Одним из способов изменения этой точки оптимального потребления является изменение бюджетных ограничений потребителя в ответ на изменение дохода.

Если его доход увеличивается, его бюджетное ограничение смещается наружу (то есть вправо), позволяя ему коснуться более высокой кривой безразличия, тем самым перемещая его в новую точку максимизации полезности.

В качестве альтернативы, если его доход уменьшается и его бюджетная линия смещается внутрь, он вынужден принять комбинацию потребления, которая лежит на более низкой кривой безразличия и так далее.

Чтобы отслеживать различные оптимальные пары потребления, соответствующие разным уровням дохода, мы можем нарисовать кривую. Эта кривая называется кривой «доход-потребление».

Она называется кривой доход-потребление, потому что она отображает движение потребления, максимизирующего полезность, в ответ на изменения дохода.

Пример

Предположим, Михаилу приходится выбирать между книгами в твердом переплете и в мягкой обложке. Его бюджетные ограничения и пары потребления, оптимизирующие полезность, показаны на графике ниже.

Его первоначальное бюджетное ограничение представлено синей линией BL-1.

Он может потратить свой ежемесячный доход в размере 1000 долларов на 4 книги в мягкой обложке, но 0 книг в твердом переплете или 0 книг в мягкой обложке и 2 книги в твердом переплете или любую комбинацию того и другого.

Если происходит увеличение дохода, его бюджетное ограничение смещается в сторону BL-2 (показывает доход в размере 2000 долларов США), а затем в BL-3 (соответствует доходу в размере 3000 долларов США).

При уровне дохода в 1000 долларов его потребительские предпочтения представлены пунктом А, который соответствует 2 книгам в мягкой обложке и 1 книге в твердом переплете.

Это точка пересечения самой высокой кривой безразличия, которую может коснуться бюджетная линия BL-1. Мы опустили кривую безразличия с диаграммы для простоты.

Если его доход увеличивается до 2000 долларов, его потребительский выбор перемещается в точку B. Но как только доход превышает 2000 долларов, он отдает предпочтение книгам в твердом переплете.

При уровне дохода в 3000 долларов он сокращает потребление книг в мягкой обложке и увеличивает потребление книг в твердом переплете. Очевидно, он считает книги в твердом переплете нормальным товаром, а книги в мягкой обложке — низшим товаром.

Желтая линия, соединяющая точку А, точку В и точку С, представляет собой кривую «доход-потребление». Ее можно использовать для создания кривой Энгеля для Михаила.

Б. Примеры решения задач

Задача 2.1.Функция полезности . Определите функцию предельной полезности.

Решение. Предельная полезность – это полезность каждой дополнительной единицы потребляемого блага:

,

где – общая полезность;

Q – количество потребляемого блага.

.

Задача 2.2.Потребитель располагает доходом в размере 31 ден. ед., делает выбор между тремя товарами А, Б, и В, цены на которые равны соответственно Р_а = 1 ден. ед., Р_б = 3 ден. ед., Р_в = 2 ден. ед.

В таблице 2.1 представлены общие полезности трех товаров. Определите, сколько каждого товара необходимо купить потребителю, чтобы максимизировать свою полезность.

Т а б л и ц а 2.1 – Общие полезности товаров А, Б, и В

Решение. Потребитель будет максимизировать свою полезность при условии:

(2.1)

где MU – предельная полезность товара;

Рассчитаем предельные полезности трёх товаров, используя формулу 2.2, полученные результаты сведём в таблицу 2.2:

(2.2)

Т а б л и ц а 2.2 – Предельная полезность товаров А, Б и В

Определим взвешенные предельные полезности, то есть полезности, приходящиеся на 1 ден. ед., затраченную на единицу каждой порции товара ( ):

Т а б л и ц а 2.3 – Взвешенные предельные полезности товаров А, Б и В

Если бы выбор потребителя не был ограничен размерами его дохода, то потребление бы осуществлялось следующим образом (в скобках указаны единицы товара, потребление которых бы осуществлялось одновременно, так как взвешенные предельные полезности этих товаров равны):

Потребление = А + (А + Б) + (А + Б + В) + В + (А + В) + (А + Б) +

+ (Б + В) + (А + Б + В) + (А + Б + В) + (Б + В) = 7А + 7Б + 7В.

Однако потребитель ограничен доходом в размере 31 ден. ед.

Следовательно, он купит набор товаров 6А + 5Б + 5В, так как при этом выборе он тратит весь свой доход и максимизирует общую полезность (выполняется равенство взвешенных предельных полезностей, формула (2.1). Рассчитаем общую полезность максимизирующего набора:

TU(6А) + TU (5Б) + TU (5В) = 41 + 87 + 56 = 184.

Это максимальная полезность, которую мог получить потребитель, ограниченный доходом в 31 ден. ед. Любое другое перераспределение средств принесло бы ему меньшую общую полезность, то есть в меньшей степени удовлетворило его потребности.

Например, если бы потребитель потратил весь свой доход на набор 7А + 4Б + 6В, то суммарная полезность его составила бы 43 + 78 + 60 = 181, что меньше максимизирующего 184.

Вывод: потратив на набор 6А + 5Б + 5В весь свой доход, потребитель наилучшим образом удовлетворит свои потребности.

Задача 2.3.Доход потребителя составляет I = 360 ден. ед. и целиком тратиться на два товара: А и B. Цена товара P_А = 40 ден. ед., цена товара P_B = 30 ден. ед. Выполните задания:

1) постройте бюджетную линию на основании данных задачи;

2) постройте бюджетную линию при условии, что доход увеличился до 480 ден. ед.

1 Уравнение бюджетной линии

, (2.3)

где I – доход потребителя;

Подставим данные задачи в формулу (2.3):

Отложим по горизонтальной оси количество товара Q_А, а по вертикальной – количество товара Q_B (рисунок 2.1):

Все точки бюджетной линии I₁ показывают наборы товаров А и B, на которые потребитель полностью тратит свой доход.

Рисунок 2.1 – Бюджетные линии потребителя

2 Если доход потребителя увеличится до 480 ден. ед., то уравнение линии бюджетных ограничений:

Возросшему уровню дохода на рисунке 2.1 соответствует линия бюджетных ограничений I₂ более удалённая от начала координат.

Задача 2.4.На рисунке 2.2 изображена линия бюджетных ограничений I₁, соответствующая доходу 100 ден. ед. Выполните задания:

1) найдите цену товара А и B;

2) определите функцию линии бюджетных ограничений;

3) определите, как изменится бюджетная линия, если цена товара А уменьшится в два раза.

Рисунок 2.2 – Бюджетная линия потребителя

Решение. Линия бюджетных ограничений – это прямая, где все точки показывают различные комбинации товарного набора, на который израсходован весь доход целиком.

1 Рассмотрим точку пересечения бюджетной линии и горизонтальной оси (см. рисунок 2.2), в этой точке весь доход израсходован на 25 шт. товара А, так как количество товара Q_B = 0. Следовательно, цена товара

2 Подставляя цены товаров и уровень дохода потребителя в формулу (2.3), получим:

3 Если цена товара А уменьшится в два раза, то есть Р_А = 2 ден. ед. за шт., то потребитель на свой доход 100 ден. ед. сможет купить 50 шт. товара А, следовательно, линия бюджетных ограничений примет вид I₂ (рисунок 2.3):

Рисунок 2.3 – Смещение бюджетной линии при изменении цены товара А

Задача 2.5.Доход потребителя составляет 200 ден. ед. Потребительский набор состоит из картофеля и молока. Стоимость картофеля P_к = 10 ден. ед. за 1 кг, а молока Р_м = 20 ден. ед. за 1 л. Предпочтения потребителя описываются следующей функцией полезности:

.

Цена картофеля увеличилась до Р_к1 = 20 ден. ед. за 1 кг.

Определите, какой должен быть доход потребителя, чтобы уровень его удовлетворения остался прежним. Какое количество картофеля и молока при этом он будет потреблять.

Решение. Кривая безразличия – это линия, все точки которой показывают наборы двух товаров, которые обладают одинаковой суммарной полезностью для потребителя.

Если функция полезности потребителя имеет вид

а располагаемый доход – формула (2.3), тогда оптимальный объём потребляемых благ можно определить по формулам:

(2.4)

Подставляя исходные данные в формулу (2.4), получим:

Увеличение цены на картофель до 20 ден. ед. за 1 кг, сместит линию бюджетных ограничений с I₁ до I₂ (рисунок 2.4).

Рисунок 2.4 – Изменение равновесия потребителя

Линия бюджетных ограничений I₂ не имеет точек касания с кривой безразличия U, следовательно, потребителю при цене картофеля 20 ден. ед. за 1 кг уровень удовлетворения U недоступен. Для определения оптимального набора, который позволит потребителю обеспечить удовлетворение своих потребностей на прежнем уровне, необходимо линию I₂ сместить параллельно до точки касания с кривой безразличия U.

На рисунке 2.4 искомому уровню дохода соответствует I₃, а положению максимизации полезности – точка E₂. В этой точке потребитель обеспечивает себе прежний уровень потребления, следовательно,

.

Для определения параметров нового равновесия, решим систему уравнений, используя формулы (2.3), (2.4):

При уровне дохода I₃ = 282,8 будет потребляться 7 кг картофеля и 7 литров молока.

Задача 2.6. Постройте кривую «доход – потребление» для потребителя с функцией полезности:

Известно, что Р_А = 15 ден. ед., Р_B = 30 ден. ед.

Решение. Кривая «доход – потребление» характеризует изменение максимизирующего полезность набора товаров A и B по мере роста дохода.

Исходя из условия задачи, некомпенсированный спрос на благо A и B имеет следующий вид см. формулу (2.4):

Уравнение линии бюджетных ограничений см. формулу (2.3):

Изменяя значение параметра располагаемого дохода потребителя I, построим кривую «доход – потребление», на основании полученных значений из следующих соотношений (см. рисунок 2.5):

Рисунок 2.5 – Кривая «доход – потребление»

Задача 2.7. Постройте кривую «цена – потребление» товара А для потребителя с функцией полезности:

Известно, что P_B = 10 ден. ед., располагаемый доход I = 100 ден. ед.

Решение. Кривая «цена – потребление» показывает, как изменяется количество потребления товара А от его цены, при постоянном доходе и неизменности цен других товаров.

Исходя из условия задачи, некомпенсированный спрос на товар А и B описывается следующей функцией (см. задачу 2.6):

На основании зависимости Q_A(P_A) построим кривую «цена – потребление» по точкам, последовательно изменяя цену на благо A, например P₁ = 50, P₂ = 20, P₃ = 10 ден. ед. (порядок выбора цены на первое благо не имеет значения).

Изобразим ситуацию графически (рисунок 2.6).

Рисунок 2.6 – Кривая «цена – потребление»

В. Тесты

1 Полезность – это:

а) основная цель потребления;

б) свойство экономических благ удовлетворять потребности;

в) конечная цель производства;

г) количественная мера потребности.

2 Понятие «предельная полезность» означает:

а) максимальную полезность всех составляющих частей потребляемого блага;

б) максимальную полезность при покупке каждой дополнительной единицы блага;

в) полезность дополнительной единицы блага;

г) минимальные издержки на производство дополнительной единицы блага.

3 Если общая полезность при употреблении 3-го стакана сока возросла с 35 до 40, то предельная полезность будет равна:

4 Какой ряд значений общей полезности иллюстрирует закон убывающей предельной полезности:

а) 400, 200, 150, 100, 50, 20;

б) 400, 450, 500, 600;

в) 150, 100, 60, 30, 10, 5;

г) 150, 200, 240, 270, 290.

5 Кривая безразличия – это линия, точки которой отражают:

а) равные товарные наборы двух благ, обладающие одинаковой полезностью для потребителя;

б) разные наборы факторов производства, позволяющие произвести одинаковый объём производства;

в) разные товарные наборы двух благ, обладающие одинаковой полезностью для потребителя;

г) объём спроса на одно благо в зависимости от спроса на другое благо.

6 Отрицательный наклон кривой безразличия объясняется:

а) эластичностью спроса;

б)законом убывающей предельной полезности;

в) предельной нормой замещения;

г) законом убывающей предельной производительности.

Выведите уравнение линии доход потребление

Кривая спроса. На основе кривых безразличия и бюджетных ограничений можно вывести обычную кривую спроса. На рис. 1 изображено, как поворачивается бюджетная линия, меняя свой наклон, в результате понижения цены товара X с Р₁ до Р₄. Каждая из соответствующих бюджетных линий касается особенной кривой безразличия. В каждом случае рациональный выбор потребителя представлен иным набором товаров Х и Y.

Рис. 1. Построение кривой спроса на товар X на основе кривых безразличия и бюджетных линий

Пусть зафиксированные уровни цены товара X равны P _1, P _2, P _3, Р ₄ . Отметим оптимальные количества потребления товара Х для каждого из указанных уровней цены. Соотнеся эти объемы спроса с ценами на товар Х, получим четыре точки на нижнем графическом поле. Эти точки принадлежат кривой спроса на товар X. Таким образом, оба указанных на рис. 1 графика взаимосвязаны и по-разному освещают изменение цен на товар и соответствующее изменение характера потребления.

Кривая «цена—потребление». Мы убедились, что при изменении цены одного из двух товаров меняется поведение потребителя. Этот процесс может быть проиллюстрирован при помощи так называемой кривой «цена—потребление».

На рис. 2 изображены кривые безразличия I₁, I₂, I₃, I₄. Также отмечены повороты бюджетной линии в соответствии с изменением цены товара X. Каждая бюджетная линия имеет свою собственную точку касания с определенной кривой безразличия. Это точки А, В, С и D. Каждая точка касания характеризует оптимальный выбор потребителя, наиболее рациональную комбинацию двух товаров (структуру потребления), которая при данном уровне дохода и при данных уровнях товарных цен максимизирует полезность потребителя. Соединив точки рационального выбора А, В, С, D, получим кривую, называемую кривой «цена—потребление» (рис. 2).

Рис. 2. Кривая «цена—потребление»

Кривая «цена—потребление» показывает, как меняется оптимальный уровень потребления двух товаров при изменении цены одного из них.

Графическое отображение эффекта дохода и эффекта замещения. Поведение потребителя непосредственно зависит от категории потребляемого товара. Рассмотрим так называемый нормальный товар . На рис. 3 изображена ситуация, при которой цена на нормальный товар X поднялась, следовательно, бюджетная линия сделала поворот от В ₁ к В ₂

Рис. 3. Эффекты дохода и замещения при повышении цены нормального товара X

Точка оптимального потребления передвинулась с f до h . Часть этого сдвига обусловлена эффектом замещения, часть — эффектом дохода. Можно ли графически различить эти два эффекта? Да, можно. Для этого проведем пунктиром новую бюджетную линию (B _1а ) таким образом, чтобы она была параллельна В ₂ , но при этом являлась касательной к кривой безразличия I ₁ . Будучи параллельной кривой B ₂ она выражает новое ценовое соотношение двух товаров. Будучи касательной к той же самой кривой безразличия, она позволяет потребителю получить то же количество полезности, что и ранее. Поскольку в данном случае потребитель ничего не теряет и его реальный доход в точке g остается прежним, данное изменение потребления товара X (от точки Х ₁ до точки Х ₂ ) не является эффектом дохода. Здесь в чистом виде отображен эффект замещения в силу относительного удорожания товара X.

Между тем в действительности бюджетная линия передвинулась не в положение В_1а, а в положение В₂. В результате точка оптимума потребителя (точка его рационального выбора) находится теперь на кривой безразличия I₂ — это точка h. Реальный доход потребителя при этом сократился, так как данная кривая находится ближе к началу координат, чем прежняя. Обусловленное этим изменение в объеме потребления товара X есть не что иное, как эффект дохода, равный разности Х₂ и Х_3.

Обратим внимание, что в случае нормального товара эффект дохода и эффект замещения имеют одинаковую направленность и усиливают действие друг друга. Обычно оба эффекта имеют отрицательный знак (т.е. по мере роста цены товара его потребление сокращается, что соответствует закону спроса). При этом, чем сильнее выражено действие этих эффектов, тем выше ценовая эластичность спроса на продукт X.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда товар X является товаром низшего класса (рис. 4).

Рис. 4. Эффект дохода и эффект замещения при изменении цены товара X — низшего класса

Как и на рис. 3, сделаем дополнительные построения: проведем бюджетную линию параллельно В ₂ и касательно к той же кривой безразличия I ₁ . Рассуждая аналогично, отметим, что эффект замещения выражается в движении вдоль исходной кривой безразличия от точки f до точки g. Эффект замещения будет отрицательным: потребление товара X сокращается с Х ₁ до X _2, поскольку он вытесняется относительно более дешевыми товарами.

Что же касается эффекта дохода, то для товара низшего класса он будет положительным: потребление такого товара возрастает с Х₂ до Х₃ в силу снижения реального дохода. Эффект дохода иллюстрируется перемещением из точки g в точку h, что соответствует увеличению потребления товара X с Х₂ до Х_3.

Теоретически невозможно предсказать, какой из двух эффектов будет больше. Здравый смысл и житейский опыт подсказывают, что эффект замещения должен быть больше и в конечном итоге повышение цены товара вызовет сокращение его потребления.

Однако, по крайней мере гипотетически, можно предугадать и вариант, при котором эффект дохода окажется выше эффекта замещения. Таковой будет ситуация с так называемым товаром Гиффена. Подобный гипертрофированный эффект дохода можно объяснить, в частности, низким уровнем дохода и большой долей данного товара в совокупном потреблении отдельного домохозяйства. В этом случае повышение цены товара может сопровождаться ростом его потребления. Бесспорно, однако, что на практике такие ситуации встречаются крайне редко.

Поведение потребителя при изменении дохода. Увеличение дохода графически отображается в параллельном перемещении бюджетной линии вправо от начала координат. При этом новая бюджетная линия выступит касательной по отношению уже к иной кривой безразличии, отстоящей далее от начала координат и отвечающей большей совокупной полезности. Новая точка касания продемонстрирует изменения в потреблении в связи с ростом дохода. Если рассмотреть несколько уровней дохода и определить соответствующие им точки оптимального выбора потребителя, то линия, соединяющая эти точки, будет кривой, именуемой «доход-потребление» (рис. 5).

Рис. 5. Кривая «доход-потребление»

Кривая «доход-потребление» будет иметь различный наклон в зависимости от класса товара. Для нормальных товаров область допустимых перемещений точки потребительского выбора располагается в пределах прямоугольного треугольника ABC, образуемого перпендикулярами, выходящими из прежней точки равновесия, и новой бюджетной линией (рис. 5). Если же один из товаров — товар низшей категории, то кривая «доход—потребление» пересечет новую бюджетную линию за пределами указанного треугольника (рис. 6).

Рис. 6. Кривая «доход—потребление» для товара X низшего класса

В данном случае кривая «доход—потребление» будет отклоняться назад, поскольку с ростом доходов обычно сокращается потребление товаров низшей категории (кривая будет «возвращаться» к началу координат) и возрастает потребление нормальных товаров (кривая поднимется вверх относительно вертикальной оси Y).

На основе кривой «доход—потребление» можно вывести так называемую кривую Энгеля (рис. 7).

Рис. 7. Кривая «доход-потребление» и кривая Энгеля

Кривая Энгеля показывает, как меняется количество потребляемого продукта при различных уровнях дохода. Кривая Энгеля также может иметь разные формы в зависимости от категории товара. Для нормальных товаров наклон кривой обычно положительный, для товаров низшего класса — отрицательный.